Retas e planos no espaço - Instituto Montessori

RETAS E PLANOS NO ESPAÇO
Geometria de
Posição
POSTULADOS DA RETA
1º) Em uma reta, bem como fora dela, existem
infinitos pontos;
2º) Por um ponto passam infinitas retas;
3º) Dois pontos distintos determinam uma
única reta;
4º) Um ponto qualquer de uma reta divide em
duas semirretas.
POSTULADOS DO PLANO
1º) Em um plano, bem como fora dele, existem
infinitos pontos;
2º) Se uma reta possui dois pontos distintos
num plano, então ela está contida nesse plano;
3º) Três pontos não colineares determinam um
único plano que passa por eles;
A
B
C
4º) Uma reta qualquer de um plano o divide
em dois semiplanos;
5º) Um plano qualquer divide o espaço em
duas regiões que denominamos semi-espaços;
6º) Por uma reta passam infinitos planos.
DETERMINAÇÃO DE UM PLANO

Três pontos distintos não colineares;

Uma reta e um ponto fora dela;
C
B
A

Duas retas concorrentes;
P
A
B

Duas retas paralelas e distintas;
A
C
B
EXERCÍCIOS
1) Classifique em V ou F conforme as
sentenças sejam verdadeiras ou falsas e
justifique sua resposta:
( ) Por um ponto passam infinitas retas;
( ) Três pontos distintos quaisquer determinam
um plano;
( ) Por dois pontos A e B passa uma única
reta;
( ) Por dois pontos A e B passam infinitos
planos;

POSIÇÕES RELATIVAS
Entre duas retas:
1º) Coincidentes: Duas retas possuem todos
os pontos em comum.

2º) Concorrentes: Duas retas que tem apenas
um ponto em comum. Indica-se r X s e r∩ s =
{P}.
3º) Paralelas: Duas retas que não tem ponto
em comum. Indica-se r // s e r ∩ s = { }.
Obs.: As duas retas devem estar no mesmo
plano.
4º) Reversas: Não possuem ponto em comum
e estão em planos diferentes.
Obs.: quando duas retas reversas formam
ângulo de 90º são chamadas de ortogonais.
Entre reta e plano:
1º) Reta contida no plano: Uma reta está
contida num plano quando todos os seus
pontos pertencem ao plano.

2º) Reta e plano concorrentes: São
concorrentes quando tem um único ponto em
comum.
3º) Reta e plano paralelos: São paralelos
quando não tem ponto em comum.
r
Entre dois planos:
1º) Planos coincidentes: Todos os pontos são
comuns.

2º) Planos concorrentes ou secantes: São
distintos e tem intersecção não vazia. Essa
intersecção é sempre determinada por uma
reta.
3º) Planos paralelos: Não tem pontos em
comum.
EXERCÍCIOS
1) Classifique em verdadeiro ou falso as
sentenças abaixo:
( ) Duas retas que possuem um único ponto
em comum são coincidentes;
( ) Duas retas distintas sem ponto em comum
são paralelas;
( ) Duas retas que determinam um plano ou
são concorrentes ou são paralelas;
( ) Três retas que passam por um único ponto
P podem ser perpendiculares entre si.
R: F – F – V – V
2) O que se pode afirmar sobre a posição
entre a reta r e o plano α em cada caso?
a) r ∩ α = r
b) r ∩ α = ∅
c) r ∩ α = {P}
a)r contida em α
b)r paralela a α
c)r concorrente a α
PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO

Considerando um plano α e um ponto P fora
do plano, podemos traçar por P infinitas
retas que interceptam α. Dessas, uma única
reta é perpendicular ao plano, e as demais
são denominadas retas oblíquas ao plano.
TEOREMA

Se uma reta r é perpendicular a um plano α,
então r forma um ângulo de 90º com
qualquer reta contida em α.
PROJEÇÕES ORTOGONAIS SOBRE UM PLANO

Projeção de um ponto
Projeção de uma reta
1º caso: Reta perpendicular ao plano

2º caso: A reta oblíqua ao plano
3º caso: A reta paralela ao plano
DIEDROS E TRIEDROS

Diedro

Triedro
EXERCÍCIOS
1) Coloque V ou F para as sentenças abaixo:
a) Se uma reta r for perpendicular a duas
retas, s e t, concorrentes de um plano, então
essa reta será perpendicular ao plano.
b) Se uma reta r for perpendicular a um plano
α, sua projeção será um segmento de reta.
c) Se uma reta r for oblíqua a um plano, sua
projeção ortogonal poderá ser um segmento
de reta.
R: V – F – V
2) Duas retas paralelas r e s são projetadas
ortogonalmente sobre o plano α. Quais são as
posições relativas das projeções?
R: Duas retas, uma reta, dois pontos.
FIM