reta numérica: uma proposta de atividade para o ensino

II SEMINÁRIO DE ESCRITAS E LEITURAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (II SELEM)
RETA NUMÉRICA: UMA PROPOSTA DE ATIVIDADE
PARA O ENSINO FUNDAMENTAL I
Wagner Marcelo Pommer
[email protected]
Clarice Peres Carvalho Retroz Pommer
Escola de Aplicação da FEUSP
[email protected]
Resumo
Este texto visa apresentar os resultados de uma pesquisa-ação situada na aula de Matemática no 4º ano do
Ensino Fundamental I, de uma escola pública da cidade de São Paulo, no ano de 2011. Nossa hipótese foi
que a reta numérica, no contexto dos números naturais, pode ser introduzida no Ensino Fundamental I.
Em face desse pressuposto, a presente pesquisa delimitou como objetivo embasar, propor e analisar uma
atividade para introduzir o conceito de reta numérica, no âmbito dos números naturais, de modo a
ampliar o repertório de significados entre quantidades envolvidas num contexto de leitura e resolução de
problemas. Deste modo, elaboramos uma situação-problema articulando um contexto geométrico – a reta
numérica - a linguagem natural e a linguagem aritmética. A análise das respostas escritas e orais dos
alunos revelou que o uso desta tríplice articulação permitiu introduzir o conceito de reta numérica
associado ao quadro relacional entre as quantidades inteiras envolvidas.
Palavras-chave: Reta Numérica. Números naturais. Escala.
Introdução
A reta numérica é uma representação geométrica dos elementos dos conjuntos
numéricos. Usualmente, o termo reta numérica surge no 7º ou 8º ano, ao se abordar a
reta real, na direção horizontal, para inicialmente delimitar ou introduzir os números
irracionais. Entretanto, a representação gráfica da reta numérica pode se efetivar tanto
na direção horizontal quanto na vertical, se considarmos o espaço bi-dimensal (plano),
fato que se inicia no final do Ensino Fundamental II ou no início do Ensino Médio,
quando se aborda o Plano Cartesiano.
No presente estudo propomos a introdução da reta numérica, na direção
horizontal, no contexto dos números naturais. Neste caso, há uma marcação do zero,
que indica um ponto de origem. Com relação a marcação dos números, estes se situam
no lado direito, em sentido crescente.
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Realizamos uma busca inicial, em livros didáticos do Ensino Fundamental I,
para buscar referenciais do trabalho com a reta numérica, no contexto dos números
naturais. Pórem, constatamos pouquissimas menções. Em particular, encontramos uma
breve menção no livro de Matemática do Projeto Buriti.
No referido livro encontramos um exercício que solicita aos alunos indicar a
posição de alguns números naturais. O texto fornece algumas referências e a localização
permite verificar se o aluno conhece a ordem de grandeza, através da comparação com
alguns valores de referência, conhecidos como nós: 0, 100 mil, 200 mil, 300 mil, 400
mil, 500 mil). Porém, o exercício não explora a relação/comparação entre os números.
Este texto teve como objetivo embasar os referenciais, propor e analisar uma
atividade que permitisse introduzir o conceito de reta numérica, no âmbito dos números
naturais, de modo a ampliar o repertório de significados entre quantidades envolvidas
num contexto de leitura e resolução de problemas, situando o significado de escala.
Referencial Teórico: A Metacognição e a Resolução de Problemas na Matemática
Para embasar a pesquisa, fizemos menção as manifestações metacognitivas como
modo de incentivar e promover a leitura dos enunciados e a reflexão, o mais autônoma
possível, frente a etapa de resolução de problemas matemáticos.
Perpassamos, inicialmente, a origem etimológica de metacognição. Este termo
remete a justaposição do prefixo meta, proveniente do grego metá, significando
mudança, transcendência e reflexão crítica e do termo cognição, do latim cognitione.
A metacognição, termo cunhado por Flavell (1970), indica um modo de
percepção que um indivíduo tem sobre o próprio conhecimento. Para Flavell (1970), a
metacognição representa o conjunto dos processos psicológicos mentais, realizados pelo
ato pensante, pela percepção, pela classificação e pelo reconhecimento.
Para Toledo (2003), a metacognição é a capacidade que o indivíduo pode
desenvolver em pensar sobre seu pensar, expressando como está estruturando o
pensamento a respeito de um determinado conhecimento e, se necessário, re-elaborá-lo,
de modo a refletir sobre o pensar para conhecer ou encontrar soluções frente a desafios.
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O processo pelo qual o indivíduo expressa e tem possibilidades de perceber
como elabora e controla o pensamento, de modo a organizar, revisar e modificar formas
de resolução de situações em função dos resultados que vai conquistando, evidencia
aspectos importantes implícitos em atividades que favoreçam os processos
metacognitivos.
Nas séries iniciais do Ensino Fundamental é importante propiciar o contato com
situações que oportunizem aflorar manifestações do modo como a criança está pensando
e como reorganiza as estratégias de solução frente aos desafios propostos em sala de
aula. As crianças podem revelar uma maneira genuína de pensar ao exporem o que
compreenderam e manifestando as elaborações de raciocínio que ocorreram pelos
conflitos e tentativas de soluções, ao se depararem com obstáculos inerentes às
investigações.
O indivíduo, ao refletir sobre seu próprio pensamento, aprimora o desempenho
cognitivo diante dos desafios propostos. Isto se revela pelas decisões tomadas e pelo
posicionamento através de argumentos para verificar e avaliar os procedimentos
adotados e resultados obtidos – um agir que reflete o repensar sobre os próprios
pensamentos.
Um recurso que permite aflorar tais capacidades é a metodologia de resolução de
problemas. De acordo com Pozo (1998), o uso desta ferramenta básica implica na
aquisição de diferentes procedimentos e estratégias para alcançar determinada meta,
assim como mobilizam conhecimentos disponíveis para dar respostas à situações de
desafio.
Neste texto, entendemos por problema uma situação nova, diferente, difícil ou
surpreendente, que se constitui em obstáculo entre a proposição e a solução, de modo
que o indivíduo busque caminhos, procedimentos alternativos, o que favorece a busca
de uma diversidade de soluções e exige a tomada de decisão.
Os problemas possibilitam o desenvolvimento de competências e algumas
habilidades, como pensar, observar e selecionar dados relevantes, estimar, antecipar,
analisar, identificar, enfim, inúmeros processos que exigem o reconhecimento que
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existe um problema a ser aceito e entendido pelos discentes. Isto possibilita ao aprendiz
a mobilização de recursos para a busca de solução, o que demandam capacidades
metacognitivas.
No caso dos problemas matemáticos, estes possuem três importantes aspectos:
os dados, a solução a ser conquistada e os diferentes obstáculos a serem superados no
percurso de resolução. Tais características, segundo Davidson, Deuser e Sternberg
(1996), se constituem como processos ativos para transformar um determinado
questionamento em uma resolução desejada. Assim, se estabelece relação entre a
matemática, a metacognição e a resolução de problemas.
No início da resolução, os alunos lêem as informações e fazem uma primeira
representação, elaborando uma representação mental com os dados do problema e os
conhecimentos pertinentes que possui. A cognição, ao intercambiar dados, atua na
resolução do problema, refazendo formas do pensar até a solução final, permitindo aos
discentes o automonitoramento, a autoregulação e a elaboração de estratégias que
potencializam a cognição.
Para Toledo (2003), a identificação do que define o problema perpassa traçar
uma representação mental por via de esquemas, pela explicitação verbal ou escrita,
planejar como proceder para enfrentar os obstáculos e, finalmente, avaliar o próprio
desempenho com relação ao saber em questão.
Desta forma o problema é trabalhado mediante diversas elaborações de modelos,
sempre monitorados e modificados ao longo do processo por revisões, questionamentos
propostos, interlocuções realizadas com seus pares, ativado pelo sistema metacognitivo.
A metacognição, concebida como a percepção que um indivíduo tem sobre o
próprio conhecimento, representa a capacidade que o indivíduo pode desenvolver em
pensar sobre seu pensar. Nesta perspectiva, a metacognição incentiva a expressão como
marca da pessoalidade do aluno, aprimora a capacidade de compreensão, assim como
exercita a capacidade de argumentação em atividades.
Estimular o uso do pensamento para resolver problemas, ou seja, tomar decisões
acertadas para determinadas situações, requer constante atuação e análise do indivíduo.
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Tal valorização do uso de estratégias metacognitivas na aprendizagem,
objetivando o entendimento do seu próprio desempenho cognitivo nas diversas
situações, faz da escola lugar privilegiado para propiciar aos alunos propostas que os
tornem capazes de enfrentar contextos diversos e que exijam deles aprendizagens de
inúmeras habilidades.
Para Charnay (1996), a principal lição que deve ser considerada no ensino é a de
que são os problemas que proveram contexto de busca aos conhecimentos matemáticos.
Nesse sentido, a resolução de problemas se constitui em ferramenta que permite
significar a matemática produzida.
Referencial metodológico
Este texto relata uma experiência desenvolvida em 2011, numa escola pública,
no 4º ano do Ensino Fundamental I, situada próxima a uma comunidade da cidade de
São Paulo. O desenvolvimento e registro desta experiência foi resultado de uma
pesquisa-ação, que objetivou investigar as dificuldades de mobilização do conceito de
multiplicação em situações-problema por alunos em sala de recuperação, em período
inverso.
De acordo com Romberg (1992), a pesquisa-ação é uma metodologia utilizada
em pesquisas inseridas em “[...] situações de ensino, onde o pesquisador assume uma
maneira prática que necessita ser documentada e entendida como tendo evoluído nas
escolas ou em classes de aula. Também, a documentação depende freqüentemente do
praticante” (p. 56).
De acordo com Souza e Baldino (1995) as mudanças em sala de aula necessitam
que a ação ocorra em comunhão com a reflexão teórica que a propõe, orienta e analisa.
Deste modo, cabe aos envolvidos no processo conduzir o ensino, colher e analisar os
dados, com base em referenciais, tendo sua própria prática como objeto de pesquisa,
porém se associando com pesquisadores.
Nessa
concepção,
compusemos
uma
formação
pesquisador-professora-
pesquisadora para investigar a prática em sala de aula, na medida em que nos pautamos
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na reflexão a partir de situações de dificuldades relatadas e observadas nos alunos. A
partir daí, promovemos uma investigação de problemas semelhantes através de revisão
bibliográfica e provemos uma ação de encaminhamento de pesquisa, para
posteriormente implementar propostas de intervenção e reflexão dos resultados.
De acordo com o quadro metodológico delineado, a pesquisa-ação se situou
como uma forma de registro das dificuldades e evoluções dos alunos, frente à proposta
de reflexão viabilizada por uma situação de aprendizagem, apresentada a seguir.
A atividade
A atividade proposta e encaminha está delineada no quadro 1:
Quadro 1: A atividade proposta
SITUAÇÃO-PROBLEMA: Uma família
Em uma família, o pai Téo tem cerca de quarenta e cinco anos e a mãe Lia quarenta
anos. Nesta família há dois filhos - Alex de dez, Tom de cinco anos – e a filha Juju, de quinze
anos.
a) Organize o quadro em ordem crescente, indicando as pessoas e as respectivas idades
citadas no texto:
PESSOA DA FAMÍLIA
IDADE
a) Represente, como desejar, essas pessoas e suas respectivas idades.
b) Escreva os nomes e as idades na linha de tempo abaixo, em ordem crescente.
ATENÇÃO: Cada divisão da linha do tempo representa cinco anos.
nome
idade
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Resultados, Reflexões e Análises
A atividade foi aplicada a nove alunos do 4º ano do Ensino Fundamental I, no
ano de 2011. Cada aluno recebeu a folha de atividade e houve um momento de leitura
coletiva da atividade, realizada pela professora da série. Após a leitura, individualmente,
tentaram responder as questões. Foi informado que se houvesse alguma dúvida
perguntassem a professora.
Quanto ao item (a) da situação 1, todos os alunos responderam sem recorrer a
professora. Cinco, dos nove alunos responderam corretamente a questão. No quadro 1
indicamos três das respostas corretas.
Quadro 1: Protocolo indicando três das cinco respostas corretas do item (a).
Aluno A
Aluno B
Aluno G
Porém, quando os alunos vinham à mesa da professora para tirar dúvidas do
item (b), observamos que alguns alunos não tinham colocado as respostas do item (a) na
ordem crescente solicitada.
Então, para cada um dos quatro (4) alunos que erraram o item (a) foi explicado
o termo ‘ordem crescente’. A própria professora adicionou duas colunas à tabela dada e
orientou para que os alunos re-elaborassem a atividade, sem apagar o que já tinham
feito, completando os resultados do item (a).
Vale destacar um protocolo de gravação da pesquisa, quando a professora
questionou: “Você leu o que está escrito aqui?” (e a professora grifou para o aluno C a
palavra ‘ordem crescente’). Ao que o aluno C respondeu: “Ah! É mesmo!”.
Os quatro alunos trouxeram a atividade. Foi observado que dos quatro alunos,
dois deles refizeram corretamente na ordem crescente. O quadro 2 indica duas respostas
refeitas corretamente.
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Quadro 2: Protocolo indicando duas resoluções refeitas corretamente.
Aluno E
Aluno F
Porém, dois alunos continuaram registrando em uma ordem decrescente.
Sintetizamos as respostas do item (a) da situação-problema no quadro 3.
Quadro 3: Síntese das respostas da questão 1(a) da situação-problema ‘Uma família’.
1ª Questão
Acertos
(1ª tentativa)
Erros
(1ª tentativa)
Acertos
(2ª tentativa)
Erros
(2ª tentativa)
1(a)
A; B; G; H; I
C; D; E; F
E; F
C; D (colocaram em ordem decrescente)
Total
5
4
7
2
Um fato singular ocorreu com a aluna E. A aluna havia trazido a atividade por
duas vezes e conversado com a professora. O quadro tinha sido apagado por algumas
vezes e, numa terceira vez que a aluna E procurou auxílio da professora, a aluna
perguntou: É para escrever o nome da família da gente? A professora explicou que era
para responder a questão com base na história que tinha sido descrita no enunciado. Ao
trazer novamente a questão, a aluna E refez corretamente.
O aluno D procurou a professora e questionou se era para responder daquela
forma (mostrando a folha). A professora respondeu que o quadro estava preenchido,
porém interferiu, perguntando ao aluno se as respostas estavam de acordo com o que
estava escrito (e foi sinalizado o termo ‘ordem crescente’). O aluno pensou um pouco a
respeito e, após alguns instantes, fez uma observação: “Ah! É só inverter aqui (e
mostrou os números ‘5’ e ‘15’)”.
Após este momento, a professora solicitou que, sem apagar o que fez, o aluno D
pensasse novamente na questão e completasse as duas colunas que a própria professora
acrescentou ao lado do original, indicando a ordem crescente das idades. Na análise da
produção constatamos que o aluno D completou a coluna na ordem decrescente.
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Quanto ao item (b) da situação-problema houve várias dúvidas dos alunos.
Um aluno relatou que não estava conseguindo fazer. A professora perguntou se o
mesmo havia lido o que estava descrito em ‘ATENÇÃO: Cada divisão da linha do
tempo representa cinco anos’. O aluno disse que não havia lido esta observação.
Outra aluna disse que não havia entendido o enunciado. Uma terceira aluna
queria saber onde registrava o nome e a idade das pessoas na reta. A professora orientou
individualmente a aluna quanto ao local de registro.
Após estas interlocuções com os alunos, de modo individual, a professora releu
para os alunos o enunciado do item (b) da atividade 1 e procedeu a uma
institucionalização local, para evitar um bloqueio.
A professora desenhar a reta na lousa e indicou as marcas, tal qual aparecem no
enunciado da folha impressa e entregue aos alunos. Em seguida, orientou que a
localização das idades seria em ordem crescente e, daí, perguntou aos alunos qual era a
idade inicial a ser marcada na reta. Alguns alunos responderam 5, 10 e 15 anos.
A seguir, a professora perguntou aos alunos se havia alguma relação entre uma
idade e outra. Os alunos não souberam responder. Em seguida, frente a esta lacuna, a
professora solicitou que observassem a reta e respondessem o que havia entre uma
marca para o outra. Um aluno disse que havia um espaço.
Frente a esta resposta, a professora questionou: “Então, entre um espaço e outro
que numeração há, por exemplo, entre o 5 e o 10?”. Vários alunos responderam que
não havia número nenhum.
Frente a este entendimento da maioria dos alunos pesquisados, a professora
retomou a comanda do enunciado da situação-problema - ‘ATENÇÃO: Cada divisão da
linha do tempo representa cinco anos questão inicial’ – e questionou: “O que significa a
escrita na comanda do enunciado no item (b) e qual a relação desta comanda com o que
conversamos até agora?” Um dos alunos confirmou verbalmente o entendimento,
expressando que entre duas marcas da reta “[...] era de 5 em 5”.
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A professora confirmou a resposta e novamente questionou: “Então, qual seria a
próxima idade que poderia ser colocada no próximo risco do número 15?”. Os alunos
responderam “20”.
Após esta institucionalização local, a professora solicitou que fizessem o item
(b) da atividade. Observamos a fala de uma aluna: “Eu já tinha errado”. A professora
solicitou que a aluna deixasse do mesmo jeito e refizesse a resposta, desenhando a reta.
Ela explicou que contaria de 5 em 5 até chegar na idade da mãe e do pai.
Quadro 4: Três protocolos de respostas da questão 1(b).
Aluno A
Aluno D
Aluno I
A seguir, a professora convidou os alunos a repensar a atividade. As respostas
dos alunos estão expressas no quadro 5.
Quadro 5: Síntese das respostas da questão 1(b) da situação-problema ‘Uma família’.
Acertos
Erros
C: Erro na localização da mãe (Lia). Porém, acertou
1(b)
A; B; D;
a localização das outras pessoas e o uso da escala.
(RETA) F; H; I
E: Erro na localização de algumas pessoas, porém entendeu o uso da escala
G: Escreveu a seqüência em ordem crescente, porém não observou a ideia de escala.
Total
6
3
10
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Conclusões
A atividade proposta, num contexto familiar, se revelou uma ambientação
adequada para iniciar o entendimento dos enunciados presentes nos textos.
No caso da presente pesquisa, houve uma retroação dos dados matemáticos com
o enunciado da situação proposta. Os alunos responderam adequadamente ao enunciado
e souberam organizar os dados do enunciado na forma de tabela de dupla entrada, um
importante conceito paramatemático.
Para além dos cálculos matemáticos, torna-se necessário o uso de recursos
diversos, que permitam estimular o entendimento da história proposta e abstrair os
dados presentes no enunciado de atividades matemáticas.
Para isso, a forma de solicitação de organização dos dados, na forma de tabela,
permitiu que os alunos iniciassem uma representação seqüencial, em ordem crescente, o
que revela uma natureza própria da reta numérica.
Uma representação da reta numérica mais elaborada foi o entendimento da
escala numérica. Em vista da natural dificuldade com este ‘novo termo’, ao ser
apresentada no enunciado a comanda para interpretação do conceito de escala, houve a
necessidade da interferência junto aos alunos.
Alguns pesquisadores da área de psicologia destacam a importância de propiciar
situações que favoreçam o desenvolvimento de uma postura metacognitiva desde a mais
tenra idade.
O controle metacognitivo, na maioria das vezes, e, especialmente em
crianças pequenas, acontece com pouca participação consciente.
Entretanto, à medida que os processos cognitivos são mais exigidos
por situações de vida mais complexas, os processos metacognitivos
tornam-se mais conscientes (JOU; SPERB, 2006, p. 3).
A referida interferência permitiu que houvesse a explicitação dos pensamentos
dos alunos, fato configurativo das manifestações metacognitivas dos alunos frente ao
entendimento das características essenciais da reta numérica: a ordem crescente e o
conceito de escala, no âmbito dos números naturais.
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