Definição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer

Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (6.1): Definimos equação diferencial como uma qualquer relação entre uma função
e as suas derivadas.
Definição (6.2): Seja
e
uma função real incógnita definida num intervalo
aberto . À relação (
)
chamamos equação diferencial ordinária, que
abreviamos por EDO. Definimos ordem da equação como a ordem da derivada de ordem
superior que aparece na relação.
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João Cabral
~1~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Classificação de EDO’s:
1. Dizemos que uma EDO de ordem
é linear se é da forma
onde
são funções reais de variável real e
é não
identicamente nula. Se
é identicamente nula, dizemos que a EDO é linear
homogénea.
2. Todos os restantes tipos de EDO’s designamos por não-linear.
Definição (6.3): Dizemos que uma EDO linear é de coeficientes constantes se é da forma
onde
são constantes reais.
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João Cabral
~2~
Capítulo 6
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Definição (6.4): Seja (
)
uma EDO. Fixemos uma função real
definida
num intervalo aberto . Dizemos que é uma solução particular da EDO com intervalo de
definição se (
)
. Dizemos que
se
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satisfaz as condições iniciais
.
João Cabral
~3~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
EDO’s de Primeira Ordem
Definição (6.5): Consideremos a EDO
. Suponhamos que queremos determinar
uma solução desta EDO que satisfaz a condição inicial
. A um problema deste
género chamamos um problema de valor inicial. À curva induzida pela solução de um
problema deste tipo denominamos curva integral de
.
Nota: Os conceitos de problema de valor inicial e de curva integral generalizam-se trivialmente
para EDO’s de ordem maior ou igual a dois.
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~4~
Capítulo 6
As curvas integrais da EDO
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são da forma
João Cabral
.
~5~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Seja uma solução particular de
tangente a é dada por
Os vectores tangentes ao gráfico de
que passa pelo ponto
têm a direcção de (
no
Definição de campo de direcções: A uma EDO da forma
vectores tangentes às curvas integrais dado por
(
. Então a recta
).
, associamos o campo de
)
que denominamos por campo de direcções.
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~6~
Capítulo 6
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Campo de direcções de
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João Cabral
~7~
Capítulo 6
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João Cabral
~8~
Capítulo 6
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Campo de direcções de
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~9~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Solução geral da equação:
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João Cabral
~ 10 ~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Campo de direcções de
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 11 ~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Solução geral da equação:
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João Cabral
~ 12 ~
Capítulo 6
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Campo de direcções de
(equação do movimento de queda dos corpos)
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~ 13 ~
Capítulo 6
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Campo de direcções de
(equação do crescimento da população)
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~ 14 ~
Capítulo 6
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Campo de direcções de
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~ 15 ~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (6.6): Seja uma função real a uma variável real. Definimos equação autónoma de
1ª ordem a uma equação do tipo
A uma função constante que seja solução particular desta equação chamamos solução de
equilíbrio. Os pontos que anulam a função denominamos por pontos de equilíbrio ou
pontos críticos.
Nota: Uma função constante
.
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é uma solução de equilíbrio de
João Cabral
se e só se
~ 16 ~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Classificação de soluções de equilíbrio: Seja
1. assimptoticamente estável: Existe
de valor inicial da forma
uma solução de equilíbrio de
tal que, para toda a solução
]
com intervalo de definição [
2. instável: Para todo o
forma
de um problema
[
[, temos que
, existe uma solução
de um problema de valor inicial da
]
com intervalo de definição [
.
[
[, tal que
3. semi-estável: Se verifica a definição de assimptoticamente estável á esquerda
]
[ ) e a definição de instável à direita (
]
[ ou vice-versa.
(
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~ 17 ~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema de Peano: Consideremos o problema de valor inicial
{
Suponhamos que é contínua num rectângulo
] [
existe um real
tal que [
].
uma solução no intervalo [
[
] [ ] centrado em
. Então
] e o problema de valores iniciais admite
Consideremos o problema de valor inicial
{
Toda a função da forma
{
é solução deste problema!
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João Cabral
~ 18 ~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema de Picard: Consideremos o problema de valor inicial
{
Suponhamos que
e
. Então existe um real
tal que [
iniciais tem uma e uma só solução no intervalo [
Nota: No exemplo anterior,
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[
são contínuas num rectângulo
]
[
]
[
] centrado em
] e o problema de valores
].
não admite derivada em ordem a em zero.
João Cabral
~ 19 ~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema de Existência e Unicidade para Equações Lineares de 1ª Ordem: Consideremos uma
EDO linear de 1ª ordem na forma
1. Suponhamos que
e
são contínuas no intervalo aberto . Dados
existe uma e uma só solução do problema valor inicial
definida no intervalo .
2. Seja
uma primitiva de
,
. Então a equação acima é equivalente à equação
(
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e
)
João Cabral
~ 20 ~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Nota:
1. Os gráficos de duas soluções particulares distintas, com intervalo de definição , de uma
EDO de 1ª ordem da forma
nunca se intersectam;
2. Como a função nula é solução de
, uma solução desta equação, com
intervalo de definição , ou é nula em ou não admite zeros em .
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João Cabral
~ 21 ~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
As soluções de uma EDO podem ser obtidas em duas formas:
1. Forma explícita, ou seja, na forma
;
2. Forma Implícita, ou seja, na forma de equação a duas variáveis reais
. Em
casos muito particulares podemos obter várias soluções na forma explícita a partir da
solução na forma implícita. O teorema da função implícita permite-nos obter informação
sobre as derivadas de .
Lembrete: Teorema da função implícita.
Seja
uma função real a duas variáveis reais de classe
e
em
na qual
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aberto . Seja
. Então existe uma bola aberta de centro em
define
como função de
João Cabral
de classe
tal que
contida
e
~ 22 ~
Capítulo 6
Consideremos a EDO
equação na forma
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
. Através de manipulação algébrica podemos escrever esta
Para esta última equação também usamos a notação
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João Cabral
~ 23 ~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (6.7): A uma EDO de 1ª ordem da forma
Denominamos por equação de variáveis separáveis.
Teorema (6.8): Consideremos a equação de variáveis separáveis
] [ ]. Sejam
onde
são funções contínuas num rectângulo [
e
primitivas de, respectivamente,
e
. A solução geral desta ODE é dada na forma
implícita pela família de curvas
onde é uma constante real arbitrária.
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João Cabral
~ 24 ~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (6.9): Denominamos por equação de Bernoulli a uma EDO de 1ª ordem do tipo
onde
são funções contínuas num intervalo e
{
}.
Teorema (6.10): A mudança de variável definida por
para
ordem.
função não nula, transforma uma equação de Bernoulli numa equação linear de 1ª
Nota: A função nula é solução de qualquer equação de Bernoulli.
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João Cabral
~ 25 ~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição(6.11): Uma EDO de 1ª ordem diz-se homogénea se é da forma
( )
onde
é uma função real a uma variável real.
Teorema (6.12): Toda a equação homogénea reduz-se a uma equação de variáveis separáveis
através da substituição
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~ 26 ~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (6.13): Consideremos a EDO de 1ª ordem
tal que
A uma EDO nestas condições denominamos por equação exacta.
Teorema (6.14): Sejam
Seja
funções de classe num rectângulo [
uma EDO exacta e
tal que
]
[
].
Então a EDO é exacta com solução geral na forma implícita dada pela família de curvas
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~ 27 ~
Capítulo 6
Definição (6.15): Seja
de 1ª ordem
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
,
. Dizemos que
se a equação
é um factor integrante para a EDO
é exacta.
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~ 28 ~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (6.16): Consideremos uma EDO linear de 1ª ordem na forma
Suponhamos que
depende só da variável . Então a EDO
admite factores integrantes
que dependem só de e são solução particular da EDO linear homogénea de 1ª ordem
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João Cabral
~ 29 ~
Capítulo 6
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (6.17): Consideremos uma EDO linear de 1ª ordem na forma
Suponhamos que
depende só da variável . Então a EDO
admite factores integrantes
que dependem só de e são solução particular da EDO linear homogénea de 1ª ordem
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João Cabral
~ 30 ~
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema de Existência e Unicidade para Equações Lineares de 2ª Ordem: Consideremos o
problema de valor inicial
( )
( )
( ) ( )
( )
Suponhamos que ( ) ( ) ( ) são funções contínuas num intervalo aberto ao qual
pertence . Então existe uma e uma só solução com intervalo de definição para o problema
de valor inicial indicado.
Nota: Os gráficos de duas soluções particulares distintas, com intervalo de definição , de uma
( )
( )
( ) podem intersectar-se em , mas
EDO de 2ª ordem da forma
têm rectas tangentes distintas no ponto de intersecção, ou seja, não podem ser tangentes.
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João Cabral
~1~
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (7.1): Se ( ) e ( ) são soluções particulares com intervalo de definição da EDO
linear homogénea de 2ª ordem
( )
( )
onde ( ) ( ) ( ) são funções contínuas em . Então, para quaisquer constante reais
( )
e ,
( ) é solução particular da EDO linear de 2ª ordem. Ou seja, as soluções
( )
( )
particulares de
com intervalo de definição formam um espaço
vectorial real.
Nota: Estamos a considerar como operações definidas no espaço vectorial a soma usual de
funções e a multiplicação usual de uma função por uma constante.
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João Cabral
~2~
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (7.2): Sejam
funções reais definidas num intervalo aberto . Dizemos que
estas funções são linearmente dependentes em se existem constantes reais
, onde
pelo menos uma destas constante é não nula, tais que
( )
( )
Dizemos que as funções são linearmente independentes em se a condição
( )
Implica que
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( )
.
João Cabral
~3~
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (7.3): Sejam
funções reais de classe ( ) num intervalo aberto .
)( ) , como o
Definimos Wronskiano destas funções, e representamos por (
determinante
( )
|
Teorema (7.4): Sejam
tal que (
(
)
( )
( )
)
|
( )
funções reais de classe ( ) num intervalo aberto . Se existe
)( )
, então
são linearmente independentes em .
Nota: Do teorema 7.4 concluímos que se
(
)( )
, para todo o
.
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(
João Cabral
são linearmente dependentes em então
~4~
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Nota: O recíproco do teorema (7.4) não é verdadeiro. Considere as funções de classe
]
[
definidas por
()
()
{
Estas duas funções são linearmente independentes, no entanto, para todo o
(
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]
[,
)( )
João Cabral
~5~
,
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema de Abel: Sejam ( ) e ( ) soluções particulares com intervalo de definição da
EDO linear homogénea de 2ª ordem
( )
Suponhamos que ( )
(
)( ) é dado por
( )
( ) são contínuas em
(
)( )
. Nestas condições, o Wronskiano
( )
onde ( ) é uma primitiva de ( ) e é uma constante real que depende de e . Além
)( ) é constantemente igual a zero (
disso, ou (
) em ou nunca se anula em
(
).
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João Cabral
~6~
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (7.5): Sejam ( ) e ( ) soluções particulares com intervalo de definição da EDO
linear homogénea de 2ª ordem
( )
onde
( )
( )
( ) são contínuas em . Suponhamos que existe
(
tal que
)( )
Então toda a solução particular definida em é da forma
( )
onde
( )
são constantes reais.
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João Cabral
~7~
Capítulo 7
Teorema (7.6): Seja
inicial
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
( ) uma solução com intervalo de definição do problema de valor
( )
( )
( )
onde ( ) ( ) são contínuas em . Suponhamos que
definição do problema de valor inicial
( )
( )
( )
( )
( ) é uma solução com intervalo de
( )
Então as funções ( ) e ( ) são uma base do espaço vectorial das soluções particulares
( )
( )
com intervalo de definição de
.
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João Cabral
~8~
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Corolário (7.7): Consideremos a EDO linear homogénea de 2ª ordem
( )
( )
onde ( ) ( ) são contínuas em . O conjunto das soluções particulares com intervalo de
definição desta equação é um espaço vectorial de dimensão 2.
Definição(7.8): Consideremos a EDO linear homogénea de 2ª ordem
( )
( )
onde ( ) ( ) são contínuas em . A uma base do conjunto das soluções particulares com
intervalo de definição desta equação chamamos sistema fundamental de soluções.
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João Cabral
~9~
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Nota: Para que duas soluções particulares com intervalo de definição da EDO linear
homogénea de 2ª ordem
( )
( )
( ) ( ) são contínuas em , formem um sistema fundamental é necessário e
onde
suficiente que estas sejam linearmente independentes em .
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João Cabral
~ 10 ~
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Método de d’Alembert: Seja ( ) uma solução particular da EDO linear homogénea de 2ª
ordem
( )
( )
A substituição
( )
( ) ( )
reduz a EDO linear homogénea de 2ª ordem a uma EDO linear homogénea de 2ª ordem da
seguinte forma
( )
Agora efectuamos a mudança de variável
( )
( )
e obtemos a EDO de 1ª ordem homogénea
( )
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João Cabral
~ 11 ~
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (7.9): Dada a EDO linear homogénea de 2ª ordem de coeficientes constantes
Definimos polinómio característico desta equação como o polinómio
Nota: O polinómio característico indicado na definição anterior admite
1. ou duas raízes reais distintas com multiplicidade um cada;
2. ou uma raiz real de multiplicidade dois;
3. ou duas raízes complexas que são conjugadas entre.
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João Cabral
~ 12 ~
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (7.10): Consideremos a EDO linear homogénea de 2ª ordem de coeficientes
constantes
Sejam
e
as raízes do polinómio característico da EDO indicada.
1. Se
e
, então (
EDO indicada, tendo esta solução geral
2. Se
e
, então (
indicada, tendo esta solução geral
) é um sistema fundamental de soluções da
) é um sistema fundamental de soluções da EDO
3. Se ( )
, então
̅ e( (
)
(
)) é um sistema fundamental de
soluções da EDO indicada, tendo esta solução geral
(
)
(
)
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João Cabral
~ 13 ~
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (7.11): Consideremos a EDO linear de 2ª ordem
( )
( )
( )
Seja ( ) uma solução particular com intervalo de definição desta. Seja ( ( ) ( )) um
sistema fundamental com intervalo de definição da equação homogénea associada
( )
( )
Então a solução geral da EDO linear de 2ª ordem é dada por
( )
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( )
João Cabral
( )
~ 14 ~
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Método da variação das constantes para EDO’s lineares não homogéneas de 1ª ordem:
Consideremos a EDO
( )
( )
( )
A equação homogénea associada,
, tem por solução geral
( )
onde ( ) é uma primitiva de ( ) . Consideremos que ( ) ( ) é solução da EDO não
homogénea. Substituindo esta função na EDO não linear obtemos a condição
( )
( )
( )
Como tal, a solução geral da EDO não linear é
( )
onde ( ) é uma primitiva de
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( )
( )
( )
( ).
João Cabral
~ 15 ~
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (7.12): Sejam ( ) e ( ) soluções particulares com intervalo de definição da
EDO linear homogénea de 2ª ordem
( )
( )
onde ( ) ( ) são contínuas em . As funções
em se e só se, para todo o
,
(
( )e
( ) são linearmente dependentes
)( )
Nota:
1. O teorema (7.12) complementa o teorema (7.4) única e exclusivamente no caso de
soluções particulares de EDO’s lineares homogéneas.
2. Aplicando o teorema (7.12) ao Teorema de Abel concluímos que As funções ( ) e ( )
são linearmente dependentes em se e só se
.
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João Cabral
~ 16 ~
Capítulo 7
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Método da variação das constantes para EDO’s lineares não homogéneas de 2ª ordem:
Consideremos a EDO
( )
Seja ( ( )
( )
( )
( )) um sistema fundamental da equação homogénea associada
( )
( )
Queremos que ( )
( ) ( )
( ) ( ) seja solução da EDO não homogénea.
( ) ( )
Derivamos ( ) e impomos a condição ( ) ( )
. Substituindo ( ) na
( ) ( )
EDO não linear obtemos a condição ( ) ( )
( ). As funções ( ) e ( )
são as funções incógnitas do sistema
{
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
)( ), o facto de
Como o determinante da matriz associada a este sistema é (
( ( ) ( )) ser um sistema fundamental de soluções da equação homogénea associada
garante-nos, pela teorema (7.12), que podemos então resolver este sistema, por exemplo,
recorrendo à regra de Cramer.
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João Cabral
~ 17 ~
Capítulo 8
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
[ . Definimos
Definição (8.1): Seja
uma função real definida no intervalo [
Transformada de Laplace desta função, e representamos por { } ou por , à função
{
}
∫
caso esta exista.
Teorema (8.2): Seja
uma função real definida no intervalo [
[ tal que:
1. Para todo o
, a função é seccionalmente contínua no intervalo [
2. A função é uma função de ordem exponencial, ou seja,
|
|
Então transformada de Laplace de
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está definida para
João Cabral
];
.
~1~
Capítulo 8
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
funções reais definidas no intervalo [
}
e que {
existe para
.
Propriedades (8.3): Sejam
e
}
Suponhamos que {
existe para
[.
} existe para
1. Linearidade: Para quaisquer constantes reais
, temos {
{
}e
{
}
{
}
{
}
2. Transformada da derivada: Se verifica as condições do teorema (8.2) e se é de classe
],
} existe para
por secções em qualquer intervalo do tipo [
, então {
e
{
}
{
}
3. Derivada da Transformada: Para
,
{
4. Deslocamento em : Para
{
}
,
{
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}
}
João Cabral
{
}
~2~
Capítulo 8
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Nota: Por indução obtemos
1. da alínea 2 do teorema (8.3),
{
}
{
}
2. da alínea 3 do teorema (8.3),
{
Definição (8.4): Seja
]
[
}
tal que existe
{
Denominamos
[
[
}
com
}
por transformada de Laplace inversa de
{
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{
e representamos por
}
João Cabral
~3~
Capítulo 8
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Nota: Devido à linearidade da transformada de Laplace, resulta a linearidade da transformada
[ que
de Laplace inversa, ou seja, se
são funções reais definidas no intervalo ]
admitem transformada de Laplace inversa e
constantes reais, temos que
{
}
{
}
{
Teorema (8.5): Sejam
e
funções reais definidas no intervalo [
do teorema (8.2). Se existe tal que para
,
{
então
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para todo o ponto
}
{
onde
João Cabral
}
[ e nas condições
}
são contínuas.
~4~
Capítulo 8
Definição (8.6): Seja
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
. Definimos função degrau unitário ou função Heaviside como
[
[
{
O gráfico desta função é:
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João Cabral
~5~
Capítulo 8
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
[
Dada uma função [
, a esta podemos associar a função
que
representa uma translação da função original. Em termos da representação gráfica destas:
Gráfico de
Slides de apoio ao turno T2
Gráfico de
João Cabral
~6~
Capítulo 8
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (8.7): Seja
. Então
[
e
{
[
. Suponhamos que {
}
{
}
está definida para
}
Nota: Do teorema (8.7) resulta a propriedade de deslocamento em ,
{
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}
{
João Cabral
}
~7~
Capítulo 8
Seja
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
. Consideremos uma função força da forma
[
]
{
O impulso total desta força é
∫
Consideremos
[
]
e a sucessão de funções
[
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
]
~8~
Capítulo 8
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Representação gráfica da sucessão de funções
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João Cabral
~9~
Capítulo 8
Definição (8.9): Seja
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
. Definimos Delta de Dirac, e representamos por
, como
Nota: O Delta de Dirac não é uma função no sentido usual pois
e
∫
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~ 10 ~
Capítulo 8
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Propriedades do Delta de Dirac:
1. Se
é uma função real a uma variável real contínua numa vizinhança de
,
∫
2.
{
}
[
[
Definição (8.10): Sejam
funções seccionalmente contínuas. Definimos
produto de convolução entre e , e representamos por
, como
∫
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João Cabral
~ 11 ~
Capítulo 8
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Propriedades algébricas do produto de convolução: Sejam
seccionalmente contínuas e
.
1.
2.
3.
4.
5.
[
funções
;
Nota: Em geral não é verdade a igualdade
[
[
Teorema (8.11): Sejam
existe transformada de Laplace em [
{
Slides de apoio ao turno T2
[
}
. Por exemplo, se
,
funções seccionalmente contínuas para as quais
[. Então
{
}
João Cabral
{
}
~ 12 ~
304
Chapter 6. The Laplace Transform
TABLE 6.2.1 Elementary Laplace Transforms
f (t) = L−1 {F(s)}
1. 1
2. eat
3. t n ;
n = positive integer
F(s) = L{ f (t)}
1
,
s>0
s
1
,
s>a
s−a
n!
,
s>0
n+1
s
Notes
Sec. 6.1; Ex. 4
Sec. 6.1; Ex. 5
Sec. 6.1; Prob. 27
4. t p , p > −1
( p + 1)
,
s p+1
5. sin at
a
,
s 2 + a2
s>0
Sec. 6.1; Ex. 6
6. cos at
s
,
s + a2
s>0
Sec. 6.1; Prob. 6
7. sinh at
a
,
s 2 − a2
s > |a|
Sec. 6.1; Prob. 8
8. cosh at
s
,
s − a2
s > |a|
Sec. 6.1; Prob. 7
9. eat sin bt
b
,
(s − a)2 + b2
s>a
Sec. 6.1; Prob. 13
10. eat cos bt
s−a
,
(s − a)2 + b2
s>a
Sec. 6.1; Prob. 14
11. t n eat , n = positive integer
n!
,
(s − a)n+1
12. u c (t)
e−cs
,
s
13. u c (t) f (t − c)
e−cs F(s)
Sec. 6.3
14. ect f (t)
F(s − c)
Sec. 6.3
15. f (ct)
1 s F
,
c
c
16.
t
f (t − τ )g(τ ) dτ
s>0
2
2
s>a
s>0
c>0
Sec. 6.1; Prob. 27
Sec. 6.1; Prob. 18
Sec. 6.3
Sec. 6.3; Prob. 19
F(s)G(s)
Sec. 6.6
17. δ(t − c)
e−cs
Sec. 6.5
18. f (n) (t)
s n F(s) − s n−1 f (0) − · · · − f (n−1) (0)
Sec. 6.2
19. (−t)n f (t)
F (n) (s)
Sec. 6.2; Prob. 28
0
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (9.1): Seja
função periódica de período
1. Para todo o
2. Para todo o
,
, (
uma função real e
se
um real positivo. Dizemos que
é uma
;
)
( ).
Caso exista, ao menor período de uma função denominamos por período fundamental.
Propriedades de funções periódicas: Sejam
Seja
.
funções periódicas de período
1. (
2.
) é um período de , para todo o
;
são funções periódicas de período
3. Se
é integrável em [–
], então para todo o
( )
∫
4. Dado
Slides de apoio ao turno T2
, as funções
.
/e
∫
.
João Cabral
.
;
,
( )
/ têm período fundamental
.
~1~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Algumas igualdades trigonométricas: Sejam
2.
((
((
3.
(
)
(
)
4.
(
)
(
5.
(
)
(
1.
) )
) )
Slides de apoio ao turno T2
.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
((
((
) )
) )
((
((
) )
) )
)
((
) )
((
) )
João Cabral
~2~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
,
Definição (9.2): Sejam
entre e , e representamos por ⟨
⟨
duas funções contínuas. Definimos produto interno
⟩ como
⟩
são ortogonais em ,
Dizemos que
e
Sejam
. As funções
.
∫
( ) ( )
- se ⟨
/e
.
/
.
⟩
.
/ verificam as seguintes relações de
ortogonalidade:
∫
.
∫
∫
Slides de apoio ao turno T2
.
.
/
/
.
João Cabral
/
.
/
2
/
2
~3~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (9.3): Definimos como série de Fourier toda a série da forma
∑.
onde (
)
e(
)
Definição (9.4): Seja
sucessões reais
Slides de apoio ao turno T2
,
/
.
//
são sucessões reais.
uma função periódica de período
Á série de Fourier de coeficientes
Aos coeficientes
.
,
,
∫
( )
.
/
∫
( )
.
/
,
,
,
. Suponhamos que existem as
chamamos série de Fourier da função .
chamamos coeficientes da série de Fourier da função .
João Cabral
~4~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (9.5): Seja
, seja
periódica de período
(
)
( )
(
)
e seccionalmente contínua. Dado
( )
Seja ̃ a série de Fourier de . Então ̃( ) é uma série numérica convergente para
(
)
(
)
Nota: Resulta imediatamente do teorema 9.5 que nos pontos onde
série de Fourier tomam o mesmo valor.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
é contínua,
e a sua
~5~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Consideremos a função
periódica de período
( )
definida por
2
Representação gráfica de .
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~6~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Representação gráfica da série de Fourier de .
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~7~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Desenvolvimento de uma função em série de Senos: Seja uma função real definida no
intervalo ,
. Consideremos a função ̃, um prolongamento de , construído da
seguinte forma:
( )
1. ̃( )
2. ̃ é ímpar em ,
,
-;
- ou seja
̃( )
3. ̃ é periódica de período
̃(
)
.
/
,
-
.
Seja
∑.
.
//
o desenvolvimento em série de Fourier de ̃. Temos que:
1. Como ̃( )
.
/ é impar no intervalo ,
∫
Slides de apoio ao turno T2
̃( )
-,
.
João Cabral
/
~8~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
2. Como ̃( )
∫
̃( )
/ é par no intervalo ,
.
.
/
∫
̃( )
3. Como ̃( ) é impar no intervalo ,
.
/
∫
( )
.
/
-,
∫
Obtemos assim o desenvolvimento de
-,
̃( )
em série de Senos dado por
∑
.
/
onde
∫
Slides de apoio ao turno T2
( )
.
João Cabral
/
~9~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Desenvolvimento de uma função em série de Co-senos: Seja uma função real definida no
intervalo ,
. Consideremos a função ̃, um prolongamento de , construído da
seguinte forma:
( )
1. ̃( )
2. ̃ é par em ,
,
-;
- ou seja
̃( )
3. ̃ é periódica de período
̃(
)
,
-
.
Seja
∑.
.
/
.
//
o desenvolvimento em série de Fourier de ̃. Temos que:
1. Como ̃( )
∫
̃( )
Slides de apoio ao turno T2
/ é par no intervalo ,
.
.
/
∫
̃( )
João Cabral
-,
.
/
∫
( )
.
/
~ 10 ~
Capítulo 9
2. Como ̃( )
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
.
/ é impar no intervalo ,
∫
3. Como ̃( ) é par no intervalo ,
∫
̃( )
̃( )
-,
.
/
-,
∫ ̃( )
Obtemos assim o desenvolvimento de
( )
∫
em série de Co-senos dado por
∑
.
/
onde
∫
Slides de apoio ao turno T2
( )
.
João Cabral
/
~ 11 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Consideremos o seguinte problema: Determine as soluções particulares de
( )
( )
( )
()
com intervalo de definição , -,
, tais que ( )
e ()
,
onde
são constantes reais. Um problema deste tipo é classificado como um problema
( )
( )
()
()
de fronteira. Às condições
e
chamamos de
condições de fronteira.
Problema (9.6): Determinar os valores de para os quais o problema de fronteira
( )
()
Admite soluções não triviais, isto é, não nulas.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 12 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Resolução do problema (9.6): A EDO homogénea de coeficientes constantes tem como
polinómio característico associado
. Os zeros deste polinómio dependem do parâmetro
.
i)
Neste caso
é a única raiz do polinómio característico, tendo esta multiplicidade 2. Como
tal, a solução geral da EDO é dada por
( )
()
Aplicando as condições de fronteira ( )
Como
, neste caso só existe a solução trivial.
à solução geral obtemos
.
ii)
Existe
tal que
. Como tal
. Os zeros do polinómio característico são obtidos da equação
ou
. A solução geral da EDO é
( )
Aplicando as condições de fronteira ( )
Slides de apoio ao turno T2
()
João Cabral
à solução geral obtemos o sistema
~ 13 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
2
Como
, o determinante deste sistema homogéneo é não nulo, donde este sistema é
possível e determinado com solução
.
iii)
Existe
tal que
. Como tal
. Os zeros do polinómio característico são obtidos da equação
ou
. A solução geral da EDO é
( )
(
)
Aplicando as condições de fronteira ( )
{
(
(
()
)
)
à solução geral obtemos o sistema
(
)
Como queremos soluções não nulas, resulta que ( )
, concluímos que o problema tem solução se e só se
( )
Slides de apoio ao turno T2
.
João Cabral
/
ou seja
. Sendo
* +
~ 14 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Definição (9.7): Definimos equação de derivadas parciais, que abreviamos por EDP, como
uma equação que envolve uma função de várias variáveis, denominada por função incógnita,
e suas derivadas parciais. Definimos ordem de uma EDP como a ordem da derivada parcial de
ordem superior que consta da equação.
Definição (9.8): Dizemos que uma EDP de função incógnita (
( )
(
) é linear se é da forma
)
onde ( ) é uma combinação linear de derivadas parciais de sendo os coeficientes desta
combinação linear funções das variáveis
. Por exemplo, se depende das variáveis
e , uma EDP linear de ordem dois é da forma
onde
são funções das variáveis
nula dizemos que a EDP linear é homogénea.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
e . Se R for a função a função
~ 15 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Teorema (9.9): Seja ( )
uma EDP linear homogénea. Se
são soluções desta
EDP, então uma combinação linear destas funções também é solução da EDP.
Algumas EDP’s lineares homogéneas clássicas:
1. Equação da transferência de calor:
2. Equação de onda a uma dimensão:
3. Equação de onda a duas dimensões:
(
)
4. Equação de Laplace:
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 16 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Para alguns tipos de EDP´s obtêm-se soluções “revertendo” as derivações efectuadas. Tal
método é denominado por método de integração. Seja função das variáveis
. As
EDP’s da forma
onde é uma constante, é resolúvel pelo método de integração. Um outro exemplo de EDP
solúvel pelo método de integração é
obtendo-se
(
onde
)
( )
( )
são funções arbitrárias.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 17 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Problema (9.10): O objectivo é estudar a transferência de calor ao longo de uma barra
cilíndrica.
Vamos supor que a temperatura é apenas função de e , ou seja, que a temperatura em
qualquer secção vertical da barra num dado tempo é constante. Vamos assumir também que
a temperatura nas extremidades da barra é zero. Seja ( ) a distribuição do calor ao longo da
barra no instante zero.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 18 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
O problema é dado pela EDP
sujeita às condições de fronteira
(
)
(
(
)
( )
)
e às condições iniciais
Vamos resolver este problema recorrendo ao método da separação de variáveis. Para tal
vamos considerar
(
)
( ) ( )
Queremos determinar soluções não nulas do problema. Substituindo (
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
) no equação,
~ 19 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
O lado esquerdo da igualdade depende só da variável e o lado direito da igualdade depende
só da variável , pelo que existe
tal que
Obtemos assim as EDO’s lineares homogéneas
2
(
Das condições de fronteira ( )
não nulas do problema, obtemos ( )
)
( )
e tendo em conta que queremos soluções
. Pela resolução do problema (9.6),
( )
( )
tem soluções não nulas se e só se
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 20 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
sendo estas
( )
Substituindo
em
.
/
obtemos a EDO linear homogénea de 1ª ordem
.
cuja a solução geral da EDO é, para cada
( )
/
,
.
/
Obtemos assim uma sucessão de soluções da equação da transferência de calor
(
Slides de apoio ao turno T2
)
.
João Cabral
/
.
/
~ 21 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Pelo teorema (9.9), sendo que se as funções ( ) verificam as condições de fronteira
lineares homogéneas, a combinação linear destas também verifica as condições de fronteira
lineares homogéneas. Obtemos que a sucessão de funções
(
∑
)
são soluções da equação de transferência de calor que verificam as condições de fronteira
lineares homogéneas. O teorema (9.9) é generalizável para o limite de sucessões de somas
parciais construídas à custa de combinações lineares, pelo que a função
(
)
∑
(
)
∑
.
/
.
/
é solução da equação da transferência de calor que verifica as condições de fronteira.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 22 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Seja
∑
.
/
o desenvolvimento em série de senos de ( ) no intervalo ,
( )
( ) obtemos
∫
Slides de apoio ao turno T2
( )
João Cabral
.
- . Da condição inicial
/
~ 23 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Problema (9.11): No problema da transferência de calor vamos supor que a temperatura nas
extremidades na barra é constante mas não nula. Neste caso o problema é dado pela EDP
Sujeita às condições de fronteira não-homogéneas
(
)
(
)
e às condições iniciais
(
)
( )
Para aplicar o método da separação de variáveis vamos transformar as condições de fronteira
não-homogéneas em homogéneas. Para tal consideremos a aplicação linear ( )em que
transforma os pontos
e
em, respectivamente,
e
definida por
( )
(
)
Consideremos a mudança de variáveis
(
Slides de apoio ao turno T2
)
(
João Cabral
)
( )
~ 24 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
O problema da equação da transferência de calor transforma-se em
Sujeita às condições de fronteira homogéneas
(
)
(
)
e às condições iniciais
(
)
( )
( )
cuja solução, segundo a resolução do problema (9.10), é
(
)
∑
∫ ( ( )
Slides de apoio ao turno T2
.
( ))
João Cabral
/
.
.
/
/
~ 25 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Desfazendo a mudança de variável obtemos
(
)
( )
∑
.
/
.
/
Interpretação física da mudança de variável: Quando tende para infinito, ou seja, passado
muito tempo, a distribuição da temperatura ao longo da barra estabiliza. Seja
( ) a função
que nos dá essa distribuição. Então
( ) verifica a EDP e as suas condições de fronteira, pelo
que
( )
( )
( )
A solução deste problema de fronteira é
( )
Slides de apoio ao turno T2
(
)
João Cabral
( )
~ 26 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Problema (9.12): Consideremos um elástico de extremidades fixas entre dois suportes.
Aplicamos uma força a este para o colocar em movimento.
Em repouso o elástico situa-se sobre o eixo . Seja ( ) o deslocamento vertical do
elástico no ponto e tempo . Vamos assumir que a amplitude do movimento não é muito
grande e que podemos ignorar efeitos que amorteçam o movimento. Seja ( ) e ( ),
respectivamente a posição e a aceleração do elástico no instante zero.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 27 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
O problema é dado pela EDP
sujeita às condições de fronteira
(
)
(
)
e às condições iniciais
(
)
( )
(
)
( )
Vamos resolver este problema de forma análoga ao problema (9.10). Fazendo
(
obtemos que existe
e que ( )
( )
Slides de apoio ao turno T2
)
( ) ( )
tal que
.
João Cabral
~ 28 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
( )
Como procuramos soluções não nulas do problema
( )
.
.
,
/
Substituindo os valores de obtidos na equação
( )
( )
e resolvendo esta, vem
/
.
/
A função
(
)
∑
( )
( )
∑
.
/0
.
/
.
/1
é uma solução da EDP que verifica as condições de fronteira. Do desenvolvimento em série de
( ), obtemos
senos de ( ) no intervalo , - e da igualdade ( )
∫
Slides de apoio ao turno T2
( )
.
João Cabral
/
~ 29 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Da igualdade
(
)
( )
vem que
( )
∑
.
/
Comparando com o desenvolvimento série de senos de ( ) no intervalo ,
que
∫
Slides de apoio ao turno T2
( )
.
/
∫
João Cabral
( )
.
- concluímos
/
~ 30 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Problema (9.13): Nesta secção vamos estudar a equação de Laplace a duas dimensões
Várias funções potencial verificam esta equação, daí também ser denominada por equação
potencial. Vamo-nos restringir ao estudo desta equação dadas condições ao longo da fronteira
de um rectângulo.
Consideremos a equação de Laplace
sujeita às condições de fronteira
(
(
Slides de apoio ao turno T2
)
)
(
(
)
)
João Cabral
( )
~ 31 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Mais uma vez, vamos resolver este problema de forma análoga ao problema (9.10). Seja
(
)
( ) ( )
Substituindo na EDP e nas condições lineares homogéneas (
( )
{
)
(
)
, obtemos
( )
Como procuramos soluções não nulas da EDP,
( )
.
/
Substituindo os valores de obtidos na equação
e resolvendo esta, vem
( )
Da condição de fronteira (
Slides de apoio ao turno T2
)
resulta que
( )
( )
.
João Cabral
, donde
e
/
~ 32 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
A função
(
)
∑
( )
( )
∑
.
/
.
/
é solução da equação de onda que verifica as condições de fronteira lineares homogéneas
( )
)
( )
e (
Do desenvolvimento em série de
)
( ), obtemos
senos de ( ) no intervalo , - e da igualdade (
.
/
∫
( )
.
/
∫
( )
.
/
ou seja,
.
Slides de apoio ao turno T2
/
João Cabral
~ 33 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Nota: De forma análoga resolvemos uma equação de Laplace com condições de fronteira
(
)
( ) (
)
( )
(
)
( ) (
)
( )
em que apenas uma e uma só das funções
identicamente nula.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
( )
( )
( )
( ) é a função não
~ 34 ~
Capítulo 9
AM IIID – 11/12- 1º Sem.
Nota: Consideremos a equação de Laplace
sujeita às condições de fronteira
*
Seja (
),
( ) ( ) ( )
(
)
( ) (
)
( )
(
)
( ) (
)
( )
+ a solução da equação de Laplace em que consideramos as funções
( ) constantemente iguais a zero com excepção de . Então a função
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
é solução do problema inicial.
Slides de apoio ao turno T2
João Cabral
~ 35 ~