relacoes metricas no triangulo retangulo

Relações Métricas nos Triângulos Retângulos –
Professor Clístenes Cunha
1-(Mack SP-97) Num triângulo, retângulo, um
cateto é o dobro do outro. Então a razão entre o
maior e o menor dos segmentos determinados pela
altura sobre a hipotenusa é:
5-(UFMA MA-98) Num triângulo retângulo, as
projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem
4cm e 1cm respectivamente. A área desse
triângulo mede:
a) 2cm2
b) 5 2 cm2
c) 4 cm2
d) 5 cm2
e) 10 cm2
a) 2
b) 3
c) 4
d)
3
2
6-(UFMG MG-94) Observe a figura
D
2-(Mack SP-02) Num triângulo retângulo de área
15 e hipotenusa 10 a altura relativa à hipotenusa
mede:
a)
b)
c)
d)
T
O
A
4
3,5
2
3
´
O´
´
B
C
3-(UFMG MG-01) Observe esta figura:
T
Nessa figura, AB contém os centros O e O' das
circunferências que se tangenciam no ponto T.
Sendo AB = 44, O„B = 16 e AC = 6, a medida TD
é:
O Q
a) 8 2
b) 15
Nessa figura, o círculo tem centro O e raio 6 e OP
= 16. A reta PT é tangente ao círculo em T e o
segmento TQ é perpendicular à reta OP. Assim
sendo, o comprimento do segmento QP é:
a)
b)
c)
d)
13,75
13,85
14,25
14,5
4-(PUC RJ-96) Considere um triângulo retângulo
de hipotenusa a e catetos b e c. Sejam m e n as
projeções ortogonais dos catetos sobre a
hipotenusa. Então a soma m1  1n é igual a:
 1c
a)
1
b
b)
1
bc
c)
a3
b2  c2
d)
a3
b2c2
c) 6 3
d) 20
e) 16 3
7-(UFOP MG-96) Num triângulo retângulo, a
altura relativa à hipotenusa e a projeção de um dos
catetos sobre a hipotenusa são, respectivamente, 4
e 2 2 . O produto dos catetos é:
24 2
b) 12 2
a)
c) 12
d) 6 3
e) 10
8-(UFOP MG-98) Considere o triângulo retângulo
OBC, na figura, e os dados abaixo.
C
Sabendo que a estação mais próxima dista 310km
do barco, calcule, em dezenas de quilômetros, a
distância do barco à outra estação. Desconsidere a
parte fracionária de seu resultado, caso exista.
Gab: 32
B
11-(UFBA BA-00) Na figura abaixo, o triângulo
retângulo ABC tem maior ângulo agudo igual a 
, área igual a 6 u.a. e é semelhante ao triângulo de
catetos iguais a 6 u.c. e 8 u.c. Gab: 22
OA  6m e OB  3m .

O
A
Baseado nessas informações, podemos afirmar
que a medida, em radianos, do ângulo  é:
a)
b)
c)
d)
e)
/3
/6
/4
/9
3/8
9-(UFSC SC-94) Uma escada com 10 m de
comprimento foi apoiada em uma parede que é
perpendicular ao solo. Sabendo-se que o pé da
escada está afastado 6m da base da parede,
determine a altura, em metros, alcançada pela
escada. Gab: 08
10-(UnB DF-00) Em uma região completamente
plana, um barco, considerado aqui como um ponto
material, envia sinais de socorro que são recebidos
por duas estações de rádio, B e C distantes entre si
de 80km. A semi-reta de origem B e que contém
C forma, com a direção Sul-Norte, um ângulo de
45º do sentido Noroeste. Os sinais chegam em
linha reta à estação B, formando um ângulo de 45º
com direção Sul-Norte no sentido Nordeste. A
partir dessas informações e com o auxílio da rosados-ventos, localize no plano abaixo as posições
do barco e das duas estações de rádio.
NO
NE
SO
SE
01.A altura do triângulo relativa à hipotenusa
mede 3 u.c.
02.A área do círculo circunscrito ao triângulo é
igual a 6,25 u.a.
04.O comprimento da circunferência de centro em
B e raio AB é 6 u.c.
08.A área do hexágono regular de lado igual a AB
mede 18 u.a.
16.tg  sen(180º  ) 
32
.
15
12-(UFG GO-98) Deseja-se construir uma escada
conforme a figura abaixo. Sabe-se que a altura BC
é de 3,60 m, a distância AC de 7,20 m e a altura
de cada degrau é 20 cm.
C
A
Determine:
N
O
Nessas condições, pode-se afirmar:
B
L
S
a) o número de degraus necessários para
que a escada atinja o ponto C;
b) o ângulo de elevação da escada, BÂC.
Gab:
a) 18 degraus
b) 30o
13-(PUC Camp.) Sabendo–se que o triângulo
ABC é retângulo e AH = h é a medida da altura do
triângulo, quais das relações são válidas:
18-(UEPA PA) No quadrilátero ABCD abaixo,
tem–se: AB = 4cm, BC = 5cm, CD = 6cm e AC =
perpendicular a BD. A medida do lado AD vale:
a=bc
a2 = h  c
a2 = b  c
ah = b  c
a)
b)
c)
d)
C
D
.
14-(PUC Camp.) Na figura abaixo, os segmentos
são medidos em m. O segmento x vale:
A
B
x
6
a) 7cm
b) 3cm
2 cm
a) 3 5 cm
b) 3 3 cm
c) 3
43
a)
b)
c)
d)
11m
105m
7m
n.d.a
19-(Unifor CE) Na figura ao lado têm–se as
circunstâncias de centros O1 e O2, tangentes entre
si e tangentes à reta r nos pontos A e B,
respectivamente.
15-(UERJ RJ) Entre duas torres de 13m e 37m de
altura existe na base uma distância de 70m. Qual a
distância entre os extremos sabendo–se que o
terreno é plano? Gab: 74m
A
B
r
O2
16-(USP SP) Determinar os lados a, b, e c de um
triângulo retângulo em A se b + c = 7dm e h =
2,4dm. Gab: 5dm, 4dm, 3dm
O1
17-(USP SP) Calcule o valor de x na figura:
Se os raios das circunferências medem 18 cm e 8
)
o
30
cm, então o segmento AB mede, em centímetros:
a)
b)
c)
d)
e)
20
22
23
24
26
o
) 30
100
a) 50
b) 60
c) 100
100 3
d)
2
X
20-(Faap SP) ABC é um triângulo retângulo em A
é isósceles em BC = a. A circunferência inscrita
tangencia os catetos em D e E. Calcular DE. Gab:

a 2 2
2

21-(ITA SP) Suponhamos que “p” e “q” são
catetos de um triângulo retângulo e “h” a altura
relativa à hipotenusa do mesmo. Nestas
condições, podemos afirmar que a equação:
24-(USP SP) Na figura, temos a representação de
um retângulo inscrito num setor de 90o e de raio
6m. Medindo o lado AO do retângulo 2/3 do raio,
o produto AO x AB é:
2 2 2
1
x  x   0 (IR é o conjunto dos
p
h
q
B
números reais):
a) não admite raízes reais;
b) admite uma raiz de forma m
 , m > 0;
c) admite sempre raízes reais;
d) nada se pode afirmar.
1 , m
22-(ITA SP) A base, AB de uma folha de papel
triangular que está sobre uma mesa, mede 12cm.
O papel é dobrado levantando–se sua base, de
modo que a dobra fique paralela à mesa. A base
da parte do triângulo que fica visível após o papel
ter sido dobrado vale 60% da base do triângulo
ABC. O comprimento da dobra vale:
a)
b)
c)
d)
e)
O
A A
a)
8 5m2
b) 8 13m
c) 16m2
d) 24m2
25-(FEI SP) Calcular o comprimento da tangente
exterior, comum a duas circunferências tangentes
externas de raios r e r‟. Gab: 2 r r'
9,6cm
9,4cm
10cm
8cm
7cm
X
.
.
23-(USP SP) Na figura, as circunferências têm
raios 3m e 4m. A altura h mede:
.
.
a) 512
b) 32
c) 32m
d) 21m
2
26-(FEI SP) O triângulo ABC da figura abaixo, é
eqüilátero de
lado medindo 20
cm.
4
h
AH e HD são, respectivamente, as alturas dos
triângulos ABC e AHC. A medida de HD , em
cm, é:
A
3
3
m
7
6
m
7
D
B
H
5 3
b) 10 3
a)
c)
20 3
3
C
d) 6 3
27-(Mauá SP) Num triângulo ABC, temos AC =
3m, BC = 4m e   BÂC . Se AB = 3m, calcule
cos  . Gab: 1/9
28-(Fuvest SP) Os lados de um triângulo medem
5 , 10 e 5. Qual o comprimento da altura
relativa ao lado maior? Gab: 1
29-(UFMS MS-02) No triângulo retângulo QPS
da figura abaixo, o ponto R está entre os pontos P
31-(Fuvest SP-04) Um lateral L faz um
lançamento para um atacante A, situado 32 m à
sua frente em uma linha paralela à lateral do
campo de futebol. A bola, entretanto, segue uma
trajetória retilínea, mas não paralela à lateral e
quando passa pela linha de meio do campo está a
uma distância de 12m da linha que une o lateral ao
atacante. Sabendo-se que a linha de meio do
campo está à mesma distância dos dois jogadores,
a distância mínima que o atacante terá que
percorrer para encontrar a trajetória da bola será
de:
e S e os segmentos PQ e PR medem 3 cm
ˆ 15 graus,
cada. Sendo a medida do ângulo SQR
p o perímetro do triângulo QPS e b a medida do
segmento RS , calcule, em cm, 17(p – b). Gab:
204
30-(UFPB PB-05) Um barco está sendo rebocado
para a margem de um porto por um cabo de aço.
Inicialmente, o barco está no ponto A da
ilustração, quando o cabo tem comprimento de
100m. Após puxar o cabo de 20m, o barco ocupa
a posição B. Nessas condições, podemos afirmar
que a distância AB é:
a)
b)
c)
d)
e)
18,8m
19,2m
19,6m
20m
20,4m
32-(UEG GO-05) Deve ser demarcado um terreno
na forma de triângulo retângulo com 600 m2 de
área, cujo maior lado mede 50 m. Quantos metros
lineares de muro serão necessários para cercar
esse terreno?
a)
b)
c)
d)
e)
maior que 20m.
igual a 20m.
igual a 19m
igual a 18m.
menor que 18m.
a)
b)
c)
d)
e)
190
150
130
120
110
33-(ITA SP-05) Um dos catetos de um triângulo
retângulo mede 3 2 cm. O volume do sólido
gerado pela rotação deste triângulo em torno da
hipotenusa é  cm3. Determine os ângulos deste
triângulo. Gab: 30º, 60º e 90º
34-(UFMG MG-04) Nesta figura, os ângulos
AB̂C , CD̂E e EÂB são retos e os segmentos
AD, CD e BC medem, respectivamente, x, y e z :
e) 2 3
36-(EFEI MG-05) Um triângulo ABC tem
ˆ  30o . Se a sua área
AB  5 cm e ABC
mede
5 3
cm2 , pode-se afirmar que esse
4
triângulo é:
a)
b)
c)
d)
Nessa situação, a altura do triângulo ADE em
relação ao lado AE é dada por:
a)
x z2  y2
y
b)
x z2  y2
z
c)
y z2  y2
z
d)
z z2  y2
y
35-(Unifor CE-03) Na figura abaixo se têm AB =
6 cm, BC = 10 cm e EC = 4 cm.
Escaleno.
Eqüilátero.
Isósceles.
Retângulo.
37-(UFRRJ
RJ-05)
Milena,
diante
da
configuração representada abaixo, pede ajuda aos
vestibulandos para calcular o comprimento da
sombra x do poste, mas, para isso, ela informa que
o sen = 0,6.
Calcule o comprimento da sombra x. Gab: x 
13,33 metros
38-(Unifap AP-05) Luiz faz uma viagem à cidade
de Oiapoque numa pick-up. Neste trecho existe
uma ladeira com inclinação de 40º em relação ao
plano horizontal. Se a ladeira tem 50m de
comprimento, quantos metros a pick-up se eleva,
verticalmente, após percorrer toda a ladeira? (sen
40º = 0,64; cos40º = 0,76 e tg40º = 0,83)
a)
b)
c)
d)
21
32
43
54
A medida de DE, em centímetros, é igual a:
39-(Unimontes MG-06) Se no triângulo retângulo
12
5
5
b)
2
c) 2 2
a)
d) 3
ABC abaixo AB  4 e AC  5 , encontre
Gab: 12/5
BD .