Potenciais magnéticos - professor Daniel Orquiza de Carvalho

Prof.DanielOrquiza
EletromagnetismoII
EletromagnetismoII
Prof.DanielOrquizadeCarvalho
SJBV
Eletromagnetismo II - Magnetostática
Potenciais escalar e vetorial magnéticos
(Capítulo 7 – Páginas 210 a 216)
• 
Potencial Escalar Vm
• 
Potencial Vetorial A
EletromagnetismoI
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Eletromagnetismo II - Magnetostática
Potencial Escalar Magnético (Vm)
§  O potencial elétrico é utilizado em é
simplifica significativamente a análise de
circuitos utilizando modelos de parâmetros concentrados.
§  É possível definir um potencial magnético Vm, análogo ao potencial elétrico.
No
entanto, alguma diferenças importantes devem ser salientadas.
§  O potencial magnético é bastante usado na análise de circuitos magnéticos. Muitas
vezes outras variáveis são usadas para representar Vm (Ψ ou φ).
§  O potencial magnético é definido de forma que H é o negativo do gradiente de Vm.
!
H = −∇Vm
(1)
§  Se tomarmos o rotacional de H:
!
!
∇ × H = ∇ × (−∇Vm ) = 0 ≠ J
§  Pois o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar é sempre zero.
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Eletromagnetismo II - Magnetostática
Potencial Escalar Magnético (Vm)
§  Este último resultado é conflitante com a L.A. nas regiões onde existe J.
! !
∇×H = J
§  Portanto, o potencial Vm só pode ser definido, usando (1), em regiões onde não existe J.
§  De forma similar a V, Vm também satisfaz uma Eq. de Laplace:
∇ 2Vm = 0
§  Isto pode ser mostrado facilmente substituindo (1) na L.G.M.
§  Outra diferença com relação ao potencial elétrico é que H não é um campo
conservativo.
§  Isto leva a que Vm não seja unicamente definido em cada ponto do espaço.
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Campos Conservativos e irrotacionais
§  O potencial eletrostático possui um valor único em cada ponto do espaço.
§  Isto é equivalente a dizer que a integral de linha do campo elétrico ao longo de um
caminho fechado é nula.
A
! !
"∫ E ⋅ dl =
C
∫
A
A
! !
E ⋅ dl = VAA = 0
§  Por isso, a diferença de potencial elétrico entre A e B é
independente do caminho.
VAB = VA −VB = − ∫
A
B
! !
E ⋅ dl
Pois VA e VB são unicamente definidos.
C
A
C3
C2
C1
B
FALARQUEOOCALCULODOPOTENCIALNAODEPENDEDOCAMINHOESCOLHIDO
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Potencial Vm
§  O potencial Vm não possui necessariamente um valor único em cada ponto do
espaço.
§  A integral de linha do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual
à corrente envolvida.
A
! !
!∫ H ⋅ dl = I
I
§  Toda vez que fizermos uma volta completa ao redor de
‘I’, Vm é diminuída de ‘I’.
C
§  Por isso, a diferença de potencial magnético entre A e B
é dependente do caminho.
A
Vm, AB = − ∫
A
B
! !
H ⋅ dl (para um caminho específico)
Vm, A e Vm, B não são unicamente definidos.
C3
C2
C1
B
FALARQUEOOCALCULODOPOTENCIALNAODEPENDEDOCAMINHOESCOLHIDO
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Exemplo de potencial magnético
§  Problema: potencial Vm em um ponto ‘P’ situado num meio dielétrico entre dois
condutores, conduzindo I e –I, de um cabo coaxial.
§  Usando a L.A. vimos que H entre os condutores é:
!
I
H=
âφ
2πρ
§  Podemos encontrar Vm usando o componente aφ do
gradiente:
y
!
H = −∇Vm φ
§  O que resulta em:
I
1 ∂Vm
âφ = −
âφ
2πρ
ρ ∂φ
P
I
φ
x
−I
FALARQUEOOCALCULODOPOTENCIALNAODEPENDEDOCAMINHOESCOLHIDO
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Exemplo de potencial magnético
§  Integrando ambos os lados da expressão anterior:
Vm = −
I
φ
2π
§  Se o ponto P estiver ao longo do eixo x, o potencial é igual a zero (na verdade
poderiamos adicionar uma constante).
§  Se dermos uma volta completa ao redor do
condutor interno:
y
Vm = −I
P
§  Se dermos duas voltas:
Vm = −2I
§  Desta forma, podemos atribuir diferentes valores de
Vm ao mesmo ponto.
§  Vm pode ser definido num intervalo de 0 ≤ φ ≤2π.
I
φ
x
−I
FALARQUEOOCALCULODOPOTENCIALNAODEPENDEDOCAMINHOESCOLHIDO
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Potencial vetorial magnético
§  Além de Vm, é possível definir um potencial magnético vetorial A [Wb/m].
§  Este potencial será usado para calcular os campo irradiados por antenas.
§  A motivação para a definição de A é a L.G.M.:
!
∇⋅B = 0
§  Como o divergente do rotacional de qualquer vetor é zero, é possível definir A tal
que:
!
!
!
(
)
∇⋅ ∇× A = 0
⇒ B = ∇× A
§  Substituindo esta definição de A na L.A. na forma diferencial, chega-se à equação
que relaciona A com a densidade de corrente:
!
!
∇ A = -µ 0 J
2
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FALARQUEOOCALCULODOPOTENCIALNAODEPENDEDOCAMINHOESCOLHIDO
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Potencial vetorial magnético
§  Substituindo:
§  Na L.A., temos:
!
!
B = ∇× A
!
⎛∇× A⎞ !
∇ ×⎜
⎟= J
⎝ µ0 ⎠
§  Usando a identidade vetorial:
!
!
!
2
∇×∇× A = ∇ ∇⋅ A −∇ A
(
§  Temos:
)
!
! !
2
∇ ∇⋅ A −∇ A = J
(
)
§  O rotacional de A é definido, mas o divergente, pode ser tomado como:
§  Assim:
! ∂A ∂Ay ∂Az
∇⋅ A = x +
+
=0
∂x ∂y ∂z
!
!
∇ A = -µ 0 J
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FALARQUEOOCALCULODOPOTENCIALNAODEPENDEDOCAMINHOESCOLHIDO
P
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Potencial vetorial magnético
§  Esta equação vetorial corresponde a um conjunto de três equações:
∇ 2 Ax = -µ 0 J x ,
∇ 2 Ay = -µ 0 J y e
∇ 2 Az = -µ 0 J z
§  Cada uma das equações acima possui a mesma forma que a Eq. de Poisson da
eletrostática:
fonte de potencial
potencial
∇ 2V = -
ρv
ε0
§  Naquele caso (eletrostática) o potencial podia ser calculado a partir de ρv através
da integral:
ρv dv' V = ∫
vol 4πε 0 R
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FALARQUEOOCALCULODOPOTENCIALNAODEPENDEDOCAMINHOESCOLHIDO
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Potencial vetorial magnético
§  Através desta analogia, concluímos que cada componente do potencial magnético
pode ser calculado através das seguintes equações:
µ 0 J x dv' Ax = ∫
,
4π R
vol
µ Jydv' Ay = ∫ 0
e
4π R
vol
µ Jzdv' Az = ∫ 0
4π R
vol
§  A expressão resultante é usada para calcular A dada a densidade de corrente J:
!
!
µ Jdv' A = ∫ 0
vol 4π R
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NoteasemelhançacomLBSavart
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Potencial vetorial magnético
§  De forma similar, A poder ser calculado para uma densidade superficial de
corrente K:
!
!
µ 0 KdS ' A = ∫
4π R
S
§  Ou para uma corrente passando por um fio com seção transversal desprezível:
!
!
µ Idl ' A = ∫ 0
4π R
C
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Potencial vetorial magnético
§  Note que de acordo com
!
!
µ Jdv' A = ∫ 0
vol 4π R
Cai com 1/R
§  A tem a mesma direção e sentido de J, mas é definido mesmo em regiões onde não
há J.
A
J
§  Após calcular A, calcula-se B e H usando:
!
!
B = ∇× A
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Calculo do fluxo usando A
§  Vimos que o fluxo magnético pode ser calculado por:
! !
ψ m = ∫ B ⋅ dS
S
§  Usando a definição do potencial A, e aplicando o Teorema de Stokes, vemos que:
ψm =
∫(
S
!
!
! !
∇ × A ⋅ dS = "
∫ A ⋅ dl
)
C
§  O fluxo magnético através da superfície ‘S’ pode ser calculado através da
circulação de A ao longo do caminho fechado ‘C’ que envolve ‘S’.
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