Equações do 2 o grau - Amazon Web Services

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Oficina
Matemática
Autor
Prof. Adriano Thomaz
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Oficina de Matemática
Sumário
Cálculo
Algébrico
Equações do 1˚ grau
Inequações do 1˚ grau
Sistemas de Equações do 2˚ grau
Equações do 2˚ grau
Porcentagem
Áreas de Superfícies Planas
Teorema de Pitágoras
Semelhanças de Triângulos
Geometria Espacial
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Cálculo Algébrico
Diversas situações no dia a dia exigem cálculos para se determinar um valor desconhecido.
Provavelmente você já utilizou álgebra para a resolução de alguns problemas, mesmo sem perceber. A
matemática pode nos ajudar a identificar e encontrar a resposta para esses problemas.
Expressões algébricas
O uso de letras em matemática é muito utilizado para descrever uma situação na qual não
conhecemos valores de um determinado problema. No ensino fundamental e no ensino médio você
provavelmente resolveu listas de exercícios, contendo expressões algébricas.
As variáveis são os valores que não estão definidos, ou seja, as letras, como no exemplo a
seguir:
Exemplo:
2xy 4x3 -3z2 xyz2
Para saber o valor numérico de uma expressão algébrica é preciso substituir o valor numérico
atribuído às variáveis.
Exemplo:
Vamos determinar o valor da expressão 2xy2 + 3x, para os seguintes valores das variáveis x = 2
e y = 3.
→ 2 . x . y2 + 3 . x
→ 2 . 2 . 32 + 3 . 2
→2.2.3.3+3.2
→ 36 + 6
→ 42
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Exemplo:
Vamos utilizar uma expressão algébrica bastante conhecida na área da saúde, o Índice de Massa
Corporal, mais conhecido pela sigla IMC. A aplicação dessa fórmula é um método eficaz e prático para
se avaliar o grau de risco associado à obesidade.
Esse índice pode ser obtido dividindo-se o peso corporal em quilogramas (M) pelo quadrado da
altura em metros (h):
IMC →
Então, para se descobrir o IMC de uma pessoa que pesa 69kg e mede 1,75m, basta substituir os
valores de M e h.
IMC →
→ 22, 53
Praticando: Descubra o seu Índice de Massa Corporal, substitua seu peso e altura nas variáveis
na expressão do IMC.
Curiosidades
René Descartes. A álgebra na forma como temos hoje, com o uso de letras, foi sistematizada pelo
matemático e filósofo René Descarte. Pesquise sobre essas e outras contribuições de René Descartes.
Monômios e Polinômios
Uma expressão algébrica, que utiliza números e letras ligados apenas por produtos (multiplicação),
é conhecida como Monômio. O coeficiente de um monômio é a parte numérica, sendo chamada de
literal a parte que contém as letras e seus respectivos expoentes.
Exemplo:
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No monômio 4xy2 temos as partes:
Coeficiente: 4 Literal: xy2
Observações:
O expoente de um monômio também é considerado parte literal, pois representa o produto de um
literal. No caso xy2 → x . y . y.
Monômios semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal.
A soma ou a subtração de monômios é conhecida como um Polinômio.
Operações com Expressões Algébricas
Nas operações com expressões algébricas é preciso observar as partes dos polinômios, quais
são os coeficientes e os literais.
Adição e subtração
Para realizar uma adição ou uma subtração de expressões algébricas, identifique os monômios
semelhantes e em seguida some ou subtraia seus coeficientes.
Exemplo: Dados os polinômios:
A → 2x3 + 7x2 - 5x + 1 B → 6x3 + 3x - 2
Vamos determinar as operações dessas expressões:
A + B → (2x3 + 7x2 - 5x + 1) + (6x3 + 3x - 2)
→ 2x3 + 6x3 + 7x2 - 5x + 3x + 1 - 2
→ 8x3 + 7x2 - 2x - 1
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Para facilitar organize os monômios semelhantes, ordenando os literais de maior expoente para
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o menor, da esquerda para a direita.
Multiplicação e Divisão
As operações de multiplicação e divisão são realizadas da mesma forma, porém com o uso de
propriedades de potenciação podemos determinar as expressões de forma mais simples e rápida.
Vamos rever algumas dessas propriedades:
Exemplo: Para multiplicar bases iguais (dois monômios com o mesmo literal), some seus
expoentes.
Exemplo: Para dividir bases iguais (dois monômios com o mesmo literal), subtraia seus
expoentes.
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Exemplo: Para multiplicar diferentes bases com o mesmo expoente.
Exemplo: Para dividir diferentes bases com o mesmo expoente.
Exemplo: Para elevar a potência de uma base com seu expoente, multiplique os expoentes.
P6: Propriedade distributiva. Fator comum:
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Exemplo: Multiplicação.
Exemplo: Divisão.
Curiosidades
Produtos Notáveis. Produtos notáveis são produtos de expressões algébricas que possuem
uma forma geral para sua resolução, que podem facilitar a identificação e resolução de um problema.
Veja mais informações no link: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/polinom/prodnot.htm
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Atividades
1) Escreva na forma reduzida:
2) Efetue as multiplicações indicadas e simplifique:
3) Efetue as operações:
Curiosidades
Links
• http://www.matematicamuitofacil.com/produtosnotaveis.html
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Equações do 1o grau
Ao se deparar com uma expressão x + 2 = 6, é possível fazer a leitura do problema sem a
necessidade de enunciado. Essa interpretação algébrica já existe em seu conhecimento e a resposta
x = 4 se apresenta com um simples cálculo. No cotidiano encontramos desde problemas simples, que
podem ser resolvidos rapidamente e sem o uso de muitos recursos, até aqueles mais elaborados, que
desafiam a nossa interpretação e são necessários cálculos mais elaborados.
Podemos ver um exemplo nessa propaganda de refrigerador, na qual o anunciante destaca as
condições de pagamento:
“Refrigerador com redução de IPI, por apenas R$950,00. Compre agora, pague uma entrada de
R$318,00 e o restante em 8x sem juros.”
O anúncio não informa o valor da prestação, no entanto conseguimos calcular esse valor mensal
relacionando as informações.
Subtraindo a entrada do valor total obtemos a quantia que será dividida em prestações: 950 - 318
= 632. Dividindo o restante por 8, obtemos o valor de cada prestação: 632∕8 = 79. Podemos determinar
o valor desconhecido x com a utilização da seguinte sentença: 318 + 8x = 950.
Essa sentença é chamada de Equação do 1o grau, na incógnita x. O valor de 79, que atribuído a
x torna a equação verdadeira. Equação é uma relação de igualdade entre expressões algébricas, com
incógnitas (letras) e números. A resolução de uma equação também é conhecida como raiz.
Representação
As equações do 1o grau são aquelas que podem ser representadas na forma:
ax + b = 0
onde a e b possuem valores reais, com a≠0, e x é a incógnita.
Exemplo:
8x - 5 = 0
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Resolução
• A resolução de uma equação do 1o grau é fundamentada pelas seguintes propriedades da igualdade:
• A igualdade se mantém quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número nos dois lados da
equação.
Multiplicando ou dividindo os dois lados da equação por um mesmo número, diferente de zero, a
igualdade se mantém.
Essas propriedades nos permitem isolar a incógnita da equação, para podermos encontrar a
sua solução, a raiz. Nesse processo deixamos o monômio que contém a incógnita da equação do lado
esquerdo e o restante do lado direito.
Conjunto Universo
Quando um Conjunto Universo U é estabelecido para uma equação significa que a solução só é
aceita se pertencer a esse conjunto. Ou seja, a raiz da equação só pode ser considerada solução se ela
pertencer a U. Nesse caso, temos um conjunto solução S da equação não vazio.
Exemplo: Isolando a incógnita
Curiosidades
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História. Você sabia que foram os babilônios que no II. milênio a.C. (talvez até antes) descobriram
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os métodos de resolução de equação do 1o grau?
Origem dos sinais de relação (=, < e >). Roberto Record, matemático inglês, terá sempre o seu
nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = (igual) para indicar
igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões
iguais; o sinal =, constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam
alguns autores que, nos manuscritos da Idade Média, o sinal = aparece como uma abreviatura da
palavra est. Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade, em fins do século XVI, por
dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os
dois membros da igualdade. Os sinais > (maior que) e < (menor que) são devidos a Thomaz Harriot, que
muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica. Fonte: http://www.
somatematica.com.br
Atividades
1) Determine o valor da incógnita nas equações:
2) (UEMG) Em uma cidade, o preço pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada
bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. A bandeirada custa R$4,18 e cada
quilômetro rodado custa R$0,83. A distância percorrida por um passageiro que pagou R$14,14 foi:
a) 7 km b) 9 km c) 12 km d) 14 km
Inequações do 1o grau
As inequações também são necessárias em situações de nosso cotidiano. Nem sempre temos
a igualdade quando se trata de um problema real, lidamos também com o fato que algo pode ser maior,
menor, a partir de tal valor, no máximo isso, no mínimo aquilo e outras diversas expressões. Para
formular essas condições utilizamos as inequações.
Para facilitar o entendimento, vamos retomar o exemplo do IMC, o Índice de Massa Corporal.
Lembrando que o IMC pode ser obtido dividindo-se o peso corporal em quilogramas (M) pelo quadrado
da altura em metros (h):
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A Tabela 1 mostra a classificação de uma pessoa em função do IMC.
Tabela 1: Classificação do IMC para homens e mulheres.
Então, de acordo com a Tabela 1, uma mulher com 1,64 m de altura e 68 kg, precisaria perder
quantos quilogramas para ser classificada como normal ou magra? O limite do IMC é 24, sendo x em
kg, o equivalente a massa que a mulher precisa perder para satisfazer a condição de desigualdade:
Representação
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As inequações do 1o grau são aquelas que podem ser representadas na forma:
(ou com as relações ≤, >, ≥ ou ≠), onde a e b são constantes com valores reais, com a≠0, e x é
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a incógnita.
Resolução
A resolução de uma inequação do 1o grau é fundamentada pelas seguintes propriedades das
desigualdades:
A desigualdade se mantém quando adicionamos ou subtraímos um mesmo número nos dois
lados.
Multiplicando ou dividindo os dois lados da desigualdade por um mesmo número positivo, a
desigualdade se mantém.
Multiplicando ou dividindo por um mesmo número negativo uma desigualdade do tipo <, ≤, > ou
≥, a desigualdade inverte o sentido.
Utilizamos essas propriedades para isolar a incógnita e encontrar a solução da desigualdade.
Conjunto Solução
Diferentemente de uma equação, o Conjunto Solução S de uma inequação pode conter mais de
uma raiz, que satisfaça a desigualdade. No caso do exemplo do IMC, entende-se que qualquer x ≥ 3,
45 satisfaz a condição.
Exemplo: Considerando o universo dos números inteiros (ℤ) como solução.
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Curiosidades
Conjunto dos Números Reais. Para saber mais sobre os números reais, indicamos esses links:
• http://www.youtube.com/watch?v=5tFrK2OFx8A
• http://www.youtube.com/watch?v=SSf3Chzbabw&feature=related
• http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-reais.htm
Atividades
1) Considerando o universo dos números inteiros (ℤ) como solução, determine o conjunto solução das
inequações:
2) Resolva as seguintes inequações, considerando o conjunto dos números reais (ℝ) o universo de
solução:
3) Para realizar a cópia de uma apostila, uma gráfica cobra uma taxa fixa de R$1,20 para encadernação
e R$0,54 por página. No entanto, ela não realiza a cópia se o valor não ultrapassar R$10,00. Qual é o
número mínimo de páginas que deve ter uma apostila para que a gráfica execute o serviço? (Dica: não
existe cópia de metade de uma página).
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Sistemas de Equações do 1o grau
Um sistema de equações é formado quando temos mais de uma equação e mais de uma
incógnita em questão. Denominamos sistemas de equações do 1o grau, ou sistemas de equações
lineares, quando todas as equações desse sistema são de 1o grau. Os sistemas de equações são muito
utilizados na prática, muito comuns em problemas de otimização quando é preciso determinar a melhor
solução dentre um conjunto solução para incógnitas e restrições relacionadas à limitação do problema.
Essas restrições podem ser de igualdade ou de desigualdade.
Curiosidades
Pesquisa Operacional. A pesquisa operacional ou investigação operacional é um ramo da
matemática aplicada, que envolve diversas outras disciplinas como física, estatística, engenharia e
computação. Foi desenvolvida na Segunda Guerra Mundial, para resolver problemas logísticos e de
estratégias militares. A formulação desses problemas normalmente resulta em sistemas de equações
e as técnicas e algoritmos utilizados para a resolução, aliados ao avanço da tecnologia, possibilitaram
que a pesquisa operacional fosse utilizada em muitos outros setores.
Resolução: Método da substituição
Podemos utilizar o modelo da substituição, isolando uma das incógnitas e fazendo a substituição
para encontrar seus valores.
Vamos resolver o sistema de equações a seguir, utilizando o método da substituição para
encontrar os valores de x e y:
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A seguir, substituímos a incógnita x da equação (II) pelo valor de x na equação (I).
Encontrado o y, substituímos seu valor em alguma das equações. Recomenda-se substituir na
equação (I), pois o x já está isolado e facilita o cálculo.
Obtemos o conjunto solução S do sistema, que nesse caso é formado pelo par ordenado (x, y):
S = {(5, -2)}
Resolução: Método da adição
Uma alternativa para a resolução de sistemas de equações do 1o grau é o método da adição.
Utilizaremos para isso as propriedades de igualdade, operando com valores iguais nos dois lados da
equação, de forma que a igualdade se mantenha.
Vamos resolver o sistema de equações a seguir, utilizando o método da adição para encontrar
os valores de x e y:
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É preciso encontrar um sistema equivalente a esse, onde os coeficientes de x ou de y sejam
opostos. Podemos então anular uma das incógnitas no momento da adição dessas equações. Por
exemplo, na primeira equação (I), se multiplicarmos ambos os lados por 2, para que os coeficientes de
y nas equações (I) e (II) sejam opostos teremos:
Somando os lados esquerdos das equações (I) e (II) e igualando com a soma dos lados direitos
dessas equações:
Encontramos uma das incógnitas e repetimos o procedimento de substituir em uma das equações
para se descobrir a outra incógnita.
A opção do método a ser utilizado é sua, e deve ser feita por aquele que lhe trouxer maior
facilidade na resolução do sistema de equações.
Atividades
1) Resolva por qualquer método os seguintes sistemas:
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2) Uma casa com 260 m2 de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de
cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam 140 m2?
3) (Unifor-CE) Uma pessoa possui apenas moedas de 25 centavos e de 50 centavos, num total de
31 moedas. Sabe-se ainda que o número de moedas de 25 centavos excede o de 50 centavos em 5
unidades. Essas moedas totalizam a quantia de:
a) R$ 10,00 b) R$ 10,50 c) R$ 11,00 d) R$ 11,50 e) R$ 12,00
Equações do 2 o grau
Podemos encontrar problemas reais que ao serem formulados, resultam em equações onde não
conseguimos isolar a incógnita da mesma forma que nas equações de 1o grau. Vamos estudar o caso
de um problema em que uma pessoa utilizou 26m lineares de tela para cercar um galinheiro numa área
retangular de 36m2. Queremos descobrir as dimensões desse galinheiro. Vamos adotar a incógnita x
para o comprimento e y para a largura do terreno, conforme a Figura 1.
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Figura 1: Dimensões do terreno.
Precisamos utilizar todas as informações que temos sobre uma área retangular. Sabemos que
a soma dos lados desse terreno é de 26m, pois esse é o comprimento da tela utilizada para cercar o
perímetro do terreno. Além disso, sabemos que a área do terreno é 36m2. Podemos representar esse
problema com duas equações, uma para perímetro e outra para área, num sistema de equações com
duas incógnitas.
Isolamos o y na equação do perímetro e obtemos:
Substituímos o valor de y na equação da área:
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Chegamos a uma equação de 2o grau, pois o grau das equações é determinado pelo maior
expoente de uma incógnita.
Resolvendo essa equação, concluímos que o terreno do galinheiro tem 9m de comprimento por
4m de largura.
Curiosidades
Problema de otimização. No problema do galinheiro foram utilizados 26m lineares de tela para
cercar uma área de 36m2. Com os mesmos 26m de tela, qual seria a maior área que poderíamos
cercar? A resposta desse desafio pode ser encontrada de algumas maneiras, inclusive por tentativas de
atribuir valores a x e y, mas esse é um típico problema de otimização. Procure mais informações sobre
a resolução desses problemas. A seguir apresentamos alguns exemplos de equações de 2o grau na
incógnita x.
Exemplo: Equações do 2o grau
Representação
Uma equação de 2o grau, na incógnita x, é toda equação que pode ser escrita na forma:
onde a, b e c são os coeficientes da equação, com a≠0.
Resolução: Equações incompletas
Nos casos em que b = 0 ou c = 0, a equação é chamada de incompleta. As equações de 2o grau
incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando fatoração e raiz quadrada.
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Exemplo: Equação do 2o grau com c = 0.
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Exemplo: Equação do 2o grau com b = 0.
Resolução: Equações completas
Apesar de também ser possível a utilização das propriedades de igualdade para equações de 2o
grau, isolar totalmente a incógnita pode não ser possível em alguns casos.
Uma equação do 2° grau pode ter até duas raízes reais, que podem ser determinadas de algumas
maneiras. Para determinar as raízes de qualquer equação do 2o grau, utiliza-se a fórmula quadrática
(atribuída a Bhaskara).
Essa expressão Δ (delta) é chamada de discriminante da equação e seu valor é fundamental
para identificar se a equação possui raízes, se elas pertencem aos conjuntos dos reais, se elas são
distintas ou iguais.
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• Se Δ > 0, a equação possui duas raízes reais distintas.
• Se Δ = 0, a equação possui duas raízes reais iguais.
• Se Δ < 0, a equação não possui raízes reais.
Exemplo: Equação do 2o grau completa com raízes reais distintas.
Exemplo: Equação do 2o grau completa com raízes reais iguais.
Exemplo: Equação do 2o grau completa sem raízes reais.
Resolução: Soma e produto
Quando x1 e x2 são raízes da equação do 2o grau ax2 + bx + c = 0, a soma S e o produto P dessas
raízes são:
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Praticando: Verifique a soma e o produto das raízes das equações de 2o grau apresentadas nos
exemplos.
Atividades
1) Identifique os coeficientes de cada equação e responda se ela é completa ou incompleta:
2) Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações:
3) A equação do 2o grau x2 + 2x + m = 0 admite duas raízes reais e distintas. Determine os valores de m.
4) A equação kx2 - 5x - 8 = 0, na variável x, possui raízes reais para quais valores reais de k?
5) Resolva o sistema:
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Porcentagem
A porcentagem é um dos temas mais utilizados no nosso cotidiano. Veja o caso dessa manchete
em um portal de notícias:
“Governo vai aumentar a mistura de álcool na gasolina para aliviar o preço. A mistura de álcool
combustível na gasolina vai aumentar de 20% para 25%.”
Precisamos entender o que significam esses valores para melhor compreender a notícia.
Representação
Porcentagem é uma relação entre números, representada por uma fração de denominador 100
ou qualquer representação equivalente a ela. A expressão x% é a taxa percentual e representa a razão:
Então, o que significa 25% (vinte e cinco por cento) anunciado na manchete? Quer dizer que com
a nova mudança, em cada 100 litros da mistura, 25 litros serão de álcool e o restante, 75 litros, serão de
gasolina. Ou seja, houve um acréscimo de álcool na mistura de combustível, que era de 20%, ou seja,
20 litros a cada 100.
Exemplo: Representação de taxa percentual sob a forma de fração.
Quarenta e cinco por cento é
igual a quarenta e cinco décimos.
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Exemplo: Representação de taxa percentual sob a forma de número decimal.
Resolução: Cálculo de uma porcentagem
Para descobrir x% de um determinado valor V , podemos utilizar um procedimento simples,
utilizando o fato que 100% corresponde ao valor total e x% a Quantia procurada.
Então temos a seguinte proporção:
Os exemplos a seguir utilizam essa ideia para encontrar os valores desejados.
Exemplo:
i) Vamos calcular a Quantia equivalente a 30% de R$2100,00.
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ii) 60% de que valor V é igual a R$30,00?
Sabendo que a taxa percentual pode ser representada sob a forma decimal e também de fração,
podemos multiplicar diretamente esse percentual no valor total para obtermos a Quantia procurada.
Praticando: Se uma pessoa economiza 1∕5 (um quinto) do seu salário, percentualmente o que
isso significa? (Dica: procure obter uma fração equivalente, lembrando que o denominador da taxa
percentual é 100: x∕100).
Atividades
1) Represente as seguintes taxas percentuais sob a forma de fração:
a. 56%
b. 240%
c. 0, 6%
2) Represente as seguintes taxas percentuais sob a forma de números decimais:
a.12%
b. 310%
c. 1, 22%
3) (Univali-SC) Uma pessoa gasta 3/8 de seu salário com aluguel, ou seja, o percentual do salário gasto
com aluguel é de:
a) 40% b) 42% c) 42,5% d) 37,5% e) 36%
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Áreas de Superfícies Planas
A área de uma superfície plana é um número real que representa a extensão que esta superfície
ocupa do plano. O cálculo da área de uma superfície é exigido em algumas atividades, no ramo
imobiliário, na agricultura, na indústria entre outras.
Quando medimos a área de uma superfície na verdade estamos fazendo uma comparação com
uma superfície adotada como unidade. A unidade fundamental de área é o metro quadrado (m2). Essa
superfície é um quadrado com 1m de lado.
Figura 2: Superfície quadrada: A = 1m2.
Portanto, para sabermos a área de qualquer superfície plana, precisamos calcular quantos
quadrados de lado 1 cabem em tal superfície.
Resolução: Retângulo
Vamos calcular a área de um terreno, que possui 6m de base e 3m de largura. Para isso
utilizaremos a ideia de dividir essa área em quadradinhos de lado 1m.
Figura 3: Retângulo 6m x 3m.
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Analisando a divisão mostrada na Figura 3, obtivemos 6 colunas com 3 quadrados em cada uma,
totalizando 18 quadrados. Então, temos a área A do retângulo é:
A = 18m2
De forma geral, para calcular a área de qualquer retângulo é preciso fazer o produto de suas
dimensões a (comprimento) e b (largura):
A=a.b
Figura 4: Retângulo a x b.
Exemplo:
Vamos calcular as medidas dos lados de um retângulo que possui uma área de 32m2, sabendo
que um dos lados é o dobro da medida do outro.
Obtemos as medidas do retângulo, a = 8m e b = 4m.
Resolução: Quadrado
O quadrado é um retângulo, por isso utilizamos o mesmo raciocínio para calcularmos sua área.
A área de um quadrado de lado a é dada pelo produto:
A = a2
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Figura 5: Quadrado a x a.
Resolução: Paralelogramo
A área do paralelogramo de base b e altura h é igual à área do retângulo de mesma base e altura:
A=b.h
O paralelogramo parece ser um retângulo que teve sua base superior deslocada em relação à
base inferior, mas sua área permanece a mesma.
Figura 6: Paralelogramo.
Resolução: Triângulo
Para calcularmos a área de um triângulo é preciso multiplicar a base b pela altura h e dividir o
resultado por dois:
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Figura 7: Triângulo.
Observando o formato de um paralelogramo na Figura 6, notamos o motivo dessa divisão por 2
no cálculo da área.
Essa verificação pode ser melhor compreendida na Figura 8. Veja que a área do triângulo é
justamente a metade da área de um paralelogramo de mesma base e altura.
Figura 8: Comparação da área do triângulo em relação à area do paralelogramo.
Resolução: Trapézio
A área de um trapézio de bases b e a e altura h pode ser calculada da seguinte forma:
Figura 9: Trapézio.
Para melhor compreender o cálculo da área do trapézio, vamos traçar uma diagonal no trapézio
da Figura 9, cortando da ponta de uma base até a ponta da outra base. Essa diagonal irá dividir o
trapézio em dois triângulos, de altura também h, em relação às bases de medida a e b. A área desse
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trapézio é a soma das áreas desses dois triângulos:
Resolução: Losango
O losango também é um paralelogramo, por isso podemos calcular sua área da mesma forma
se soubermos as dimensões de base e altura. Porém, vamos apresentar também como podemos
calcular sua área utilizando as informações de suas diagonais. As diagonais de um losango cruzam-se
perpendicularmente no ponto médio de cada uma delas.
Assim, sendo D e d as medidas dessas diagonais, a área A do losango é o dobro da área de um
triângulo de base d e altura D∕2:
Figura 10: Losango.
Observando a Figura 10, podemos observar que a diagonal d divide o losango em dois triângulos
com a mesma área, facilitando assim o cálculo.
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Resolução: Círculo
Utilizamos o conceito da área de um quadrado de lado 1 para o cálculo de figuras planas. Para
formular a área do círculo vamos utilizar um polígono regular de n lados, inscrito em um círculo de raio
r.
Figura 11: Polígono regular de n lados.
A área desse polígono é calculada multiplicando todos os n triângulos pela área de cada um
deles, de base a e altura h.
A área do polígono é menor que a do círculo, porém, fazendo o número n de lados aumentar até
que o perímetro desse polígono se aproxime do perímetro da circunferência (2πr) e a altura h de cada
triângulo se aproxime do raio da circunferência, então podemos utilizar essas informações para definir
a área do círculo:
Figura 12: Círculo.
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A expressão acima é obtida quando a área do polígono com n lados infinitos, pois:
Atividades
1) Uma tela retangular tem 2m de comprimento por 1,5m de largura. Para desenhar uma figura nessa
tela com boa precisão, o artista quer traçar segmentos de retas paralelas de forma que ela fique
quadriculada com 5cm de lado. Quantos quadradinhos terá essa tela?
2) Cada 1 litro de tinta cobre uma área de 9m2 de parede. Sabendo que cada lata contém 2 litros, qual
é a menor quantidade de latas necessárias para se pintar uma parede com o formato e as dimensões
de acordo com a figura abaixo?
a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7
3) (UFPB) De um quadrado ABCD de lado 8cm foram retirados quatro triângulos retângulos isósceles
com catetos de 2cm, conforme figura.
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A área do octógono remanescente é:
a) 42cm2 b) 48cm2 c) 56cm2 d) 58cm2 e) 60cm2
4) O círculo demarcado num campo de futebol, com as dimensões oficiais, possui 18m de diâmetro.
Calcule a área desse círculo.
Teorema de Pitágoras
Pitágoras foi um grande estudioso de matemática, filosofia, música e outras ciências. Viveu na
Grécia, acredita-se que ela tenha nascido na ilha de Samos.
Muitas e notáveis descobertas nessas áreas foram atribuídas a Pitágoras, tais como o sistema
de numeração decimal, tabelas de multiplicação e a demonstração do célebre teorema que leva o seu
nome. Na história, muitas foram as demonstrações do Teorema de Pitágoras, criado a partir de um
triângulo retângulo.
Triângulo retângulo
Um triângulo retângulo é aquele que possui um dos ângulos igual a 90°, conhecido como ângulo
reto. Além do ângulo reto, um triângulo retângulo possui dois ângulos agudos complementares. O maior
lado, que se opõe a esse ângulo, é chamado de hipotenusa, e os outros dois lados são chamados de
catetos.
Figura 13: Triângulo retângulo.
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Teorema
O Teorema de Pitágoras é uma relação entre as medidas dos lados do triângulo retângulo, seu
enunciado é:
“A área do quadrado cujo lado maior é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das
áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos”.
Podemos simplificar o elegante enunciado dizendo que o quadrado da hipotenusa é a soma
dos quadrados dos catetos. Ou, tomando como referência a Figura 13 e colocando numa expressão
algébrica:
Curiosidades
Demonstração do Teorema de Pitágoras. Existem diferentes maneiras de se provar o Teorema
de Pitágoras. Procure uma dessas demonstrações e entenda o brilhantismo da ideia, da genialidade
de alguém que viveu no século VI a.C. Exemplo: Utilizando o Teorema de Pitágoras, encontraremos os
valores dos lados desconhecidos nos triângulos a seguir.
i)
ii)
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Atividades
1) Num triangulo retângulo, um cateto é o dobro do outro e a hipotenusa mede 10 cm. Qual o valor da
soma dos catetos?
2) James Garfield, o 20o presidente dos Estados Unidos da América, apresentou em 1876 uma prova
inédita do Teorema de Pitágoras, quando ele ainda era membro do congresso norte-americano. Essa
prova foi publicada no New England Journal of Education. Ele utilizou a construção abaixo para sua
demonstração.
Calcule o valor do lado a, sabendo que a área do triângulo verde (isósceles em c) é 10cm2 e o
lado b = 2cm.
Semelhança de Triângulos
A ideia matemática de semelhança está diretamente relacionada à proporção, e onde há proporção
há beleza aos olhos do homem. Dessa forma, é de extrema importância desenvolver a sensibilidade
para a beleza que existe ao nosso redor, pensando tanto nas formas geométricas, quanto na origem e
evolução do conhecimento sobre geometria.
Duas figuras são semelhantes se possuírem a mesma forma, ou seja, se seus ângulos internos
correspondentes forem congruentes e seus lados forem proporcionais. Assim dois triangulos são
semelhantes quando satisfazem ao mesmo tempo às duas condições:
• os lados correspondentes têm medidas proporcionais (“mesma posição”).
• os ângulos correspondentes são congruentes (mesma medida).
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Figura 14: Triângulos semelhantes.
Além dos ângulos correspondentes serem congruentes, seus lados são proporcionais:
Figura 15: Ângulos congruentes.
Na Figura 15 podemos notar que os ângulos com as mesmas marcas são congruentes, ou seja,
A ≡ D, B ≡ E e C ≡ F. A razão entre os lados é sempre uma constante:
Para identificar um par de lados homólogos, ou seja, que estão na mesma posição e são
proporcionais, basta verificar se eles estão opostos a ângulos congruentes.
Exemplo: Na Figura 15, o lado AC é homólogo ao lado DF, pois ambos estão opostos aos ângulos
congruentes ß e E.
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Vamos detalhar os 4 casos de semelhanças de triângulos.
1o Caso: lado-lado-lado
É o caso mais simples de semelhança e ocorre quando os três lados correspondentes são
proporcionais:
A razão entre os lados é sempre uma constante:
2o Caso: lado-ângulo-lado
Nesse caso, há semelhança quando existirem dois lados correspondentes e proporcionais e o
ângulo interno α entre eles é congruente.
Os lados AB e BC do triângulo ABC são, respectivamente, proporcionais aos lados DE e EF do
triângulo DEF, estão na proporção de dois para cinco, e o ângulo formado por esses lados congruentes:
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Consequentemente, o terceiro lado é proporcional e os demais ângulos são congruentes; para
verificar isso utilizamos as propriedades gerais do triângulo.
3o Caso: ângulo-ângulo
Ocorre quando existem dois ângulos internos correspondentes congruentes.
Consequentemente, o terceiro ângulo também é congruente e seus lados correspondentes são
proporcionais.
4o Caso: lado-ângulo-ângulo oposto
A semelhança de triângulos também ocorre quando existem um lado proporcional, um ângulo
adjacente e um ângulo oposto a esse lado, congruente.
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Os lados AB e DE são proporcionais, ou seja, estão na proporção de três para dois. Os ângulos
AC e DÊ F são adjacentes aos seus respectivos lados e são congruentes. Os ângulos AĈB e DE,
também congruentes, são opostos aos lados AB e DE.
Curiosidades
A Matemática aplicada à imagem. Dois dos aparelhos inventados pelo ser humano e que
revolucionaram suas respectivas épocas são a máquina fotográfica, no século XIX e a televisão, no
século passado. Um dos recursos que apresentam, o zoom, tornou-os muito práticos e também ajudou
o desenvolvimento da ciência. Com um simples jogo de lentes, é possível aproximar uma imagem tanto
quanto for desejado, como a imagem de uma bactéria microscópica ou de uma célula do corpo humano.
Quando se aplica o recurso do zoom à imagem, constrói-se, no equipamento uma imagem semelhante
à original. Maior ou menor, a quantidade de zoom não deixa e ser a constante proporção, aplicada,
teoricamente, a figuras semelhantes.
Atividades
1) Dentre os notáveis feitos do matemático grego Tales de Mileto, ele mediu a altura de uma pirâmide
egípcia utilizando semelhança de triângulos. Ele se posicionou ao lado da pirâmide e fincou seu cajado
ao solo. A seguir, mediu o comprimento h do cajado e comprimento s da sombra projetada por ele.
Calculou tambem a distância S entre o centro da pirâmide e o ponto mais distante da sombra projetada
pelo monumento.
A partir desses dados, Tales calculou a medida a da altura da pirâmide. Supondo que os dados medidos
por Tales tenham sido: h=1,6m; s=2m e S=160m, calcule a medida a da altura da pirâmide.
2) Na figura, tem-se AB II DE. Determine as medidas x e y.
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Geometria Espacial
Prisma
Prismas é um poliedro convexo tal que duas faces são polígonos congruentes situados em
planos paralelos e as demais faces são paralelogramos.
1º) Os hexágonos ABCDEF e A’B’C’D’E’F’ – polígonos congruentes situados em planos paralelos – são
as bases do prisma.
2º) ABB’A’, BCC’B’, ..., FAA’F’ – paralelogramos – são as faces laterais do prisma.
3º) Os lados dos polígonos que determinam as bases são as arestas da base do prisma.
4º) os lados dos paralelogramos que têm uma extremidade em cada base são as arestas laterais do
prisma.
5º) A distância entre os planos das bases é a altura do prisma.
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Os prismas recebem os nomes de acordo com os polígonos que constituem as suas bases.
Assim, se a base é um triângulo, o prisma é dito triangular; se a base for um pentágono, o prisma será
denominado pentagonal e, assim por diante.
Prisma reto é aquele que apresenta as faces laterais perpendiculares aos planos das bases.
Prisma regular é o prisma reto cujas bases são polígonos regulares.
A) Paralelepípedo reto retângulo:
Paralelepípedo reto retângulo é o prisma cujas bases são retângulos
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B) Cubo:
Cubo é o prisma em que todas as faces são quadrados.
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Pirâmide
Dado um polígono convexo pertencente a um plano e um ponto fora desse plano, chama-se de
pirâmide convexa a reunião de todos os segmentos com uma extremidade nesse ponto fora do plano e
a outra extremidade em cada um dos vértices do polígono contido no plano.
Vértice da pirâmide: o vértice da pirâmide é o ponto V.
Base: a base da pirâmide é o polígono ABCDE. Nesse caso, um pentágono.
Altura: a altura da pirâmide é à distância do vértice V ao plano da base.
Arestas da base: as arestas da base são os lados do polígono da base.
Arestas laterais: as arestas laterais são os segmentos que unem o vértice a cada um dos
vértices do polígono da base.
Faces laterais: as faces laterais são triângulos formados pelo vértice da pirâmide e cada uma
das arestas da base.
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As pirâmides recebem os nomes de acordo com os polígonos que constituem a sua base. Assim,
se a base é um triângulo, a pirâmide é dita triangular; se a base for um pentágono, a pirâmide será
denominada pentagonal e, assim por diante.
Pirâmide reta é aquela que apresenta a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base
coincidindo com o circuncentro da mesma. Prisma regular é o prisma reto cuja base é um polígono
regular.
Cilindro
Sejam um círculo de centro O e raio r contido num plano α e um segmento não paralelo e não
contido nesse plano. Denomina-se cilindro circular a reunião de todos os segmentos congruentes e
paralelos a com uma extremidade no círculo e situados num mesmo semi-espaço determinado pelo
plano α.
Bases: as bases de um cilindro circular são os dois círculos determinados pelas extremidades
de todos os segmentos paralelos a AB que, reunidos, forma o cilindro.
Eixo: eixo é a reta determinada pelos centros das bases do cilindro.
Geratriz: geratriz de um cilindro circular é qualquer um dos segmentos com extremidades nas
extremidades das bases e paralelos ao eixo do cilindro.
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Secção meridiana: a secção meridiana é o quadrilátero obtido pela intersecção do cilindro com
um plano que contém o eixo.
Cilindro circular reto é aquele que apresenta as geratrizes perpendiculares aos planos das
bases. Ele também pode ser chamado de cilindro de revolução pois pode ser gerado pela rotação de
um retângulo em torno de um eixo que contém um dos lados.
Cone
Dado um círculo pertencente a um plano e um ponto fora desse plano, chama-se de cone circular
reunião de todos os segmentos com uma extremidade nesse ponto fora do plano e a outra extremidade
em cada um dos pontos do círculo.
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Base: a base do cone é o círculo considerado na definição.
Vértice: vértice do cone é o ponto V, ponto fora do plano da base.
Eixo: geratriz do cone é a reta que passa pelo vértice V e o centro da base.
Geratriz: geratriz (g) do cone é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do
cone e a outra extremidade na circunferência da base.
Secção meridiana: a secção meridiana é o triângulo obtido pela intersecção do cone com um
plano que contém o eixo.
Cone circular reto é o cone que apresenta o eixo perpendicular ao plano da base. Num cone
circular reto, a projeção do vértice coincide com o centro da base. Ele também pode ser chamado de
cone de revolução pois pode ser gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um dos
seus catetos.
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A superfície lateral planificada determina um setor circular que tem como raio a geratriz (g) do
cone, como comprimento o perímetro da circunferência da base
(2.
Quando a secção meridiana for um triângulo equilátero, g = 2r, o cone é dito cone equilátero.
Para esse cone tem-se:
Esfera
Dados um ponto O e uma distância r, chama-se esfera ao conjunto de todos os pontos do espaço
cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R. O ponto O é o centro da esfera e r o seu raio.
Partes da esfera:
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Fuso esférico é a parte da superfície esférica limitada por dois planos que contém um diâmetro.
O ângulo α, medido na secção equatorial, é o caracteriza o fuso esférico.
A área do fuso esférico é dada por
Cunha esférica é a parte da esfera limitada por dois planos que contém um diâmetro. O ângulo
α, medido na secção transversal equatorial, é o que caracteriza a cunha esférica.
O volume da cunha esférica é dado por
Geometria Espacial - Vídeo 1
Geometria Espacial - Vídeo 2
Geometria Espacial - Vídeo 3
Geometria Espacial - Vídeo 4
Gabarito das Atividades
Cálculo Algébrico
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Equações do 1o grau
Inequações do 1o grau
Sistemas de Equações do 1o grau
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Equações do 2o grau
Porcentagem
Áreas de Superfícies Planas
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Teorema de Pitágoras
Semelhança de Triângulos
Referências
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David Mauro; PÉRIGO, Roberto. Matemática. Volume Único. São Paulo: Atual, 1997.
PAIVA, Manoel. Matemática. Volume Único. 1.ed. São Paulo: Moderna, 2005.
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