Carga e Descarga de Capacitores num Circuito RC

JOURNAL OF APPLIED PHYSICS BRAZIL
VOLUME 88, NUMBER 14
&DUJDH'HVFDUJDGH&DSDFLWRUHVQXP&LUFXLWR5&HP6pULH
22 NOVEMBER 2002
5RGULJR+MRUW 'HSDUWDPHQWRGH)tVLFD8QLYHUVLGDGH)HGHUDOGR3DUDQi
&XULWLED35%UDVLO
Determinamos a constante de tempo capacitiva de um circuito RC em série monitorando as
tensões em seus elementos durante os processos de carga e descarga do capacitor. Com isso
descobrimos a capacitância do capacitor. Dependendo da ordem de grandeza da constante de
tempo, utilizamos métodos distintos: cronômetro e fonte de corrente contínua ou osciloscópio e
gerador de ondas quadradas. As associações de capacitores em série e em paralelo exibem
capacitâncias equivalentes que concordam com as equações previstas.
,,1752'8d­2
%&$5*$'(80&$3$&,725
O primeiro capacitor operativo, conhecido
como garrafa de Leyden, foi construído por
experimentadores no século XVIII, na Holanda1.
Desde então, com o avanço da tecnologia, muitas
aplicações foram atribuídas ao capacitor. Entre elas
destacam-se o
funcionamento de máquinas
fotográficas e o ajuste fino nos circuitos de sintonia de
aparelhos de rádio, televisão e telefones celulares.
Neste experimento verificamos a relação
entre os fenômenos de carga e descarga de capacitores
num circuito RC, assim como o comportamento da
carga e corrente em função do tempo. Através de
ajustamentos gráficos encontramos a constante de
tempo característica do circuito RC, e com esta a
capacitância do capacitor. Associando vários
capacitores analisamos a capacitância equivalente
quando em série e em paralelo. Ao final são feitas
comparações entre teoria e experimento.
A Fig. 2 ilustra
o circuito de carga. A
chave 6 inicialmente
está aberta e o capacitor
descarregado.
A chave é então
fechada e a carga
começa a passar pelo
resistor e se acumular na
placa
positiva
do
capacitor.
,,)81'$0(17$d­27(Ï5,&$
, =+
$&$3$&,725(&$3$&,7Æ1&,$
O capacitor, um dispositivo utilizado para
armazenar carga, e também energia, é constituído por
dois condutores muito próximos um do outro, com um
isolante entre eles (Fig. 1).
A razão entre a
carga 4 e o
potencial 9 de um
condutor isolado é
a capacitância &.
Esta é a medida da
capacidade de o
Fig. 1. Capacitor eletrolítico
condutor armazenar
carga para uma dada diferença de potencial.
No capacitor, a capacitância depende do
tamanho, da forma e da disposição geométrica dos
condutores e também do material isolante entre estes.
a)
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[email protected]
Fig. 2. Diagrama do circuito para
carregar o capacitor.
Pela regra das malhas de Kirchhoff1:
e - ,5 -
4
=0
&
(2.1)
Pela definição de corrente elétrica:
G4
GW
(2.2)
e, substituindo em (2.1), temos1,2:
e =5
G4 4
+
GW &
(2.3)
Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira
ordem, cuja solução é dada por2-4:
4(W ) = &e (1 - H /
) = 4 (1 - H /
)
(2.4)
onde 4
é a carga final atingida e t 5& é a constante
de tempo capacitiva do circuito. Utilizando (2.2),
derivando esta equação, temos a corrente no tempo:
, (W ) =
e
H
5
/
= , 0H /
(2.5)
onde , é a corrente no início do processo e t a
constante de tempo do circuito.
8715
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Os gráficos da Fig. 3 e Fig. 4 ilustram a carga
e corrente em função do tempo no circuito.
Fig. 3. Gráfico da carga no capacitor contra o tempo.
Após
um intervalo de tempo t 5&,
4 4
H 4
, isto é, a carga no capacitor está a
63% da carga final, &e. Esta é uma maneira de
descobrir o valor da constante t. Se a taxa de
carregamento fosse constante, em W t a carga estaria
completa. O valor da carga tende assintoticamente a
4
&e.
R. Hjort
&'(6&$5*$'(80&$3$&,725
Seja um capacitor carregado com carga 4 no
circuito da Fig. 5. A chave S está inicialmente aberta e
a diferença de potencial no capacitor é 9 4 &, sendo
& sua capacitância. Como não existe fonte,
este é um sistema não
conservativo, onde a
energia é transformada
em calor no resistor 5
pelo efeito Joule.
Como,
neste
caso, a carga se reduz, a
Fig. 5. Diagrama do circuito para a
corrente mede uma taxa
descarga do capacitor.
de diminuição.
Assim:
, =-
G4
GW
(2.8)
Aplicando a regra das malhas ao circuito e substituindo
(2.8), temos1,2:
4
G4
+5
=0
&
GW
(2.9)
Esta é uma equação diferencial de primeira ordem e
pode ser resolvida por separação de variáveis2-4.
Assim:
Fig. 4. Gráfico da corrente contra o tempo no circuito.
A corrente tem valor inicial , e5 e diminui
exponencialmente com o tempo. Esta corrente inicial é
aquela que existiria se no circuito houvesse apenas a
resistência.
Tomando a tensão somente no resistor:
9 = 5, = eH /
(2.6)
e efetuando o logaritmo natural da equação, temos:
ln 9 = ln e -
1
W
5&
(2.7)
Assim, podemos representar outro gráfico, onde,
através da reta \ D[E, obtemos o coeficiente
angular, D 5&, e o linear, E OQe. Esta é outra
forma de determinar t de um circuito RC.
×
( )
0
1
1
G4 = GW
4
5& ×0
4(W ) = 40 H
= 40 H
(2.10)
(2.11)
onde 4 é a carga inicial no capacitor e t 5& a
constante de tempo do circuito.
Se aplicarmos (2.8) nesta equação, temos a corrente:
9 "
, (W ) = 0 H
5
!
= ,0H
"
(2.12)
onde 4 & 9 (pela definição de capacitância) e
9 5 , (pela lei de Ohm).
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A Fig. 5 mostra como varia a carga no
capacitor em função do tempo. Após um intervalo de
tempo W t, a carga é 4 4 H 4 , isto é, está a
37% do valor inicial.
R. Hjort
corrente contínua de tensão e 9. Em paralelo com os
terminais do resistor e do capacitor foram instalados
voltímetros para monitorar as tensões (9) e 9* ,
respectivamente). Tendo o capacitor inicialmente
descarregado, fechou-se a chave S. Assim foi gerada a
tabela 1 (carga).
+
,.-
+0/
+
3,00
2,59
2,25
1,96
1,72
1,48
1,32
1,14
1,00
0,88
0,77
0,68
0,60
0,53
0,47
0,41
0,35
0,33
0,29
0,26
0,23
0,21
0,19
0,17
0,15
0,14
0,12
0,11
10-
Fig. 5. Gráfico da carga no capacitor contra o tempo.
O gráfico da corrente pelo tempo (Fig. 6) é
semelhante ao da carga. Após intervalo de tempo
t 5&, a corrente cai a H do seu valor inicial.
+0/
0,00
0,49
0,81
1,12
1,37
1,59
1,76
1,94
2,08
2,22
2,31
2,42
2,49
2,57
2,63
2,68
2,73
2,77
2,81
2,84
2,87
2,89
2,92
2,93
2,95
2,98
2,99
3,00
2
/
-3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
Tabela 1. Carga de um capacitor.
Fig. 6. Gráfico da corrente no capacitor contra o tempo.
Em seguida, com o capacitor carregado, o
circuito é modificado para o da Fig. 5, da seção II.C
(descarga), abrindo a chave S e retirando a fonte. A
chave é então novamente fechada e os dados do
processo da descarga monitorados, gerando a tabela 2.
+
A tensão no capacitor é dada por:
4 &
9% = 0 H
&
$
#
(2.13)
e o respectivo logaritmo neperiano:
ln 9 ' = ln
40
1
W
&
5&
(2.14)
Representando o gráfico de OQ9( versus W, temos uma
reta da forma \ D[E cujo coeficiente angular é
D 5& e linear E OQ4 &. A constante t 5& pode
também ser determinada desta forma.
,,,352&(',0(172(;3(5,0(17$/
$&521Ð0(752()217(&&
A montagem experimental é feita conforme a
Fig. 2 da seção II.B (carga). Foram utilizados:
capacitor de & ), resistor de 5 W e fonte de
,.-
+0/
-3,00
-2,50
-2,22
-1,92
-1,69
-1,47
-1,30
-1,13
-1,00
-0,88
-0,77
-0,68
-0,60
-0,53
-0,47
-0,42
-0,37
-0,33
-0,29
-0,25
-0,23
-0,20
-0,18
-0,16
-0,14
-0,13
-0,11
-0,10
+
10-
+0/
3,00
2,58
2,24
1,95
1,70
1,50
1,32
1,16
1,01
0,90
0,79
0,70
0,61
0,54
0,48
0,43
0,38
0,33
0,30
0,26
0,23
0,21
0,19
0,17
0,15
0,13
0,12
0,11
2
-3
/
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
260
270
Tabela 2. Descarga de um capacitor.
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%26&,/26&Ï3,2(*(5$'25'(6,1$,6
Para circuitos cujo t 5& não seja elevado, o
procedimento anterior não permite visualizar o
fenômeno, uma vez que estes podem durar apenas
alguns milissegundos. Para tal se faz necessária a
utilização de um osciloscópio e um gerador de
funções. É montado o circuito da Fig. 7, com o
osciloscópio monitorando a tensão do resistor 5 e do
capacitor &, com o gerador criando ondas quadradas
de 131 Hz de freqüência, com tensão de 13,0 V.
Fig. 7. Diagrama do circuito, com osciloscópio monitorando
tensões no resistor (canal 1) e no capacitor (canal 2).
Foram ajustadas as escalas vertical e
horizontal do osciloscópio tal que somente a parte
correspondente à carga no capacitor aparecesse no
monitor. Assim, a partir do gráfico da tensão no
capacitor visualizado no osciloscópio (Fig. 8),
mediu-se, através dos cursores, o tempo para atingir
63% da carga total do capacitor. Nesta situação
específica, o tempo DW corresponde à constante de
tempo t 5& do circuito.
Fig. 8. Tensão sobre o capacitor durante a carga.
Também poderia ser utilizado o gráfico da
tensão no resistor (Fig. 9) quando este atinge 37% da
tensão máxima.
R. Hjort
Com estes dados, e considerando &=0,1mF, foi gerada
a tabela 3. Os valores de 5 foram obtidos com o
ohmímetro.
465 798;:
4=<?> @BADCE FBGH5 IKJL:
MN>OP@BQRE QSGH5 IKJL:
1,00
4,90
9,78
100
490
978
108
499
992
Tabela 3. Medida da constante de tempo do circuito.
Utilizando esta mesma montagem, foram
associados capacitores em série e em paralelo e, através
da constante de tempo, determinadas as capacitâncias
equivalentes. Considerando dois capacitores com
&=0,1mF, e um resistor com 5=1kW, foi gerada a
tabela 4.
T JUJUGDFE VDWBXDG
MN>OP@BQRE QSG
5 IKJL:
série
paralelo
52,60
211,00
<
OP@BQRE QSG
[ \:
YZ 5R
52,6
211,0
<
> @BADCE FBG
[ \:
YZ 5R
50,0
200,0
Tabela 4. Associações de capacitores.
,95(68/7$'26(;3(5,0(17$,6
Com os dados obtidos na tabela 1, foram
feitos os gráficos de 9] [W e 9^ [W (Fig. 10). Nota-se que
a regra de Kirchhoff é obedecida, e 9] 9^ em todos
os instantes.
Fig. 10. Circuito de carga: tensão no resistor (preto) e
tensão no capacitor (vermelho) contra o tempo.
Utilizando a equação (2.7), foi gerado o
gráfico linearizado (Fig. 11).
Fig. 9. Tensão sobre o resistor durante a carga.
Fig. 11. Gráfico linearizado da carga com reta ajustada.
8718
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R. Hjort
A reta ajustada tem coeficiente angular
D=-0,0122 e linear E=1,0035. Logo, o valor da
capacitância, por este método, era de &=1,0928F.
Com a tabela 2 foram feitos os gráficos de
9] [W e 9^ [W (Fig. 12). Observa-se que, apesar de 9] ser
negativo, 9] 9^ em todas as linhas, o que também
comprova a regra das malhas.
linearizados da carga e descarga, respectivamente,
foram 1,0928F e 1,0875F. O valor nominal do
capacitor era de 1,0F. Alguns fatores que contribuíram
para possíveis erros experimentais foram a precisão
dos instrumentos de medida (cronômetro e
multímetros) e o fato de os valores terem sido
coletados manualmente. Foi utilizado somente um
fundo de escala nos voltímetros (20V), caso contrário,
a resistência interna destes seria alterada e com esta as
medidas das tensões.
No segundo procedimento experimental, para
cada configuração de R e C, era preciso ajustar os
valores da amplitude e freqüência no gerador de
funções para a devida visualização do gráfico no
osciloscópio. Circuitos com capacitâncias muito
pequenas (da ordem de 10-9 F) acentuavam os erros
experimentais. Isso porque estas sofriam interferência
de outros elementos do circuito, como os fios, que
também possuem pequena capacitância. Observa-se,
pela tabela 3, que é pequena a diferença entre os
valores teóricos e experimentais para o valor de t.
A capacitância equivalente na associação de
capacitores em série e em paralelo, exibida na tabela 4,
segue o modelo teórico:
Fig. 12. Circuito de descarga: tensão no resistor (preto) e
tensão no capacitor (vermelho) contra o tempo.
Utilizando a equação (2.14), foi gerado o
gráfico linearizado (Fig. 13). Através do ajuste da reta,
os coeficientes angular e linear encontrados foram,
respectivamente, D=-0,0123 e E=1,0175. Logo, o valor
da capacitância, pelo gráfico, era de &=1,0875F.
& _ = &1 + & 2
1
1
1
=
+
&`
&1 & 2
No osciloscópio,
recurso de armazenamento
gráfico de 9^ [W (Fig. 14)
capacitor no circuito,
equivalentes distintas.
(paralelo)
(série)
foi comparado, com o
de sinais (DXWRVWRUH), o
da carga e descarga do
utilizando capacitâncias
Fig. 13. Gráfico linearizado da descarga com reta ajustada.
9680È5,2
Os fenômenos de carga e descarga de
capacitores seguem equações exponenciais, de acordo
com o modelo previsto. Este tipo de comportamento é
encontrado também em inúmeras outras áreas de
estudo3,4,
tendo
como
algumas
aplicações:
resfriamento de um corpo, crescimento populacional,
decaimento radioativo e espalhamento de uma
epidemia.
A regra das malhas de Kirchhoff é
comprovada em todas as montagens experimentais,
isto é, a soma dos potenciais nos elementos de um
circuito é sempre nula.
O valor da constante de tempo t de um
circuito RC pode ser encontrado experimentalmente
utilizando-se métodos distintos, dependendo da ordem
de grandeza desta.
No primeiro método, os valores para a
capacitância, adquiridos a partir dos gráficos
Fig. 14. Comparação do gráfico variando-se a capacitância.
Pelo gráfico, nota-se que a amplitude e a freqüência
mantém-se constantes, somente a acentuação da
concavidade é alterada. Isso é devido à variação das
constantes de tempo.
9,5()(5Ç1&,$6
P. Tipler, )tVLFD (LTC, 4ª edição).
E. Kreyszig, 0DWHPiWLFD6XSHULRU (LTC, 1983).
3
C. C. Ross, 'LIIHUHQWLDO(TXDWLRQV (Springer-Verlag, 1995).
4
W. Boyce e R. DiPrima, (TXDo}HV'LIHUHQFLDLV
(OHPHQWDUHVH3UREOHPDVGH9DORUHV&RQWRUQR (LTC, 5ª ed).
1
2