Aula 17

Mecânica I (FIS-14)
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá
Sala 2602A-1
Ramal 5785
[email protected]
www.ief.ita.br/~rrpela
Onde estamos?
●
Nosso roteiro ao longo deste capítulo
–
Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia
●
●
O trabalho de uma força
Princípio do trabalho e energia
–
Princípio do trabalho e energia para um
sistema de partículas
–
Potência e eficiência
–
Forças conservativas e energia potencial
●
Conservação de energia
4.3 – Princípio do trabalho e energia
para um sistema de partículas
●
●
Vamos considerar um sistema composto por N
partículas
Princípio do trabalho e energia
Trabalho resultante de todas as forças externas
Trabalho resultante de todas as forças internas
Variação da energia cinética total
4.3 – Princípio do trabalho e energia
para um sistema de partículas
●
Por amor à simplicidade, vamos mostrar o
princípio do trabalho e energia para um
sistema constituído somente por 2 partículas
(o caso N partículas é análogo, embora bem
mais trabalhoso) :)
●
Força na partícula 1 devido à partícula 2
●
Força na partícula 2 devido à partícula 1
●
Força externa resultante na partícula 1
●
Força externa resultante na partícula 2
OBS.:
mas isto não irá ajudar muito...
4.3 – Princípio do trabalho e energia
para um sistema de partículas
●
Finalizando
4.3 – Princípio do trabalho e energia
para um sistema de partículas
●
●
●
Energia cinética do sistema e do CM
Questão: a energia cinética de um sistema de
partículas é igual a
?
Resp.: NÃO!!!
–
●
Tente encontrar um contra-exemplo
Vamos encontrar a expressão completa:
4.3 – Princípio do trabalho e energia
para um sistema de partículas
●
Somando, temos
Seja:
4.3 – Princípio do trabalho e energia
para um sistema de partículas
●
Com isso, chegamos a
Onde:
Note que:
4.3 – Princípio do trabalho e energia
para um sistema de partículas
●
Para um sistema de 2 partículas
Onde, definimos a massa reduzida:
Prova:
4.3 – Princípio do trabalho e energia
para um sistema de partículas
●
Analogamente
4.3 – Princípio do trabalho e energia
para um sistema de partículas
●
Exemplo: A Figura ao lado mostra duas bolas, cada
qual com massa de 1,1 kg. Segura-se firmemente a
bola A, e suspende-se a bola B em equilíbrio
estático 3,0 m abaixo da bola A. A mola linear que
liga as molas é modelada como tendo um
comprimento “não deformado” nulo. Em t = 0, a bola
A é liberada e em t*, quando as duas bolas se
chocam, a bola A move-se com 1,65 m/s (para baixo
) e a bola B, com 1,35 m/s (também para baixo).
Determine t* e a constante de mola k.
4.3 – Princípio do trabalho e energia
para um sistema de partículas
●
Respostas
–
t* = 0,15 s
–
k = 55 N/m
Onde estamos?
●
Nosso roteiro ao longo deste capítulo
–
Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia
●
●
O trabalho de uma força
Princípio do trabalho e energia
–
Princípio do trabalho e energia para um sistema
de partículas
–
Potência e eficiência
–
Forças conservativas e energia potencial
●
Conservação de energia
4.4 – Potência e eficiência
●
●
Conceito útil quando precisamos escolher o
tipo de motor ou máquina necessária para
realizar certa quantidade de trabalho em um
dado tempo
Exemplo: duas bombas podem, cada uma, ser
capazes de esvaziar um reservatório se
tiverem um tempo suficiente; entretanto, a
bomba tendo a maior potência vai terminar o
serviço mais cedo
4.4 – Potência e eficiência
●
Definição de potência
●
Se dW é igual a
4.4 – Potência e eficiência
●
●
●
Eficiência
Se energia fornecida à máquina ocorre no
mesmo intervalo de tempo no qual ela é
consumida
A eficiência de máquinas mecânicas é sempre
menor que 1
4.4 – Potência e eficiência
●
Exemplo: O motor M do
guindaste mostrado na Figura
iça a caixa C de 375 N de
maneira que a aceleração do
ponto P é 1,20 m/s2.
Determine a potência que
tem de ser fornecida no
instante em que P tem
velocidade de 0,600 m/s.
Despreze a massa da polia e
do cabo e suponha uma
eficiência de e = 0,85.
4.4 – Potência e eficiência
●
Resposta:
–
141 W
Onde estamos?
●
Nosso roteiro ao longo deste capítulo
–
Dinâmica de uma partícula: trabalho e energia
●
●
O trabalho de uma força
Princípio do trabalho e energia
–
Princípio do trabalho e energia para um sistema
de partículas
–
Potência e eficiência
–
Forças conservativas e energia potencial
●
Conservação de energia
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
●
Se o trabalho de uma força independe da
trajetória e depende somente das posições
inicial e final da partícula, então dizemos que
esta força é conservativa
Exemplos de forças conservativas
–
●
Força constante, gravitacional, elétrica, mola
Exemplos de forças não conservativas
–
Atrito
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
Qual a condição a ser satisfeita para que uma
força
seja conservativa? Vejamos.
Força conservativa implica:
qualquer que seja a curva ligando A e B
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
Qual a condição a ser satisfeita para que uma
força
seja conservativa? Vejamos.
Para qualquer
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
●
Conclusão: para que uma força seja
conservativa deve existir uma função V
(energia potencial) de modo que
Mas dado
tal função V?
–
Se
Teste do rotacional
, então
como saber se existe uma
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
Vejamos o que é o rotacional
●
Note que se
, então
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
●
A recíproca é verdadeira? Isto é, se
então
–
“Quase” sempre
–
Os casos degenerados (funções “multivalentes” e
problemas de domínios) serão abordados no
curso de cálculo vetorial
OBS.: Pode-se mostrar que uma força é
conservativa se, e somente se,
Para qualquer curva fechada
“bem comportada”
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
OBS.: Gradiente e rotacional em coordenadas
cilíndricas
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
OBS.: Gradiente e rotacional em coordenadas
esféricas
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
Exemplo: Verifique se o campo de força
é conservativo. Se for, determine uma função
energia potencial associada.
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
Resposta: é conservativo
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
Exemplo: Verifique se o campo de força
é conservativo. Se for, determine uma função
energia potencial associada.
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
Resposta: Não é conservativo
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
Exemplo: Mostre que toda força central é
conservativa
–
Consequência: a força gravitacional e a força
elétrica são conservativas
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
Exemplo: usando o sistema de coordenadas
esféricas
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
Exemplo: Encontre a expressão da energia
potencial gravitacional
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
Exemplo:
–
Método 1: igualar a força a menos o gradiente da
energia potencial
Escolhemos C de modo que V no infinito seja zero
4.5 – Forças conservativas e
energia potencial
●
Exemplo:
–
Método 2: usando a definição de trabalho
Escolhemos C de modo que V no infinito seja zero