Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação

Técnicas para a determinação do diagrama de
irradiação de antenas de microfita esféricas
circularmente polarizadas
Daniel Basso Ferreira*
Neste trabalho, apresentam-se duas técnicas numericamente eficientes para a determinação do
diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente polarizadas. A primeira delas é o
modelo de fenda, já bastante utilizado na análise de antenas de microfita planas e cilíndricas
eletricamente finas; a outra técnica é o método da corrente elétrica superficial, que emprega as funções
de Green no domínio espectral. Ambas as técnicas são associadas ao modelo da cavidade ressonante
com o objetivo de garantir sua eficiência computacional. Faz-se uso do Teorema da Reciprocidade para
derivar os campos do modelo de fenda e utiliza-se um modelo circuital de onda completa para avaliar as
funções de Green espectrais. Além disso, é introduzido um novo procedimento, que dispensa análise
gráfica, para automatizar o cálculo e a ordenação das raízes da equação transcendental que define os
modos de ressonância que podem se estabelecer na cavidade equivalente. As antenas estudadas ao
longo do artigo são simuladas no software CST como forma de validar os resultados obtidos com as duas
técnicas de análise ora descritas.
Palavras-chave: Antenas de microfita esféricas. Polarização circular. Modelo de fenda. Método da
corrente elétrica superficial. Modelo da cavidade.
Introdução
O conceito de irradiadores de microfita foi
primeiramente apresentado por Deschamps em
1953, durante o 3° Simpósio sobre Antenas
patrocinado pela Força Aérea Americana
(DESCHAMPS; SICHAK, 1953). Na ocasião,
Deschamps propôs o uso de linhas de microfita,
em vez de guias de onda – tradicionais à época
–, para compor o circuito de alimentação de
algumas redes de antenas, e destacou as suas
principais vantagens. Entre elas, estavam o
menor volume ocupado, o peso reduzido, o
menor custo de fabricação e a possibilidade de
as linhas de microfita assumirem várias formas e
poderem ser empilhadas. Contudo, os elementos
impressos da rede empregada por Deschamps
não eram antenas de microfita, mas sim cornetas
planas alargadas.
Apesar do trabalho apresentado por Deschamps,
o desenvolvimento efetivo das antenas de
microfita só ocorreu cerca de 20 anos mais tarde,
na década de 70, quando houve uma evolução
dos modelos teóricos para a análise dessas
antenas e também se tornaram disponíveis
laminados para frequências de micro-ondas com
baixas tangentes de perdas e com características
mecânicas e térmicas atrativas (GARG et al.,
2001). A primeira antena de microfita com a
topologia que é hoje amplamente difundida foi
introduzida por Munson em 1972, num trabalho
apresentado no 22° Simpósio sobre Antenas,
também
patrocinado
pela
Força
Aérea
Americana. Esse trabalho foi seguido de um
artigo publicado em 1974 (MUNSON, 1974) na
revista IEEE Transactions on Antennas and
Propagation, sendo referência na área de
irradiadores impressos e tratando de antenas de
microfita com patch wraparound e com patch
retangular, dedicadas, por exemplo, a aplicações
em mísseis (VOLAKIS, 2007).
A geometria mais simples de uma antena de
microfita é composta por um patch metálico, em
geral, com forma retangular, localizado sobre um
substrato dielétrico que possui um plano de terra
na sua face inferior, conforme ilustrado na
Figura 1.
Patch
Plano
de terra
Figura 1 Antena de microfita plana com patch
retangular
Atualmente, existem antenas de microfita com
estruturas de maior complexidade, porém mais
versáteis, o que possibilita, por exemplo, sua
utilização no campo aeroespacial, mais
especificamente, como antenas para navegação
de aeronaves, antenas de satélites, antenas de
veículos espaciais, etc. Ademais, as antenas de
microfita podem ser encontradas em telefones
celulares, em radares de abertura sintética (SAR)
aplicados em sensoriamento remoto, em
*Autor a quem a correspondência deve ser dirigida: [email protected].
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
receptores de navegação por satélite e até
mesmo em irradiadores de aplicação biomédica.
Esse amplo uso da antena de microfita se deve,
entre outras razões, ao seu baixo peso, seu
volume reduzido, sua compatibilidade com
circuitos integrados em micro-ondas e também à
sua conformabilidade às superfícies curvas, fato
este que acaba lhe conferindo um baixo perfil
aerodinâmico (GARG et al., 2001).
Embora em muitas aplicações o uso de apenas
uma única antena de microfita garanta o ganho e
o
diagrama
de
irradiação
desejados,
frequentemente, para se conseguir maiores
ganhos e diagramas de irradiação com
características particulares, é necessário o
projeto de redes de antenas de microfita. Porém,
uma característica das redes de antenas de
microfita montadas sobre superfícies planas ou
cilíndricas é o fato de apresentarem apontamento
de feixe limitado. Já as redes de antenas de
microfita
conformadas
sobre
superfícies
esféricas permitem apontar um ou mais feixes
em direções arbitrárias, e por isso são
candidatas a aplicações em serviços de
comando para satélites de comunicações de
órbitas baixas e médias, em telemetria e em
rastreamento (SIPUS et al., 2006).
Desse modo, vê-se que o desenvolvimento de
técnicas para análise e síntese de antenas e de
redes de antenas de microfita montadas sobre
superfícies esféricas, que sejam numericamente
eficientes, é bastante relevante, dado o seu
potencial de uso. Além disso, caso esses
irradiadores sejam utilizados nos enlaces com
satélites de comunicações móveis, é interessante
que eles sejam circularmente polarizados, de
forma a evitar rastreio de polarização e a rotação
Faraday (BASARI et al., 2010).
Assim, a proposta deste trabalho é apresentar
duas técnicas computacionalmente eficientes
para a determinação do diagrama de irradiação
de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas. Em particular, serão analisadas
antenas alimentadas por duas e por quatro
pontas de prova coaxiais com rotação e
alimentação sequenciais.
Na literatura, já existem alguns trabalhos
dedicados à análise desses irradiadores. Por
exemplo, no trabalho de SIPUS e autores (2006),
utiliza-se o método dos momentos (MoM) para
efetuar a análise de antenas e redes de antenas
de microfita esféricas linearmente polarizadas.
Embora a solução fornecida pelo MoM seja
acurada,
ela
demanda
elevado
esforço
computacional. Por isso, neste artigo, em vez de
se usar o MoM, propõe-se empregar tanto o
modelo de fenda (DERNERYD, 1978) quanto o
método da corrente elétrica superficial (TAM; LUK,
1991), associados ao modelo da cavidade
ressonante (LIMA; DESCARDECI; GIAROLA,
1991; LO; SOLOMON; RICHARDS, 1979), para
48
realizar a análise das antenas de microfita
esféricas, dada a eficiência numérica que exibem
e o fato de que também conseguem estimar, com
relativo grau de acurácia, a irradiação traseira
dessas antenas. Isso acontece porque as
estruturas que compõem esses irradiadores não
são truncadas, diferentemente do que ocorre nas
antenas de microfita planas ou cilíndricas, cuja
estrutura de terra, por exemplo, é truncada.
No desenvolvimento do modelo de fenda, o
Teorema da Reciprocidade (HARRINGTON,
1961) será utilizado para derivar, de maneira
direta, os coeficientes presentes na expressão
que descreve o campo eletromagnético irradiado
pela antena. E no método da corrente elétrica
superficial, propõe-se o uso de um modelo
circuital de onda completa (GIANG, 2005) para a
determinação da função diádica de Green
espectral da estrutura multicamada que modela
as antenas sob análise. Esse modelo circuital de
onda completa também pode ser aplicado ao
cálculo das funções de Green espectrais de
outras topologias de antenas de microfita
esféricas, como, por exemplo, aquelas que
possuem uma camada dielétrica para a proteção
do patch, ou seja, ele sistematiza o cálculo
dessas funções. Como essas técnicas de análise
serão associadas ao modelo da cavidade, neste
artigo será introduzido um procedimento, que
dispensa análise gráfica, para calcular e ordenar
as raízes da equação transcendental que define
os modos de ressonância que podem se
estabelecer no interior da cavidade equivalente.
Para verificar os resultados determinados com os
métodos de análise propostos, as antenas
estudadas no artigo também são simuladas no
software comercial de análise de onda completa
CST® (CST, 2012). Na Seção 2, apresentam-se
os resultados dessas comparações.
1
Teoria
Nesta seção, serão descritas, em detalhes, as
duas técnicas, propostas neste artigo, para a
avaliação do campo elétrico distante irradiado por
uma antena de microfita esférica. Primeiramente,
deriva-se a expressão para o cálculo do campo
elétrico distante, através do modelo de fenda e,
em seguida, por meio do método da corrente
elétrica superficial. Cabe destacar que a principal
vantagem do modelo de fenda reside no fato de
ele demandar baixo esforço computacional,
conforme será constatado na seção de
resultados. Já o método da corrente elétrica
superficial é adequado quando se busca maior
acurácia nos resultados obtidos.
1.1 Campo elétrico distante irradiado
Conforme exposto anteriormente, existem
algumas formas para se avaliar o campo elétrico
distante irradiado por uma antena de microfita
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
esférica. Entre elas estão o modelo de fenda e o
método da corrente elétrica superficial. Essas
duas técnicas têm a vantagem de serem
numericamente eficientes, frente aos métodos de
análise de onda completa, e.g., o método dos
momentos – MoM (GIANG, 2005), ao mesmo
tempo em que proveem dados com relativo grau
de acurácia, principalmente quando se analisam
irradiadores eletricamente finos.
A seguir, apresenta-se o formalismo proposto
neste trabalho para determinar expressões em
forma fechada, destinadas ao cálculo do campo
elétrico distante irradiado por uma antena de
microfita esférica, primeiro utilizando-se o modelo
de fenda e, na sequência, empregando-se o
método da corrente elétrica superficial. Vale
ressaltar que, no desenvolvimento subsequente,
foram selecionadas antenas de microfita
esféricas com patch circular; todavia, o
formalismo teórico descrito também é válido para
outras formas geométricas regulares de patch, a
exemplo das formas anular, retangular e
triangular.
Na Figura 2, visualiza-se a geometria geral de
uma antena de microfita esférica. Essa antena é
composta por uma esfera de terra (condutor
elétrico perfeito) de raio a, recoberta por um
substrato
dielétrico
de
espessura
h,
permissividade
elétrica
complexa
ε
e
permeabilidade magnética complexa µ. Na face
externa desse substrato há um patch metálico
que pode ser alimentado, por exemplo, por ponta
de prova coaxial ou linha de transmissão de
microfita – também impressa na face externa do
substrato.
z
h
Patch
Substrato
dielétrico
a
y
b
Esfera de
terra
x
Figura 2 Geometria geral de uma antena de
microfita esférica
1.1.1
Modelo de fenda
Do ponto de vista da irradiação, uma antena de
microfita eletricamente fina pode ser tratada
como um arranjo de fendas eletromagnéticas
estreitas localizadas ao longo das bordas do
patch da antena (DERNERYD, 1978; HAMMER
et al., 1979). A validação desse modelo de fenda
foi apresentada por Derneryd (1978), que
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
descreveu um experimento no qual uma tela de
cristal líquido era colocada próxima ao patch
retangular de uma antena de microfita plana, que
operava no modo fundamental. Na tela, foram
identificadas duas regiões semelhantes de
campo intenso, localizadas ao longo dos lados
não ressonantes do patch, as quais tinham uma
largura próxima à espessura do substrato. Assim,
o campo elétrico distante irradiado pela antena
de microfita plana, com patch retangular e que
operava no modo fundamental, pôde ser
estimado a partir do campo irradiado por uma
rede linear de duas fendas eletromagnéticas
uniformemente iluminadas e separadas por uma
distância igual ao lado que controlava a
ressonância do patch. Para essa geometria de
antena, o diagrama de irradiação estimado
através desta técnica não prevê a irradiação na
região traseira da antena, ou seja, parâmetros
como a relação frente-costas não podem ser
avaliados.
Estendendo o modelo de fenda aplicado às
antenas de microfita planas para as antenas de
microfita esféricas, tem-se que, em termos de
irradiação, estas também podem ser modeladas
por meio de um arranjo de fendas
eletromagnéticas estreitas localizadas ao longo
das bordas do patch e posicionadas na superfície
de uma esfera metálica perfeitamente condutora.
É interessante notar que, no caso da geometria
esférica, como não há truncamento do plano de
terra e do substrato dielétrico da antena, o
modelo de fenda permite estimar sua irradiação
em todo o espaço, possibilitando, dessa forma,
avaliar a relação frente-costas da antena, por
exemplo.
Cabe ressaltar que as larguras dessas fendas
coincidem com as extensões dos campos de
franja da antena. Além disso, suas distribuições
de campo elétrico equivalem à projeção dos
campos de franja na direção tangente à esfera
condutora.
Sendo assim, para determinar o campo elétrico
distante irradiado por uma antena de microfita
esférica, valendo-se do modelo de fenda,
primeiro é necessário calcular o campo elétrico
distante irradiado por uma fenda eletromagnética
estreita posicionada na superfície de uma esfera
perfeitamente condutora de raio b. Para tanto,
lança-se mão da teoria de potenciais auxiliares
(BALANIS, 1989), pois pode-se mostrar que uma
onda eletromagnética que se propaga num meio
linear, homogêneo e isotrópico, denominado
meio simples, e livre de fontes (de origem elétrica
e
magnética)
pode
ter
seus
campos
decompostos em parcelas do tipo TE e do tipo
TM. Os vetores potenciais auxiliares Ae e Am
(símbolos em negrito indicam grandezas vetoriais),
para um meio simples de características
eletromagnéticas ε e µ, que originam os campos
dessas parcelas, são dados por:
49
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
Ae =
∞
∞
∑ ∑ {A
m
n
Ĥ (1)
n ( kr )
(1)
m =−∞ n =|m|
}
| m|
jm φ
r,
+ Bnm Ĥ (2)
n ( kr ) Pn (cos θ)e
Am =
∞
∞
∑ ∑ {C
Ĥ (kr )} P
m
n
Ĥ (1)
n ( kr )
(2)
m =−∞ n =|m|
+ Dnm
jm φ
| m|
r,
n (cos θ)e
(2)
n
onde Ĥn(1)(.) e Ĥn(2)(.) representam as funções
esféricas de Hankel do tipo Schelkunoff de
ordem n, de 1ª e 2ª espécies, respectivamente.
Pn|m|(.) indica a função associada de Legendre de
1ª espécie, de grau n e ordem |m|, k = ω {µ ε}1/2 , os
coeficientes Anm, Bnm, Cnm e Dnm são dependentes
do contorno do problema, r > 0 e consideram-se
variações harmônicas da forma e j ωt .
Como observado, os vetores Ae e Am são
dependentes da função associada de Legendre de
1ª espécie e das funções esféricas de Hankel do
tipo Schelkunoff. Por isso, é imprescindível ter boas
rotinas numéricas para avaliar essas funções, de
∑ ∑ {A
∞
Er = − jω
∞
m
n
m =−∞ n =|m|
Eθ =
∞
modo a não comprometer a acurácia dos
resultados e a não restringir o conjunto de antenas
passíveis de serem analisadas. Neste trabalho,
utilizou-se o pacote Mathematica® (Mathematica 8,
2012) para conduzir esses cálculos, uma vez que
ele possibilita calcular essas funções para graus e
ordens elevados.
Tendo em vista os potenciais (1) e (2),
expressa-se, em forma fechada, o campo
eletromagnético que se estabelece no meio
simples e sem fontes em questão (equações
presentes na parte inferior desta página)
(BALANIS, 1989). Uma vez conhecidas as
expressões que descrevem esse campo, passase à determinação do campo eletromagnético
distante irradiado por uma fenda localizada na
superfície de uma esfera perfeitamente
condutora de raio b.
Para que as componentes de campo (3)-(8)
estejam
univocamente
determinadas,
é
necessário avaliar os coeficientes Anm, Bnm, Cnm e
Dnm , que são funções do contorno do problema.
Neste artigo, com o objetivo de realizar estes
cálculos de forma direta, será empregado o
Teorema da Reciprocidade, proposto por Lorentz
(CARSON, 1929). De acordo com esse Teorema,
}
H
ˆ (1) ′′(kr ) + H
ˆ (1) (kr )  + B m  H
ˆ (2) ′′(kr ) + H
ˆ (2) (kr )  P|m| (cos θ)e jm φ
n
n  n
n
 n


 n
(3)
∞
1
 1  m ˆ (1) ′
ˆ (2) ′(kr )  d P|m| (cos θ)
An H n (kr ) + Bnm H

n


 d θ n
r  j µε
m =−∞ n =|m| 
∑∑
(4)
| m|
 jm φ
m

ˆ (1) (kr ) + D m H
ˆ (2) (kr )  Pn (cos θ) 
e
+ Cnm H
n
n
n


jε
sen θ 

∞
∞
Pn|m| (cos θ)
1
 m  m ˆ (1) ′
m ˆ (2) ′

+
H
(
)
H
(
)
A
kr
B
kr

n
n
n
n
 sen θ
r  µε 
m =−∞ n =|m| 
∑∑
Eφ =
(5)
1
 jm φ
ˆ (1) (kr ) + D m H
ˆ (2) (kr )  d P|m| (cos θ) 
+ Cnm H
e
n
n
n
 dθ n
ε

H r = − jω
∑ ∑ {C
∞
∞
m
n
m =−∞ n =|m|
Hθ =
+
Hφ =
}
H
ˆ (1) ′′(kr ) + H
ˆ (1) (kr )  + D m  H
ˆ (2) ′′(kr ) + H
ˆ (2) (kr )  P|m| (cos θ)e jm φ
n
n  n
n
 n


 n
∞
∞
| m|
 jm m ˆ (1)
1
ˆ (2) (kr )  Pn (cos θ)
 An H n (kr ) + Bnm H

n
 sen θ
r µ 
m =−∞ n =|m| 
∑∑
(7)
1  m ˆ (1) ′
jm φ
ˆ (2) ′(kr )  d P|m| (cos θ) 
Cn H n (kr ) + Dnm H
e
n
n




dθ
j µε

∞
∞
1 1
∑ ∑ r − µ  A
m =−∞ n =|m|
+
50
(6)
m
n
ˆ (1) (kr ) + B m H
ˆ (2) (kr )  d P|m| (cos θ)
H
n
n
n
 dθ n
m  m ˆ (1) ′
ˆ (2) ′(kr ) 
Cn H n (kr ) + Dnm H
n

µε 
Pn|m| (cos θ) 
sen θ
e

(8)
jm φ
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
para dois campos quaisquer (E1, H1 e E2, H2) de
mesma frequência, livres de fontes e que
satisfazem as equações de Maxwell num dado
volume V, vale a igualdade:
∫ E ×H
1
⋅ ndS =
2
∂V
∫E
2
× H1 ⋅ ndS ,
(9)
∂V
onde ∂V representa a superfície do volume V e n
é um versor normal a essa superfície, orientado
para o exterior de V.
Para o problema em questão, o volume V
corresponde à região externa à esfera condutora
(espaço livre de características eletromagnéticas
µ0 e ε0) e, portanto, é limitado por superfícies
esféricas de raio b (Si) e de raio ∞ (Se), tal como
representado na Figura 3. Considerando que o
campo E1, H1 tenha componentes transversais
dadas por (4), (5) e (7), (8), e que E2, H2 seja o
campo eletromagnético de um modo TE ou TM
de coeficiente unitário, que pode se estabelecer
em V, a igualdade (9) se reduz a:
∫(E
1φ H 2 θ
− E1θ H 2 φ ) dS
Si
=
∫(E
2 φ H1θ
na parte inferior desta página.
Agora, considerando que E2 , H2 seja o campo
eletromagnético de um modo TMNM esférico de
coeficiente unitário, presente em r > b (espaço
livre), e realizando as integrações de (10), chegase ao coeficiente Bnm, descrito pela equação (14),
localizada na parte inferior desta página.
Desse modo, o campo elétrico irradiado por uma
fenda eletromagnética posicionada na superfície
de uma esfera condutora de raio b está
univocamente determinado. Para calcular o
campo distante, basta utilizar a seguinte
aproximação assintótica:
(15)
Ĥ (2) (k r ) 
→ j n +1e − jk0 r .
n
0
r →∞
Vale destacar que o formalismo teórico anterior
não particularizou a forma geométrica da fenda,
nem a distribuição de campo elétrico nela
presente, e por isso pode ser aplicado na análise
de antenas de microfita esféricas com patches
circulares, anulares, retangulares, triangulares,
etc. Na Seção 2, será exemplificado o cálculo do
diagrama de irradiação de antenas de microfita
esféricas com patch circular, e será possível
verificar a sua elevada eficiência computacional.
(10)
− E2 θ H1φ ) dS ,
Si
onde já foi levado em conta que os campos E1,
H1 e E2, H2 satisfazem às condições de
irradiação de Sommerfeld (ELLIOTT, 2003).
Dessas condições, também resulta que Anm = 0 e
Cnm = 0 na região do espaço livre, ou seja, nesse
meio, há apenas a onda que se propaga no
sentido positivo de r.
Como a superfície Si coincide com a superfície
da esfera condutora onde está localizada a fenda
eletromagnética, tem-se que em r = b valem as
igualdades:
(11)
E =E ,
1θ
aθ
E1φ = Eaφ ,
(12)
em que Eaθ e Eaφ são as componentes nas
direções θ e φ, respectivamente, do campo
elétrico presente na fenda.
Adotando que E2 , H2 seja o campo
eletromagnético de um modo TENM esférico de
coeficiente unitário, que se estabelece em r > b
(espaço livre), e efetuando as integrações de (10),
o coeficiente Dnm fica expresso por (13), apresentado
2π
Dnm =
1.1.2
Método da corrente elétrica superficial
Outra forma numericamente eficiente de avaliar o
campo elétrico distante irradiado por uma antena
de microfita esférica se dá por meio do método
da corrente elétrica superficial (TAM; LUK, 1991).
π
 Pn|m| (cos θ)

b ε0
d | m|
jm
Eaθ +
Pn (cos θ) Eaφ  e− jm φ sen θd θd φ

(2)
ˆ ( k b)
sen θ
dθ
2π S(n, m) H

0
n
φ= 0 θ= 0 
∫∫
2π
Bnm
Figura 3 Volume para aplicação do Teorema da
Reciprocidade
(13)
π
 d | m|

jb µ 0 ε 0
P|m| (cos θ)
=
Pn (cos θ) Eaθ − jm n
Eaφ  e− jm φ sen θd θd φ

(2)
ˆ ′ ( k b)
sen θ
dθ
2π S(n, m) H

0
n
φ= 0 θ= 0 
∫∫
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
(14)
51
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
Essa
técnica
permite
contabilizar,
sem
aproximações, o efeito que o substrato dielétrico
desempenha na estrutura, diferentemente do
modelo de fenda apresentado na seção anterior.
Por isso, o método da corrente elétrica superficial
fornece resultados mais acurados, por exemplo,
na análise de antenas de microfita esféricas
eletricamente espessas, desde que haja uma
boa estimativa para a densidade de corrente
elétrica superficial que se estabelece sobre o
patch. Além disso, como nessa antena nem o
substrato dielétrico nem a esfera de terra são
truncados, este método, tal como o modelo de
fenda, também provê uma boa estimativa para a
irradiação traseira da antena, possibilitando, por
exemplo, a estimativa da sua relação frentecostas.
Para o método da corrente elétrica superficial, a
antena de microfita da Figura 2 é modelada com
base em uma estrutura de três camadas – mais
especificamente, camada da esfera de terra,
camada do substrato dielétrico e camada do
espaço livre. Além disso, na interface entre as
camadas do substrato dielétrico e do espaço
livre, há uma densidade de corrente elétrica
superficial, para levar em conta a presença do
patch metálico da antena.
A análise dessa estrutura de três camadas será
iniciada com a determinação das componentes
transversais do campo eletromagnético presente
na camada do substrato dielétrico. Sendo assim,
adotando que a permissividade elétrica do
substrato dielétrico seja εs , a sua permeabilidade
magnética seja µ0 , e tendo em vista que o campo
eletromagnético (3)-(8) também pode representar
o campo existente nessa camada, sendo que, no
presente caso, os coeficientes Anm e Cnm são não
nulos – diferentemente do campo na região do
espaço livre –, pois há uma onda estacionária
nessa camada, as componentes transversais em
(3)-(8) são reescritas na seguinte forma
compacta:
Et =
∞
∞
∑ ∑ Lɶ(n, m, θ) ⋅ (r, n)e
jm φ
t
m =−∞ n =|m|
∞
∞
∑ ∑ Lɶ(n, m, θ) ⋅ (r, n)e
jm φ
t
, (17)
m =−∞ n =|m|
onde ks = ω {µ0 εs}1/2, t (r, n) e t (r, n) são
expressos em (19) e (20), localizadas na parte
inferior desta página, a ≤ r ≤ b, o subscrito t indica
que o referido vetor possui apenas componentes
transversais, segundo as direções θ e φ, e:
 d |m|
Pn (cos θ)

dθ
Lɶ = 

Pn|m| (cos θ)
jm

sen θ

Pn|m| (cos θ) 

sen θ  (18)
.

d |m|
Pn (cos θ) 
dθ

− jm
As formas compactas (16) e (17) suscitam a
definição de um par de transformadas de
Legendre vetorial (SIPUS et al., 2006),
apresentado a seguir, que viabiliza a solução das
antenas de microfita esféricas no domínio
espectral – tal como é feito para as antenas de
microfita planas (POZAR, 1986) e cilíndricas, nas
quais se emprega a transformada de Fourier:
X ( r , θ, φ) =
∞
∞
∑ ∑ Lɶ(n, m, θ) ⋅ (r , n)e
jm φ
, (21)
m =−∞ n =|m|
( r , n ) =
1
2π S(n, m)
2π
π
∫ ∫ Lɶ(n, m, θ)
φ= 0 θ= 0
(22)
⋅ X (r , θ, φ)sen θe − jm φ d θd φ ,
onde X (r, θ , φ) representa uma grandeza vetorial
no domínio espacial, que tem somente
componentes transversais segundo as direções θ
representa
a
grandeza
e
φ,
(r, n)
correspondente no domínio espectral e:
S( n, m) =
2n(n + 1)(n + | m |)!
,
(2n + 1)(n − | m |)!
(23)
que também figura em (13) e (14). Portanto, (19)
e (20) denotam os campos elétrico e magnético
espectrais na camada do substrato dielétrico,
respectivamente. A vantagem de se trabalhar no
domínio espectral reside no fato de que as
funções de Green associadas à estrutura da
antena são escritas em forma fechada,
diferentemente das funções correspondentes no
domínio espacial, que são representadas através
ω  m ˆ (1) ′
ˆ (2) ′(k r )  
An H n (k s r ) + Bnm H
n
s 

jk s r 


1  m ˆ (1)
m ˆ (2)
 
H
(
)
+
H
(
)
C
k
r
D
k
r
n
n
s
n
n
s

εs r 

(19)
 ω  m ˆ (1) ′
m ˆ (2) ′

 jk r Cn H n (k s r ) + Dn H n ( ks r )  
s

t ( r , n) = 
 1

(1)
(2)
m
m
ˆ
ˆ
 An H n (ks r ) + Bn H n (ks r )  
−


 µ0 r

(20)


t ( r , n) = 



52
, (16)
Ht =
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
de integrais e/ou somatórios, dependendo da
geometria em questão. Vale lembrar que as
funções de Green podem ser interpretadas como
as funções de transferência do problema, ou
seja, o campo eletromagnético que se estabelece
na estrutura se relaciona com as densidades de
corrente presentes nessa mesma estrutura
através das funções de Green.
Para simplificar e sistematizar o cálculo das
funções de Green espectrais, neste trabalho,
lança-se mão de um modelo circuital de onda
completa (GIANG, 2005), que permite avaliar os
campos espectrais transversais nas interfaces da
estrutura multicamada que modela a antena em
questão. O uso do referido circuito evita, por
exemplo, os erros associados à determinação
das funções de Green efetuada manualmente,
visto que a solução do circuito pode ser realizada
com o auxílio de um computador. Além disso, o
modelo circuital pode ser utilizado na análise de
estruturas que tenham mais de três camadas –
por exemplo, as antenas de microfita que
possuem uma cobertura dielétrica para proteção
do patch.
Uma vez que a camada do substrato dielétrico
possui duas interfaces, uma em r = a e outra em
r = b, ela é representada no modelo circuital por
meio de um quadripolo (duas portas), cuja matriz
de transmissão (ou matriz (ABCD)) seja
conhecida. Para determinar essa matriz, primeiro
se avaliam (19) e (20) na interface r = b, de onde
se derivam os coeficientes Anm, Bnm, Cnm e Dnm em
função dos campos transversais em r = b. Em
seguida, calculam-se as componentes de campo
transversais espectrais em r = a, de forma que:
 t (a, n)   Vɶ Zɶ   t (b, n) 
 ⋅

=
,
 t (a, n)   Yɶ Bɶ   t (b, n) 
(24)
onde
 b

0 
 j 2 a pn
,
Vɶ = Bɶ = 


b
rn 
 0
j 2a 

bηs 

qn 
 0
2
a
ɶ
,
Z =
 bηs

s
0


n
 2a

b


0
−
qn 

2 aη s
,
Yɶ = 


b
sn
0
−

 2 a ηs

ˆ (2) (k a) H
ˆ (1) ′(k b) − H
ˆ (1) (k a ) H
ˆ (2) ′(k b), (30)
rn = H
n
s
n
s
n
s
n
s
ˆ (2) (k b) H
ˆ (1) ( k a) − H
ˆ (1) ( k b) H
ˆ (2) ( k a), (31)
sn = H
n
s
n
s
n
s
n
s
com ηs = {µ0 / εs}1/2 denotando a impedância
intrínseca do substrato dielétrico.
Assim, a matriz de transmissão do quadripolo
(Figura 4(a)) que representa circuitalmente a
camada do substrato dielétrico é expressa por:
 Vɶ Zɶ 
( ABCD) = 
.
ɶ ɶ
Y B 
De forma semelhante ao procedimento adotado
anteriormente, escreve-se a seguir, em forma
compacta, o campo eletromagnético espectral
transversal no espaço livre:
 ωEnm (2)

Ĥ n ′(k0 r ) 

jk0 r
,
0t (r , n) =  m

F
 n Ĥ (2)

k
r
(
)
0
n
 ε r

0


(33)
 ωFnm (2)

Ĥ n ′(k0 r ) 

jk r
,
0t (r , n) =  0 m

E
 − n Ĥ (2)

(
k
r
)
 µ r n 0 
 0

(34)
em que as condições de irradiação de
Sommerfeld (ELLIOTT, 2003)
já foram
consideradas e os coeficientes Enm e Fnm estão
associados à onda que se propaga no sentido
positivo de r.
Como a região do espaço livre possui uma única
interface, localizada em r = b, os campos elétrico
e magnético transversais espectrais (33) e (34)
são relacionados nessa interface, de onde
decorre que:
(35)
(b, n) = Yɶ ⋅ (b, n),
0t
(25)
(26)
(27)
sendo:
ˆ (2) (k b)H
ˆ (1) ′(k a ) − H
ˆ (1) (k b)H
ˆ (2) ′(k a), (28)
pn = H
n
s
n
s
n
s
n
s
ˆ (2) ′(k a )H
ˆ (1) ′(k b) − H
ˆ (1) ′(k a )H
ˆ (2) ′( k b), (29)
qn = H
n
s
n
s
n
s
n
s
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
(32)
0
0t
onde


0

Yɶ0 = 
(2)
 Ĥ n (k0b)

(2)
 jη0 Ĥ n ′( k0 b)

′
Ĥ (2)
n ( k0 b )

jη0 Ĥ(2)
n ( k0 b) 
(36)
,

0


sendo η0 = {µ0 / ε0}1/2 a impedância intrínseca do
espaço livre.
Então, como (35) pode ser associada à Lei de
Ohm, a camada do espaço livre é modelada
através de uma admitância de carga Ỹ0 (Figura
4(b)) no modelo circuital para o cálculo da função
diádica de Green espectral transversal.
Por outro lado, tendo em vista que o campo
elétrico tangente à superfície da camada da
esfera de terra (condutor perfeito) deve ser nulo,
i.e., Egt (a, θ , φ) = 0, vem que gt (a, n) = 0. Logo, no
modelo circuital a camada da esfera de terra é
53
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
representada por meio de um curto-circuito
(Figura 4(c)). E, como a condição de contorno
para o campo magnético (BALANIS, 1989) em
r = b exige que:
(37)
r × ( H (b, θ, φ) − H (b, θ, φ) ) = J ,
0
s
onde Js é a densidade de corrente elétrica
superficial sustentada pelo patch, tem-se que a
relação
entre
os
campos
magnéticos
transversais transformados na interface r = b fica:
(38)
0t (b, n) − t (b, n) = sφ θ − sθ φ .
Portanto, uma vez que (38) pode ser relacionada
à Lei dos Nós, a densidade de corrente elétrica
superficial que se estabelece sobre o patch é
representada através de uma fonte de corrente
ideal (Figura 4(d)) no circuito de onda completa.
Então, combinando-se os elementos da Figura 4,
chega-se ao modelo circuital de onda completa
(Figura 5) para o cálculo da função diádica de
Green espectral transversal da estrutura
multicamada esférica que modela a antena da
Figura 2.
Resolvendo o circuito da Figura 5, determina-se
o campo elétrico transversal transformado na
interface r = b, em função da densidade de
corrente elétrica superficial transformada, i.e.:
(
0t (b, n) = Yɶ0 + Zɶ −1 ⋅ Vɶ
)
−1
 
⋅  sφ  ,
 − sθ 
(39)
ou seja, a função diádica de Green procurada é
dada por:
(
ɶ −1
Gɶ (b, n) = Yɶ0 + Z ⋅ Vɶ
 Gθφ
=
 Gφφ
)
−1
−Gθθ 
,
−Gφθ 
(40)
em que:
Gθθ =
′
− jη0 qn Ĥ (2)
n ( k0 b)
, (41)
ˆ (2) ′(k b) + q H
ˆ (2) (k b)
ε rs pn H
0
0
n
n
n
Gφφ =
jη0 sn Ĥ (2)
n ( k0 b)
, (42)
(2)
ˆ
ˆ (2) ′(k b)
εrs rn H n ( k0 b) + sn H
n
0
Gθφ = Gφθ = 0,
(43)
sendo εrs = εs / ε0 .
Cabe
ressaltar
que,
no
presente
desenvolvimento, apenas as funções de Green
transversais foram avaliadas, dado que a
densidade de corrente elétrica superficial Js ,
localizada na interface r = b, possui somente
componentes nas direções θ e φ. Ademais, devese notar que, pela forma como a transformada de
Legendre vetorial foi definida, as componentes θ
e φ da função diádica Green espectral estão
desacopladas, diferentemente do que ocorre no
estudo das estruturas planas correspondentes,
nos quais se utiliza a transformada dupla de
Fourier (POZAR, 1986).
54
A partir de (39), derivam-se os coeficientes Enm e
Fnm, que figuram em (33) e (34), em função de sθ
e sφ . Então, transformando (33) para o domínio
espacial – usando (21) – e levando em conta que
r → ∞, determina-se uma expressão para avaliar
o campo elétrico distante irradiado pela antena
de microfita esférica, mais especificamente:
E0 ≅
∞
∞
∑∑
ɶ⋅G
ɶ ⋅ e jm φ e
Lɶ(n, m, θ) ⋅ A
s
m =−∞ n =|m|
− jk0 r
r
, (44)
em que:
−1
 n ˆ (2) ′
ɶ =  j b [H n ( k0 b)]
A

0


 , (45)
n +1
(2)
−1 
ˆ
j b [H n (k0b)] 
0
 
s =  sφ  .
 − sθ 
(46)
Desse modo, conhecida a densidade de corrente
elétrica superficial Js sustentada pelo patch,
automaticamente o campo irradiado está
determinado. Na próxima seção, essa densidade
Js será estimada a partir do modelo da cavidade
ressonante. Cabe ainda destacar que a
formulação anterior possui caráter geral, pois a
forma geométrica do patch, que está atrelada a
Js , não foi particularizada.
1.2 Modelo da cavidade ressonante
Uma maneira eficiente de estimar a densidade de
corrente elétrica superficial que se estabelece no
patch das antenas de microfita esféricas
eletricamente finas, bem como a distribuição de
campo necessária à aplicação do modelo de fenda,
é empregar o modelo da cavidade ressonante
(LIMA; DESCARDECI; GIAROLA, 1991; LO;
SOLOMON; RICHARDS, 1979), bastante utilizado
na análise de antenas de microfita planas e
cilíndricas.
Antes de aplicar o modelo da cavidade às
antenas de microfita esféricas, será feita uma
breve revisão das principais características
desse modelo, quando utilizado na análise de
antenas de microfita planas eletricamente finas.
Fazendo referência à antena de microfita da
Figura 1 e supondo que ela seja eletricamente
fina (h << λ (comprimento de onda no dielétrico)),
tem-se que:
a) a proximidade entre o patch e o plano de
terra sugere que o campo elétrico
presente entre essas estruturas tem
apenas a componente z e, por
conseguinte,
o
campo
magnético
associado é paralelo ao plano xy;
b) o campo eletromagnético presente entre
o patch e o plano de terra é
independente da coordenada z para o
intervalo de frequências
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 4 Elementos que constituem o modelo circuital de onda completa
Figura 5 Modelo circuital de onda completa
de interesse, pois a antena é considerada
eletricamente fina;
c) o vetor densidade de corrente elétrica
superficial no patch não deve ter
componente normal à borda do patch em
qualquer ponto da borda – isso implica
uma componente de campo magnético
tangente à borda desprezível.
Assim, a região entre o patch e o plano de terra
pode ser tratada como uma cavidade ressonante
limitada por paredes magnéticas no perímetro do
patch e por paredes elétricas nas partes inferior e
superior. Cabe salientar que, na construção da
antena, a extensão do patch é reduzida em
relação à da cavidade equivalente, visto que esta
leva em conta o campo de franja da antena em
função do que é afirmado na alínea (c).
Estendendo as assertivas anteriores para a
antena de microfita esférica com patch circular
da Figura 6, e considerando que o interior da
cavidade equivalente é um meio simples na
ausência de fontes, as equações de Maxwell
para o problema em questão são escritas como a
seguir:
(47)
∇ ⋅ E = 0,
∇ ⋅ H = 0,
(48)
∇ × E = − jωµ0 H ,
(49)
∇ × H = jωε s E .
(50)
Uma vez que o campo elétrico no interior da
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
cavidade
equivalente
possui
apenas
a
componente radial e esta é invariante com r, de
(49) e (50) segue que Hr = 0; portanto, os modos
presentes na cavidade são do tipo TMr e a
equação de onda para a componente Er fica:
∂E 
1
1
∂ 
sen θ r  + 2

∂θ  a sen 2 θ
a sen θ ∂θ 
2
∂2 E
× 2r + k s2 Er = 0,
∂φ
(51)
que na forma compacta é escrita segundo:
∇t2 Er + ks2 Er = 0,
(52)
A equação (51) pode ser resolvida pelo método
de separação de variáveis (BUTKOV, 1973), de
onde resulta que:
Er (θ, φ) = [ A Pℓmn (cos θ) + B Qℓmn (cos θ)]
×[C cos(mφ) + D sen(mφ)],
(53)
sendo que A, B, C e D são coeficientes a
determinar, dependentes das condições de
contorno associadas à cavidade equivalente e da
alimentação dessa mesma cavidade, Qℓnm(.)
indica a função associada de Legendre de 2ª
espécie de grau ℓn e ordem m, e:
(54)
ℓ (ℓ + 1) = k 2 a .
n
n
s
A partir de (54), derivam-se as frequências de
ressonância fnm dos modos TMrnm que podem se
estabelecer na cavidade equivalente:
55
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
ℓ n (ℓ n + 1)
f nm =
2πa µ 0 ε s
.
(55)
z
a necessidade de traçar o gráfico de Pℓnm' (cos θ1c)
para definir os valores de partida da rotina
numérica de busca de raízes, já que se trata de
uma equação transcendental, adotou-se a
seguinte estratégia neste artigo: primeiro,
determinam-se as raízes ℓn' da equação:
Pℓm′n +1 (cos θ1c ) = 0.
Para tanto, os valores de partida da rotina de
busca de raízes empregada são estimados a
partir
da
seguinte
fórmula
aproximada
(GRADSHTEYN; RYZHIK, 2007), que é válida
para ângulos θ1c próximos a 0°:
h
θ1
a
y

2 θ1c
 sen 2
1−
θ 
6
2sen 1c 
2 
 4n 2 − 1  
×  1 −
 ,
zn2  

1
ℓ′n ≅ − +
2
x
Figura 6 Antena de microfita esférica com patch
circular
Até este ponto do formalismo teórico não se
particularizou a forma geométrica do patch da
antena; por isso, a expressão (55) para o cálculo
das frequências de ressonância tem caráter
geral. Neste trabalho, conforme já afirmado, o
foco será a análise das antenas de microfita com
patch circular (Figura 6). Todavia salienta-se
novamente que a abordagem empregada pode
ser facilmente estendida para antenas com patch
anular, retangular ou triangular, por exemplo.
Para a antena com patch circular da Figura 6,
supondo que o seu alimentador esteja
posicionado no plano xz, (53) se reduz a:
(56)
E (θ, φ) = E P m (cos θ) cos( mφ),
r
nm
ℓn
sendo Enm um coeficiente dependente da
alimentação da antena, 0 ≤ θ ≤ θ1c e 0 ≤ φ < 2π,
com θ1c (θ1c > θ1) denotando a dimensão da
cavidade equivalente segundo a direção θ.
A função associada de Legendre de 2ª espécie
não figura em (56), pois é ilimitada em θ = 0°,
coordenada presente no domínio da cavidade
equivalente da antena com patch circular da
Figura 6. Em termos numéricos, essa
característica é bastante interessante, pois as
rotinas para o cálculo dessa função exibem
convergência lenta.
Ainda de acordo com o modelo da cavidade, em
θ = θ1c , há uma parede magnética, portanto, o
campo magnético tangente a ela deve se anular,
logo:
(57)
P m ′(cos θ ) = 0,
ℓn
1c
sendo m = 0, 1, 2, … , dada a simetria circular da
cavidade em questão, e n = 1, 2, 3,...
Para calcular e ordenar as raízes ℓn de (57), sem
56
(58)
zn
(59)
onde zn é a n-ésima raiz positiva da função de
Bessel de 1ª espécie e ordem m + 1, Jm + 1 (z), que
pode ser aproximada por (GRADSHTEYN;
RYZHIK, 2007):
zn ≅ ( 4n + 2m + 1)
−
π
4(m + 1) 2 − 1
−
4 2π ( 4n + 2m + 1)
[4(m + 1) 2 − 1][28(m + 1)2 − 31]
6 ( 4n + 2m + 1) π 
3
(60)
.
Conhecidas as raízes ℓn' de (58), estas são
utilizadas como estimativa inicial da rotina de
busca de raízes empregada para resolver (57).
Assim, não é necessário realizar nenhuma
inspeção gráfica para o cálculo e a ordenação
das raízes ℓn . Vale mencionar que o
procedimento de cálculo de raízes proposto
anteriormente também poderia ser utilizado no
estudo de antenas de microfita esféricas
embutidas com patch circular (flush-mounted
spherical-circular microstrip antennas), sendo
realizado através do MoM, pois, neste caso, é
necessário determinar os índices dos modos TEr
e TMr presentes no interior de uma cavidade de
paredes laterais metálicas, e esses modos são
regidos
por
equações
características
semelhantes a (57) e (58).
Outra forma de gerar os valores de partida da
rotina de busca de raízes para a solução de (57)
poderia ser através do emprego de polinômios de
interpolação, tal como é apresentado por Ferreira
e Lacava (2010). Apesar de também dispensar
inspeções gráficas, essa alternativa de cálculo
demanda relativo esforço para a construção dos
referidos polinômios. Por isso, o seu tempo de
codificação é maior.
Tendo em vista o campo (56) e a Lei de Faraday
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
expressa por (49), chega-se a uma aproximação
para a densidade de corrente elétrica superficial
que se estabelece no patch da antena, mais
especificamente:
(61)
J s = −r × H .
E a partir das considerações feitas para o
desenvolvimento do modelo de fenda, as
componentes transversais do campo elétrico Ea
presente na fenda anular são aproximadas por:
(62)
E = E P M (cos θ )cos( M φ),
aθ
NM
ℓN
1c
Eaφ = 0,
(63)
supondo que a cavidade equivalente opera no
modo TMrNM e que ele está suficientemente
afastado dos demais modos de operação, ou
seja, é um modo dominante.
Todavia, seja para o uso de (61) seja para o de
(62), necessita-se de uma expressão para
quantificar a dimensão θ1c da cavidade
equivalente e, por conseguinte, a extensão
θ1c – θ1 do campo de franja. Neste trabalho,
seguindo Kishk (1993), utilizou-se uma equação
(64) derivada daquela empregada na análise de
antenas de microfita planas com patch circular, a
qual exibe bons resultados, conforme será
constatado na próxima seção:
θ1c = θ1 1 +
2hF
,
πbθ1ε rs
(64)
em que:
 bθ 
F = ℓn  1  + 1, 41ε rs + 1,77
 2h 
h
+
(0,268εrs + 1,65).
bθ1
2
antena. Neste trabalho, a razão axial das antenas
analisadas será calculada por meio da seguinte
expressão (BALANIS, 2005):
RA =
1+ | E0 φ / E0 θ |2 +T
1+ | E0 φ / E0 θ |2 −T
,
onde:
T = {1+ | E0φ / E0 θ |4 +2 | E0 φ / E0 θ |2
× cos(2ζ )}
1/ 2
Resultados
Na Seção 1, foram apresentadas duas técnicas
para o cálculo do campo elétrico distante
irradiado por uma antena de microfita esférica
com patch circular. Nesta seção, os resultados
derivados anteriormente serão utilizados para
determinar as características de irradiação de
duas configurações de antenas de microfita
esféricas circularmente polarizadas; na primeira
delas, a antena é alimentada por duas pontas de
prova e, na outra, por quatro pontas de prova
excitadas sequencialmente.
Para avaliar o desempenho de uma antena
circularmente polarizada, lança-se mão de
algumas figuras de mérito. Entre elas, estão a
razão axial, o diagrama de irradiação spinado
(diagrama de irradiação obtido por meio da
técnica do dipolo girante) e os diagramas de
irradiação circularmente polarizados. A razão
axial (RA) é a figura de mérito que exprime a
relação entre os semieixos maior e menor da
elipse de polarização da onda irradiada pela
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
(67)
,
com ζ denotando a defasagem entre as
componentes de campo E0φ e E0θ .
Alternativamente, a razão axial de uma antena,
num dado plano φ constante, pode ser expressa
através do diagrama de irradiação traçado
segundo a técnica do dipolo girante, também
chamado de diagrama de irradiação spinado
(HECKLER, 2003). Nesta técnica, um dipolo
elétrico (antena linearmente polarizada), que
opera como antena transmissora, gira com uma
velocidade ωd em torno de um eixo virtual que é
normal à sua estrutura e passa pelo seu centro.
A antena de teste, por sua vez, gira com uma
velocidade angular ωµ (ωd >> ωµ) em torno de um
eixo fictício normal ao plano φ constante (onde se
deseja traçar o diagrama), que passa pelo seu
centro. A magnitude Ed do campo elétrico medido
valendo-se desse procedimento se relaciona com
as componentes de campo E0θ e E0φ através de:
Ed (θ, φ) = {| E0 θ (θ, φ) |2 cos 2 (ωd t )
(65)
(66)
+ | E0 φ (θ, φ) |2 cos 2 (ωd t + ζ )}1/ 2 ,
(68)
em que θ = ωµ t e t é o tempo.
Por fim, o desempenho de uma antena
circularmente polarizada pode ser caracterizado
através
dos
diagramas
de
irradiação
circularmente polarizados, visto que toda onda
elipticamente polarizada pode ser decomposta
em uma onda circularmente polarizada à
esquerda (L) e em outra circularmente polarizada
à direita (R) (BALANIS, 1989). O campo elétrico
das referidas ondas circularmente polarizadas é
expresso em termos das componentes de campo
E0θ e E0φ, de acordo com:
1
E L (θ, φ) = (| E0 θ (θ, φ) |
2
− j | E0 φ (θ, φ) | e jζ )(θ + jφ),
(69)
1
E R (θ, φ) = (| E0 θ (θ, φ) |
2
+ j | E0 φ (θ, φ) | e jζ )(θ − jφ),
(70)
onde EL e ER representam o campo elétrico da
onda circularmente polarizada à esquerda e à
direita, respectivamente. Assim, se uma antena é
projetada para irradiar uma onda circularmente
polarizada à esquerda, por exemplo, o campo ER
57
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
2.1 Diagramas de irradiação
A primeira antena de microfita esférica
circularmente polarizada a ser analisada nesta
seção é alimentada através de dois conectores
SMA de 50 Ω de impedância característica
(diâmetro
do
condutor
interno = 1,27 mm;
diâmetro
do
condutor
externo = 4,25 mm;
dielétrico PTFE), cujos centros estão localizados
nos planos xz e yz, com x > 0 e y > 0 (Figura 6), e
são excitados por correntes de mesma
magnitude e defasadas de 90°, sendo que a
excitação do conector no plano yz está adiantada
em relação à do conector no plano xz. Assim,
este é um irradiador circularmente polarizado à
esquerda. Além disso, a esfera de terra dessa
antena tem raio a = 120,0 mm, e o substrato
dielétrico empregado possui εrs = 2,5, tangente de
perdas = 0,0019 e h = 0,762 mm. Essa antena foi
projetada para operar na faixa de frequências de
3400 a 3410 MHz (faixa destinada pela Anatel ao
serviço limitado privado – administração pública),
no modo fundamental – TMr11 , de acordo com o
procedimento de síntese proposto em Ferreira e
Lacava (2011). Dessa forma, seu patch metálico
exibe a dimensão θ1 = 7,46° e as pontas de prova
foram posicionadas segundo θp1 = θp2 = 2,01°. O
campo elétrico distante irradiado por essa antena
foi avaliado tanto pelo modelo de fenda (MF)
quanto pelo método da corrente elétrica
superficial (MCES) e, em ambos os casos, esse
cálculo foi realizado superpondo-se os campos
irradiados devidos a cada uma das pontas de
prova, considerando-as isoladas.
Essa antena esférica também foi simulada no
software CST®, com o propósito de validar os
resultados determinados a partir das duas
técnicas supracitadas, uma vez que o modelo de
fenda é um procedimento de análise empírico e o
método da corrente elétrica superficial é
semiempírico, ao passo que o CST® utiliza uma
técnica de análise de onda completa para
resolver as estruturas. A geometria simulada no
CST® está ilustrada na Figura 7. Deve-se notar
que as partes esféricas foram modeladas através
de poliedros convexos multifacetados, para evitar
problemas durante a etapa de discretização
(mesh) da antena, dado que no CST® foi adotada
58
uma malha de discretização tetraédrica para a
resolução deste conjunto.
Na Figura 8, encontra-se o gráfico da razão axial
RA dessa antena, avaliada na frequência central
da faixa de operação – f0 = 3405 MHz, no plano
xz, para x > 0, determinada através do modelo de
fenda (MF), do método da corrente elétrica
superficial (MCES) e da simulação conduzida no
CST®. Como observado, há uma boa
concordância entre as curvas calculadas das três
maneiras
distintas,
principalmente
nas
vizinhanças da direção broadside (θ = 0°), onde a
antena é circularmente polarizada. Na Tabela 1,
foram registradas as larguras de feixe de
RA = 3 dB no plano xz, para a frequência f0 ,
determinadas por meio das três maneiras
citadas. Como se constata nesta tabela, os
valores fornecidos pelas técnicas desenvolvidas
neste artigo exibem pequeno desvio em relação
à previsão dada pelo CST®.
Figura 7 Antena esférica simulada no CST®
60
MF
MCES
®
CST
45
RA (dB)
é interpretado como a polarização cruzada desta
antena.
Cabe mencionar que, nos radioenlaces onde se
utilizam antenas circularmente polarizadas, o
descasamento de polarização causado pela
razão axial tem de ser levado em consideração
no
dimensionamento
dos
radioenlaces.
Geralmente, o projeto desses irradiadores é feito
para se obter uma razão axial inferior a 3 dB
(BASARI et al., 2010), de modo que esse
descasamento não degrade o desempenho do
enlace. Por isso, esse limiar será adotado na
análise das antenas, na seção subsequente.
30
15
0
0
30
60
90
120
150
180
θ (graus)
Figura 8 Razão axial da antena com duas provas –
Plano xz – x > 0
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
0°
Tabela 1 Largura de feixe de RA = 3 dB no plano xz
Largura de feixe de
RA = 3 dB
Desvio
relativo
130°
3%
136°
8%
126°
–
MCES
®
CST
Nas Figuras 9 a 11 são apresentados os
diagramas de irradiação spinados da antena,
bem como os diagramas de irradiação das
componentes de campo E0θ e E0φ , traçados no
plano xz e calculados na frequência f0 . Conforme
já afirmado, os diagramas spinados são uma
forma alternativa para caracterizar a razão axial
da antena, e isso pode ser constatado nessas
figuras. Ademais, os diagramas avaliados das
três formas distintas também exibem elevada
correlação. Na Tabela 2, são relacionadas as
larguras de feixe de -3 dB dos diagramas de
irradiação das componentes de campo E0θ e E0φ ,
no plano xz e em f0 , determinadas através das
três formas de análise tratadas nesta seção.
Nota-se nessa tabela que as larguras de feixe
fornecidas, tanto pelo modelo de fenda quanto
pelo método da corrente elétrica superficial, são
bem próximas àquelas dadas pelo CST®,
validando mais uma vez o uso das técnicas de
análise empírica e semiempírica para as antenas
de microfita esféricas.
Tabela 2 Largura de feixe de -3 dB no plano xz
Técnica
Diagrama da
componente E0θθ
Diagrama da
componente E0φφ
MF
97°
83°
96°
83°
97°
82°
MCES
®
CST
-10
Diagrama normalizado (dB)
60°
-30
-40
90°
270°
-30
-20
240°
120°
E0θ
-10
0
150°
210°
180°
90°
270°
-30
-20
240°
120°
E0θ
-10
E0φ
150°
210°
0
Ed
180°
Figura 10 Diagrama spinado da antena com duas
provas – Plano xz – MCES
0°
0
330°
30°
-10
300°
-20
60°
-30
-40
270°
90°
-30
-20
240°
120°
E0θ
-10
210°
150°
E0φ
Ed
Figura 11 Diagrama spinado da antena com duas
provas – Plano xz – CST®
30°
300°
-40
180°
0°
-20
-30
0
0
330°
60°
300°
-20
Diagrama normalizado (dB)
MF
30°
330°
-10
Diagrama normalizado (dB)
Técnica
0
E0φ
Ed
Figura 9 Diagrama spinado da antena com duas
provas – Plano xz – MF
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
Por fim, na Figura 12, são ilustrados os
diagramas
de
irradiação
circularmente
polarizados dessa antena de microfita esférica
com patch circular, determinados sob as
mesmas condições que os gráficos precedentes.
Desta figura, constata-se que, realmente, a
antena é circularmente polarizada à esquerda (L)
na direção broadside, e que o efeito das pontas
de provas no campo irradiado – que não foi
contabilizado nem pelo MF, nem pelo MCES,
mas foi considerado pelo CST® – faz com que
haja uma componente de polarização cruzada
reduzida, -27 dB, nessa mesma direção.
Novamente, os diagramas obtidos com o MF, o
MCES e o CST® estão concordantes,
confirmando a validade das técnicas estudadas.
A outra antena de microfita esférica com patch
circular analisada nesta seção possui as mesmas
características de construção que a antena anterior.
Todavia, foram acrescentados mais dois
alimentadores, simétricos àqueles já presentes no
irradiador. Os novos alimentadores foram
excitados por correntes com a mesma amplitude
59
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
0°
60
MF
MCES
®
CST
0
330°
30°
-10
45
60°
-20
-30
RA (dB)
Diagrama normalizado (dB)
300°
270°
90°
15
-20
240°
-10
210°
0
150°
180°
L-MF
120°
R-MF
L-MCES
R-MCES
®
L-CST
®
R-CST
0
0
Tabela 3 Largura de feixe de RA = 3 dB no plano xz
Técnica
Largura de feixe de
RA = 3 dB
Desvio
relativo
MF
132°
0%
MCES
136°
3%
132°
–
®
CST
60
90
120
150
180
Figura 13 Razão axial da antena com quatro
provas – Plano xz – x > 0
0°
0
330°
30°
-10
300°
Diagrama normalizado (dB)
-20
60°
-30
-40
270°
90°
-30
-20
240°
120°
E0θ
-10
210°
0
E0φ
150°
Ed
180°
Figura 14 Diagrama spinado da antena com
quatro provas – Plano xz – MF
0°
0
330°
30°
-10
300°
-20
Diagrama normalizado (dB)
que a dos outros dois conectores e com fase
progressiva (180° e 270°). Assim, os quatro
conectores são excitados com a seguinte
sequência de fases: 0°, 90°, 180° e 270°. Esta
técnica de alimentação foi primeiramente utilizada
em antenas de microfita planas (CHIBA; SUZUKI;
MYIANO, 1982) para reduzir o nível de polarização
cruzada nos planos principais. Como será
constatado a seguir, essa redução também se
verifica nas antenas de microfita esféricas, quando
estas são alimentadas por quatro pontas de prova
coaxiais com rotação e alimentação sequenciais.
Nas Figuras 13 a 17 são apresentados os gráficos
da RA, os diagramas spinados e os diagramas
circularmente
polarizados
dessa
antena,
calculados na frequência f0 e no plano xz.
Observa-se que o campo circularmente polarizado
à direita é bastante reduzido na direção broadside
e nas suas vizinhanças, devido à disposição e às
excitações dos alimentadores da antena. Na
Tabela 3, registram-se as larguras de feixe de
RA = 3 dB no plano xz, para a frequência f0 , e, na
Tabela 4, são relacionadas as larguras de feixe de
-3 dB dos diagramas de irradiação das
componentes de campo E0θ e E0φ , também no
plano xz e em f0 . Conforme observado, tanto nas
figuras quanto nas tabelas, os dados provenientes
do MF e do MCES exibem ótima correspondência
com aqueles fornecidos pela simulação desse
irradiador no CST®, o que reforça a validade dos
procedimentos de análise desenvolvidos neste
trabalho.
30
θ (graus)
Figura 12 Diagramas de irradiação circularmente
polarizados da antena com duas provas – Plano xz
60
30
60°
-30
-40
270°
90°
-30
-20
240°
120°
E0θ
-10
0
210°
150°
180°
E0φ
Ed
Figura 15 Diagrama spinado da antena com
quatro provas – Plano xz – MCES
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
0°
0
30°
330°
-10
Diagrama normalizado (dB)
60°
300°
-20
-30
-40
90°
270°
-30
-20
240°
120°
E0θ
-10
E0φ
150°
210°
0
Ed
180°
Figura 16 Diagrama spinado da antena com
quatro provas – Plano xz – CST®
0°
0
330°
30°
Para avaliar um ponto do diagrama de irradiação,
o código do MF gasta cerca de 30 ms
(componente E0θ ou E0φ); já o código do MCES
requer cerca de 550 ms (componente E0θ ou E0φ).
Assim, considerando que o diagrama de
irradiação – num dado plano e para uma certa
frequência – seja traçado com passo de 1,0°, o
MF executaria essa tarefa em torno de 10 s e o
MCES, num período próximo a 3 min.
Por outro lado, para analisar a antena na
frequência f0 , o CST® levou 1h10min. Por isso, a
eficiência computacional, tanto do MF quanto do
MCES, é bem maior do que a dos métodos de
análise de onda completa, ou seja, o uso dessas
duas técnicas como direcionadores dos projetos é
bastante relevante para a economia de tempo e
de custo, sendo que este último fator se deve ao
fato de os métodos dispensarem, por exemplo,
máquinas
com
elevada
capacidade
de
processamento e armazenamento para rodarem.
Conclusão
-10
Diagrama normalizado (dB)
300°
60°
-20
-30
270°
90°
-20
240°
-10
210°
0
150°
180°
L-MF
120°
R-MF
L-MCES
R-MCES
®
L-CST
®
R-CST
Figura 17 Diagramas de irradiação circularmente
polarizados da antena com quatro provas – Plano xz
Tabela 4 Largura de feixe de -3 dB no plano xz
Técnica
Diagrama da
componente E0θθ
Diagrama da
componente E0φφ
MF
97°
83°
96°
82°
99°
82°
MCES
®
CST
Antes de encerrar esta seção, será apresentado
um comparativo entre os tempos demandados
pelo MF, pelo MCES e pelo CST®, para
determinar o diagrama de irradiação das antenas
de microfita esféricas com patch circular. Para
tanto, a antena com dois conectores analisada
anteriormente será tomada como referência. O
computador utilizado para executar os códigos do
MF e do MCES, implementados no pacote
Mathematica®, possui um processador Intel®
CoreTM i7 e memória instalada de 16,0 GB. Para
rodar o CST®, empregou-se uma workstation
com dois processadores Intel® Xeon® (6 núcleos
cada) e memória instalada de 48,0 GB.
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
Neste artigo, foram apresentadas duas técnicas
computacionalmente eficientes para traçar o
diagrama de irradiação de antenas de microfita
esféricas
circularmente
polarizadas.
Primeiramente, estabeleceu-se o formalismo
teórico para o modelo de fenda, baseado no
emprego do Teorema da Reciprocidade. Esse
mesmo formalismo pode ser estendido à análise
de antenas de microfita esféricas embutidas (flushmounted spherical microstrip antennas), realizada
através do MoM. Neste caso, o Teorema da
Reciprocidade é aplicado em duas regiões: no
volume externo à antena, semelhante ao
desenvolvimento feito neste trabalho, e no interior
da cavidade da antena.
Na sequência, descreveu-se o método da
corrente elétrica superficial. Essa técnica faz
emprego das funções de Green espectrais e, a
partir dela, pode-se construir a solução do MoM
para as antenas de microfita esféricas. Em
particular, para o cálculo das funções de Green
espectrais, utilizou-se um modelo circuital de
onda completa, cuja estratégia de construção
pode ser aplicada a outras topologias de
estruturas multicamadas esféricas, evitando,
dessa forma, os erros associados aos cálculos
executados manualmente.
Para estimar a distribuição do campo de franja
do patch da antena, na direção tangente à
esfera de terra, bem como a densidade de
corrente elétrica superficial sustentada pelo
patch, empregou-se o modelo da cavidade
ressonante, dada a sua simplicidade numérica.
Introduziu-se um novo procedimento – que
dispensa inspeção gráfica – para o cálculo e a
ordenação das raízes da equação característica
transcendental que define os modos que podem
se estabelecer na cavidade equivalente. Esse
procedimento também é passível de ser
61
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
utilizado na análise de antenas de microfita
esféricas embutidas com patch circular (flushmounted spherical-circular microstrip antennas),
para enumerar os modos TE e TM presentes na
cavidade da antena.
Duas configurações de antenas circularmente
polarizadas foram analisadas: uma alimentada
por duas pontas de prova e outra alimentada por
quatro
pontas
de
prova,
excitadas
sequencialmente. Conforme observado, a
configuração
com
maior
número
de
alimentadores exibiu menor nível de polarização
cruzada na direção broadside.
Os resultados fornecidos pelo MF e pelo MCES
foram validados por meio da comparação de
seus dados de saída com aqueles gerados em
simulações conduzidas no software CST®. Como
notado, há elevada correlação entre eles.
Todavia, o tempo computacional demandado
tanto pelo modelo de fenda quanto pelo método
da corrente elétrica superficial é bem menor do
que aquele requerido pelo CST® para analisar os
irradiadores em questão. Além disso, os códigos
implementados não necessitam ser executados
em computadores com grandes capacidades de
processamento e armazenamento, diferentemente
dos simuladores de onda completa, como é caso
do CST®. Por isso, contribuem para a redução do
tempo e do custo de projeto.
Agradecimentos
O autor agradece o apoio dado a este trabalho,
desenvolvido no âmbito do Projeto Antenas
Adaptativas e Módulos de Radiofrequência para
Redes Sem Fio Banda Larga Aplicadas à
Segurança Pública, que contou com recursos do
Fundo para o Desenvolvimento Tecnológico das
Telecomunicações – FUNTTEL, do Ministério
das Comunicações, através do Convênio nº
01.09.0634.00 com a Financiadora de Estudos e
Projetos – FINEP/MCTI.
Referências
BALANIS, C. A. Advanced Engineering
Electromagnetics. New York: Wiley, 1989.
______. Antenna Theory: Analysis and Design.
3rd ed. New Jersey: Wiley-Interscience, 2005.
BASARI, B. et al. Antenna System for Land
Mobile Satellite Communications. In: DIODATO,
N. Satellite Communications. Rijeka: InTech,
2010. Ch. 2, p.33-58.
BUTKOV,
E.
Mathematical
Physics.
Massachusetts: Addison-Wesley, 1973.
CARSON, J. R. Reciprocal Theorems in Radio
Communication. Proceedings of the Institute of
Radio Engineers, v. 17, n. 6, p. 952-956, jun.
1929.
CHIBA, T.; SUZUKI, Y.; MIYANO, N.
Suppression of Higher Modes and Cross
62
Polarized Component for Microstrip Antennas. In:
IEEE ANTENNA AND PROPAGATION SOCIETY
INTERNATIONAL
SYMPOSIUM,
1982,
Albuquerque. Symposyum Digest... Piscataway:
IEEE, 1982. v. 20, p. 285-288.
CST 2012, CST. Material de divulgação.
Disponível em: <http://www.cst.com/>. Acesso
em: 25 set. 2012.
DERNERYD, A. G. A Theoretical Investigation of
the Rectangular Microstrip Antenna Element.
IEEE
Transactions
on
Antennas
and
Propagation, v. 26, n. 4, p. 532-535, jul. 1978.
DESCHAMPS, G.; SICHAK, W. Microstrip
Microwave Antennas. In: SYMPOSIUM ON THE
USAF
ANTENNA
RESEARCH
AND
DEVELOPMENT PROGRAM, 3. out. 1953,
Robert Allerton Park. Proceedings... Monticello:
University of Illinois, 1953.
ELLIOTT, R. S. Antenna Theory and Design.
New Jersey: Wiley-Interscience, 2003.
FERREIRA, D. B.; LACAVA, J. C. S. An Efficient
Approach to the Analysis and Synthesis of
Spherical-Circular Thin Microstrip Antennas. In:
ANTENNAS AND PROPAGAT. SOCIETY INT.
SYMPOSIUM, July 2010, Toronto, Canada.
Proceedings... New York: IEEE, 2010.
______. Microstrip Antennas Conformed onto
Spherical Surfaces. In: NASIMUDDIN, N.
Microstrip Antennas. Rijeka: InTech, 2011. Ch.
5, p. 83-108.
GARG, R. et al. Microstrip Antenna Design
Handbook. Massachusetts: Artech House, 2001.
GIANG, T. V. B. A Systematic Approach to the
Analysis of Spherical Multilayer Structures
and its Applications. 2005. 85f. Tese
(Doutorado em Engenharia Elétrica) – Technical
University of Hamburg, Harburg, Germany.
GRADSHTEYN, I. S.; RYZHIK, I. M. Table of
Integrals, Series and Products. 7th ed.
Burlington: Elsevier, 2007.
HAMMER, P. et al. A Model for Calculating the
Radiation Field of Microstrip Antennas. IEEE
Transactions on Antennas and Propagation, v.
27, n. 2, p. 267-270, mar. 1979.
HARRINGTON,
R.
Time-Harmonic
Electromagnetic Fields. New York: McGrawHill, 1961.
HECKLER, M. V. T. Redes de Antenas de
Microfita Circularmente Polarizadas Moldadas
sobre Superfícies Cilíndricas. 2003. 129f.
Dissertação (Mestrado em Micro-ondas e
optoeletrônica) – Instituto Tecnológico de
Aeronáutica, São José dos Campos.
KISHK, A. A. Analysis of Spherical Annular
Microstrip Antennas. IEEE Transactions on
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
Técnicas para a determinação do diagrama de irradiação de antenas de microfita esféricas circularmente
polarizadas
Antennas and Propagation, v. 41, n. 3, p. 338343, mar. 1993.
LIMA, A. C. C.; DESCARDECI, J. R.; GIAROLA,
A. J. Microstrip Antenna on a Spherical Surface.
In: IEEE ANTENNA AND PROPAGATION
SOCIETY INTERNATIONAL SYMPOSIUM, 10.,
1991, London. Proceedings… New York: IEEE,
1991. v. 2, p. 820-823.
LO, Y. T.; SOLOMON, D.; RICHARDS, W. F.
Theory and Experiment on Microstrip Antennas.
IEEE
Transactions
on Antennas
and
Propagation, v. 27, n. 2, p. 137-145, mar. 1979.
Mathematica 8, Wolfram Research. Material de
divulgação.
Disponível
em:
<http://www.wolfram.com/mathematica/>. Acesso
em: 25 set. 2012.
MUNSON, R. E. Conformal Microstrip Antennas
and
Microstrip
Phased
Arrays.
IEEE
Abstract
Transactions on Antennas and Propagation,
v. 22, n. 1, p. 74-78, jan. 1974.
POZAR, D. M. A Reciprocity Method of Analysis
for Printed Slot and Slot-Coupled Microstrip
Antennas. IEEE Transactions on Antennas and
Propagation, v. 34, n. 12, p. 1439-1446, Dec.
1986.
SIPUS, Z. et al. Analysis of Spherical Arrays of
Microstrip Antennas Using Moment Method in
Spectral
Domain.
IEE
Proceedings
Microwaves, Antennas and Propagation,
v. 153, n. 6, p. 533-543, Dec. 2006.
TAM, W. Y.; LUK, K. M. Far Field Analysis of
Spherical-Circular Microstrip Antennas by Electric
Surface Current Models. IEE Proceedings H,
v. 138, n. 1, p. 98-102, Feb. 1991.
VOLAKIS,
J.
L.
Antenna
Engineering
Handbook. 4th ed. New York: McGraw-Hill, 2007.
This paper presents two numerically efficient techniques for evaluating the radiation pattern of circularlypolarized spherical microstrip antennas. The first technique consists of the aperture model – widely used
for the analysis of electrically thin planar and cylindrical microstrip antennas –; the other is the electric
surface current method, which uses the Green's functions in the spectral domain. Both techniques are
associated with the cavity model in order to guarantee their computational efficiency. The Reciprocity
Theorem is employed to derive the aperture model equations, as well as a full-wave circuital model is
used to evaluate the spectral Green's functions. Besides, a new procedure – which avoids graphical
inspection – is introduced to accelerate the calculation of the roots of the transcendental characteristic
equation that establishes the resonant modes in the equivalent cavity. The antennas studied along the
paper are also simulated in the CST package to validate the results obtained with the techniques
addressed.
Key words: Spherical microstrip antennas. Circular polarization. Aperture model. Electric surface current
method. Cavity model.
Cad. CPqD Tecnologia, Campinas, v. 9, n.1, p. 47-64, jan./jun. 2013
63