ET77H – SISTEMAS DE CONTROLE 2 Transformada 즈
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Tópicos ET77H – SISTEMAS DE CONTROLE 2 Introdução Transformada Z Propriedades Transformada Z & Equações a Diferenças Exemplos Transformada Z inversa Frações parciais Eqs. a diferenças Exemplo Prof. Victor Baptista Frencl [email protected] DAELT – Departamento Acadêmico de Eletrotécnica 08 de Março de 2017 1 / 14 Tópicos a serem abordados Tópicos Introdução Introdução Importância Aplicações Definições e Teoremas Transformada Z Propriedades Exemplos Transformada Z inversa Frações parciais Eqs. a diferenças Exemplo Transformada Z Propriedades Equações a diferenças Modelagem matemática Resolução Via Transformada Z Exemplos 2 / 14 Introdução Tópicos Introdução Motivação para o estudo da Transformada Z? Modelo matemático discreto (k ∈ N) ou discretizado (t = kT; T: período de amostragem) → caracterização da dinâmica do sistema. Como analisá-lo? Resolução clássica Transformada Z → mais utilizada → equações algébricas em z ∈ C Transformada Z Propriedades Exemplos Transformada Z inversa Frações parciais Eqs. a diferenças Exemplo Tipos de sinais aos quais a Transformada Z pode ser aplicada: Sinal discretizado: x(kT) Sequência numérica: x(k) (ou sinal discretizado com tempo de amostragem T = 1s) 3 / 14 Transformada Z Definição – Transformada Z unilateral Seja um sinal discretizado x(kT) ou uma sequência numérica x(k). A transformada Z unilateral do sinal x(k) é dada por: Tópicos Introdução Transformada Z Propriedades Exemplos Transformada Z inversa Frações parciais Z [x(kT)] = X(z) = ∞ X Eqs. a diferenças x(kT)z−k Exemplo k=0 Z [x(k)] = X(z) = ∞ X x(k)z−k k=0 em que z ∈ C. Por que unilateral? → Grande parte dos sistemas de controle são baseados a partir do tempo k = 0 Existência de X(z): soma deve ser convergente! 4 / 14 Transformadas Z importantes Função degrau unitário: x(t) = u(t) = 1 X(z) = Z [x(kT)] =? Tópicos Introdução Transformada Z Propriedades Exemplos Função rampa unitária: x(t) = t.u(t) Transformada Z inversa Frações parciais Eqs. a diferenças Exemplo X(z) = Z [x(kT)] =? Função polinomial: x(k) = ak .u(k) X(z) = Z [x(k)] =? Função exponencial: x(t) = e−at .u(t) X(z) = Z [x(kT)] =? Transformada Z de x(t) = sen (ωt)? 5 / 14 Propriedades importantes 1 Linearidade Tópicos Introdução Z[a.x(t) + b.y(t)] = a.X(z) + b.Y(z) Transformada Z Propriedades 2 Multiplicação por Exemplos ak Transformada Eqs. a diferenças Z[ak .x(k)] = X(a−1 .z) 3 Z inversa Frações parciais Exemplo Teorema do deslocamento Z[x(t − nT)] = z−n .X(z) (Atraso) # " n−1 X −k n (Avanço) x(kT)z Z[x(t + nT)] = z . X(z) − k=0 " Z[x(k + n)] = zn . X(z) − n−1 X k=0 x(k)z−k # (Eqs. a difs.) 6 / 14 Propriedades importantes Tópicos 4 Translação complexa Introdução Transformada Z Z[e−at x(t)] = X(zeaT ) Propriedades Exemplos Transformada Z inversa Frações parciais 5 Teorema do valor inicial: se X(z) existe e limz→∞ X(z), então o valor inicial de x(t) ou x(k) é dado por x(0) = lim X(z) Eqs. a diferenças Exemplo z→∞ 6 Teorema do valor final: se X(z) existe e todos os pólos de X(z) estão dentro do círculo unitário (com uma exceção de um único pólo em z = 1), então x(∞) = lim (1 − z−1 )X(z) z→1 7 / 14 Propriedades importantes Tópicos Introdução Transformada Z 7 Propriedades Diferenciação complexa Exemplos Transformada Z inversa Frações parciais Z[kTx(k)] = −Tz 8 d X(z) dz Eqs. a diferenças Exemplo Convolução real Z[x(k) ∗ y(k)] = Z " k X m=0 # x(k − m)y(m) = X(z).Y(z) 8 / 14 Exemplos Tópicos Introdução Exemplos Transformada Z Propriedades (i) Calcule Z[u(t − 4T)] (ii) Calcule Z[te−αt ] (iii) Calcule x(0) dada sua transformada Z a seguir X(z) = Exemplos Transformada Z inversa Frações parciais Eqs. a diferenças Exemplo (1 − e−T )z−1 (1 − z−1 )(1 − e−T z−1 ) (iv) Calcule x(∞) dada a sua transformada Z a seguir X(z) = 1 1 − −1 −αT 1−z 1−e z−1 9 / 14 Transformada Z inversa Tópicos Introdução Transformada Z Propriedades Notação: Z −1 [X(z)] = x(k) Exemplos Transformada Z inversa Frações parciais Note que x(k) é único, mas x(t) não! Quatro métodos para obtenção da transformada Z Eqs. a diferenças Exemplo Divisão direta: divisão de polinômios Método computacional: via MATLAB (laboratório) Método de frações parciais Método dos resíduos: resolução por integrais de linha 10 / 14 Frações parciais Fatoração de X(z) em pólos (pi , i = 1, . . . ,n) e zeros (zj , j = 1, . . . ,m) Tópicos Introdução Transformada Z Propriedades b0 (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zm ) X(z) = (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn ) Exemplos Transformada Z inversa Frações parciais Eqs. a diferenças Exemplo Frações parciais calculadas sobre X(z)/z Caso 1: pólos com multiplicidade = 1 b0 (z − z1 )(z − z2 ) . . . (z − zm ) (z − p1 )(z − p2 ) . . . (z − pn ) X(z) a1 a2 an ⇒ = + + ... + z z − p1 z − p2 z − pn X(z) (z − pi ) ai = z z=pi X(z) = 11 / 14 Frações parciais Caso 2: pólos com multiplicidade > 1 Exemplo: X(z) com pólo p1 com multiplicidade 2. z X(z) = (z − 1)2 c1 c2 X(z) = + ⇒ 2 z (z − p1 ) z − p1 X(z) 1 2 (z − p1 ) c1 = (1 − 1)! z z=p1 1 d X(z) 2 c2 = (z − p1 ) (2 − 1)! dz z z=p1 Tópicos Introdução Transformada Z Propriedades Exemplos Transformada Z inversa Frações parciais Eqs. a diferenças Exemplo Exemplos Determine a transformada Z inversa de X(z) = (1 − e−αT )z (z − 1)(z − e−αT ) 12 / 14 Equações a diferenças Tópicos Modela a dinâmica de um sistema a partir de relações algébricas entre sinais de entrada e saída em deslocamentos de tempo diferentes. Introdução Transformada Z Propriedades Exemplos Transformada Z inversa Frações parciais Equações a diferenças Seja x(t) a saída e u(t) a entrada do sistema modelado. Uma equação a diferenças pode ser descrita da seguinte forma, dadas as condições iniciais necessárias: Eqs. a diferenças Exemplo x(k + n) + a1 x(k + n − 1) + . . . + an x(k) = = b0 u(k + m) + b1 u(k + m − 1) + . . . + bn u(k) Como resolvê-la? → Transformada Z & Transformada Z inversa! 13 / 14 Exemplo Tópicos Introdução Transformada Z Propriedades Exemplos Transformada Equações a diferenças Resolva a seguinte equação a diferenças, dadas as condições iniciais a seguir Z inversa Frações parciais Eqs. a diferenças Exemplo x(k + 2) + 3x(k + 1) + 2x(k) = 0, x(0) = 0, x(1) = 1 14 / 14
