19 circuitos magnéticos lineares e não lineares

127
19
CIRCUITOS MAGNÉTICOS LINEARES E
NÃO LINEARES
Circuitos magnéticos são usados para concentrar o efeito magnético de uma corrente em uma região
particular do espaço. Em palavras mais simples, o circuito direciona o fluxo magnético para onde ele
é necessário. Um circuito magnético pode ser construído a partir de uma variedade de seções com
diferentes comprimentos, e diferentes propriedades magnéticas. As características magnetizantes
dos materiais são não lineares, e isso deve ser levado em conta nos projetos de dispositivos
eletromagnéticos.
Um problema típico seria a determinação da corrente requerida em um
enrolamento para produzir uma dada densidade de fluxo no entreferro de um pequeno atuador, relé
ou eletromagneto
19.1 -CIRCUITOS MAGNÉTICOS LINEARES
São considerados magneticamente lineares os circuitos magnéticos onde a permeabilidade relativa é
baixa. Circuitos magneticamente lineares podem ser obtidos quando o núcleo é de ar, ou de material
não-ferromagnético, ou quando o entreferro for bastante grande.
19.1.1 - Analogia com Circuitos Elétricos
Consideremos o dispositivo da figura 19.1, onde o núcleo é formado por um material magnético
( µ ⟩ µ 0 ).
φ
i
V
N
figura 19.1 - Circuito magnético
Pela lei de Ampére teremos:
∫ H. dL = I
(19.1)
l
Considerando que H (em módulo) é constante ao longo do caminho mostrado na figura teremos:
N. I = H. l m
(19.2)
128
H=
onde lm é o caminho médio percorrido por
N. I
(A. esp / m)
lm
(19.3)
ϕm .
O termo N.I será chamado de força magnetomotriz (Fmm).
Como
&
B = µ H , teremos:
µ. N. I
lm
(19.4)
ϕ m = B. S
(19.5)
B=
e o fluxo magnético
ϕ m será:
ϕm =
µFmm
.S
lm
(19.6)
Fmm
ℜ
(19.7)
ϕm =
O termo
ℜ=
lm
(19.7)
µS
é chamado de relutância do circuito magnético (dificuldade imposta à circulação do fluxo magnético),
e tem como unidade : A/Wb.esp.
Considere agora o circuito elétrico da figura 19.2
i
V
R
figura 19.2 Circuito elétrico
análogo
Para esse circuito elétrico temos:
R=ρ
l
S
(19.8)
V
R
(19.9)
Fem Fem
=
ρl
R
S
(19.10)
I=
Portanto, para a corrente elétrica:
I=
Podemos montar um circuito análogo ao circuito elétrico, para o circuito magnético:
129
Circuito Magnético
Fmm = N.I
Fluxo Magnético = ϕ m
Relutância = ℜ
Permeabilidade = µ
Permeância = 1 ℜ
Circuito Elétrico
Fem = V
Corrente elétrica = I
Resistência Elétrica = R
Condutividade = σ
Condutância = G = 1 R
Exemplo 19.1
Para o dispositivo da figura 19.1, têm-se: I = 5 A, N = 100 esp., M = 10 cm, Q = 8 cm, S = 2 cm2,
= 1000. Calcular:
a) - A relutância do circuito magnético
b) - A permeância do circuito magnético
c) - A intensidade de campo magnético no núcleo
d) - A densidade de fluxo magnético no núcleo
e) - O fluxo magnético no núcleo
ℜ = 1,4x106 A/Wb.esp; Ρ = 1 ℜ
Wb/m2; ϕ m = 3.5x10-4 Wb.
Resp:
µr
= 7.14x10-7 Wb.esp/A; H = 1.4x103 A.esp/m; B = 1.75
Exemplo 19.2
Calcular o valor do fluxo magnético em cada braço da estrutura magnética da figura 19.3, dados: N =
500 espiras, I = 1,0 A, µr1 = 200, µr2 = 100.
material 1
material 2
2
5
N
medidas em cm
espessura: 2 cm
2
5
2
2
5
2
Figura 19.3 - Estrutura ferromagnética do exemplo 19.2
Solução
H 2l 2
H 1l 1
l1 = 5 cm + 5 cm + 5 cm + 5 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm
+ 1 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm = 28 cm
NI
H1 =
figura 19.4 - circuito elétrico análogo do exemplo
19.2
Para o lado do material 1:
NI = H1l1
NI 500 × 1
=
= 178,57 Ae / m
l1
0,28
Para o lado do material 2:
NI = H 2 l 2
130
H2 =
Indução magnética no braço direito:
NI 500 × 1
=
= 178,57 Ae / m
l2
0,28
B2 = µ r 2 µ 0 H 2 = 1000 × 4 × π × 10−7 × 178,57 = 0,23 T
Indução magnética no braço esquerdo:
B1 = µ r1µ 0 H1 = 2000 × 4 × π × 10−7 × 178,57 = 0,45 T
fluxo magnético no braço direito:
φ 2 = B2S 2 = 0,23 × 4 × 10−4 = 0,92 × 10−4 Wb
fluxo magnético no braço esquerdo:
−4
φ1 = B1S1 = 0,45 × 4 × 10
= 1,8 × 10
fluxo magnético no braço central:
−4
Wb
φ c = φ1 + φ 2 = 2 ,72 × 10−4 Wb
19.2 - CIRCUITOS MAGNÉTICOS NÃO-LINEARES
São considerados não lineares todos os circuitos magnéticos que utilizam material ferromagnético,
tais como ferro fundido, aço silício, aço fundido, ferrite etc. A maioria dos circuitos magnéticos &reais
são não lineares, pois a permeabilidade dos materiais ferromagnéticos é variável (função de
núcleo).
B
no
Exemplo 19.3
As dimensões da estrutura magnética 19.5 são indicadas na tabela. O enrolamento de excitação
possui 100 espiras. Determine a corrente no enrolamento para estabelecer um fluxo de 1.5x10-4
(Wb). Considere que todo o fluxo está confinado ao núcleo. Utilize as curvas de magnetização da
figura 19.7.
lm
S
Mat. 1 - Ferro Fund.
0.2 m
15x10-4 m2
Mat. 2 - Aço-Silício
0.4 m
15x10-4 m2
Solução
2
1
figura 19.5 - Estrutura ferromagnética
figura 19.6 - Circuito elétrico análogo
n
Fmm = N. I =
∑ H .l
i
φ = B.S
i
i =1
φ = B1. S1 = B2 . S2
Fmm = H 1 . l1 + H 2 . l 2
em série temos:
. x10 −4 (Wb)
φ 1 = φ 2 = φ = 15
B1 = B2 =
. x10 −4
φ 15
. ( Wb / m2 )
=
= 01
S 15x10 − 4
131
figura 19.7a - Curvas de magnetização (extraída do livro ELETROMAGNETISMO. J. A.
Edminister, pg. 164)
figura 19.7b - Curvas de magnetização (extraída do livro ELETROMAGNETISMO. J. A.
Edminister, pg. 1645)
Das curvas de magnetização temos:
aço-silício -
ferro fundido -
B2 = 01
. (Wb / m2 ) ⇒ H 2 ≅ 35 (A.esp / m)
B1 = 01
. (Wb / m2 ) ⇒ H1 ≅ 225 ( A. esp / m)
portanto:
132
I=
H1. l1 + H 2 . l 2
N
I=
225x0.2 + 35x0.4
= 0.59 (A )
100
Imagine que tivéssemos que escolher apenas um tipo de material, entre os materiais 1 e 2, para
manter o mesmo fluxo magnético. Qual seria o escolhido?. Se o material escolhido fosse o 2
teríamos :
I' =
H1. l1 + H 2 . l2 35x0.2 + 35x0.4
=
= 0.21 (A )
N
100
Se o material 1 fosse o escolhido teríamos :
I' ' =
225x0.2 + 225x0.4
= 1.35 (A )
100
Portanto o material escolhido seria o material 2, por requerer uma corrente (e consequentemente uma
força magnetomotriz) muito menor do que a exigida no caso do material 1.
Exemplo 19.4
Considere a estrutura magnética mostrada na figura 19.6. Qual é o valor da corrente que deve
-4
circular no enrolamento de 200 espiras, para que um fluxo de 1,5x10 Wb seja estabelecido ?, dados
2
2
que S1 = 16 cm , S2 = 20 cm , l1 = 15 cm, l2 = 30 cm, N = 200 esp. O material é aço fundido.
Solução
Da curva para o aço fundido (figura 19.5):
1
2
N
B1 = 0,084 T ⇒ H1 = 85 Ae / m
A indução magnética na seção 2 é:
figura 19.6 - estrutura ferromagnética
O fluxo magnético é o mesmo, em qualquer
seção:
φ = φ1 = φ 2
B2 =
Da curva para o aço fundido (figura 19.5):
B2 = 0,075 T ⇒ H1 = 65 Ae / m
Aplicando a lei de Ampére:
A indução magnética na seção 1 é:
B1 =
φ 1,5 × 10−4
=
= 0,084 T
S1 16 × 10− 4
1,5 × 10−4
φ
=
= 0,075 T
S 2 20 × 10− 4
NI = H1l1 + H 2 l 2
I=
85 × 0,15 + 65 × 0,3
= 0,16 A
200
Exemplo 19.5
Uma estrutura magnética é feita de aço-silício. Determine a corrente quer deve circular no enrolamento
com 500 espiras para estabelecer um fluxo de 9x10-4 Wb no braço direito da estrutura, dados: l1 = l3 =
2
50 cm, l2 = 15 cm, S = 22,5 cm .
133
L3
L1
N = 500
L2
figura 19.7 - Estrutura magnética do exemplo 19.5
Solução
malha I :
Fmm = H 1 . l 1 + H 2 . l 2
(I)
malha II
H2 =
H 3.l3
60x50x10 −2
200 A. esp / m
=
l2
15x10 − 2
Da curva de magnetização :
0 = H 3.l3 − H 2 .l2
(II )
nó 1:
φ1 = φ 2 + φ 3
(III )
H 2 = 200 ⇒ B2 107
. Wb / m 2
φ 2 = B 2 . S 2 = 1.07 x(0.05x0.05x0.9) = 24.08 x10 −4 Wb
Da equação III :
φ 1 = 24.08x10 −4 + 9 x10 −4 = 33.08x10 −4 Wb
B1
figura 19.8 - Circuito análogo do exemplo 19.5
φ 3 = 9 x10 −4 Wb
φ 3 = B3 .S3
B3 =
9 x10−4
= 0.4 Wb / m2
0.05x0.05x0.9
Da curva de magnetização para o aço silício:
B 3 = 0.4 ⇒ H 3 = 60 A. esp / m
φ1
33.08x10 −4
. Wb / m 2
=
= 147
S1
22.5x10 − 4
Da curva de magnetização :
B1 = 147
. ⇒ H 1 = 2050 A. esp / m
Da equação I :
Fmm = 2050x50x10−2 + 200x15x10−2 = 1055 A. esp
∴ i =
1055
= 2.11 A
500
A partir da equação (II):
EXERCÍCIOS
1) - Um circuito magnético compõe-se de duas partes de mesmo material ferromagnético ( µ r 4000 ).
A parte 1 tem 50 mm de comprimento e 104 mm2 de seção reta. A parte 2 tem 30 mm de
134
comprimento e 120 mm2. O material está na parte da curva onde a permeabilidade relativa é
proporcional à densidade de fluxo. Encontre o fluxo ϕ, supondo uma Fmm de 40 Ae.
2) - A figura abaixo mostra um circuito magnético cujos braços são de aço fundido. A parte 1 tem l1 =
34 cm, e S1 = 6 cm2. A parte 2 tem l2 = 16 cm e S2 = 4 cm2. Calcule a corrente do enrolamento I1
supondo que I2 = 0.5 A., N1 = 200 espiras, N2 = 100 espiras, e ϕ = 120 µWb.
2
1
F1
N1
N2
F2
figura do problema 2
3) - A figura abaixo mostra um circuito magnético com uma Fmm de 500 Ae. A parte 1 é de aço
fundido, com l1 = 340 mm, e S1 = 400 mm2. A parte 2 é de ferro fundido, com l2 = 138 mm e S2 =
360 mm2. Calcule o fluxo magnético.
1
2
figura do problema 3
4) - Para o circuito magnético mostrado na figura abaixo, a permeabiliade relativa é 1000. A seção
2
2
transversal é de 2 cm , com exceção da perna central, que é de 4 cm . Os caminhos l1 e l2 medem
24 cm, e l3 mede 8 cm. Calcular o fluxo magnético nos pontos 1 e 2.
L1
1000 Ae
L2
L3
figura do problema 4
500 Ae