universidade estadual de mato grosso do sul mestrado profissional

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MATO GROSSO DO SUL
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA – PROFMAT
ANÁLISE COMPUTACIONAL DOS NÚMEROS PRIMOS E DA
CONJECTURA DE GOLDBACH
JOAB CAVALCANTE DA SILVA
DOURADOS, 2014
JOAB CAVALCANTE DA SILVA
ANÁLISE COMPUTACIONAL DOS NÚMEROS PRIMOS E DA
CONJECTURA DE GOLDBACH
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul como
parte dos requisitos necessários para obtenção do
título de Mestre. Sob orientação do Professor Doutor
Vando Narciso.
DOURADOS, 2014
JOAB CAVALCANTE DA SILVA
ANÁLISE COMPUTACIONAL DE NÚMEROS PRIMOS E DA
CONJECTURA DE GOLDBACH
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul como
parte dos requisitos necessários para obtenção do
título de Mestre. Sob orientação do Professor Doutor
Vando Narciso.
Professor Vando Narciso, Dr.
Presidente da Banca - Orientador
Professor Cosme Eustaquio Rovio Mercedes, Dr
Membro
Professor Claudemir Aniz, Dr.
Membro
DOURADOS, 2014
Dedico este trabalho aos profissionais da educação que participaram e contribuíram com
minha formação, aos excelentes professores que tive o privilégio de aprender com eles.
Pessoas as quais muitas não têm nenhum reconhecimento da sociedade nem das classes
políticas governantes, mas que desempenham um nobre papel frente às salas de aula em
nosso país. Desde minha professora chamada Judite, que me ensinou o alfabeto e as
primeiras contas, até os mais gabaritados Doutores que me ensinaram coisas que jamais eu
imaginaria compreender.
AGRADECIMENTOS
“Ó Deus de meus pais, eu te dou graças e te louvo, porque me deste sabedoria e força...”
(Bíblia Sagrada, Livro de Daniel, Capítulo 2 e Verso 23)
Agradeço pelo Deus presente, meu Criador ao qual devo todas as conquistas.
Agradeço a todos meus familiares que sempre me apoiaram e em alguns momentos se
sacrificaram para contribuir com minha formação.
Agradeço a Jéssica que sempre me incentivou e acreditou em mim principalmente nos
momentos mais difíceis.
Agradeço a toda a equipe envolvida no PROFMAT local da UEMS: ao coordenador, que
quando necessário foi sensível às necessidades particulares; aos professores que não
mediram esforços para contribuir com o conhecimento dos discentes; à secretária, que se
desdobrou para conseguir atender as demandas recebidas; e a cada aluno, colega de estudos
que enfrentaram juntos os obstáculos de um programa desafiador, incluindo aqueles colegas
que por diferentes razões não conseguiram terminar a jornada,
mas que foram importantes no processo.
RESUMO
Neste trabalho, que tem por objetivo contribuir com estudos que visem uma ampliação do
conhecimento sobre a Conjectura de Goldbach, foi realizada pesquisa com o fim de investigar
e conhecer detalhes sobre o conjunto dos números primos e também as decomposições de
números pares como soma de dois primos. A pesquisa foi realizada com auxílio de recursos
computacionais, o que tornou possível conhecer e registrar diversos dados e curiosidades
sobre o assunto. O trabalho propõe duas ferramentas denominadas ‘triângulo da soma’ e
‘triângulo da diferença’ para serem melhores estudadas. Tais ferramentas podem ser úteis para
estudos relacionados a números primos.
Palavras-chave: Conjectura de Goldbach; números primos; potência de 10.
ABSTRACT
In this work, which aims to contribute to studies aiming at broadening our knowledge of the
Goldbach Conjecture, research was conducted in order to investigate and learn details about
the set of prime numbers and also the decomposition of even numbers as the sum of two
primes. The survey was conducted with the aid of computational resources, making it possible
to know and register various data and trivia about the subject. The paper proposes two tools
called 'triangle sum' and 'triangle of difference' to be better studied. Such tools may be useful
in studies related to prime numbers.
Keywords: Goldbach conjecture; primes; exponents of 10.
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Números primos menores que 200 ............................................................................16
Tabela 2 – Números pares e suas respectivas decomposições em números primos....................18
Tabela 3 – Quantidade de números primos por potência de 10 ..................................................19
Tabela 4 – Diferença média entre números primos por potência de 10 ......................................20
Tabela 5 – Diferença máxima entre primos por potência de 10 ..................................................20
Tabela 6 – Distintas diferenças entre números primos até 108 ...................................................21
Tabela 7 – Quantidade de números primos por terminação ........................................................22
Tabela 8 – Número máximo de decomposições por potência de 10 ...........................................22
Tabela 9 – Decomposições possíveis do número 2700 ...............................................................23
Tabela 10 – Números menores que 100.000 com maiores quantidades de decomposições em
dois números primos ...................................................................................................................24
Tabela 11 – Média de decomposições por potência de 10 ..........................................................24
Tabela 12 – Quantidade mínima de decomposições por intervalos estratégicos ........................25
Tabela 13 – Média de decomposições por intervalos estratégicos ..............................................26
Tabela 14 – Forma genérica do triângulo da soma .....................................................................28
Tabela 15 – Triângulo da soma de tamanho 20...........................................................................28
Tabela 16 – Triângulo da soma detalhado...................................................................................30
Tabela 17 – Forma genérica do triângulo da diferença ...............................................................31
Tabela 18 – Triângulo da diferença de tamanho 20 ....................................................................31
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................................. 9
1.1. CONTEXTO HISTÓRICO .............................................................................................. 10
2 ESTUDOS PRELIMINARES ..................................................................................................... 12
2.1. Definição e Distribuição dos Números Primos ................................................................ 12
3. TRABALHOS COMPUTACIONAIS ....................................................................................... 15
3.1. PROGRAMA IDENTIFICADOR DE NÚMEROS PRIMOS ......................................... 15
3.1.1. Instruções e funcionamento do programa ............................................................... 15
3.2. PROGRAMA DECOMPOSITOR DE NÚMEROS PARES ........................................... 17
3.2.1. Instruções e funcionamento do programa ............................................................... 17
3.3. PESQUISAS REALIZADAS A PARTIR DOS DADOS GRAVADOS ......................... 19
3.3.1. Quantidade de números primos por potência de 10 ............................................... 19
3.3.2. Diferença média entre um número primo e outro por potência de 10 .................... 20
3.3.3. Diferença máxima entre um número primo e outro por potência de 10 ................. 20
3.3.4. Distintas diferenças entre números primos ............................................................. 21
3.3.5. Quantidade de números primos por terminação...................................................... 21
3.3.6. Número máximo de decomposições possíveis por potência de 10 ......................... 22
3.3.7. Exemplo de decomposições possíveis: o número 2700 .......................................... 23
3.3.8. Os 20 números com maior quantidade de decomposições possíveis ..................... 23
3.3.9. Média de decomposições por potência de 10.......................................................... 24
3.3.10. Decomposições mínimas por intervalos estratégicos............................................ 25
3.3.11. Média de decomposições por intervalos estratégicos ........................................... 26
3.4. TECNOLOGIAS COMPUTACIONAIS UTILIZADAS ................................................. 26
4. O DUPLO TRIÂNGULO DE NÚMEROS PRIMOS .............................................................. 27
4.1. O DUPLO TRIÂNGULO DE NÚMEROS PRIMOS – DEFINIÇÃO ............................ 27
4.1.1. O triângulo da soma ................................................................................................ 27
4.1.1.1. Propriedades do triângulo da soma................................................................ 29
4.1.2. O triângulo da diferença.......................................................................................... 30
4.1.2.1. Propriedades do triângulo da diferença ......................................................... 32
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................................... 34
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................................... 35
9
1. INTRODUÇÃO
“A conjectura de Goldbach, Todo número par maior que dois é soma
de dois números primos, é um dos mais famosos problemas em aberto
da Teoria dos Números. Em 1742, uma versão desta conjectura foi
enunciada pelo matemático alemão Christian Goldbach (1690-1764)
numa correspondência a Euler”. (FILHO, D. C. de M. Um Convite à
Matemática, 357-358).
A busca pela demonstração da conjectura de Goldbach já despertou tentativas de
grandes nomes da matemática e ainda permanece desafiando os matemáticos da nossa
geração.
Existente há quase três séculos, fato que, se considerado junto ao grande avanço da
ciência (inclusive no ramo da matemática) vivido neste período, a permanência desta
afirmação ainda não demonstrada pode sugerir uma pergunta: seria esta conjectura algo
impossível de se demonstrar?
O matemático austríaco Kurt Friedrich Gödel (1906-1978), autor do teorema da
incompletude, afirma que nenhum sistema aritmético é completo e que por tal razão sempre
haverá alguma proposição verdadeira que não poderá ser demonstrada nem negada. Teria sido
este mesmo matemático quem referiu a Conjectura de Goldbach como o exemplo de teorema
indemonstrável1.
Um fato é que se trata de um problema indiscutivelmente difícil:
“A partir daquele ano (1742) os matemáticos começaram a tentar
prová-la ou encontrar algum contraexemplo para ela. Até o presente
momento, mesmo com os mais avançados recursos computacionais
modernos, não se conseguiu provar ou encontrar um contraexemplo
para essa conjectura”. (FILHO, D. C. de M. Um Convite à
Matemática, 358).
1
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_da_incompletude_de_G%C3%B6del (consultada em Dezembro de
2013).
10
Embora haja quem assim acredite (algo impossível de se demonstrar), atualmente
existem grupos de pesquisas em universidades e também pessoas independentes empenhadas
em transformar esta conjectura em um teorema.
O assunto ainda é pouco explorado pelos autores de livros e quase não existe
literatura a respeito deste tema. Não foram encontrados também durante a realização deste
trabalho, registros sobre como se deram as tentativas de demonstração por parte dos
matemáticos.
1.1.
Contexto Histórico
Em 1742, o matemático Christian Goldbach observou que os números pares poderiam
ser decompostos como soma de dois números primos. A partir dessas observações Goldbach
enviou uma carta ao consagrado matemático Leonard Eüler comentando suas observações.
Após verificações, Eüler teria respondido a carta concordando com a possível
veracidade da afirmação, porém, informando que não seria capaz de demonstrar. Eüler
também reformulara a conjectura a qual conhecemos hoje como conjectura de Goldbach,
deixando-a da seguinte forma: “Todo inteiro par maior que dois pode ser escrito como a soma
de 2 números primos”.2
Desde o ano de 1742, quando a conjectura se tornou conhecida, alguns trabalhos
foram feitos na tentativa de demonstrar ou confirmar a validade da mesma para determinados
intervalos.
No que segue mencionamos alguns desses registros3 em conexão com a conjectura
de Goldbach.
Cantor, em 1894, efetuou todas as decomposições possíveis, como soma de dois
números primos, de todos os números pares inferiores a 1000. R. Haussner, em 1897,
estendeu essa tabela até 5000. Em 1937, o matemático soviético I. M. Vinogradov
demonstrou, usando somas trigonométricas adequadas, que qualquer número ímpar
suficientemente grande é soma de três números primos. Em 1966, o matemático chinês JengRun Chen chegou perto demonstrando que: Todo número par suficientemente grande pode ser
2
STEWART, I. Almanaque das Curiosidades Matemáticas, 163-164.
3
http://prezi.com/il_b60ml8xha/conjectura-de-goldbach/ (consultada em setembro de 2013).
11
escrito como a soma de dois primos e um semiprimo (o produto de dois primos). Em 07 de
setembro de 2012, com a ajuda do computador, Tomás Oliveira e Silva afirma ter constatado
a veracidade da hipótese para números da ordem de 3.1017. Recentemente, já em 2013, o
matemático peruano Harald Andrés Helfgott conseguiu demonstrar a conjectura fraca de
Goldbach. A conjectura afirma que “todo número ímpar maior que 5 pode ser expresso como
soma de três números primos”4. Como parte da realização deste trabalho, em 2013 foi
constatado a veracidade e efetuadas todas as decomposições possíveis como soma de dois
números primos, de todos os números pares até 100.000.
Este breve relato já é suficiente para perceber que a conjectura de Goldbach é um
problema muito complexo de ser demonstrado. Nesse sentido, e considerando que para tal
demonstração seriam necessários conceitos matemáticos muitos avançados, o enfoque do
trabalho não é tentar demonstrar a conjectura, mas, através de recursos computacionais
entendê-la melhor e observar algumas curiosidades que surgem quando observamos cálculos
numéricos que em milhares de anos não seríamos capazes de concluir manualmente.
Assim, foram construídos programas e rotina de computador para a realização de
algumas tarefas como: armazenar números primos e seus respectivos intervalos que os
distanciavam dos anteriores, explorar as decomposições de números pares em números
primos possíveis e armazenar em banco de dados, e exibir relatórios estatísticos detalhados e
específicos sobre as informações armazenadas.
No capítulo 2, enunciamos alguns conceitos básicos e teoremas sobre números
primos, sendo este o alicerce científico do trabalho. No capítulo 3, apresentamos como foram
construídos os programas: identificador de números primos menores que 100 milhões e o que
verifica, conta e especifica as maneiras que são possíveis decompor determinado número par
em forma de dois números primos. A partir dos dados armazenados pelo computador, foi
possível explorar distintos detalhes e curiosidades a cerca do assunto, os quais estão
disponíveis em forma de textos ou tabelas. No capítulo 4, está o resultado principal deste
trabalho, a proposição de novos instrumentos e o desafio para melhor explorar o assunto.
Definimos o triangulo da soma e diferença e algumas de suas propriedades.
4
http://profemarli.comunidades.net/index.php?pagina=1542745242 (consultada em setembro de 2013).
12
2. ESTUDOS PRELIMINARES
Os números primos são protagonistas em muitos problemas e assuntos relacionados
à teoria dos números. E para continuar este trabalho é importante conhecer um pouco sobre
eles.
2.1. Definição e Distribuição dos Números Primos
“Um inteiro p diz-se primo se tem exatamente dois divisores positivos, 1 e |p|”.
(MILIES, C. P. e COELHO, S. P. Números – Uma Introdução à Matemática, 78).
A citação acima é uma das diferentes maneiras encontradas nos livros para definir os
números primos. Perceba que a definição exclui o número 0 (que tem infinitos divisores) e os
números 1 e -1, que tem um único divisor positivo.
Excluir o número 1 do conjunto dos números primos é um fato relevante já que este
número já foi considerado primo no passado5. Inclusive, quando a conjectura de Goldbach foi
elaborada, ela dizia respeito a todo número par (incluindo o número dois, resultante de 1+1).
Os números que não são primos são chamados de números compostos, e qualquer
número composto pode ser escrito como multiplicação de números primos conforme teorema
a seguir.
“Seja a  1 um inteiro. Então existem primos positivos p1  p 2    p t tais que
a  p1  p 2  p t e essa decomposição é única”. (MILIES, C. P. e COELHO, S. P. Números –
Uma Introdução à Matemática, 80).
Uma vez definidos números primos e números compostos, através de teoremas
vamos encontrar respostas para três perguntas sobre a distribuição dos números primos.
Qual o tamanho do conjunto dos números primos?
“(Euclides) O conjunto dos números primos é infinito”. (MILIES, C. P. e COELHO,
S. P. Números – Uma Introdução à Matemática, 89).
5
STEWART, I. Almanaque das Curiosidades Matemáticas, 163.
13
Demonstração6: Suponha que exista apenas um número finito de números primos p1,
p2, p3,...,pr. Considere o número natural n= p1p2p3...pr + 1.
O número n precisaria possuir um fator primo p que, portanto, deve ser um dos p1,
p2, p3,...,pr e, consequentemente, divide o produto p1p2p3...pr. Mas isso implica que p divide 1,
o que é um absurdo.
A próxima questão que precisa ser compreendida diz respeito a intervalos entre
números primos.
Há intervalos grandes entre um número primo e outro?
A resposta é sim, há intervalos de tamanho grande o quanto quizermos entre um
número primo e outro.
Em outras palavras, existem ‘saltos’ arbitrariamente grandes na sequência dos
números primos”. (SANTOS, J. P. de O. Introdução à Teoria dos Números, 11).
Demonstração:
Seja k um número inteiro qualquer, o número (k  1)! será divisível por todos os k
números entre 2 e k  1 , dessa forma, a sequência
k  1!2, k  1!3, , k  1!k , k  1!k  1
é formada por k números consecutivos compostos.
Através deste teorema é possível perceber que, embora haja intervalos com tamanho
k qualquer sem a existência de números primos, conforme o tamanho de k trabalhar-se-á com
números consideravelmente grandes uma vez que se usa fatorial.
Por fim, é importante saber se é possível determinar ou estimar a quantidade de
números primos em dado intervalo de números naturais.
É possível saber a quantidade de números primos existentes entre 1 e um
número qualquer?
6
HEFEZ, A. Elementos de Aritimética, 88.
14
Com o auxílio de recursos computacionais é possível conhecer em números exatos a
quantidade de números primos existente em intervalos de tamanho considerável. No entanto,
para números muito grandes, mesmo os mais potentes computadores são limitados a trabalhar.
Para solucionar este problema existe o ‘Teorema do Número Primo’ mostrado
abaixo7.
Seja (n) a função de contagem de números primos, que retorna o número de
números primos entre 1 e n. Então vale o limite:
 ( n)
1
n  n / ln( n)
lim
Dessa forma, a função (n) é aproximadamente igual a:
n
.
ln(n)
Mesmo não retornando números exatos, para números naturais a partir de 1016 esta
fórmula calcula um valor com diferença inferior a 3% do número real, e quanto maior o
número menor a diferença percentual. Com esse teorema é possível se estimar quantidade
aproximada de números primos para intervalos consideravelmente grandes e ainda prever a
diferença média entre um número primo e outro em tais espaços.
Sobre este teorema, Legendre e Gauss já haviam chegado a conclusões prévias
semelhantes. E apenas por volta de 1900 J. Hadamard e Ch. de la Valleè-Poussinm, em
circunstâncias independentes, provaram o profundo resultado chamado de Teorema dos
Números Primos.8
Considera-se importante salientar que, ao aplicar este teorema em intervalos
‘pequenos’ essa função retorna números aproximados da quantidade exata de números
primos.
7
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_n%C3%BAmero_primo (consultada em dezembro de 2013).
8
HEFEZ, A. Elementos de Aritimética, 90.
15
3. TRABALHOS COMPUTACIONAIS
3.1. Programa Identificador de Números Primos
Para iniciar os estudos envolvendo análise de números primos seria necessário obter
uma lista desses números, dessa forma foi desenvolvido um programa de computador que a
partir de lema conhecido pela matemática, identifica se um número é primo ou não. O lema
utilizado foi:
“Se um número natural n > 1 não é divisível por nenhum número primo p tal que
p 2  n , então ele é primo”. (HEFEZ, A. Elementos de Aritmética, 89).
Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que n não seja divisível por nenhum
número primo p tal que p2 ≤ n e que não seja primo. Seja q o menor número primo que divide
n; então, n = qn1, com q ≤ n1. Segue daí que q2 ≤ qn1 = n. Logo, n é divisível por um número
primo q tal que q2 ≤ n, absurdo.
3.1.1. Instruções e funcionamento do programa
O programa recebeu instrução inicial de que os números 2 e 3 seriam os primeiros
primos, a partir do número 3, o programa foi instruído a acrescentar 2 para a próxima
verificação, com o fim de analisar apenas números ímpares.
Para utilizar o lema matemático o programa calcula a raiz quadrada do número que
está sendo verificado e seleciona a parte inteira, em seguida seleciona todos os primos
anteriores a esta parte inteira e confere se o número é divisível por algum desses primos
anteriores. Quando o número verificado não é divisível por nenhum dos primos anteriores à
sua raiz quadrada, o programa o identifica como número primo, ou quando o número é
divisível por qualquer um dos primos, o programa já passa a verificar o próximo número
ímpar.
A partir de então, se o número a ser verificado for primo, o programa armazena o
número no banco de dados, juntamente com a diferença deste número para os dois primos
anteriores. Essas informações acerca da diferença dos anteriores foi gravada para futura
análise e fins estatísticos.
16
O programa levou cerca de seis horas para processar e gravar todos os números
primos menores que 100 milhões, quantidade escolhida para a realização dos experimentos
propostos neste trabalho.
Dessa forma o programa armazenou os números primos e as informações solicitadas
em ordem crescente ao modelo da tabela 1 a seguir.
Número Primo Diferença Primo Anterior Diferença 2º Primo Anterior
2
0
0
3
1
0
5
2
3
7
2
4
11
4
6
13
2
6
17
4
6
19
2
6
23
4
6
29
6
10
31
2
8
37
6
8
41
4
10
43
2
6
47
4
6
53
6
10
59
6
12
61
2
8
67
6
8
71
4
10
73
2
6
79
6
8
83
4
10
89
6
10
97
8
14
101
4
12
103
2
6
107
4
6
109
2
6
113
4
6
127
14
18
131
4
18
137
6
10
139
2
8
149
10
12
151
2
12
157
6
8
163
6
12
167
4
10
17
173
179
181
191
193
197
199
6
6
2
10
2
4
2
10
12
8
12
12
6
6
Tabela 1 – Números primos menores que 200.
Ao todo, o sistema identificou os 5.761.455 números primos menores que 108. Os
números produzidos pelo programa foram comparados com outras tabelas existentes com o
fim de testar a confiabilidade dos métodos computacionais utilizados, e o resultado das
comparações foram de total precisão.
3.2. Programa decompositor de Números Pares
Tendo em vista os relatos que afirmavam a veracidade da Conjectura de Goldbach
para uma quantidade expressiva de números pares, não faria sentido apenas repetir o processo
de verificação. Dessa forma, foi construído um programa para não apenas verificar, mas
também, contar quantas maneiras são possíveis decompor determinado número par em forma
de dois números primos, e ainda identificar quais são essas maneiras.
3.2.1. Instruções e funcionamento do programa
O programa recebeu instruções para: a partir do número 4, verificar todas as
combinações possíveis de soma de dois primos menores que somados equivalessem ao
número em verificação. Quando a soma dos primos em análise equivalia ao número, o
programa registrava a possibilidade e passava a verificar a próxima combinação, até encerrar
todas as combinações possíveis com números primos menores que o número par em
verificação.
Ao final da verificação, o programa grava: o número par; a quantidade de
decomposições de primos possíveis; e a descrição dessas possibilidades.
Com pouco mais de 50 horas de processamento, o computador conseguiu detalhar e
gravar todas as decomposições possíveis de todos os números pares até o número 100.000.
18
Para o computador, esse programa é muito mais complexo e custoso em termos de
processamento, por essa razão a quantidade de números alcançados foi inferior à alcançada no
programa anterior(sessão 3.1), apesar de ter utilizado maior quantidade de tempo.
Esses programas foram criados e executados em um computador simples.
Supercomputadores com capacidades de processamento consideravelmente aumentadas
poderiam ter atingido números expressivamente maiores. No entanto, os números que foram
alcançados com os recursos disponíveis são suficientes para o que propõe este trabalho.
A tabela 2 abaixo exemplifica como foram gravadas as informações dos números
pares no banco de dados.
Número Primos Qtde. Possibilidades
4
2
1 2+2
6
3
1 3+3
8
4
1 3+5
10
4
2 3+7; 5+5
12
5
1 5+7
14
6
2 3+11; 7+7
16
6
2 3+13; 5+11
18
7
2 5+13; 7+11
20
8
2 3+17; 7+13
22
8
3 3+19; 5+17; 11+11
24
9
3 5+19; 7+17; 11+13
26
9
3 3+23; 7+19; 13+13
28
9
2 5+23; 11+17
30
10
3 7+23; 11+19; 13+17
32
11
2 3+29; 13+19
34
11
4 3+31; 5+29; 11+23; 17+17
36
11
4 5+31; 7+29; 13+23; 17+19
38
12
2 7+31; 19+19
40
12
3 3+37; 11+29; 17+23
42
13
4 5+37; 11+31; 13+29; 19+23
44
14
3 3+41; 7+37; 13+31
46
14
4 3+43; 5+41; 17+29; 23+23
48
15
5 5+43; 7+41; 11+37; 17+31; 19+29
50
15
4 3+47; 7+43; 13+37; 19+31
52
15
3 5+47; 11+41; 23+29
54
16
5 7+47; 11+43; 13+41; 17+37; 23+31
56
16
3 3+53; 13+43; 19+37
58
16
4 5+53; 11+47; 17+41; 29+29
60
17
6 7+53; 13+47; 17+43; 19+41; 23+37; 29+31
62
18
3 3+59; 19+43; 31+31
64
18
5 3+61; 5+59; 11+53; 17+47; 23+41
66
18
6 5+61; 7+59; 13+53; 19+47; 23+43; 29+37
68
19
2 7+61; 31+37
19
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
19
20
21
21
21
22
22
23
23
23
5
6
5
5
7
4
5
8
5
4
90
92
94
96
98
100
24
24
24
24
25
25
9
4
5
7
3
6
3+67; 11+59; 17+53; 23+47; 29+41
5+67; 11+61; 13+59; 19+53; 29+43; 31+41
3+71; 7+67; 13+61; 31+43; 37+37
3+73; 5+71; 17+59; 23+53; 29+47
5+73; 7+71; 11+67; 17+61; 19+59; 31+47; 37+41
7+73; 13+67; 19+61; 37+43
3+79; 11+71; 23+59; 29+53; 41+41
5+79; 11+73; 13+71; 17+67; 23+61; 31+53; 37+47; 41+43
3+83; 7+79; 13+73; 19+67; 43+43
5+83; 17+71; 29+59; 41+47
7+83; 11+79; 17+73; 19+71; 23+67; 29+61; 31+59; 37+53;
43+47
3+89; 13+79; 19+73; 31+61
5+89; 11+83; 23+71; 41+53; 47+47
7+89; 13+83; 17+79; 23+73; 29+67; 37+59; 43+53
19+79; 31+67; 37+61
3+97; 11+89; 17+83; 29+71; 41+59; 47+53
Tabela 2 – Números pares e suas respectivas decomposições em números primos.
3.3. Pesquisas Realizadas a Partir dos Dados Gravados
A partir dos dados gravados pelos programas descritos nos itens 2.1 e 2.2, é possível
pesquisar diversas informações, ao longo deste item serão mostrados os dados e curiosidades
que foram considerados relevantes para este trabalho.
3.3.1. Quantidade de números primos por potência de 10
Conhecer a quantidade de números primos pode contribuir para uma melhor
compreensão de estudos a eles relacionados. Dessa forma a tabela abaixo exibe a quantidade
de números primos existente em cada base 10 até onde o programa registrou (108).
Intervalo Até
10
100
1.000
10.000
100.000
1.000.000
10.000.000
100.000.000
Números Primos
4
25
168
1.229
9.592
78.498
664.579
5.761.455
Porcentagem
40,00%
25,00%
16,80%
12,29%
9,59%
7,85%
6,65%
5,76%
Tabela 3 – Quantidade de números primos por potência de 10
20
Existem atualmente tabelas semelhantes a esta, inclusive com intervalos maiores,
que foram desenvolvidas em outros trabalhos, a exemplo, a tabela estendida até 1023
disponível na Wikipédia9.
3.3.2. Diferença média entre um número primo e outro por potência de 10
A diferença entre os números primos 2 e 3 equivale ao número 1, já a diferença entre
os primos 89 e 97 é 8. Abaixo segue a tabela que mostra qual a diferença média entre todos os
primos inferiores a uma base 10.
Intervalo Até
Diferença média entre primos
10
100
1.000
10.000
100.000
1.000.000
10.000.000
100.000.000
1,6666
3,8000
5,9226
8,1131
10,4242
12,7389
15,0471
17,3567
Tabela 4 – Diferença média entre números primos por potência de 10
O aumento gradativo entre as diferenças de um número primo para seu anterior
implica na redução da ocorrência de números primos em intervalos maiores. Informação
percebida na tabela anterior.
Caso se queira valores aproximados, esta tabela pode ser facilmente estendida
utilizando-se o ‘Teorema do Número Primo’.
3.3.3. Diferença máxima entre um número primo e outro por potência de 10
Intervalo Até
10
100
1.000
10.000
100.000
1.000.000
10.000.000
100.000.000
Diferença Máxima
2
8
20
36
72
114
154
220
Ocorrência(s)
5e7
97
907
9587
31469
492227
4652507
47326913
Tabela 5 – Diferença máxima entre primos por potência de 10
9
http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_n%C3%BAmero_primo (consultada em dezembro de 2013).
21
Como é possível perceber na tabela 5, nem sempre os números primos com
intervalos maiores em relação ao primo anterior, estão próximos dos extremos. Por exemplo,
o número 31.469 dista 72 de seu primo anterior, e até o número 100.000 (número maior que o
seu triplo) existem muitos números primos e nenhum com intervalo igual ou maior que 72.
Embora a diferença máxima entre um primo e outro aumente no decorrer dos
números naturais(ver tabela 3), em termos de percentual essas diferenças diminuem
regularmente conforme aumentamos o número(ver tabela 4).
3.3.4. Distintas diferenças entre números primos
Ignorando a diferença entre os números primos 2 e 3, por ser a única diferença
impar, listamos na tabela abaixo todas as distintas diferenças entre números primos dentro do
intervalo de nosso estudo, desde a menor (o número 2, diferença entre 3 e 5) até maior (220).
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
152
154
156
158
160
162
164
166
168
170
172
174
176
178
180
182
184
196
198
210
220
Tabela 6 – Distintas diferenças entre números primos até 108
Percebe-se que todos os números pares aparecem ininterruptamente até o número
184, o que sugere que se continuarmos a o trabalho com números maiores que 108 os demais
serão preenchidos e a tabela crescerá.
Esses dados serão importantes para considerações do capítulo 5 adiante.
3.3.5. Quantidade de números primos por terminação
Como o número dois é o único primo par, e o número cinco é o único com essa
terminação que é primo, os demais números primos terão obrigatoriamente final 1, 3, 7 ou 9.
22
Assim, dentre os 5.761.455 de primos menores que 108, foi computado o total destes com
cada terminação possível.
Dígito Final
Quantidade
2
5
1
3
7
9
Total
1
1
1.440.298
1.440.474
1.440.495
1.440.186
5.761.455
Tabela 7 – Quantidade de números primos por terminação
Ignorando os números primos terminados em 2 e 5, por serem únicos, os dados
dessa tabela 7 mostram que a quantidade de números primos por terminação existentes em
dado intervalo é bem próxima uma da outra.
Resultados semelhantes foram obtidos selecionando intervalos menores que 108.
Dispensando assim a necessidade de outras tabelas com informações semelhantes.
3.3.6 – Número máximo de decomposições possíveis por potência de 10
Intervalo Até
Número
10
100
1.000
10.000
100.000
Decomposições Possíveis
10
90
990
9240
99330
Quantidade de Primos Menores
2
9
52
329
2168
4
24
166
1145
9533
Tabela 8 – Número máximo de decomposições por potência de 10
Se considerarmos o conjunto dos números naturais(infinito), a quantidade de 105,
objeto de nosso estudo, é um número consideravelmente pequeno, e neste pequeno intervalo
existe número que pode ser decomposto em mais de 2000 maneiras diferentes como soma de
dois números primos, conforme mostra a tabela.
23
3.3.7. Exemplo de decomposições possíveis: o número 2700
Possíveis decomposições do número 2700 em soma de 2 números primos
7+2693
223+2477
461+2239
701+1999
1031+1669
11+2689
227+2473
463+2237
727+1973
1033+1667
13+2687
233+2467
479+2221
751+1949
1063+1637
17+2683
241+2459
487+2213
769+1931
1087+1613
23+2677
263+2437
521+2179
787+1913
1091+1609
29+2671
277+2423
547+2153
811+1889
1093+1607
37+2663
283+2417
557+2143
821+1879
1103+1597
41+2659
307+2393
563+2137
823+1877
1117+1583
43+2657
311+2389
569+2131
827+1873
1129+1571
53+2647
317+2383
571+2129
829+1871
1151+1549
67+2633
349+2351
587+2113
839+1861
1201+1499
79+2621
353+2347
601+2099
853+1847
1213+1487
83+2617
359+2341
613+2087
877+1823
1217+1483
107+2593
367+2333
617+2083
911+1789
1229+1471
109+2591
389+2311
619+2081
941+1759
1249+1451
149+2551
419+2281
631+2069
947+1753
1277+1423
151+2549
431+2269
647+2053
953+1747
1291+1409
157+2543
433+2267
661+2039
967+1733
1301+1399
179+2521
449+2251
673+2027
977+1723
1319+1381
197+2503
457+2243
683+2017
991+1709
1327+1373
Tabela 9 – Decomposições possíveis do número 2700
O número 2.700 é o primeiro número par o qual é possível decompor de 100
maneiras diferentes como soma de dois números primos, motivo pelo qual foi escolhido para
este exemplo. Até 2.700 existem 393 números primos, que combinados entre si, totalizam
77.421 combinações possíveis (com repetição), das quais 100 destas resultam na soma deste
número.
Na primeira soma possível mostrada na tabela usa números primos dos extremos, o
menor e o maior primo possível, em seguida, o número primo inicial vai aumentando e
decrescendo o final. Por fim, a última soma possível é composta por dois números primos
bem próximos, ou até mesmo iguais em algum casos.
3.3.8. Os 20 números com maior quantidade de decomposições possíveis
A tabela 10 a seguir, exibe os 20 números menores que 105 que possuem maior
quantidade possível de decomposições, observe que os números com maiores quantidades são
todos terminados em zero. Para aparecer número com terminação diferente foi necessário
estender a lista para os primeiros 200. Esse fato ocorre pelo fato de os números com final zero
24
podem ser formados por somas de dois números com finais 1 e 9 ou 3 e 7. Ou seja, todo o
universo de terminações dos números primos (descartando o 2 e o 5), ao passo que, para
formar números pares com outras terminações (diferindo de 0) não é possível utilizar todas as
terminações.
Número
99330
90090
92820
94710
97020
98280
99960
87780
99750
92400
98670
91770
95550
96390
95760
98490
96600
98910
97650
99540
Quantidade de primos menores
9533
8726
8967
9132
9339
9437
9588
8524
9570
8926
9473
8866
9211
9283
9229
9458
9302
9495
9390
9550
Decomposições
2168
2135
2114
2093
2090
2075
2063
2042
2035
2004
2003
1999
1989
1977
1974
1964
1963
1956
1955
1955
Tabela 10 – Números menores que 100.000 com maiores quantidades de decomposições em
dois números primos
3.3.9. Média de decomposições por potência de 10
Conforme os números pares vão aumentando, aumenta também suas possibilidades
de decomposições em dois números primos, segue abaixo a quantidade média dessas
decomposições nos intervalos indicados.
Números pares até
10
100
1.000
10.000
100.000
Média de decomposições
1,25000
3,83670
16,47700
85,16720
507,34980
Tabela 11 – Média de decomposições por potência de 10.
25
Esta relação indica a média de quantas vezes um número pode ser decomposto como
soma de dois números primos diferentes, dentre de cada intervalo selecionado. A exemplo,
cada número par até 104 podem ser decomposto em média, por cerca de 85 maneiras
diferentes.
3.3.10. Decomposições mínimas por intervalos estratégicos
Verificou-se na tabela 11, uma evidente tendência crescente na média de
possibilidades de decomposições dos números pares como soma de 2 números primos, porém
é preciso saber se existe uma tendência de crescimento também no mínimo de vezes que os
números podem ser igualmente decomposto.
A tabela a seguir mostra em intervalos estratégicos, a quantidade mínima de
decomposições possíveis.
Intervalo
90 a 100
900 a 1000
9000 a 10000
90000 a 100000
Menor Quantidade
3
13
77
526
Tabela 12 – Quantidade mínima de decomposições por intervalos estratégicos
Perceba na tabela 12 que, entre o número 90.000 e 100.000, cada número par pode
ser decomposto em, no mínimo, 526 maneiras diferentes de soma de dois números primos.
Evidência fortíssima de que a Conjectura de Goldbach é verdadeira. No entanto, evidências
não são provas.
Na tabela 13 a seguir, mostraremos em média quantas decomposições são possíveis
nesses mesmos intervalos.
26
3.3.11. Média de decomposições por intervalos estratégicos
Intervalo
90 a 100
900 a 1000
9000 a 10000
90000 a 100000
Média de decomposições possíveis
5,6667
26,4118
143,9501
876,8396
Tabela 13 – Média de decomposições por intervalos estratégicos
3.4. Tecnologias Computacionais Utilizadas
Os programas descritos nos itens 3.1 e 3.2 foram construídos em ambiente de
programação utilizando a linguagem computacional PHP, e para armazenamento dos dados
foi utilizado o sistema gerenciador de banco de dados MySQL.
Para gerar os relatórios descritos no item 3.3 e seus respectivos subitens foi utilizada
a linguagem computacional de manipulação de dados chamada SQL. Os programas que não
foram construídos utilizando recursos avançados de otimização de processamento foram
executados em um computador comum.
27
4. O DUPLO TRIÂNGULO DE NÚMEROS PRIMOS
Durante a realização das pesquisas e execução dos trabalhos, surgiram algumas
ideias envolvendo métodos ainda não explorados, ao menos pelas literaturas conhecidas.
Algumas dessas ideias serão descritas neste.
4.1. O Duplo Triângulo de Números Primos – Definição
Como a conjectura de Goldbach trabalha com a hipótese de soma de dois números
primos, inicialmente foi pensado em gerar algo que mostrasse todas as combinações possíveis
de soma de dois números primos, daí nasceu a proposta que aqui chamaremos de “Triângulo
da soma” (TS). Em seguida, a partir de algumas curiosidades observadas durante os trabalhos
foi pensado em algo que mostrasse também os resultados da diferença entre dois números
primos, surgindo o que aqui denominamos “Triângulo da diferença” (TD).
Como a conjectura considera a soma de dois números primos que resulta em
números pares, por conveniência, nos modelos e exemplos deste trabalho não utilizaremos o
número 2 (dois), isso por ser ele um número par e se somado a qualquer outro número primo
resultará em número ímpar.
Neste capítulo (para ambos os triângulos) serão abordadas e, quando necessário,
demonstradas algumas de suas respectivas propriedades.
4.1.1. O triângulo da soma
Definição (triângulo da soma) Sejam P1 , P2 ,  , Pn os n primeiros números primos ímpares,
dispomos em uma tabela com n  1 linhas e n  1 colunas. Na primeira linha (horizontal) e
na primeira coluna (vertical) preenchemos as células com cada um dos n números primos.
Em seguida, preenchemos as demais células com a soma dos números primos que estão em
sua posição vertical e horizontal.
Denotemos por Pi o i-ésimo número primo e S i , j  Pi  Pj , 1  i, j  n , onde n a quantidade
de números primos. O triângulo da soma (TS) é definido da seguinte forma:
28
TS(n)
P1
P2
P3
...
Pn
P1
S1,1=P1+P1
S2,1=P2+P1
S3,1=P3+P1
P2
P3
S2,2=P2+P2
S3,2=P3+P2
S3,3=P3+P3
Sn,1=Pn+P1
Sn,2=Pn+P2
Sn,3=Pn+P3
...
Pn
...
Sn,n=Pn+Pn
Tabela 14 – Forma genérica do triângulo da soma
Abaixo segue como exemplo o triângulo da soma dos primeiros 20 números primos
maiores do que 2.
TS(20)
1 3
2 5
3 7
4 11
5 13
6 17
7 19
8 23
9 29
10 31
11 37
12 41
13 43
14 47
15 53
16 59
17 61
18 67
19 71
20 73
3
6
8
10
14
16
20
22
26
32
34
40
44
46
50
56
62
64
70
74
76
5
7
11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73
10
12
16
18
22
24
28
34
36
42
46
48
52
58
64
66
72
76
78
14
18
20
24
26
30
36
38
44
48
50
54
60
66
68
74
78
80
22
24
28
30
34
40
42
48
52
54
58
64
70
72
78
82
84
26
30
32
36
42
44
50
54
56
60
66
72
74
80
84
86
34
36
40
46
48
54
58
60
64
70
76
78
84
88
90
38
42
48
50
56
60
62
66
72
78
80
86
90
92
46
52
54
60
64
66
70
76
82
84
90
94
96
58
60
66
70
72
76
82
88
90
96
100
102
62
68
72
74
78
84
90
92
98
102
104
74
78
80
84
90
96
98
104
108
110
82
84
88
94
100
102
108
112
114
86
90
96
102
104
110
114
116
94
100
106
108
114
118
120
106
112
114
120
124
126
Tabela 15 – Triângulo da soma de tamanho 20
118
120
126
130
132
122
128 134
132 138 142
134 140 144 146
29
4.1.1.1. Propriedades do triângulo da soma
(PS1). Os elementos de cada linha estão em ordem crescente. Selecionada uma linha k
qualquer, e duas somas consecutivas quaisquer, as somas S k ,i , S k ,i 1 , para todo 1≤ i <k estão
dispostas de maneira crescente.
Demonstração: Para todo k fixo, 1  k  n , temos que,
S k ,i  Pk  Pi e S k ,i 1  Pk  Pi 1 .
Logo,
S k ,i 1  S k ,i  Pi 1  Pi  0  S k ,i  S k ,i 1 □
(PS2). Os elementos de cada coluna estão em ordem crescente. Selecionada uma coluna k
qualquer, e duas somas consecutivas quaisquer, as somas S i , k , S i 1, k , para todo 1  i  k
estão dispostas de maneira crescente.
Demonstração: análoga à propriedade 1.
(PS3). Os elementos de uma diagonal selecionados de cima para baixo e da esquerda para a
direita estão em ordem crescente.
Demonstração: Consequência imediata de P1 e P2.
(PS4). A quantidade de elementos de um triângulo com N números primos equivale a:
( N  1).N
2
Demonstração: o número de possibilidades de combinações possíveis equivale à formula de
combinações com repetição, já que, havendo selecionado um número primo qualquer, o
próximo número primo a completar a dupla pode ser ele mesmo novamente. Assim
CR n.2  C n 1, 2 
( N  1)! ( N  1) N

2!( N  1)!
2
□
(PS5). A relação de passagem do elemento S i , j para o elemento S i 1, j 1 é dada por
30
S i 1, j 1  S i 1, j  S i , j 1  S i , j
Demonstração:
S i 1, j 1  Pi 1  Pj 1  Pi 1  Pj   Pi  Pj 1   Pi  Pj   S i 1, j  S i , j 1  S i , j
□
Exemplo: S 3, 2  S 2, 2  S 3,1  S 2,1
TS(n) P1
P2
P3
...
P1
S1,1
P2
S2,1 S2,2
P3
...
S3,1 S3,2 S3,3
Pn
Sn,1 Sn,2 Sn,3 ...
Pn
Sn,n
Tabela 16 – Triângulo da soma detalhado
(PS6). Em um triângulo formado por N números primos, o maior número par possível é 2PN.
Demonstração: como os elementos das linhas e das colunas estão dispostos em ordem
crescente o maior elemento é S N , N  PN  PN  2 PN
□
(PS7). Em uma mesma linha ou coluna nunca haverá elemento repetido.
Demonstração: Decorre do fato que dados dois números primos distintos PA e PB, não há
como, somados a um terceiro número primo PC, resultar em um mesmo valor.
4.1.2. O triângulo da diferença
Com muitas semelhanças ao triângulo da soma, segue abaixo definição de triângulo
da diferença.
Definição (triângulo da diferença). Sejam P1 , P2 ,  , Pn os n primeiros números primos
ímpares, dispomos em uma tabela com n+1 linhas e n+1 colunas. Na primeira linha e na
primeira coluna preenchemos as células com cada um dos n números primos. Em seguida,
31
preenchemos as demais células com a diferença dos números primos que estão em sua
posição vertical e horizontal.
Seja Pi i-ésimo número primo e seja Di , j  Pi  Pj , 1  i, j  n , onde n é a
quantidade de números primos, o triângulo da diferença (TD) é definido da seguinte forma:
TD(n)
P1
P2
P3
...
Pn
P1
D1,1=P1-P1
D2,1=P2-P1
D3,1=P3-P1
P2
P3
D2,2=P2-P2
D3,2=P3-P2
D3,3=P3-P3
Dn,1=Pn-P1
Dn,2=Pn-P2
Dn,3=Pn-P3
...
Pn
...
Dn,n=Pn-Pn
Tabela 17 – Forma genérica do triângulo da diferença
Abaixo segue como exemplo o triângulo da diferença dos primeiros 20 números
primos.
TD(20)
1 3
2 5
3 7
4 11
5 13
6 17
7 19
8 23
9 29
10 31
11 37
12 41
13 43
14 47
15 53
16 59
17 61
18 67
19 71
20 73
3
0
2
4
8
10
14
16
20
26
28
34
38
40
44
50
56
58
64
68
70
5
7
11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73
0
2
6
8
12
14
18
24
26
32
36
38
42
48
54
56
62
66
68
0
4
6
10
12
16
22
24
30
34
36
40
46
52
54
60
64
66
0
2
6
8
12
18
20
26
30
32
36
42
48
50
56
60
62
0
4
6
10
16
18
24
28
30
34
40
46
48
54
58
60
0
2
6
12
14
20
24
26
30
36
42
44
50
54
56
0
4
10
12
18
22
24
28
34
40
42
48
52
54
0
6
8
14
18
20
24
30
36
38
44
48
50
0
2
8
12
14
18
24
30
32
38
42
44
0
6
10
12
16
22
28
30
36
40
42
0
4
6
10
16
22
24
30
34
36
0
2
6
12
18
20
26
30
32
0
4
10
16
18
24
28
30
0
6
12
14
20
24
26
0
6
8
14
18
20
0
2
8
12
14
Tabela 18 – Triângulo da diferença de tamanho 20
0
6 0
10 4
12 6
0
2
0
32
4.1.2.1. Propriedades do triângulo da diferença
(PD1). Os elementos de cada linha estão em ordem decrescente. Selecionada uma linha k
qualquer, e duas diferenças consecutivas quaisquer Dk,i; Dk,i+1, para todo 1≤ i <k estão
dispostas de maneira decrescente.
Demonstração: Para todo k fixo, 1  k  n , temos que, Dk , j  Pk  Pj e Dk , j 1  Pk  Pj 1 .
Logo
Dk , j  Dk ,i 1  Pj 1  Pj  0  Dk , j  Dk , j 1
□
(PD2). Os elementos de cada coluna estão em ordem crescente. Selecionada uma coluna k
qualquer, e duas somas consecutivas quaisquer, as diferenças D i , k , Di 1, k para todo 1  i  k
estão dispostas de maneira crescente.
Demonstração: Análoga à propriedade 1.
(PD3). A quantidade de elementos de um triângulo da diferença com N números primos
equivale a:
( N  1).N
. Mesma demonstração já realizada no triângulo da soma.
2
(PD4). A relação de passagem do elemento Di,j para o elemento Di+1,j+1 é dada por:
Di 1, j 1  Di 1, j  Di , j 1  Di , j
Demonstração: idêntica à propriedade 5 do triângulo da soma.
(PD5). Em um triângulo formado por N números primos, o maior número par possível é PN –
3.
Demonstração: Como o último elemento de cada coluna é o maior (propriedade 2) e o
primeiro elemento de cada linha é o maior (propriedade 1), o maior elemento será o primeiro
elemento da última linha, que é PN,1 = PN – P1 = PN – 3.
□
Nota. A partir de uma visão cuidadosa sobre o triângulo da diferença, foi possível observar
que todos os números pares, a partir de 0, vão aparecendo bem próximos do outro. A partir
33
desta observação foi realizado um teste computacional que comprovou esta tendência para
números pares até 105. Um detalhe adicional ainda foi observado quanto ao sinal, pois, dado
dois números primos quaisquer Pa e Pb, a subtração Pa – Pb nos resultará um determinado
número N; e se invertermos a ordem e o sinal resultará no mesmo número com o sinal
invertido, resultando em: Pb – Pa = -N. A partir desses fatos sugere-se ser verdadeira a
seguinte afirmação: Todo número par inteiro pode ser escrito como subtração de dois números
primos.
Essa afirmação é uma consequência direta de outra conjectura existente: a conjectura
de Polignac10.
10
http://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_De_Polignac (acessada em dezembro de 2013)
34
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho teve por desafio construir um conjunto de informações referentes a um
assunto pouco explorado e com uma quantidade insignificante de publicações a respeito, a
conjectura de Goldbach.
Apresentou-se certo volume de informações calculadas computacionalmente
abordando diferentes aspectos sobre os números primos e sobre a formação de números pares
a partir de dois números primos. Ideias novas surgiram a partir da análise dessas informações
e foram apresentadas como proposta de novos conhecimentos para a matemática, com o fim
de provocar o público matemático e despertar o interesse pelo assunto.
Os dados extraídos a partir de rotinas computacionais foram de grande importância
para conhecer resultados e despertar curiosidades sobre assuntos abordados aqui, uma vez que
de outra forma não teríamos como conhecer certos valores. Levaríamos séculos para
investigar manualmente o que o computador pôde fazer em bem pouco tempo.
As pesquisas realizadas a partir dos dados gravados (item 3.3) levantam curiosidades
que, se estudadas em intervalos maiores podem levar a novas descobertas. Por exemplo, a
diferença máxima entre um número primo e outro por potência em base 10; ou mesmo a
quantidade de números primos por terminação.
Os triângulos da soma e da diferença, ferramentas aqui propostas, precisam ser
estudadas para que se alcance uma maior maturidade sobre suas possíveis aplicações, tanto
em relação à conjectura de Goldbach como em outros problemas envolvendo números primos.
Por fim, concluímos que, quando falamos de números primos e seus assuntos
relacionados, há muito a ser investigado, há muito ainda a ser descoberto. E este trabalho
deixa alguns alicerces cujas construções precisam ser continuadas.
35
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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2012.
[2]
Teoremas
da
incompletude
de
Gödel.
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em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_da_incompletude_de_G%C3%B6del>. Acesso em: 18
dez. 2013.
[3] STEWART, Ian. ALMANAQUE DAS CURIOSIDADES MATEMÁTICAS. Rio de
Janeiro: ZAHAR, 2009.
[4]
VAZ,
Erika.
A
Conjectura
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Goldbach.
Disponível
<http://prezi.com/il_b60ml8xha/conjectura-de-goldbach/>. Acesso em: 24 set. 2013.
em:
[5]
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Disponível
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<http://profemarli.comunidades.net/index.php?pagina=1542745242>. Acesso em 24 set. 2013
[6] MILIES, César Polcino e COELHO, Sônia Pitta. Números Uma Introdução à Matemática.
São Paulo: Edusp, 2003.
[7] SANTOS, José Plínio de Oliveira. Introdução à Teoria dos Números. Rio de Janeiro:
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[8] HEFEZ, Abramo. Elementos de Aritmética. Rio de Janeiro: SBM, 2011.
[9] RIBENBOIM, Paulo. Números Primos - Velhos Mistérios e Novos Recordes. Rio de
Janeiro: SBM, 2012.
[10]
Conjecture
de
De
Polignac.
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[11] LOPES, Paulo Afonso. Probabilidades & Estatística. Rio de Janeiro: R&A, 1999.
[12] BENTO, Evaldo Junior. Desenvolvimento web com PHP e MySQL. Brumado: Casa do
Livro, 2007.
[13] MILANI, André. Construindo Aplicações Web com PHP e MySQL. São Paulo: Novatec,
2010.
[14] MILANI, André. MySQL - Guia do Programador. São Paulo: Novatec, 2007.
[15] OLIVEIRA, Celso Henrique Poderoso de. SQL – Curso Prático. São Paulo: Novatec,
2002.
[16] ZERVAAS, Quentin. Aplicações Práticas de Web 2.0 Com Php. Rio de Janeiro: Alta
Books, 2012.
[17] SOARES, Walace. Php 5 - Conceitos, Programação e Integração com Banco de Dados.
São Paulo: Erica, 2004.