Medidas de Centralização

Medidas de Centralização
Disciplina de Estatística – 2012/2
Curso de Administração em Gestão Pública
Profª. Me. Valéria Espíndola Lessa
e-mail: [email protected]
1
Medidas - Resumo
Exemplo: Em um ponto de ônibus, uma pessoa
pergunta sobre o tempo até a passagem de uma
determinada linha. Suponha que você havia
registrado, na semana anterior, os tempos (em
minutos) e obteve os seguintes resultados:
9; 12; 8; 10; 14; 7; 10
Ao responder: “o ônibus demora, em média, 10
minutos”, você está trocando um conjunto de valores
por um único número que os resume. Ao adotar este
procedimento foi utilizada uma medida-resumo,
neste caso a média aritmética.
2
Medidas - Resumo
• A classificação da variável vai orientar a escolha da
medida resumo mais adequada.
• A maior parte das medidas a serem apresentadas
aplicam-se somente a variáveis quantitativas.
• As medidas-resumo podem focar vários aspectos no
conjunto de dados. Os aspectos que iremos estudar,
são:
– Medidas de Centralização(Tendência central);
– Medidas de Dispersão.
3
Medidas de Centralização
• As medidas de tendência central indicam, em
geral, um valor central em torno do qual os
dados estão distribuídos.
• As principais medidas de centralização na
Estatística são:
– Media aritmética (simples e ponderada), mediana
e moda
• Além destas, outras medidas são utilizadas
com fins específicos tais como:
– média geométrica, média harmônica,
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Somatório
Seja os valores:
x1, x 2 , x 3 ,..., xn
Notação matemática:
n
x
Letra grega
“sigma”
maiúsculo
i1
i
 x1  x 2  x 3  ...  x n
5
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES ( x)
• A média aritmética também é conhecida
como ponto de equilíbrio e centro de
gravidade, denominações surgidas da Física.
Ela indica o valor em torno do qual há um
equilíbrio na distribuição dos dados. O seu
cálculo é feito conforme:
n
x
x
i1
n
i
x1  x 2  x 3  ...  x n

n
6
Exemplo:
• Determinar a média aritmética simples dos
valores: 3, 7, 8, 10, 11.
x 3  7  8  10  11 39

x


 7,8
n
5
5
7
No Excel...
=MÉDIA(intervalo)
OU
8
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA ( x )
• É usado quando os dados estão agrupados
numa distribuição de frequências;
• Isso significa que o valor do dado deverá ser
multiplicado pela sua frequência;
• Exemplo:
Dados Originais:
2,2,3,4,3,3,4,4,4,2,4
Xi
2
Fi
3
3
4
3
5
9
• Com os dados originais, teríamos que somar
cada número xi e dividir por 11.
• Mas tendo a distribuição de frequências,
podemos multiplicar:
2  3  3  3  4  5 35
x

 3,1 8
11
11
• Ou seja,
n
x1  F1  x2  F2  x3  F3
x

F1  F2  F3
x F
i 1
i
n
i
10
No Excel...
• Não há fórmula específica;
• Teremos que inserir fórmulas...
• Desafio: Como você faria?
11
Média Aritmética nas Tabelas de
Distribuição em Classes:
Exemplo: Determinar a média da distribuição, sendo
n=40.
Renda Familiar
(milhares de R$)
2 |-- 4
4 |-- 6
6 |-- 8
8 |-- 10
10 |-- 12
Nº de Famílias
(Fi)
5
10
14
8
3
Neste caso, as classes são representadas pelos
seus pontos médios:
3, 5, 7, 9 e 11
12
Classes
Xi = ponto
médio
Fi
X i . Fi
2 |-- 4
3
5
15
4 |-- 6
5
10
50
6 |-- 8
7
14
98
8 |-- 10
9
8
72
10 |-- 12
11
3
33
40
268
Total
3  5  5  10  7  14  9  8  11 3 268
x

 6,7
40
40
A média deste grupo é de R$ 6.700,00
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Exercícios de Médias – Faça no Excel
também
1) Qual é a média final de um estudante que obteve as notas
7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5; 4,0 nos trabalhos? Se a média
para aprovação é 6,0, ele foi aprovado?
2) Qual a média nas distribuições abaixo:
x = 4,875; Não
a)
Xi
3
4
7
8
12
Fi
2
5
8
4
3
x = 6,82
b)
Classes
1,5|--3,5
3,5|--5,5
5,5|--7,5
7,5|--9,5
9,5|--11,5
Fi
12
18
20
10
5
x = 5,823
14
~
MEDIANA ( x ou Md)
• É a medida que está no centro de todas as
outras;
• Numa Tabela de dados brutos:
É obtida colocando-se todos os valores em
ordem e se a amostra tiver um número de
termos:
– Ímpar: a mediana é o elemento médio
– Par: a medida é a semi-soma dos dois elementos
médios.
15
Exemplo com número ímpar:
Encontre a mediana dos dados:
45, 41, 42, 41, 42, 43, 44, 41, 50, 46, 46
Colocando em ordem crescente, temos:
41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 46, 50
Há 11 termos, a mediana está na 6º colocação.
Para calcular a ordem (posição) se faz:
n  1 11 1 12


 6º lugar
2
2
2
16
Exemplo com número par:
Encontre a mediana dos dados:
45, 41, 42, 41, 42, 43, 44, 41, 50, 46
Colocando em ordem crescente, temos:
41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 50
Há 10 termos, a mediana está entre na o 5º e o 6º
termo, portanto, se faz a média dos termos de
ordem n n
e 1
42  43 85
2 2
2

2
 42,5
17
No Excel...
• Há uma fórmula pronta: =MED(intervalo)
18
Mediana nas Tabelas de
Distribuição em Classes
• Exemplo: Qual é a mediana?
Classes
Fi
35 |-- 45
5
45 |-- 55
12
55 |-- 65
18
65 |-- 75
14
75 |-- 85
6
85 |-- 95
3
Σ
58
Sabemos que se há 58
elementos, a mediana é a
média
aritmética
do
elemento de posição 29º e
30º (58/2 e 58/2 +1)
Então, em qual classe está
a mediana?
19
• Para facilitar a ordenação dos elementos da
tabela, devemos organizar uma coluna com a
Frequência Acumulada.
Classes
Fi
Fac
35 |-- 45
5
5
1º ao 5º
45 |-- 55
12
17
6º ao 17º
55 |-- 65
18
35
18º ao 35º
65 |-- 75
14
49
75 |-- 85
6
55
85 |-- 95
3
58
Σ
58
Quais destes valores é a mediana?
20
Fórmula da Mediana
~
x  Liclasse
n

2  faant   h

Fclasse
Liclasse  lim ite inf erior da classe
n  número de elementos
f aant  frequência s acumulada anterior
h  amplitude da classe
Fclasse  frequência da classe
21
1º) Encontrar a classe que está a mediana, como
já fizemos: 3ª classe
2º)Aplicar a fórmula com
Liclasse = 55; n = 58; faant = 17; h = 10; Fclasse= 18
Classes
Fi
Fac
35 |-- 45
5
5
45 |-- 55
12
17
55 |-- 65
18
35
65 |-- 75
14
49
75 |-- 85
6
55
85 |-- 95
3
58
Σ
58
Classe que
contém 29º
e 30º
elemento
22

58 / 2  17  10
~
x  55 

18

29  17  10
120
 55 
 55 

18
18
 55  6,667  61,67
23
Exemplo:
• Calcule a Mediana
Classes
Fi
Fac
7 |-- 17
6
6
17 |-- 27
15
21
27 |-- 37
20
41
37 |-- 47
10
51
47 |-- 57
5
56
Σ
56
1º) n/2 = 56/2 => 28º e
29º
2º) 3ª Classe
3º) Fórmula:

28  21  10
~
x  27 
 30,5
20
Liclasse = 27
Faant = 21
Fclasse = 20
h = 10
24
No Excel...
• Não há fórmula específica;
• Teremos que inserir fórmulas...
• Desafio: Como você faria?
25
MODA (Mo)
É o valor em um conjunto de dados que ocorre com
maior freqüência.
• Um conjunto de dados pode ser:
– Unimodal (uma moda);
0,0,0,1,1,1,3,3,3,3,3,3,5,5,7
→ Mo = 3
– Amodal (não possuir moda, pois não existe nenhum valor
que ocorre com maior freqüência);
1,2,3,4,5,6 → Mo = não existe
– Multimodal (possui mais de uma moda);
2,2,2,3,4,5,6,6,6,7,8 → Mo = 2 e 6
26
No Excel...
• Há fórmula: = Mo(intervalo)
27
• Exemplo: Calcular a Moda da distribuição:
Xi
243
245
248
251
307
Fi
7
17
23
20
8
• Como podemos ver, o valor que tem mais
frequência (23) é o 248, portanto, Mo = 248.
28
Moda com Tabela de distribuição em
Classes
• Exemplo: Calcular a moda.
Classes 0|-- 1 1|-- 2 2|-- 3 3|-- 4 4|-- 5
Fi
3
10
17
8
5
Σ
43
• Conseguimos ver em qual classe está a moda,
encontrando a classe com maior frequência.
• Classe modal: 3º
29
• É preciso aplicar a fórmula:
1
Mo  Liclasse 
h
1   2
Liclasse  Limite inf erior da classe
1  diferença entre a frequência da classe mod al e
a imediatame nte inf erior
 2  diferença entre a frequência da classe mod al e
a imediatame nte sup erior
h  amplitude da classe
30
Exemplo: Calcular a moda.
Classes 0|-- 1 1|-- 2 2|-- 3 3|-- 4 4|-- 5
Fi
3
10
17
8
5
Σ
43
Resolução:
1º) Devemos encontrar a classe modal, ou seja, a classe que
possui a maior frequência, neste caso é a 3ª classe;
2º) Aplicar a fórmula:
7
7
Δ1= 17 – 10 = 7
Mo  2 
1  2 

79
16
Δ2= 17 – 8 = 9
32  7 39
h=1


 2,44
Liclasse= 2
16
16
31
Exemplo:
• Calcular a Moda
Classes
1,5|--3,5
3,5|--5,5
5,5|--7,5
7,5|--9,5
9,5|--11,5
Fi
12
18
20
10
5
1) A 3º classe é de maior frequência, portanto é a classe modal;
2) Aplicar a fórmula:
Δ1= 20 – 18 = 2
Δ2= 20 – 10 = 10
h=2
Liclasse= 5,5
2
2
 2  5,5 
2 
2  10
12
4 66  4 70
 5,5 


 5,833
12
12
12
ou
Mo  5,5 
 5,5  0,3 3  5,8 3
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No Excel...
• Não há fórmula específica;
• Teremos que inserir fórmulas...
• Desafio: Como você faria?
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- Lista de Exercícios -
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