Problemas Resolvidos de Física

Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 3
CAPÍTULO 34 – O CAMPO MAGNÉTICO
33. Calcule a distância total percorrida por um dêuteron, num cíclotron, durante o processo de
aceleração. Suponha que o potencial entre os dês é de 80 kV, o raio dos dês, 53 cm, e a
freqüência do oscilador, 12 MHz.
(Pág. 151)
Solução.
Nossa abordagem consiste em somar o comprimento de cada uma das trajetórias percorridas pelo
dêuteron no ciclotron. Considere o seguinte esquema:
v4
r3
v2
r4
s4
r2
s2
r1 s1
v0
s3
v1
v3
d
A trajetória total (S) do dêuteron consiste na soma de N trajetórias parciais si (s1, s2, ..., sN), que
correspondem cada uma delas a meias circunferências, cada qual com raio ri (r1, r2, ..., rN). Logo:
=
S
N
N
N
=
s ∑=
πr π∑r
∑
i
=i 1 =i 1
i
i
=i 1
(1)
O raio de cada trajetória pode ser obtido pela análise da freqüência natural f de rotação da carga no
interior do cíclotron, em que T é o período (constante) de rotação:
1
v
f= =
T 2π r
v
r=
2π f
O valor de cada raio ri (r1, r2, ..., rN) depende do valor correspondente de cada velocidade vi (v1, v2,
..., vN). Logo:
v
(2)
ri = i
2π f
Substituindo-se (2) em (1):
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Cap. 34 – O Campo Magnético
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N
vi
1 N
=
S π=
∑
∑ vi
2π f 2 f i 1
=i 1 =
(3)
Agora só falta determinar vi e N para completar o cálculo. Supondo que o dêuteron parte do repouso
(v0 = 0) a partir do centro do cíclotron, a velocidade v1 será dada por:
2
v1=
v02 + 2ad
(4)
Nesta equação, a é a aceleração sofrida pelo dêuteron a cada passagem pela zona central do
cíclotron, onde o campo elétrico atua sobre ele, e d é a distância de separação dos dês. A aceleração
pode ser obtida a partir da força elétrica, por aplicação da segunda lei de Newton:
FE = ma
V
qE
= q= ma
d
qV
a=
md
Substituindo-se (5) em (4):
=
v1
v02 +
(5)
2qV
m
O valor de v1 é:
2 (1, 60 ×10−19 C )( 80 ×103 V )
2qV
=
=
v1 =0 +
2, 76851 ×106 m/s
−27
m
×
3,34
10
kg
(
)
De forma geral, teremos:
2qV
m
Vamos analisar uma pequena série de valores de v:
vi
=
vi2−1 +
v2 = v12 +
2qV
2qV 2qV
4qV
2qV
=
+
=
= 2
=v1 2
m
m
m
m
m
2qV
4qV 2qV
6qV
2qV
=
+
=
=3
=v1 3
m
m
m
m
m
E assim por diante. Logo:
v3 = v22 +
vi = v1 i
(5)
A maior velocidade que o dêuteron poderá atingir será vN, o que corresponderá a um raio rN, que é
conhecido, pois é o próprio raio do cíclotron. Podemos aplicar este raciocínio combinando as Eqs.
(2) e (5):
=
rN
vN
v1 N
=
2π f
2π f
2
6
4π 2 f 2 rN2 4π (12 ×10 Hz ) ( 0,53 m )
=
=
208,34 meias-voltas
N =
2
6
v12
2,
76851

×
10
m/s
(
)
2
2
N ≈ 208 meias-voltas
Finalmente podemos calcular a trajetória total substituindo (5) em (3):
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v1 208
1 N
S
v1 i =
=
=
∑
∑ i
2 f i 1=
2f i 1
=
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( 2, 76851×10 m/s ) 2006,89
)
( =
2 (12 ×10 Hz )
6
6
231,504 m
S ≈ 230 m
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