Fundações

7 – Fundações
7.1 Sapatas
7.1.1
Sapatas Corridas
7.1.1.1
Introdução
A sapata corrida é normalmente utilizada como apoio direto de paredes, muros, e de
pilares alinhados, próximos entre si.
pilares
a
viga de rigidez
sapata corrida
b) apoio de pilares
alinhados e
próximos entre si
a) apoio de parede
em alvenaria
Figura 1.1
Os esforços solicitantes na sapata são considerados uniformes, mesmo para o caso da
fig.1.1.b onde, de maneira aproximada, a carga do pilar dividida por a, pode ser
considerada como carga uniformemente distribuída na sapata corrida. Desta forma, a
análise principal consiste em estudar uma faixa de largura unitária sujeita a esforços n, m
e v, respectivamente, força normal, momento fletor e força cortante, todos eles definidos
por unidade de largura.
A fig. 1.2. mostra a seção transversal do muro. As abas podem ter espessura constante h,
ou variável (de ho a h).
solicitações
distribuídas
uniformes
n
v
m
a
h ≥ 25cm (*)
n
m
v
c
α
hv
h
a
c = (a - ap) / 2
ho
20cm
ho ≥ 
h / 3
α ≤ 30o
h
hv ≥ 
0,8l b
l b = comprimento de ancoragem da armadura
da parede ou do pilar (quando for o caso)
Figura 1.2
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:out/2001
fl. 1
As sapatas podem ser classificadas em blocos, sapatas rígidas (incluindo as semi-rígidas)
e sapatas flexíveis. Para carga centrada e solos deformáveis, os diagramas de tensão na
interface sapata/solo apresentam o aspecto mostrado na fig. 1.3.
tensões
normais no
solo(σsolo)
a) sapata rígida
b) sapata flexível
Figura 1.3
Na prática, costuma-se relacionar esta classificação com a espessura relativa de suas
abas. Assim,
(
)
se h > 2c = a − a p tem-se uma sapata muito rígida ou um bloco;


 h ≤ 2c = a − a p 


se e
 tem-se uma sapata rígida;

a − ap 
2

h > c =
3
3 

a − ap 

2
h < 3 c = 3 


se e
 tem-se uma sapata semi-rígida; e

c a − ap 
h ≥ =

2
4


a
a
−
c
p
se h < =
tem-se uma sapata flexível.
2
4
(
)
Normalmente, as sapatas utilizadas no projeto de fundações são do tipo rígido.
Costuma-se admitir o diagrama linearizado de tensão normal na interface sapata/solo
(diagrama retangular para carga centrada - fig. 1.3.a - e diagrama trapezoidal ou triangular
para carga excêntrica - fig. 1.4).
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:out/2001
fl. 2
n
n
m
v
m
v
nb = n + gb + gs
mb = m + v . hv
hv
solo
sobre
a sapata
gb
a
e = mb / nb
gb
gb = peso da
sapata
gs = peso do solo
sobre a sapata
a
tensões
normais no
solo (σsolo)
a) e ≤ a / 6
b) e > a / 6
Figura 1.4
7.1.1.2
Tensão na interface sapata/solo
nb
mb
Ponto
nb
a/2
1m
e = mb / nb
e
σb
σa
nb
mb
nb
a
Caso em
que e ≤ a / 6
e
σa
Caso em
que e > a / 6
Figura 2.1
Quando e ≤ a / 6 tem-se:
n  6e 
n
; σb = b
σ a = b 1 +

a 
a
a
 6e 
1 − a 


e, deve-se verificar
n  3e 
≤ σ adm .
σ c = b 1 +
a 
a 
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:out/2001
fl. 3
Quando e > a / 6, a máxima tensão é dada por:
σa =
nb
2
⋅
3 a/2− e
devendo ser limitada a [ 1,3 σadm ], isto é:
σ a ≤ 1,3σ adm .
Obs.: neste caso, para a atuação da carga permanente, a base deve estar
inteiramente comprimida, isto é: eg ≤ a/6; adicionalmente, para a situação
mais desfavorável, deve se ter pelo menos a metade da base comprimida: e ≤
a/3.
7.1.1.3
Estabilidade da sapata (caso de muro)
a) tombamento (rotação em torno do ponto A)
momento estabilizante:
momento desestabilizante:
mest
≥ 1,5 .
FS =
mdesest
mest = nb . (a / 2)
mdesest = mb
b) deslizamento
força estabilizante = (atrito) + (coesão) = nb . tg [(2 / 3) φ] + a . (2 / 3) c
φ = angulo de atrito interno do solo
c = coesão do solo
força desestabilizante = vb
2 
2 
n b ⋅ tg φ  + a ⋅  c 
3 
3 
FS =
≥ 1,5 .
vb
7.1.1.4
Verificações de concreto armado (sapata rígida)
7.1.1.4.1. flexão
A flexão pode ser verificada na seção de referência S1 de largura unitária, conforme
mostra a fig. 4.1.
O momento fletor (m1) na seção S1 contem três parcelas:
devido à tensão no solo ( σ solo );
Devido ao peso da aba (gbf); e
Devido ao peso do solo sobre a aba (gsf).
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:out/2001
fl. 4
c
0,15a
gsf
gb
c
c
0,15a
0,15ap
ap
gbf
d1≤1,5c
a
gbf
c
0,15ap
gsf
gsf
S
ap
gsf
S
gbf
d1≤1,5c
a
tensões
normais no
solo (σsolo)
Figura 4.1
As duas últimas parcelas são negativas e, eventualmente, podem ultrapassar o valor da
primeira parcela (positiva) tornando necessária a presença de armadura de flexão junto à
face superior das abas.
A armadura principal pode ser quantificada de maneira aproximada através da seguinte
expressão:
As =
m1d
→ (armadura para a faixa de largura unitária)
(0,8 ⋅ d1 ) ⋅ f yd
Onde d1 é a altura útil junto à face do pilar ou parede. Convém observar ρ =
As
≥ 0,15% ,
b1d 1
onde b1é a largura unitária da seção.
As barras que compõem a armadura principal de flexão de sapatas devem cobrir toda a
extensão a da base e ter ganchos de extremidade. Pode-se adotar φ ≥ 10 mm e
espaçamento s ≤ 20 cm.
Para a armadura secundária pode-se adotar φmin = 6,3 mm e smax = 30 cm.
7.1.1.4.2. cisalhamento
A resistência ao esforço cortante pode ser verificada na seção S2 de largura unitária
definida na fig. 4.2.
A força cortante (v2) na seção S2 contem três parcelas:
Devido à tensão no solo ( σ solo );
O peso da aba (gbf2) além da seção S2; e
O peso do solo sobre a aba (gsf2) além da seção S2.
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:out/2001
fl. 5
ap
c
c2
ap
c
c
c
c2 d1/2
d1/2
gsf2
gsf2
d2≤1,5c
gbf2
d1≤1,5c
d2
gbf
S2
S2
a
d1≤1,5c
a
tensões
normais no
solo (σsolo)
Figura 4.2
A tensão de cisalhamento deve ser limitada a τ 2 u .
τ 2d =
v 2d
≤ τ 2u
b 2 ⋅ d2
onde
b2 é a largura unitária da seção.
Para sapatas corridas rígidas:

f 
τ2u = 0,63 ⋅ ck  ou τ2u = 0,15fcd ;
γ c 

Para sapatas corridas semi-rígidas pode-se admitir:
f ck
c
τ 2u = (2,048 − 0,945 ⋅ ) ⋅
.
h
γc
Obs.: pode ser dispensada a armadura transversal para sapata corrida flexível quando
τ 2d ≤ 0,158 ⋅
7.1.2
7.1.2.1
fck
γc
(valores em MPa).
Sapatas Isoladas
Introdução
A sapata isolada é utilizada como apoio direto de pilares. Geralmente, tem forma
retangular ou circular centrada no pilar.
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:out/2001
fl. 6
ap
N
Ma
Va
Mb
pilar
b
N
bp
a
Vb
Figura 1.1
A fig. 1.2. mostra seções transversais usuais de sapatas de base retangular. As abas
podem ter espessura constante h, ou variável (de ho a h).
a
Va
N
ca
Ma
Solicitações junto
à base
do pilar V
a
h
αa
Vb
N
ca
Ma
ho
a
a
b
a
N
cb
Mb
Vb
h
αb
b
N
cb
Mb
ho
25cm
h≥

0,8l b 
20cm
ho ≥ 
h / 3
α a ≤ 30o
α b ≤ 30o
ca =
cb =
a − ap
2
b − bp
2
b
b
l b = comprimento de ancoragem da armadura do pilar
Figura 1.2
É desejável, também, que ca ≅ cb para equalizar a resistência das abas à flexão.
Costuma-se admitir o diagrama linearizado de tensão normal na interface sapata/solo
(diagrama retangular para carga centrada - fig. 1.3.a - e diagrama trapezoidal ou triangular
para carga excêntrica - fig. 1.4).
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:out/2001
fl. 7
N
Va
solo sobre
a sapata
Ma
Gbas
N
Vb
Nbas = N + Gbas + Gs
Ma,bas = Ma + Va . h
Mb,bas = Mb + Vb . h
Mb
Gbas
h
a
ea = Ma / Nbas
eb = Mb / Nbas
b
Gbas = peso da
sapata
Gs = peso do solo
sobre a sapata
Nba
eb
σa
b
ea
ea
a
σa
b
a
σb
a)
Nba
eb
tensões
normais no solo
ea eb 1
+
≤
a
b 6
b)
ea eb 1
+
≥
a
b 6
Figura 1.4
7.1.2.2
Tensão na interface sapata/solo
a) Base retangular
e
e
1
Quando a + b ≤ tem-se:
a
b
6
σa =
Nbas
a ⋅b
Nbas
 6e a 6e b 
1 + a + b  ; σ b = a ⋅ b


Quando
 6e a 6e b 
1 − a − b  .


ea eb 1
+
≥ , a máxima tensão é dada por:
a
b
6
N
σ a = η ⋅ bas
a⋅b
Nbas
σ a = σ1 =
e
k1 ⋅ a ⋅ b
σ b = σ 4 = −k 4 ⋅ σ1
(η na tab.2.1), ou
(fictício)
(k1 e k4 no ábaco da fig. 2.1).
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:out/2001
fl. 8
x y b

+ ⋅  ⋅ tgα 
a b a

Num ponto (x,y) a tensão é dada por: σ = σ 4 + (σ1 − σ 4 ) ⋅
b
1 + ⋅ tgα
a
A tensão σa deve ser limitada a [ 1,3 σadm ], isto é:
Base totalmente
comprimida
1,48
1,24 1,36
1,00 1,12 1,24
0,00 0,02 0,04
1,72
1,60
1,48
1,36
0,06
1,96
1,84
1,72
1,60
1,48
0,08
Área comprimida maior do que
50% da área da base
3,61
3,17 3,38
2,79 2,97 3,17
2,48 2,63 2,80 2,98
2,20 2,34 2,48 2,63 2,80
2,08 2,21 2,34 2,48 2,64
1,96 2,08 2,21 2,34 2,49
1,84 1,96 2,08 2,21 2,35
1,72 1,84 1,96 2,08 2,21
1,60 1,72 1,84 1,96 2,08
0,10 0,12 0,14 0,16 0,18
ex / b
4,14
3,86
3,62
3,39
3,18
2,99
2,82
2,66
2,50
2,36
2,22
0,20
4,77
4,44
4,15
3,88
3,64
3,41
3,20
3,02
2,84
2,68
2,53
2,38
0,22
σ a ≤ 1,3σ adm .
5,55
5,15
4,79
4,47
4,18
3,92
3,68
3,46
3,25
3,06
2,88
2,72
2,56
0,24
5,57
5,19
4,84
4,53
4,24
3,98
3,74
3,52
3,32
3,13
2,95
2,78
0,26
5,66
5,28
4,94
4,63
4,35
4,08
3,84
3,62
3,41
3,22
3,03
0,28
5,43
5,09
4,78
4,49
4,23
3,98
3,75
3,54
3,33
0,30
4,99
4,70
4,43
4,17
3,93
3,70
0,32
ey / b
0,24
0,22
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
Tabela 2.1 - Valores de η para base retangular
Figura 2.1
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:out/2001
fl. 9
Observação:
neste caso, para a atuação da carga permanente, a base deve estar
ega egb 1
+
≤ ;
inteiramente comprimida, isto é:
a
b
6
adicionalmente, para a situação mais desfavorável, deve se ter pelo menos a
metade da base comprimida (que garante uma segurança contra tombamento
2
2
1
e 
e 
maior do que 1,5); esta condição é verificada quando  a  +  b  ≤ ;
9
 a 
 b 
b) Base circular
Para base circular, cheia ou oca, tem-se: σ a = k r ⋅
e / r
ri
r
e
Nbas
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
Nbas
π(r 2 − ri2 )
(kr na tab. 2.2).
0,00
0,50
ri / r
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,23
2,48
2,76
3,11
3,55
4,15
4,96
6,00
7,48
9,93
13,9
21,1
38,3
96,1
1,00
1,16
1,32
1,64
1,64
1,80
1,96
2,12
2,29
2,51
2,80
3,14
3,58
4,34
5,40
7,26
10,1
15,6
30,8
72,2
1,00
1,15
1,29
1,59
1,59
1,73
1,88
2,04
2,20
2,39
2,61
2,89
3,24
3,80
4,65
5,97
8,80
13,3
25,8
62,2
1,00
1,13
1,27
1,54
1,54
1,67
1,81
1,94
2,07
2,23
2,42
2,67
2,92
3,30
3,86
4,81
6,53
10,4
19,9
50,2
1,00
1,12
1,24
1,49
1,49
1,61
1,73
1,85
1,98
2,10
2,26
2,42
2,64
2,92
3,33
3,93
4,93
7,16
14,6
34,6
1,00
1,11
1,22
1,44
1,44
1,55
1,66
1,77
1,88
1,99
2,10
2,26
2,42
2,64
2,95
3,33
3,96
4,90
7,13
19,8
1,00
1,10
1,20
1,40
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,17
2,26
2,42
2,64
2,89
3,27
3,77
4,71
6,72
100%
>50%
<50%
área comprimida
Tabela 2.2 - Valores de kr para base circular, cheia ou oca
7.1.2.3
Estabilidade da sapata
a) tombamento
momento estabilizante = Mest
momento desestabiliz. = Mdesest
Mest
FS =
≥ 1,5 .
Mdesest
b) deslizamento
força estabilizante = Rest
força desestabilizante = Rdesest
Rest
FS =
≥ 1,5 .
Rdesest
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:out/2001
fl. 10
7.1.2.4
Verificações de concreto armado (sapata rígida)
1.1.2.4.1. flexão
A flexão pode ser verificada nas seções de referência S1 (S1a e S1b), conforme mostra a
fig. 4.1:
O momento fletor (M1) na seção S1 contem três parcelas:
devido à tensão no solo ( σ solo );
ap
c
devido ao peso da aba; e
0,15ap
devido ao peso do solo sobre a aba.
ca
0,15a
d1a≤1,5c
M1a = momento na seção S1a (CG)
provocado pelas cargas atuantes
na área (CDFG)
M1b = momento na seção S1b (AE)
provocado pelas cargas atuantes
na área (ABDE)
S1
a
d1b≤1,5cb
C
B
D
cb 0,15b
bp
cb
A
S1b
b
E
S1b
S1a
0,15b
G
F
Figura 4.1
As duas últimas parcelas são negativas e, eventualmente, podem ultrapassar o valor da
primeira parcela (positiva) tornando necessária a presença de armadura de flexão junto à
face superior das abas. Quando a solicitação da sapata for excêntrica, pode-se admitir
uma tensão uniforme σref dado por:
2
2
σ a = σ max

σ ref ≥ 3
3

σ med
(σmed = média dos valores extremos)
A armadura principal pode ser quantificada através da seguinte expressão:
A sa =
M1bd
M1ad
e A sb =
(0,8 ⋅ d1a ) ⋅ f yd
(0,8 ⋅ d1b ) ⋅ f yd
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:out/2001
fl. 11
Onde d1 é a altura útil junto à face do pilar. Convém observar ρ =
As
≥ 0,10% .
b1 h1
1.1.2.4.2. cisalhamento
A resistência ao esforço cortante pode ser verificada na seção S2 (S2a e S2b) definidas na
fig. 4.3. A força cortante (V2) na seção S2 contém três parcelas:
Devido à tensão no solo ( σ solo );
c
O peso da aba (além da seção S2); e
Peso do solo sobre a aba (além da seção S2).
ap
ca
d1a/2
c2
S2
V2a = resultante sobre a área A2a
V2b = resultante sobre a área A2b
d1a≤1,5c
d2a≤1,5c
a
d2b
cb
c2b
d1b/2
bp
A2b
S2
b
d1b/2
A2a
cb
d1a/2
d1b≤1,5c
Figura 4.3
A determinação das forças cortantes pode ser feita admitindo-se tensão uniforme no solo
igual a σref, definida anteriormente.
A tensão de cisalhamento deve ser limitada a τ2u .
τ2 d =
V2d
≤ τ2u .
b2 ⋅ d2
Para sapatas rígidas:

f 
τ2u = 0,63 ⋅ ck  ou τ2u = 0,15fcd ;
γ c 

Para sapatas isoladas semi-rígidas pode-se admitir:
c
τ2u,semi = τ2u − (2 ⋅ − 3)( τ2u − τ2u,flex ) .
h
Obs.: pode ser dispensada a armadura transversal
quando
ap
f
τ2d ≤ τ2u,flex = 0,315 ⋅ (0,5 +
) ⋅ ck ≤ 0,315
bp
γc
para sapata isolada flexível (ap <bp)
fck
(valores em MPa).
γc
ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado
data:out/2001
fl. 12
7.2 Blocos sobre Estacas
Para fundações profundas é comum a utilização de estacas, geralmente constituindo um
grupo, capeado por blocos rígidos de concreto.
É fundamental para o dimensionamento, conhecer os esforços atuantes em cada estaca
do grupo. Nos casos correntes, os estaqueamentos são simétricos com estacas atingindo
a mesma profundidade. Admite-se que o bloco seja rígido e costuma-se considerar a
hipótese das estacas serem elementos resistentes apenas a força axial (elemento de
treliça), desprezando-se os esforços de flexão.
7.2.1
Determinação das Reações nas Estacas
7.2.1.1
Bloco simétrico sujeito a cargas atuando segundo um plano de simetria
Sejam:
Nbas (força vertical),
Mbas (momento), e
Vbas (força horizontal)
Os esforços atuantes no centro do grupo de estacas junto à base (topo das estacas),
fig. 1.1.
Nbas
Mbas
Vbas
α
Figura 1.1
a) Bloco com estacas verticais iguais (nv estacas) sujeitas a carga vertical Nbas , fig. 1.2
Neste caso, como todas as estacas ficam sujeitas ao mesmo encurtamento (u), a força
normal numa estaca é dada por:
Rvert = Nbase / nv ,
Pois:
∑ R vert = ∑ (k ⋅ u) = n v ⋅ (k ⋅ u) = n v ⋅ R vert =Nbas
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data:out/2001
fl. 13
sendo k = coeficiente de rigidez axial da estaca (=
atingida pelas estacas.
E⋅A
), onde l é a profundidade
l
Nbas
u
Figura 1.2
b) Bloco com estacas verticais (np,vert pares) e estacas inclinadas de α (np,incl pares)
sujeitas a carga vertical Nbas , fig. 1.3
Rincl
Nbas
u
u
α
l
α
u.cos
l cosα
Figura 1.3
A força normal na estaca vertical é dada por:
R vert =
Nbase
2(npv + np,incl cos3 α )
;
e na estaca inclinada, por:
Rincl =
Nbase ⋅ cos2 α
2(npv + np,incl cos3 α )
.
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De fato, devido à simetria, ocorre um recalque vertical constante (u). A reação numa
estaca vertical é dada por:
R vert = k ⋅ u =
E⋅A
⋅u.
l
A reação em uma estaca inclinada vale
 E⋅A 
2
2
Rincl = kincl ⋅ uincl = 
 ⋅ (u ⋅ cos α ) = (k ⋅ u) ⋅ cos α = Rvert ⋅ cos α .
 l cos α 
Portanto,
Nbas = ∑ R vert + ∑ (Rincl ⋅ cos α ) = 2npvR vert +2np,incl (Rincl ⋅ cos α )
= 2(npv + np,incl cos3 α ) ⋅ R vert
c) Bloco com estacas verticais (np,vert pares) e estacas inclinadas de α (np,incl pares,
distribuídos em duas linhas) sujeitas a carga vertical Nbas, a momento (Mbas) e a força
horizontal (Vbas), fig. 1.4.a.
O
M0
Vbas
ho
Nbas
Mba
θ
Vbas
α
80
40 40 80
a
1
3
2
4
a
ak
(a)
(b)
(c)
Figura 1.4
A força normal na estaca vertical genérica k é dada por:
Rvert,k =
Nbas
3
2(np,vert + np,incl cos α )
+
M0ak
∑ ai2
;
vert
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E na estaca inclinada genérica (i), por:
Rincl,i =
Nbas cos2 α
3
2(np,vert + np,incl cos α )
±
Vbas
2np,incl sen α
sendo Mo = Mbas − Vbas ⋅ ho = momento em relação ao ponto O.
De fato, as parcelas devidas a Nbas já são conhecidas. Os demais efeitos resultam como
se mostra a seguir.
Efeito isolado de Vbas aplicado em O, fig. 1.4.b: as estacas verticais não são
solicitadas, pois o momento é nulo, ocorrendo uma translação do bloco; a força Vbas é
simplesmente decomposta segundo as
direções das estacas inclinadas resultando,
assim, o segundo termo de Rincl.i, pois:
Vbas = 2.np,incl.senα;
Efeito de Mo , fig. 1.4.c: provoca uma rotação do bloco em torno do ponto O de modo
que as estacas inclinadas não são solicitadas; o equilíbrio é garantido pelos binários
correspondentes a cada par de estacas verticais; tem-se:
u k = θ ⋅ a k ; R v,k = k ⋅ uk = k ⋅ θ ⋅ a k
Mo
Mo = ∑ (R v,i ⋅ a i ) = ∑ (k ⋅ θ) ⋅ a i2 → θ ⋅ k =
e, portanto
∑ a i2
Rv,k =
7.2.1.2
Mo
∑ ai2
⋅ ak (segundo termo de Rvert,k).
Bloco simétrico sujeito a cargas atuando segundo os dois planos de simetria
Sejam:
Nbas (força vertical),
Mbas,a e Mbas,b (momentos), e
Vbas,a e Vbas,b (forças horizontais)
Os esforços atuantes no centro do grupo de estacas junto à base (topo das estacas),
fig. 2.1.
Sejam, ainda,
np,vert pares de estacas verticais,
np,incl,a pares de estacas inclinadas segundo a direção a,
np,incl,b pares de estacas inclinadas segundo a direção b
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fl. 16
Oa
hoa
Nbas
Mbas,a
Vbas,a
α
Vbas,b
bk
a
Ob
Mbas,b
α
ak
b
80
hob
80
80
120
80
Figura 2.1
Aplicando as idéias desenvolvidas nos itens anteriores, tem-se a reação na estaca vertical
genérica, k, dada por:
Nbas
[
R vert,k =
2 ⋅ np,vert + (np,incl,a + np,incl,b ) cos3 α
M0aak
+
]
M0bbk
+
∑ ai2 + cos3 ∑ ai2 ∑ bi2 + cos3 ∑ bi2
vert
incl,b
vert
incl,a
e nas estacas inclinadas (k), por:
Rincl,a,k =
+
[
2 np,vert + (np,incl,a + np,incl,b ) cos3 α
+
]
±
Vbas,a
2np,incl,a sen α
Mob cos2 α ⋅ bk
∑ bi2 + cos3 α ⋅ ∑ bi2
vert
Rincl,b,k =
Nbas cos2 α
[
incl,a
Nbas cos2 α
2 np,vert + (np,incl,a + np,incl,b ) cos3 α
]
±
Vbas,b
2np,incl,b sen α
Moa cos2 α ⋅ ak
∑ ai2 + cos3 α ⋅ ∑ ai2
vert
incl,b
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fl. 17
Moa = Mbas,a − Vbas,a ⋅ hoa = momento em relação ao ponto Oa
sendo:
Mob = Mbas,b − Vbas,b ⋅ hob = momento em relação ao ponto Ob.
7.2.2
Verificações de Concreto Armado
Geralmente, os blocos têm forma retangular ou poligonal em planta, fig 3.1.
a
ces
cao
ap
co
bp
b
cest
cb
ca
cbo
aes
co
Figura 3.1
As abas podem ter espessura constante h, ou variável (de ho a h), fig. 3.2.
a
a
a
ca
cao co
αa
h
a
ho
ca
cao co
30cm
h≥

0,8l b 
30cm
ho ≥ 
h / 3
cest = (2,5 a 3) ⋅ a est
b
b
b
cb
cbo co
αb
h
ho
b
cb
cbo co
Figura 3.2
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a est
co ≥ 
25φ s
α a ≤ 30o
α b ≤ 30o
ca =
cb =
a − ap
2
b − bp
2
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fl. 18
Costuma-se fixar a altura do bloco rígido (h) obedecendo as seguintes relações
2
sendo ci igual ao maior valor entre cao e cbo .
geométricas: c i ≤ h ≤ 2c i ;
3
7.2.2.1
Flexão
Em geral, a flexão pode ser verificada nas seções de referência S1 (S1a e S1b), conforme
mostra a fig. 3.3.
ca
ap
0,15a
M1a = momento na seção S1a (CG)
provocado pelas estacas
posicionadas na área (CDFG)
M1b = momento na seção S1b (AE)
provocado pelas estacas
posicionadas na área (ABDE)
ca
0,15a
d1a≤1,5
S1
a
d1b≤1,5c
C
B
D
cb 0,15b
bp
cb
S1b
b
A
0,15b
E
S1b
S1a
F
G
Figura 3.3
Obs.: no cômputo dos momentos M1a e M1b pode-ser desprezada a inclinação
das estacas, (cosα ≅ 1); normalmente, pode-se adotar d1 ≅ h - aest/4.
A armadura principal pode ser quantificada através da seguinte expressão:
A sa =
M1bd
M1ad
e A sb =
(0,8 ⋅ d1) ⋅ fyd
(0,8 ⋅ d1 ) ⋅ f yd
As
≥ 0,10% .
b1h1
As barras que compõem as armaduras principais de flexão devem cobrir toda a extensão
da base e ter ganchos de extremidade. Pode-se adotar φ ≥ 10 mm e espaçamento
s ≤ 20 cm. Normalmente, estas armadura podem ser distribuidas de maneira uniforme por
toda a base.
Onde d1 é a altura útil junto à face do pilar. Convém observar ρ =
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fl. 19
7.2.2.2
Cisalhamento
Em geral, a resistência ao esforço cortante pode ser verificada nas seções S2 (S2a e S2b)
definidas na fig. 3.4.
c
ap
ca
d1a/2
V2a = soma das reações das estacas
posicionadas na área A2a
V2b = soma das reações das estacas
posicionadas na área A2b d1a≤1,5c
d2a≤1,5c2
S2
a
d2b
cb
c2
c2b
A2b
d1b/2
bp
d1b/2
S2
b
A2a
bp
+
d1a/2
cb
a p + d1
d1b≤1,5c
Figura 3.4
Obs.: quando uma ou mais estacas estiverem situadas a distâncias inferiores a d1 /2 da
face do pilar, a seção S2 deve ser tomada junto à face deste pilar com largura b2 e altura
útil d1; e no cômputo das forças cortantes, pode-se desprezar a inclinação das estacas
(admitir cos α ≅ 1)
A tensão de cisalhamento deve ser limitada a τ 2 u .
τ2 d =
V2d
≤ τ2u .
b2 ⋅ d2
onde

f
τ2u = 0,63 ⋅ ck
γc


 ou τ2u = 0,15fcd .

A resistência ao esforço cortante deve ser verificada, também, junto às estacas de canto,
fig. 3.5. Deve-se verificar:
γ fR
≤ τ2u .
b2c d2c
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d2c
d1c
aest
d1c /2
R
b2c = aest + d1c
Figura 3.5
7.2.2.3 Observações
a) em blocos com estacas alinhadas, fig. 3.6, convêm adotar estribos com ρwmin , porta
estribos de mesmo diâmetro e armaduras de pele;
Figura 3.6
b) em blocos com estacas em disposição poligonal, as armaduras de tração podem ser
posicionadas segundo os lados do polígono; em geral, a quantidade de armadura As,l
sobre cada par de estacas adjacentes pode ser estimada como segue, fig. 3.7:
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Asl
S1
M1 = Ri . c1
Zp
Asl
Z
Z = M1 /(0,8 d1)
α
Zp = (Z/2) / cos α
c1
Asl = γn.γf Zp / fyd
Asl
γn = 1,1
Z
Ri
Figura 3.7
c) neste caso, (fig. 3.8), quando cest > 3 aest, convém utilizar armadura de suspensão
(estribos) enfeixando as barras de tração posicionadas sobre cada par de estacas; a
força suspender pode ser estimada em
N
Z d = d ⋅ γ n com γn = 1,1 (aplicar γn, também, ao cálculo da armadura de tração).
1,5n
Figura 3.8
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7.2.3
Blocos sobre duas Estacas pelo modelo Biela-Tirante
a) Verificação do concreto:
ae
b
bp
ae
a
Qd
d
h
ao
l
ao
Fixação das dimensões:
tanθ = d / ( l 3 /2 - a/4)
dmin = 0,5 ( l - a/2);
(45o ≤ θ ≤ 55o)
dmax = 0,71 ( l - a/2)
Compressão nas bielas:
σ cd,biel,p =
Qd
A p sen2θ
σ cd,biel,est =
≤ 1,4 fcd
Qd
2A est sen2θ
≤ 0,85 fcd
c) Armadura:
Qd
d
h
ao
l
ao
Estribos:
(Asw/s)min = 0,15 %
8cm ≤ s ≤ 15cm
“Pele”:
(As/s) = 0,075% (cada face)
10cm ≤ s ≤ 20cm
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7.2.4
a)
Blocos sobre três Estacas
Verificação do concreto
a
a
ae
θ
Rest
Fixação das dimensões:
tanθ ≅ d / ( l 3 /3 - 0,3a)
dmin = 0,58 ( l - a/2);
(45o ≤ θ ≤ 55o)
dmax = 0,83 ( l - a/2)
Compressão nas bielas:
N
d
≤ 1,75 fcd
A sen 2 θ
p
Nd
≤ 0,85 fcd
σ cd, biel, est =
3A est sen2θ
σ
cd, biel, p
=
b) Armadura
Qd
d
h
ao
l
ao
Estribos: (Asw/s)min = 0,15 %
8cm ≤ s ≤ 15cm
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7.2.5
Blocos sobre quatro Estacas – Aplicação ao Edifício Exemplo
Solução para a fundação do pilar P7: quatro estacas pré-moldadas φ40 para 700KN cada.
7.2.5.1
Formas:
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7.2.5.2
Esforços Solicitantes:
1
Mx
2
Mx = 21,67 KNm
My
My = 64,96 KNm
Nk = 2358,3 KN
3
4
Peso Próprio do Bloco: 25x(1,80x2,10x0,70)=71 KN
7.2.5.3
Reações nas Estacas:
2358 + 71 64,96
21,67
−
−
= 572 KN
4
1,30 x2 1,00 x2
2358 + 71 64,96
21,67
R2 =
+
−
= 622 KN
4
1,30 x2 1,00 x2
2358 + 71 64,96
21,67
R3 =
−
+
= 593 KN
4
1,30 x 2 1,00 x2
2358 + 71 64,96
21,67
R4 =
+
+
= 643 KN
4
1,30 x2 1,00 x2
R1 =
Segue que RMAX = 643 KN < Ru,estaca = 700 KN OK!
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7.2.5.4
Determinação da altura d:
d
θ = arctg ; 45 o ≤ θ ≤ 55 o
x
Para θ = 45o ⇒ d = 66,5 cm; adotado d = 70 cm ⇒ θ = 46,5o
Biela comprimida
θ
7.2.5.5
σbp, d =
Rs
Verificação junto ao pilar
Neq, d
2
≤ 2,1 fcd
Apxsin θ
643 x1,4
2.1x25000
⇒ σbp, d =
= 13853 KN/m 2 <
= 37500 KN/m 2 OK!
2
1
,
4
0,19 x0,65 xsin 46,5
7.2.5.6
σbe =
Verificação junto à estaca
Neq, d
≤ 0,85 fcd
Aexsin 2 θ
643 x1,4
0,85 x25000
⇒ σbe =
= 13622 KN/m 2 <
= 15179 KN/m 2 OK!
2
1,4
πx0,40
xsin 2 46,5
4
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7.2.5.7
Determinação das Armaduras
β = 47,1o
θ
Rs2
β
Rs1
Re
Re
x cos β = 415 KN
tgθ
Re
Rs2 =
x sen β = 447 KN
tgθ
Rs1 =
As =
γnxRs, d
;
σsd
σsd =
fyk
= 43,48 KN/cm 2
1,15
1,1 x1,4 x415
= 14,7cm 2
43,48
1,1 x1,4 x447
= 15,8 cm 2
As2 =
43,48
As1 =
(adotado 8φ16 (16 cm2))
Será adotado a mesma armadura para ambas direções dos blocos.
Ancoragem: la, nec = 0,8 lb - 10φ
Onde lb = lb1
σsd , ef
fyd
Para fck = 25 MPa e fyk = 500 MPa tem-se que lb1 = 38φ
Portanto: σsd , ef =
50
15,8
x
= 39 KN/ cm 2
1,1x1,15 16




39 

E la, nec = 0,8 38φ
- 10φ ≈ 17,3φ = 27,7 cm

50 


1,15 

(existente: φe – 3cm = 37cm ok!)
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7.2.5.8
Detalhamento
Corte A
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Corte B
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