2001

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Em todas as questões, está fixado um sistema ortogonal
~
(O, i, ~j, ~k) com base (~i, ~j, ~k) positiva.
a1Q1: Sejam r uma reta, A e B dois pontos distintos não pertencentes a r. Seja L o lugar geométrico dos pontos C ∈ r tais
que o triângulo ABC tem área constante k. Assinale a alternativa
FALSA. O conjunto L pode ser:
a) um segmento de reta.
b) um conjunto vazio.
c) um conjunto unitário.
d) uma reta.
e) dois pontos.
(
a1Q2: A equação geral do plano que contém a reta r :
√
e que dista 2 do ponto P = (1, 1, 1) é:
x+y =0
x−z =0
a) x + y = 0 ou y + z = 0.
b) x − y = 0 ou y + z = 0.
c) x + y = 0 ou y − z = 0.
d) x + z = 0 ou y + z = 0.
e) x + y = 0 ou x + z = 0.
(
x−z−1=0
y−z+1=0
rad com a reta s: X = (1, 1, 1)+λ(1, 0, 1) é:
a1Q3: A equação do plano que contém a reta r :
e que forma ângulo de
π
6
a) y − z + 1 = 0 ou x − y − 2 = 0.
b) y + z − 1 = 0 ou x + y − 2 = 0.
c) x + y + z + 1 = 0 ou x − y + 2 = 0.
d) x + y + 1 = 0 ou x + y − z − 2 = 0.
e) x − y − z − 1 = 0 ou x − y − 2 = 0.
2
(
x−y+z =0
. O plano π que
x + y − 2z − 1 = 0
contém r e passa por P = (1, 1, 1) é:
a1Q4: Seja a reta r :
a) π : 2x − z − 1 = 0.
b) π : x − y + 2z − 2 = 0.
c) π : 3x − y − 1 = 0.
d) π : 3x + y − 3z − 3 = 0.
e) π : x + y − 2z = 0.
a1Q5: A equação da reta que passa pela origem, é ortogonal à
reta r : 2x = y = 3z e é paralela ao plano π : x − y − z + 2 = 0 é
dada por:
a) 45x = −36y = 20z.
b) X = (0, 0, 0) + λ( 49 , 59 , 1).
(
c) s :
d) s :
y = 2x − 5
z = −x + 2

4

 x = 9λ
y = 1λ
9

 z = 5λ
9
e) X = (0, 0, 0) + λ(4, −5, 1).
a1Q6: O conjunto dos pontos do plano π : x + y + z − 2 = 0 que
distam 4 da reta r : (x, y, z) = (1, 1, 1) + α(−1, −1, 2) é:
a) a união de duas retas paralelas.
b) uma reta.
c) vazio.
d) a união de duas retas concorrentes.
e) a união de duas semi-retas de mesma origem.
3
(
a1Q7: Suponha que a reta t encontra as retas r :
es:
x−y+1=0
x+z−1=0


 x=1+α
y = 2 + 2α em pontos distintos. Nessas condições pode-

 z = −α
mos afirmar que:
a) t é ortogonal ao vetor ((1, −1, 0) ∧ (1, 0, 1)) ∧ (1, 2, −1).
b) t é ortogonal ao vetor (1, −1, 0) ∧ ((1, 0, 1) ∧ (1, 2, −1)).
c) t é perpendicular ao plano x − y + 1 = 0.
d) t é perpendicular ao plano x + z − 1 = 0.
e) t é ortogonal à toda reta de vetor diretor (1, −1, 0) ∧ (1, 0, 1).
a1Q8: Duas partı́culas movimentam-se de acordo com as seguintes
equações: X = (1, 1, 0) + t(1, 1, −1) e X = (−1, 1, −4) + t(2, 1, 1).
Podemos afirmar que:
a) haverá colisão.
b) não haverá colisão.
c) as trajetórias se cruzam, mas não haverá colisão.
d) as trajetórias não se cruzam.
e) as trajetórias são as mesmas, mas não haverá colisão.
a1Q9: Sejam os pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 1), C = (1, 2, 1)
e D = (0, 1, 0). O ponto simétrico de A com relação ao plano
determinado por B, C e D é:
a) E = (−1, 2, 0).
b) E = (1, −3, 0).
c) E = (2, −2, 0).
d) E = (0, 2, −1).
e) E = (−3, 2, 1).
4
a1Q10: Consideremos as seguintes afirmações:
I - Sejam ~n1 , ~n2 , ~n3 vetores normais aos planos π1 , π2 , π3 , respectivamente. Se (~n1 , ~n2 , ~n3 ) é L.D., então π1 ∩ π2 ∩ π3 é um ponto.
II - Sejam ~u e ~v vetores e P um ponto. Então existe um único
plano π onde ~u e ~v são paralelos a π e P ∈ π.
III - Seja uma r uma reta. Então existem planos π1 e π2 tais que
r = π1 ∩ π2 .
a) Apenas a afirmação (III) é verdadeira.
b) Apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (I) e (III) são verdadeiras.
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
e) Todas as afirmações são falsas.
a1Q11: Para que o ângulo entre as retas r :
(
s:
x−2
y
z
=
=
e
4
5
3
π
y = nx + 5
seja devemos ter:
z = 2x − 2
6
a) n = 1 ou n = 7.
b) n = 2 ou n = 5.
c) n = −1 ou n = 5.
d) n = −1 ou n = −7.
e) n = −2 ou n = −5.
a1Q12: Seja π o plano que passa pelo ponto A = (1, −3, 4) e que
intercepta os três semi-eixos de mesmo sinal a igual distância da
origem do sistema. A distância da origem até o plano π é:
√
2 3
.
a)
3
√
3
b)
.
3
√
3 2
c)
.
2
√
4 3
d)
.
3
√
3
e)
.
2
5
a1Q13: Considere os planos π1 : ax + by + cz + d = 0 e
π2 : ax + by + cz + d − 1 = 0. Podemos afirmar que:
a) a distância entre os planos é igual a 1.
b) esses planos não são coincidentes.
c) a distância entre os planos é menor do que 1.
d) a distância entre os planos é maior do que 1.
e) os planos podem ser coincidentes.
a1Q14: O conjunto dos pontos de E 3 que satisfazem
a equação
2
2
(x + y + z−1) (x + y + z−1) + (x − y + 2) = 0 é formado por:
a) uma reta e um plano paralelos.
b) uma reta e um plano perpendiculares.
c) duas retas perpendiculares.
d) uma reta e uma circunferência.
e) duas retas paralelas.
a1Q15: Sejam A = (0, 0, 0) e a reta r : X = (−5, 6, 8)+λ(5, −3, −4).
Sabemos que existe um quadrado onde A é um vértice e dois
pontos de uma diagonal estão em r. Os outros três vértices do
quadrado estão contidos no seguinte conjunto:
a) {(0, 3, 4), (5, 3, 4), (5, 0, 0), (−10, 9, 12)}.
b) {(−15, 12, 16), (5, 3, 4), (5, 0, 0), (−5, 6, 8)}.
c) {(0, 3, 4), (−5, 6, 8), (5, 0, 0), (−10, 9, 12)}.
d) {(0, 3, 4), (5, 3, 4), (10, −3, −4), (15, −6, −8)}.
e) {(15, −6, −8), (5, 3, 4), (5, 0, 0), (−10, 9, 12)}.
(
a1Q16: A medida do ângulo entre a reta r :
a reta s : X = (1, 1, 1) + λ(1, −1, 1) é:
a) arc cos( 31 ).
b) arc sen( 13 ).
c) arc cos( 32 ).
d) arc sen( 23 ).
e) arc sen( −1
3 ).
x−y−1=0
e
x+z−2=0
6
a1Q17: Dados A = (1, 1, 1) e r : X
2). Sejam
√ = (1, 1, 0)+λ(1, −1,
−−→
B e C os pontos de r que distam 11 de A. O vetor BC pode ser
dado por:
a)
b)
c)
d)
e)
8
, − 83 , 16
3 .
3
7
, − 73 , 14
3 .
3
− 5 , 5 , − 10
3 .
3 3
10
10 20
,− 3 , 3 .
3
− 43 , 43 , − 83 .
y
= z+1 e s :
a1Q18: Para que as retas r : x−5 =
m
sejam concorrentes devemos ter:
(
y = 2x − 5
z = −x + 2
a) m = −3.
b) m = 3.
c) m = −8.
d) m = 8.
e) m = 5.
a1Q19: Considere as retas r :



 x = a1 + αu1
y = a + αu
2
2

 z = a + αu
3
3

,s:


 x = b1 + βv1
y = b + βv
2
2

 z = b + βv
3
3
u1
u2
u3

v1
v2
v3
. Lembrando que o
b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3
posto de uma matriz é o número de linhas L.I.; se posto (A) > 1
e det(A) = 0 podemos afirmar que as retas r e s são:
e a matriz A = 

a) coplanares.
b) reversas.
c) concorrentes.
d) paralelas.
e) coincidentes.
7
a1Q20: Considere os planos π1 : z = 0, π2 : x − z = 0 e o ponto
P = (1, 1, 1). O número de retas que passam pelo ponto P , são
paralelas a π2 e formam um ângulo de π6 rad com o plano π1 é:
a) 2.
b) 1.
c) 0.
d) 4.
e) infinito.