ET77H – SISTEMAS DE CONTROLE 2 Transformada 즈

Tópicos
ET77H – SISTEMAS DE CONTROLE 2
Introdução
Transformada Z
Propriedades
Transformada Z & Equações a
Diferenças
Exemplos
Transformada
Z inversa
Frações parciais
Eqs. a diferenças
Exemplo
Prof. Victor Baptista Frencl
[email protected]
DAELT – Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
08 de Março de 2017
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Tópicos a serem abordados
Tópicos
Introdução
Introdução
Importância
Aplicações
Definições e Teoremas
Transformada Z
Propriedades
Exemplos
Transformada
Z inversa
Frações parciais
Eqs. a diferenças
Exemplo
Transformada Z
Propriedades
Equações a diferenças
Modelagem matemática
Resolução
Via Transformada Z
Exemplos
2 / 14
Introdução
Tópicos
Introdução
Motivação para o estudo da Transformada Z?
Modelo matemático discreto (k ∈ N) ou discretizado
(t = kT; T: período de amostragem) →
caracterização da dinâmica do sistema.
Como analisá-lo?
Resolução clássica
Transformada Z → mais utilizada → equações
algébricas em z ∈ C
Transformada Z
Propriedades
Exemplos
Transformada
Z inversa
Frações parciais
Eqs. a diferenças
Exemplo
Tipos de sinais aos quais a Transformada Z pode
ser aplicada:
Sinal discretizado: x(kT)
Sequência numérica: x(k) (ou sinal discretizado com
tempo de amostragem T = 1s)
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Transformada Z
Definição – Transformada Z unilateral
Seja um sinal discretizado x(kT) ou uma sequência
numérica x(k). A transformada Z unilateral do sinal x(k)
é dada por:
Tópicos
Introdução
Transformada Z
Propriedades
Exemplos
Transformada
Z inversa
Frações parciais
Z [x(kT)] = X(z) =
∞
X
Eqs. a diferenças
x(kT)z−k
Exemplo
k=0
Z [x(k)] = X(z) =
∞
X
x(k)z−k
k=0
em que z ∈ C.
Por que unilateral? → Grande parte dos sistemas de
controle são baseados a partir do tempo k = 0
Existência de X(z): soma deve ser convergente!
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Transformadas Z importantes
Função degrau unitário:
x(t) = u(t) = 1
X(z) = Z [x(kT)] =?
Tópicos
Introdução
Transformada Z
Propriedades
Exemplos
Função rampa unitária:
x(t) = t.u(t)
Transformada
Z inversa
Frações parciais
Eqs. a diferenças
Exemplo
X(z) = Z [x(kT)] =?
Função polinomial:
x(k) = ak .u(k)
X(z) = Z [x(k)] =?
Função exponencial:
x(t) = e−at .u(t)
X(z) = Z [x(kT)] =?
Transformada Z de x(t) = sen (ωt)?
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Propriedades importantes
1
Linearidade
Tópicos
Introdução
Z[a.x(t) + b.y(t)] = a.X(z) + b.Y(z)
Transformada Z
Propriedades
2
Multiplicação por
Exemplos
ak
Transformada
Eqs. a diferenças
Z[ak .x(k)] = X(a−1 .z)
3
Z inversa
Frações parciais
Exemplo
Teorema do deslocamento
Z[x(t − nT)] = z−n .X(z) (Atraso)
#
"
n−1
X
−k
n
(Avanço)
x(kT)z
Z[x(t + nT)] = z . X(z) −
k=0
"
Z[x(k + n)] = zn . X(z) −
n−1
X
k=0
x(k)z−k
#
(Eqs. a difs.)
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Propriedades importantes
Tópicos
4
Translação complexa
Introdução
Transformada Z
Z[e−at x(t)] = X(zeaT )
Propriedades
Exemplos
Transformada
Z inversa
Frações parciais
5
Teorema do valor inicial: se X(z) existe e
limz→∞ X(z), então o valor inicial de x(t) ou x(k) é
dado por
x(0) = lim X(z)
Eqs. a diferenças
Exemplo
z→∞
6
Teorema do valor final: se X(z) existe e todos os
pólos de X(z) estão dentro do círculo unitário (com
uma exceção de um único pólo em z = 1), então
x(∞) = lim (1 − z−1 )X(z)
z→1
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Propriedades importantes
Tópicos
Introdução
Transformada Z
7
Propriedades
Diferenciação complexa
Exemplos
Transformada
Z inversa
Frações parciais
Z[kTx(k)] = −Tz
8
d
X(z)
dz
Eqs. a diferenças
Exemplo
Convolução real
Z[x(k) ∗ y(k)] = Z
"
k
X
m=0
#
x(k − m)y(m) = X(z).Y(z)
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Exemplos
Tópicos
Introdução
Exemplos
Transformada Z
Propriedades
(i) Calcule Z[u(t − 4T)]
(ii) Calcule Z[te−αt ]
(iii) Calcule x(0) dada sua transformada Z a seguir
X(z) =
Exemplos
Transformada
Z inversa
Frações parciais
Eqs. a diferenças
Exemplo
(1 − e−T )z−1
(1 − z−1 )(1 − e−T z−1 )
(iv) Calcule x(∞) dada a sua transformada Z a seguir
X(z) =
1
1
−
−1
−αT
1−z
1−e
z−1
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Transformada Z inversa
Tópicos
Introdução
Transformada Z
Propriedades
Notação: Z −1 [X(z)] = x(k)
Exemplos
Transformada
Z inversa
Frações parciais
Note que x(k) é único, mas x(t) não!
Quatro métodos para obtenção da transformada Z
Eqs. a diferenças
Exemplo
Divisão direta: divisão de polinômios
Método computacional: via MATLAB (laboratório)
Método de frações parciais
Método dos resíduos: resolução por integrais de
linha
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Frações parciais
Fatoração de X(z) em pólos (pi , i = 1, . . . ,n) e zeros
(zj , j = 1, . . . ,m)
Tópicos
Introdução
Transformada Z
Propriedades
b0 (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zm )
X(z) =
(z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn )
Exemplos
Transformada
Z inversa
Frações parciais
Eqs. a diferenças
Exemplo
Frações parciais calculadas sobre X(z)/z
Caso 1: pólos com multiplicidade = 1
b0 (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zm )
(z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn )
X(z)
a1
a2
an
⇒
=
+
+ ... +
z
z − p1 z − p2
z − pn
X(z)
(z − pi )
ai =
z
z=pi
X(z) =
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Frações parciais
Caso 2: pólos com multiplicidade > 1
Exemplo: X(z) com pólo p1 com multiplicidade 2.
z
X(z) =
(z − 1)2
c1
c2
X(z)
=
+
⇒
2
z
(z − p1 )
z − p1
X(z)
1
2
(z − p1 )
c1 =
(1 − 1)!
z
z=p1
1
d X(z)
2
c2 =
(z − p1 )
(2 − 1)! dz
z
z=p1
Tópicos
Introdução
Transformada Z
Propriedades
Exemplos
Transformada
Z inversa
Frações parciais
Eqs. a diferenças
Exemplo
Exemplos
Determine a transformada Z inversa de
X(z) =
(1 − e−αT )z
(z − 1)(z − e−αT )
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Equações a diferenças
Tópicos
Modela a dinâmica de um sistema a partir de
relações algébricas entre sinais de entrada e saída
em deslocamentos de tempo diferentes.
Introdução
Transformada Z
Propriedades
Exemplos
Transformada
Z inversa
Frações parciais
Equações a diferenças
Seja x(t) a saída e u(t) a entrada do sistema modelado.
Uma equação a diferenças pode ser descrita da seguinte
forma, dadas as condições iniciais necessárias:
Eqs. a diferenças
Exemplo
x(k + n) + a1 x(k + n − 1) + . . . + an x(k) =
= b0 u(k + m) + b1 u(k + m − 1) + . . . + bn u(k)
Como resolvê-la? → Transformada Z &
Transformada Z inversa!
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Exemplo
Tópicos
Introdução
Transformada Z
Propriedades
Exemplos
Transformada
Equações a diferenças
Resolva a seguinte equação a diferenças, dadas as
condições iniciais a seguir
Z inversa
Frações parciais
Eqs. a diferenças
Exemplo
x(k + 2) + 3x(k + 1) + 2x(k) = 0, x(0) = 0, x(1) = 1
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