Aula 1.2

Microeconomia II
Cursos de Economia e de Matemática
Aplicada à Economia e Gestão
AULA 1.2
Conceitos de Equilíbrio em jogos não-cooperativos
na forma normal
Isabel Mendes
2007-2008
1.2 conceitos de equilíbrio em jogos não-cooperativos
simultâneos forma normal
Na aula teórica 1.1 mostrámos um jogo não-cooperativo simultâneo na forma
normal.
Como se encontra o equilíbrio (a solução) num jogo estratégico deste tipo?
Sabemos que :
1º) os jogadores são racionais ⇒ vão escolher a estratégia com o melhor
resultado ou seja a melhor estratégia;
2º) cada um dos jogadores procede da mesma forma e cada um conhece as
estratégias do outro; mas, como o jogo é simultâneo, cada jogador não sabe o
que o adversário irá jogar;
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1.2 conceitos de equilíbrio em jogos não-cooperativos
simultâneos forma normal
3º) então, cada jogador tentará “pôr-se na pele” do adversário para poder
perceber o que ele poderá jogar:
) cada um tentará perceber se o adversário tem alguma estratégia que
prefira sempre = estratégia dominante equilíbrio em estratégias
dominantes;
) se não há estratégias dominantes cada um irá tentar perceber quais são
as melhores estratégias nas várias jogadas possíveis ⇒ equilíbrio de Nash.
1. CONCEITO DE MELHOR ESTATÉGIA OU MELHOR RESPOSTA:
Seja:
*
s i uma estratégia que é a melhor resposta do jog. i ao conjunto de
¾
estratégias dos outros jogadores
s = s 1 ,..., s n ;
i
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(
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)
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1. CONCEITO DE MELHOR ESTATÉGIA OU MELHOR RESPOSTA
(continuação):
¾ s
*
i
é a melhor resposta do jog. i se se verificar a relação
Pi ( s i* , s i ) ≥ P ( s i' , s i ) , para todo o s’i
Existem dois tipos de estratégias dominantes:
)
Estratégias estritamente dominantes;
)
Estratégias fracamente dominantes.
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1. CONCEITO DE MELHOR ESTATÉGIA OU MELHOR RESPOSTA
(continuação):
Estratégia estritamente dominante: é sempre a melhor resposta em sentido
estrito, a quaisquer estratégias que os adversários possam escolher; neste
caso,
s i* satisfaz a seguinte relação:
*
'
'
P(
s
,s
)
>
P(
s
,s
)
para
todo
o
s
i
i
i
i
i
i e si
Estratégia fracamente dominante: é uma estratégia que nunca é pior do que
outra como resposta a um perfil de estratégias dos adversários, sendo
estritamente melhor para algum perfil de estratégias dos adversários; neste
caso, s
*
i
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satisfaz a seguinte relação:
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1. CONCEITO DE MELHOR ESTATÉGIA OU MELHOR RESPOSTA
(conclusão):
*
'
'
≥
P(
s
,s
)
P(
s
,s
)
para
todo
o
s
i
i
i
i
i
i e si
e
*
'
'
P(
s
,s
)
>
P(
s
,s
)
para
todo
o
s
i
i
i
i
i
i e algum s i
2. CONCEITO DE EQUILÍBRIO EM ESTRATÉGIAS DOMINANTES: se os
jogadores tiverem estratégias dominantes serão estas as escolhidas; então
o equilíbrio do jogo EQUILÍBRIO EM ESTRATÉGIAS DOMINANTES.
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ƒ
Equilíbrio em estratégias estritamente dominantes: equilíbrio em que
cada estratégia escolhida é estritamente dominante.
ƒ
Equilíbrio em estratégias fracamente dominantes: equilíbrio em que
são escolhidas estratégias fracamente dominantes.
EXEMPLO DE EQUILÍBRIO EM ESTRATÉGIA DOMINANTE: DILEMA DO
PRISIONEIRO (jogo simétrico)
Preso B
Cooperar
Cooperar
Denunciar
-1, -1
-10, 0
0, -10
-8, -8
Preso A
Denunciar
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Estratégia
Dominante para A
Estratégia
Dominante para B
Equil. em estratégia
estritamente
dominante
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3. EQUILÍBRIO DE NASH
Uma combinação de estratégias
(s
*
1
, s *2 , . . . , s *n
) é um EQUILÍBRIO
DE NASH se a estratégia de equilíbrio de cada jogador for a melhor
resposta às estratégias de equilíbrio dos outros jogadores:
* *
' *
'
P(
s
,s
)
≥
P(
s
,s
)
para
todo
o
s
i
i
i
i i
i e i = 1, 2,...,n
NOTA: o Equilíbrio em Estratégias Dominantes ∈ Equilíbrio de Nash.
Há Equilíbrios de Nash que não são de estratégias dominantes.
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3. EQUILÍBRIO DE NASH (continuação)
EXEMPLO DE EQUILÍBRIO DE NASH: DILEMA DO PRISIONEIRO
Preso B
Cooperar Denunciar
Cooperar
-1*, -1
-10, 0*
Cooperar; Denunciar} NÃO É
EQ DE NASH;
Preso A
Denunciar
Denunciar; Denunciar} é EQ
0*, -10
-8*, -8*
DE NASH e Eq. em
estratégia estritamente
dominantes.
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1.2 conceitos de equilíbrio em jogos não-cooperativos
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4. CARACTERÍSTICAS DO EQUILÍBRIO DE NASH:
4.1 Num jogo pode não haver Equilíbrio de Nash:
Exemplo: Jogos de soma nula (conflito total) = a soma dos benefícios dos
jogadores é nula.
Coluna
Esquerda
Direita
Jogo circular; não há
1, -1*
Superior 3*, -3
equilíbrio de Nash
Linha
Inferior
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2*, -2*
4*, -4
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1.2 conceitos de equilíbrio em jogos não-cooperativos
simultâneos forma normal
4. CARACTERÍSTICAS DO EQUILÍBRIO DE NASH (continuação):
4.2 Num jogo pode haver vários equilíbrios de Equilíbrio de Nash: neste caso
pode haver equilíbrio focal, se os jogadores coordenarem as estratégias
entre si para satisfação de ambos.
Exemplo: Jogos da guerra dos sexos (aulas práticas).
4.3 Um equilíbrio de Nash não é necessariamente um óptimo de Pareto
Exemplo: Dilema do Prisioneiro
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1.2 conceitos de equilíbrio em jogos não-cooperativos
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Exemplo: Jogos Dilema do Prisioneiro
Preso B
Cooperar Denunciar
Cooperar
Preso A
Denunciar
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-1, -1
0, -10
-10, 0
Equilíbrio de
Nash
- 8*, -8*
Óptimo de
Pareto
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