Sistemas de Numeração - Prof. Alexssandro C. Antunes

Instituto Federal Catarinense – IFC
Campus - Sombrio
Curso Técnico em Informática Integrado ao Ensino Médio
Disciplina: Introdução a Informática e Sistemas Operacionais
Professor: Alexssandro C. Antunes
Sistemas Numéricos
Consiste de um conjunto ordenado de símbolos (algarismos ou dígitos)
empregados na representação de números, com regras definidas para
operações matemáticas sobre esses símbolos, tais como adição e subtração.
Base: número de símbolos empregados no sistema numérico.
Algarismos ou Dígitos: símbolos empregados no sistema numérico. Se a base é
"r", são utilizados os algarismos 0,...,(r-1). Exemplo, no sistema decimal (base
10) emprega 10 (dez) algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. O sistema binário (base
2) emprega 2 (dois) algarismos: 0 e 1.
Os sistemas numéricos possibilitam a representação não apenas de quantidades
inteiras, mas também de quantidades fracionárias, separadas por um "." ou ",".
Notação Posicional
O valor representado por cada algarismo componente de um número é
diferente conforme sua posição. Seu valor absoluto é multiplicado por um fator,
o qual varia conforme a posição do algarismo, sendo crescente da direita para a
esquerda.
n-1
Nr = a
n-1
a
n-2
..... ai .....a1 a0 , a
Parte inteira
–1
a
–2
..... a
–m
= j ? m aj . rj
Parte Fracionária
r = base
ai = algarismo pertencente ao conjunto de símbolos do sistema
ri = fator de multiplicação do algarismo
n = número de dígitos da parte inteira
m = número de dígitos da parte fracionária
a n-1= dígito mais significativo
a –m = dígito menos significativo
Exemplos:
4-1
1) 1983,2710 = ? aj . 10j = 7x10-2 + 2x10-1 + 3x100 + 8x101 + 9x102 + 1x103
j = -2
2) 1101,1012 = 1x2-3 + 0x2-2 + 1x2-1 + 1x20 + 0x21 + 1x22 + 1x23 =
= 0,125+ 0 + 0,5 + 1 + 0 + 4 + 8 = 13,62510
Sistema Binário
r = 2 --- Algarismos = [ 0, 1 ]
Este sistema de numeração apresenta a base 2. Os números 0 e 1 são os
dígitos deste sistema.
O sistema binário é de grande importância, pois apresenta correspondência
direta com os estados de um sistema digital. Por exemplo: para o dígito 0
pode-se atribuir o valor de tensão (0 V), para o dígito 1 (5 V).
Um conjunto de 4 bits constitui-se num nibble e dois nibbles ou 8 bits recebem
a denominação de byte.
Conversão de Binário -> Decimal
Ex.: 10011012 = 1 x 26 + 0 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20
= 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1
= 7710
Sistema Octal
r = 8 --- Algarismos = [ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ]
Este sistema de numeração apresenta a base 8. Utiliza oito algarismos
(símbolos) para a representação da quantidade: 0 1 2 3 4 5 6 7 e tem aposição
determinada pela vírgula decimal.
Conversão de Octal -> Decimal
Ex.: 12478 = 1 x 83 + 2 x 82 + 4 x 81 + 7 x 80
= 512 + 128 + 32 + 7
= 67910
Sistema Hexadecimal
r = 16 --- Algarismos = [ 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F], onde
cada algarismo representa um nibble.
Este sistema de numeração apresenta a base 16. Utiliza dezesseis algarismos
(símbolos) para representação da quantidade: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F e
também tem aposição determinada pela vírgula decimal.
Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Binário
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Conversão de Hexadecimal -> Decimal
Ex.: AFC016 = A x 163 + F x 162 + C x 161 + 0 x 160
= 10 x 163 + 15 x 162 + 12 x 161 + 0 x 160
= 40960 + 3840 + 192 + 0
= 4499210
Conversão de Decimal -> Binário
Regra prática: mediante divisões inteiras sucessivas por dois até que o
quociente (numa das divisões) seja nulo, tomando-se os restos das divisões no
sentido ascendente.
Conversão de Fração Decimal -> Binário
Regra prática: (1) multiplicar a fração decimal por 2 (base do sistema); (2) o
número resultante a esquerda da vírgula é o dígito (0 ou 1) procurado; (3)
repetir o mesmo processo com a parte fracionária do resultado anterior; (4) o
processo finaliza quando a parte fracionária for nula ou até que o número de
dígitos binários seja suficiente para não superar uma determinada medida de
erro; (5) a leitura dos dígitos, ao contrário da conversão da parte inteira, é feita
de cima para baixo.
Exemplo:
0.76562510 = ? 2
0.765625 x 2 = 1.53125
0.53125 x 2 = 1.0625
0.0625 x 2
= 0.125
0.125 x 2
= 0.25
0.25 x 2
= 0.5
0.5 x 2
=1
= 0.1100012
Conversão de Decimal -> Octal
Regra prática: mediante divisões inteiras sucessivas por oito até que o
quociente (numa das divisões) seja nulo, tomando-se os restos das divisões no
sentido ascendente.
Exemplo: 223
Conversão de Fração Decimal -> Octal
Regra prática: (1) multiplicar a fração decimal por 8 (base do sistema); (2) o
número resultante a esquerda da vírgula é o dígito procurado; (3) repetir o
mesmo processo com a parte fracionária do resultado anterior; (4) o processo
finaliza quando a parte fracionária for nula ou inferior à medida de erro
especificada; (5) a leitura dos dígitos, ao contrário da conversão da parte
inteira, é feita de cima para baixo.
Exemplo:
0.14062510 = ? 8
0.140625 x 8 = 1.125
0.125 x 8
=1
= 0.118
Conversão de Decimal -> Hexadecimal
Regra prática: mediante divisões inteiras sucessivas por dezesseis até que o
quociente (numa das divisões) seja nulo, tomando-se os restos das divisões no
sentido ascendente.
Conversão de Fração Decimal -> Hexadecimal
Regra prática: (1) multiplicar a fração decimal por 16 (base do sistema); (2) o
número resultante a esquerda da vírgula é o dígito procurado; (3) repetir o
mesmo processo com a parte fracionária do resultado anterior; (4) o processo
finaliza quando a parte fracionária for nula ou inferior à medida de erro
especificada; (5) a leitura dos dígitos, ao contrário da conversão da parte
inteira, é feita de cima para baixo.
Exemplo:
0.0664062510
= ? 16
0.06640625 x 16 = 1.0625
0.0625 x 16
=1
= 0.1116
Conversão de Hexadecimal -> Binário
Regra prática: representa-se cada algarismo (símbolo) hexadecimal, a partir da
vírgula (em ambas as direções), em grupos de quatro (nibble) bits binários
equivalentes. A base 16 é a quarta potência da base 2.
Exemplo:
FACA,CACA16
= ?2
F
A
C
A ,
C
A
C
A 16
1111 1010 1100 1010 , 1100 1010 1100 1010 2
= 1111101011001010,11001010110010102
Conversão de Binário -> Hexadecimal
Regra prática: divide-se o número em grupos de quatro (nibble) bits binários, a
partir da vírgula (em ambas direções), substituindo cada grupo pelo algarismo
(símbolo) hexadecimal equivalente. Se a divisão em grupos de quatro deixar o
grupo extremo (da direita ou esquerda) com menos de quatro bits, completá-lo
com zeros.
Exemplo:
100101010,001112 = ? 16
0001 0010 1010 , 0011 1000 2
1
2
A ,
3
8
16
= 12A,3816
Conversão de Octal -> Binário
Regra prática: representa-se cada algarismo (símbolo) octal, a partir da vírgula
(em ambas as direções), em grupos de três bits binários equivalentes. A base 8
é a terceira potência da base 2.
Exemplo:
75643,578
=?2
7
5
6
4
3,
5
7 8
111
101 110 100 011, 101 111 2
=111101110100011,1011112
Conversão de Binário -> Octal
Regra prática: divide-se o número em grupos de três bits binários, a partir da
vírgula (em ambas direções), substituindo cada grupo para o equivalente em
octal. Se a divisão em grupos de três deixar o grupo extremo (da direita ou
esquerda) com menos de três bits, completá-lo com zeros.
Exemplo:
1011,111012 = ? 8
001 011 , 111 010 2
1
3 , 7 2 8
= 13,728
Conversão de Octal -> Hexadecimal
Regra prática: executa-se um passo intermediário através do sistema binário,
ou seja, primeiro converte-se o número octal para binário e posteriormente a
representação binária para o sistema hexadecimal.
Exemplo:
1448
= ? 16
1448
=?2
1
4
4 8
001
100 100 2
=0011001002 (intermediário)
0011001002 = ? 16
0000 0110 0100 2
0
6
4
16
= 6416
Conversão de Hexadecimal -> Octal
Regra prática: executa-se um passo intermediário através do sistema binário,
ou seja, primeiro converte-se o número hexadecimal para binário e
posteriormente a representação binária para o sistema octal.
Exemplo:
1F416
=?8
1F416
=?2
1
F
4 16
0001 1111 0100 2
= 0001111101002 (intermediário)
0001111101002
=?8
000 111 110 100 2
0
7
6 4 8
= 7648
Outras Bases
O processo de conversão de uma base qualquer para a base decimal tem o
mesmo formato do processo executado anteriormente (notação posicional).
Para converter um número da base decimal para uma base qualquer, utiliza-se
o mesmo procedimento demonstrado para converter para a base binária, octal
ou hexadecimal (troca-se o divisor pela base correspondente).