O Desenvolvimento da Geometria Hiperbólica

Geometrias não-Euclidianas:
O Desenvolvimento da Geometria Hiperbólica
Paula de Oliveira Baladão
As descobertas e discussões geradas no século XIX
acabaram de vez com a idéia clássica de que a geometria é algo
plano, único e imutável. Da negação do quinto postulado de Euclides
surgiram às geometrias não-Euclidianas (geometrias que não
obedecem aos axiomas de Euclides), além de trazer à luz novas
reformulações sobre a Geometria euclidiana (plana) quando se
percebeu que Os Elementos continham erros lógicos.
A Geometria Euclidiana
Por volta do ano 600 a.C. os gregos introduziram a dedução
na geometria, dando origem a uma geometria demonstrativa. Para
os gregos só havia um espaço e uma geometria. O espaço não era
pensado como uma coleção de pontos, mas pontos simbolizavam
objetos concretos. Por exemplo, um ponto representaria uma pedra,
a reta poderia ser um pedaço de corda ou o plano a superfície de
uma mesa.
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Os Elementos de Euclides representou o mais alto grau de
desenvolvimento da matemática grega. Embora o conhecimento
matemático escrito em 13 volumes não fosse da completa autoria de
Euclides, ele se tornou como uma bíblia da matemática até quase
2000 anos depois. Nestas obras estavam compiladas e estruturadas
as matemáticas egípcia, mesopotâmica e grega, no que diz respeito
à teoria dos números, proporções, geometria e álgebra. O mérito,
entretanto, não estava no conteúdo, mas na metodologia empregada
ao mesmo. Euclides usou, de maneira rigorosa e contínua o
pensamento dedutivo. A partir de 10 afirmações primitivas auto
evidentes – os postulados – conseguiu construir e demonstrar todos
os teoremas. Foi justamente este método que trouxe a aceitação e
mitificação da geometria euclidiana como verdade absoluta
inquestionável.
As 10 afirmações primitivas foram divididas em dois grupos de
cinco: os postulados, que tratavam exclusivamente sobre geometria e os
axiomas, mais gerais e referentes aos outros assuntos abordados na
obra. Hoje em dia postulado e axiomas são sinônimos, mas na Grécia
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antiga tinham diferentes conceitos.
Postulados de Euclides
1. Uma linha reta pode ser traçada de um para outro ponto
qualquer;
2. Qualquer segmento de reta finito pode ser prolongado
indefinidamente para construir uma reta;
3. Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se
traçar um círculo de centro naquele ponto e raio igual à
distância dada;
4. Todos os ângulos retos são iguais entre si;
5. Ângulos interiores, de um mesmo lado, seja menor que dois
ângulos retos, então as duas outras retas se cruzam,
quando suficientemente prolongadas, do lado da primeira
reta em que se acham os dois ângulos.
Embora muito admirado e aplaudido, o modelo axiomático dos
Elementos, no que se refere ao quinto postulado, ou postulado das paralelas,
suscitou questionamentos. (RPM nº45)
É fácil observar que o quinto postulado não é nada simples como
os anteriores, inclusive é mais complexo de compreender. Até o próprio
Euclides foi cauteloso ao utilizá-lo, ele não fez uso do quinto postulado
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(http://www.euclides.org/menu/elements_esp/indiceeuclides.htm-versão
digital em catalão)
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(Wikipédia - http://pt.wikipedia.org/wiki/Postulado)
até a proposição 29 do Livro I. Começam aqui os questionamentos.
Ficou no ar a curiosidade de saber se o último postulado era
realmente necessário, se ele não poderia ser deduzido dos outros
postulados.
Inicialmente, supondo que o quinto postulado pudesse ser
deduzido dos outros postulados, se tentou uma prova direta e para
isso, era necessário um substituto equivalente para simplificar o
entendimento do quinto postulado.
Os três postulados alternativos que poderiam substituir o
escrito original, possibilitando a dedução dos mesmos teoremas:
1. A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é
sempre igual a dois ângulos retos (180º);
2. Três pontos colineares determinam um círculo;
3. Por um ponto fora de uma reta pode-se passar uma
única reta paralela à reta dada.
Este último foi apresentado pelo matemático escocês John
Playfair num trabalho publicado em 1795 (Elementos de geometria)
e é de longe o mais conhecido. Desta forma, o quinto postulado foi
chamado Postulado das Paralelas.
Depois de muitas tentativas de prova direta, foi inevitável
que os matemáticos tentassem métodos indiretos. Assim, pelo
método “redução ao absurdo”, nega-se o quinto postulado e se tenta
deduzir uma contradição. Usando este tipo de abordagem foram
particularmente importantes a do jesuíta Girolamo Saccheri em
1733, a de Johnn Heinrich (publicado postumamente em 1788) e de
Adrien Marie Legendre em 1794. Todos os três desconfiavam que
não seria possível obter uma contradição a partir da negação dos
postulado das paralelas.
Saccheri partiu de um quadrilátero ABCD com ângulos retos
em A e em B no qual AD=BC. Hoje este quadrilátero é conhecido
como “quadrilátero de Saccheri”. Pela geometria euclidiana,
percebe-se que AD é paralelo a BC, logo os ângulos C e D são
retos. Como Saccheri, por absurdo, nega o quinto postulado, ou
seja, por um ponto fora de uma reta pode-se passar uma reta não
paralela à reta dada, então existiam três opções:
a. Os ângulos C e D são ambos retos;
b. Ambos são ângulos obtusos (maior de 90º);
c. Ambos são ângulos agudos (menor de 90º).
As conclusões obtidas são surpreendentes e vão contra a
intuição de Saccheri, que desiste. Ele não sabia, mas inconscientemente
acabava de descobrir uma nova geometria.
Geometria Hiperbólica
Os primeiros a suspeitar que era impossível obter uma
contradição negando o postulado das paralelas, ou seja, que ele era
independente dos outros postulados foram Gauss, o húngaro Janos
Bolyai (1802-1860) e o russo Nikolai Ivanovich Lobachevsky (17931856). Todos os três chegaram às suas conclusões analisando o quinto
postulado através da forma de Playfair, considerando as três
possibilidades.
Carl Friederich Gauss (1777-1855) foi o primeiro a descobrir a
nova geometria, embora não tivesse publicado nada, pois a Geometria
Euclidiana ainda era vista como uma verdade infalível. Qualquer um que
se atrevesse a contradizer isso era desprestigiado e era a última coisa
que Gauss desejaria, manchar a reputação que tinha frente ao meio
científico.
“Segundo o professor Manfredo P. Do Carmo (1987), Gauss
estudou as superfícies de curvatura negativa constante e provou que se
considerarmos como reta uma curva de menor comprimento que liga
dois pontos, então a soma dos ângulos internos de um triângulo traçado
na superfície é menor que dois ângulos retos (180º) e a diferença entre
essa soma e dois retos é proporcional à área do triângulo. A constante
de proporcionalidade é precisamente o valor absoluto da curvatura e tais
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curvas são chamadas geodésicas.”
Geometrias não euclidianas. In Aprendendo pelas raízes: alguns
caminhos da matemática na história. TENÓRIO, Robinson Moreira. Ed.
UFBA, Salvador, 1995. pp.33
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Na Hungria, János Bolyai (1802-1860) passou muito tempo
na obcecada tarefa de provar a independência do quinto postulado.
Seu pai, Farkas Bolyai era matemático e amigo de Gauss, trovam
cartas freqüentemente. Em correspondência com o filho, Farkas
chegou a pedir que o filho abandonasse o problema. O filho não
abandonou a questão e em 1832, seu trabalho aparece no apêndice
da obra de seu pai. Apesar de ter apenas essa publicação, János
deixou de mais de 20000 páginas de manuscritos sobre matemática.
Simultânea e independentemente do húngaro János, o russo
Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856) desenvolveu o mesmo
tipo de geometria não-euclidiana. O principal trabalho de
Lobachevski foi "Geometrya" terminado em 1823, mas somente no
dia 23 de fevereiro de 1826 é que ele fez sua famosa apresentação
"Sobre os Fundamentos da Geometria" em uma sessão do Conselho
Científico do departamento de Física e Matemática da Universidade
de Kazan. Lobachevsky foi perseguido por seu trabalho. Membros
da comunidade de matemáticos russos faziam zombarias e
publicavam rudes comentários sobre ele.
Em 1871, Klein deu forma e nome aos três tipos de
geometria: Geometria hiperbólica (de Bolyai e Lobachevsky),
Geometria parabólica (geometria euclidiana) e geometria elíptica
(geometria de Riemann).
Conseqüências trazidas pelas novas geometrias
A partir do postulado das paralelas novas geometrias foram
desenvolvidas e no fim do século XIX as novas geometrias já eram
aceitas. Elas influenciaram, juntamente com a “Crise dos
Fundamentos”, o novo modo de pensar em matemática. A geometria
euclidiana perdeu o status de verdade inquestionável. A geometria que
antes era ligada ao concreto - um sistema interpretado-, agora podia ser
mais abstrata. A nova geometria já não tinha preocupação com o
conhecimento produzido com o mundo material, senão com a coerência
lógica desse conhecimento. Os postulados tornaram-se para o
matemático, meras hipóteses, cuja verdade ou falsidade físicas não lhe
interessam.
As novas geometrias acabaram indo além do campo das
matemáticas. Na teoria da Relatividade, Einstein utiliza os espaços
curvos, ou seja, geometria não-euclidiana. Nessa teoria, um corpo
celeste pode ser considerado como o centro de uma parte do espaço. A
massa do astro, por exemplo, a Terra, provoca uma deformação no
espaço à sua volta, que acaba sendo a causa dos efeitos gravitacionais.
Ainda em cosmologia, os cientistas especulam quanto à
forma do universo. Se ele de fato estiver em expansão, estaremos
falando de geometria hiperbólica; se estiver se contraindo,
geometria esférica (ou elíptica). Se o espaço à nossa volta fosse
estático, apenas nesse caso estaria em prática a geometria
euclidiana.
Conclusão
A história tem mostrado que muitas das construções
matemáticas aparentemente teóricas utilizadas como modelos
para explicar o mundo à nossa volta acabam tendo uso prático no
mundo físico. Muitas vezes desvalorizado em relação à pesquisa
de ordem mais prática, o trabalho em matemática pura ainda
demonstra seu valor nos acontecimentos da história da
matemática.
Referências
GARDNER, Martin. As Últimas Recreações. Ed. Gradiva. Lisboa. pp.
258-267, 2002.
TENÓRIO, Robinson Moreira.Aprendendo pelas raízes:Alguns caminhos
da matemática na história. Ed.UFRBA. Salvador,1995 pp33
http://pt.wikipedia.org/wiki/Postulado
http://bcs.whfreeman.com/fapp6/content/cat_030/oed/ch19_757798.pdf
http://www.searadaciencia.ufc.br/donafifi/hiperbolica/hiperbolica4.htm
http://www.on.br/site_edu_dist_2006/pdf/modulo3/a_geometria_dos_
espacos_curvos.pdf
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euclides/postula
doeuclides.htm
http://www.ifi.unicamp.br/~ghtc/Biografias/Poincare/Poinfil.html
http://www.rpm.org.br/novo/conheca/45/1/euclides.htm