13 a Aula

Eletricidade e Magnetismo II – Licenciatura: 13ª Aula (17/09/2012)
Prof. Alvaro Vannucci
Na última aula vimos:
 Diamagnetismo: Este efeito surge em materiais que não possuem momento de dipolo
magnético resultante, e se deve pelo aumento/diminuição da velocidade angular
eletrônica quando um campo magnético externo é aplicado, ocorrendo repulsão
  0  
 Lei de Faraday:
 
 ~
eB
2me
d M
dt
Lei de Lenz
 Ou então:
 
d
d 
E
  dl   dtM   dt  B  nˆ dA
 Exemplo 1: Um fio de comprimento l desloca-se com
velocidade v constante, formando uma espira
retangular. Havendo um campo Bext uniforme e
perpendicular ao plano da espira, determine a f.e.m.
induzida.
z
 É fácil observar que o fio, deslocando-se, aumenta a

área (por ele formada) atravessada pelo Bext → fluxo

B
I
y
l
x

v
no sentido do eixo z aumenta → para haver contra-fluxo, uma corrente I é induzida no
sentido horário (ver figura).
 Agora, como   

dM
, M   B  nˆ dA   B dA  B  dA  B  dxdy
dt
dx
    B  dy
 
dt
l
 v ( cte)

   Bvl
 Exemplo 2: Faz-se girar com frequência f uma bobina
constituída por N espiras retangulares, cada uma com
comprimento a e largura b, na presença de um campo
magnético B uniforme, entrando na página.

B
R
b
 a) calcule a f.e.m. induzida na bobina; b) projete uma
bobina para a qual a amplitude da f.e.m. seja igual a
220V quando girada a 60 revoluções por segundo,
com B = 0,5T.
d
a)    M
dt
 olhando a bobina de frente:
a
n̂

B

b
f
 Temos então que:

 N espiras 
1esp.   B  nˆ dA   B cos  dA  
  M  NB  cos  dA
 e B cte. 
 Note: trata-se de uma integral sobre a área e θ varia com o tempo [θ = θ(t)]; ou seja:
θ = θ0 + ωt, onde podemos escolher θ0 = 0 em t = 0, e ω = 2πf.
 Então: M  NBab cos  2 f t  .
 Finalmente:   
dM
   NBab    sin  2 ft    2 f  
dt
    2 fNabB   sin  2 ft    0 sin  2 ft 

cte, que chamarei 0
b) Para 0  220 V  220 V=  2  60 0, 5 Nab   Nab  1,17 m2  Aefetiva
 Exemplo 3. Uma espira retangular de resistência R e
lados a e b atravessa, com velocidade v constante,
uma região quadrada de lados L (L > b) na qual
existe um campo magnético uniforme e constante B0
entrando na página.
a) Calcule a corrente induzida na bobina; ela é
constante?
a
v
R

B
b
L>b
b) Qual é a potência dissipada na resistência R
enquanto a espira está sendo introduzida na região de campo magnético uniforme?

c) Qual a força F que a espira sente quando (i) está entrando, (ii) está totalmente imersa
e (iii) está saindo da região de campo.

d) Faça um gráfico de F em função do tempo.
 Resolução:
a) Quero corrente, lembrando:   Ri ;   

d
e    B  nˆ dA   B dA  B  dxdy
dt
 dx

Bva
Então    B dy     Bva (constante), e  i   

R
R
 dt
v
b) P  i 
2
R
1
 P    B 2v 2 a 2
R


 

c) dF  Idl  B ; I  i  corrente induzida
i) Espira entrando: i tem sentido anti-horário (para se opor ao aumento do fluxo de campo
magnético através da espira).
Conforme a figura acima, a força resultante surge no sentido contrário ao movimento
Ou seja, Fres  iB  dl  iBa 
B 2 a 2v
(sentido contrário ao movimento da espira).
R
ii) Espira totalmente imersa:  
d
 i  0 e  Fres  0
dt
iii) Espira saindo: agora a corrente induzida circula no sentido horário (opondo-se a
diminuição do fluxo de B)
Note que a força resultante surge novamente no sentido contrário ao movimento:
Fres 
B 2 a 2v
.
R
d)
F
B 2 a 2v
R
t

B 2 a 2v
R
 Exemplo 4. Os condutores da figura são finos e estão
no mesmo plano. O fio da esquerda tem comprimento
infinito e conduz corrente I1 = 15A, enquanto o fio da
espira quadrada conduz corrente I2 = 8A. Considere
que a = b = c = 1m. a) qual é a força que age sobre a
espira quadrada? b) Supondo agora que I2 = 0 e
I1 = I0 cos ωt, calcule a f.e.m. induzida na espira.
a)
I2
I1

F4
y
x
c

B

F1
a

F2
b
F3
 
 

I
dF  Idl  B ; sendo que B  B fio   0 1 (pela Lei de Ampère)
2 x

 I 
 dF  dF   I 2  dx   B fio    I 2  dx   0 1 
 2 x 
c b
II
dx 0 I1 I 2  b  c 

ln 
 Calculando as forças F3 e F4: F3  0 1 2 

   F4
2  x
2
 c 
c
 Força F1: F1 
 IIa
0 I1I 2 a
dy  F1  0 1 2 ( xˆ )

2 c 0
2 c

IIa
 Igualmente, pelo mesmo raciocínio: F2  0 1 2 xˆ
2  c  b 
 I I a1
1  0 I1 I 2 a  c  b  c
 FR  F1  F2  0 1 2  


2  c c  b 
2  c  c  b 
 FR  120 107 N 
b)   
  4 10  158  1 
 


2

1
1

1





7

FR  1, 2 105   xˆ  N
d d 
d 0 I1
  B  nˆ dA   
dxdy; I1  I 0 cos t

dt dt
dt  2 x
c b
d  0 I1a  dx 
d  a
 c  b 
  
   0 I 0 cos t ln 


dt  2  x 
dt  2
 c 
c


 aI  c  b 
    0 0 ln 
  sin t 
2
 c 

2

4 107 1 I 0
2
   2 107  ln 2  I 0  sin t
 11 
ln 
  sin t
 1 