Teoria da Homologia Singular - DM

Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
Teoria da Homologia Singular
Autor: Alexandre Baldan
Orientador: Prof. Dr. Dirceu Penteado
Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso B
Curso: Bacharelado e Licenciatura Plena em Matemática
Professores Responsáveis: Dra. Karina Schiabel Silva
Dr. Tomas Edson Barros
Dra. Vera Lúcia Carbone
São Carlos, 20 de janeiro de 2012.
Teoria da Homologia Singular
Autor: Alexandre Baldan
Orientador: Prof. Dr. Dirceu Penteado
Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso B
Curso: Bacharelado e Licenciatura Plena em Matemática
Professores Responsáveis: Dra. Karina Schiabel Silva
Dr. Tomas Edson Barros
Dra. Vera Lúcia Carbone
Instituição: Universidade Federal de São Carlos
Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Matemática
São Carlos, 20 de janeiro de 2012.
Alexandre Baldan
Prof. Dr. Dirceu Penteado
Aos meus pais,
Milton e Abigail,
e a minha namorada,
Drieli, dedico.
Agradecimentos
Agradeço primeiramente a Deus por me proporcionar mais essa alegria de chegar até aqui.
Agradeço aos meus familiares, meus pais Milton e Abigail, meus irmãos Juliano e Marcelo,
minha avó Adelina, meu tio Jayme Fallaci e minha tia Rosa, que sempre me apoiaram e
me incentivaram a ir além com os estudos. À minha namorada Drieli, que todos os dias
me incentiva e me dá forças para seguir em busca dos meus objetivos e luta comigo para
alcançá-los, aos meus amigos Jonatha, Ricardo e Ruben, que sempre estiveram presentes.
Agradeço também a todos os meus amigos do grupo PET-Matemática, que nesses
3 anos fizeram parte não apenas de minha formação acadêmica, mas também de minha
formação como pessoa, proporcionando novas amizades e um notável incentivo a realização
de trabalhos em grupo, proporcionando um desenvolvimento diferenciado.
Ao nosso tutor do grupo PET-Matemática, Prof. Dr. Pedro Luiz Aparecido Malagutti, que contribuiu de forma incomensurável para o desenvolvimento de todos, sempre
nos incentivando ao estudo tanto do bacharelado quanto ao da licenciatura em matemática, estando sempre preocupado em nos atender quando precisamos e com o nosso
desenvolvimento acadêmico, se dispondo a nos auxiliar em nossos estudos.
Ao meu orientador deste trabalho, Prof. Dr. Dirceu Penteado, que contribuiu muito
para o meu desenvolvimento acadêmico e científico, me aconselhando e me orientando
também em outros trabalhos como os de Iniciação Científica no início de minha graduação.
Resumo
Este trabalho tem como objetivo principal apresentar a Teoria da Homologia Singular e
uma de suas principais propriedades que é a sua invariância por homotopia. Tal invariância
significa que se duas aplicações contínuas entre espaços topológicos são homotópicas então
temos que elas induzem uma homotopia de cadeia no nível singular. Para tanto, faremos
uso de métodos de demonstrações bem difundidos como o método dos modelos acíclicos,
que é devida a Eilenberg-McLane, e da “construção cone”. Faremos também um estudo
sobre alguns casos especiais de aplicação da homologia singular, como, por exemplo,
mostrar que os grupos de homologia singular reduzida de um ponto ou de conjuntos
convexos de Rn são triviais.
Palavras-chave: Homologia Singular, Homotopia, Sequências Exatas, Funtores.
ix
Sumário
Introdução
xv
1 Conceitos Preliminares
1
1.1
Categorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Funtores Covariantes e Contravariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Homotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2 Complexos de Cadeia e Homologia
7
2.1
Complexos de Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Homologia de um Complexo de Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
Aplicações de Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.4
Induzida em Homologia de Aplicações de Cadeia . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.5
Complexos de Cadeia Exatos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.6
O Cone de uma Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6.1
A Suspensão de um Complexo de Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 O Homomorfismo de Conexão de uma Sequência Exata de Aplicações
de Cadeia
17
3.1
3.2
Complexos de Cadeia: Mais Alguns Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.1
Subcomplexos de Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.2
Complexos de Cadeia Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Sequências Exatas de Homologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1
O Homomorfismo de Conexão ∂∗ : Hn K 00 −→ Hn−1 K 0 . . . . . . . . 20
4 Homotopia de Cadeias
25
4.1
Homologia e Homotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2
Complexos de Cadeia Contráteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3
Complexos de Cadeia Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3.1
Complexos de Cadeia Curtos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Teoria da Homologia Singular
33
5.1
Simplexos Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2
Aplicações Lineares de ∆q para Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
x
Sumário
5.3
5.4
5.5
5.6
5.2.1 O Operador Face . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
O Complexo de Cadeia Singular . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Simplexos Singulares e Seus Grupos Abelianos Livres
5.3.2 O Operador Bordo e o Complexo de Cadeia Singular
5.3.3 A Aplicação de Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . .
Generalização para Pares de Espaços Topológicos . . . . . .
A Homologia Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algumas Aplicações e Casos Especiais . . . . . . . . . . . .
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34
35
35
35
36
37
38
40
6 Teoria da Homotopia entre Espaços Topológicos e Homotopia de Cadeias
45
Referências Bibliográficas
51
xi
Lista de Figuras
5.1
Projeção de σ sobre P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
xiii
Lista de Tabelas
5.1
1-simplexo padrão e 2-simplexo padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
xv
Introdução
Com o intuito de apresentarmos um estudo sobre a Teoria da Homologia Singular e provarmos uma de suas principais propriedades que é a sua invariância por homotopia, começaremos o nosso trabalho com um estudo sobre alguns conceitos básicos e essenciais
para o desenvolvimento deste, tais como Categorias, Categorias Duais, Categorias Produtos, Subcategorias Incompletas e Completas, Funtores Covariantes, Contravariantes e de
Duas Variáveis. Ainda nesse sentido, estudaremos a Teoria da Homotopia entre espaços
Topológicos desenvolvendo suas principais propriedades.
No capítulo 2 estudaremos detalhadamente vários conceitos que envolvem o conceito
de Complexos de Cadeia, tais como a Homologia de um Complexo de Cadeia, Aplicação
de Cadeia, Complexos de Cadeia Exatos, O Cone de uma Aplicação e a Suspensão de um
Complexo de Cadeia.
No capítulo 3 apresentaremos mais alguns desses conceitos tais como Subcomplexos
de Cadeia e Complexos de Cadeia Quocientes, e assim, desenvolveremos os conceitos de
sequências exatas de homologia e de Homomorfismo de conexão de uma sequência exata
de aplicações de cadeia.
No capítulo 4 estudaremos os conceitos de Homotopia de Cadeia, Complexos de Cadeia
Contráteis, Complexos de Cadeia Livres e Complexos de Cadeia Curtos.
No capítulo 5 transferiremos todos esses conceitos anteriores estudados para o nível
Singular e apresentaremos a Teoria da Homologia Singular.
No último capítulo, provaremos que uma homotopia no nível de espaços topológicos
induz uma homotopia de cadeia no nível singular.
1
Capítulo 1
Conceitos Preliminares
1.1
Categorias
Definição 1.1 (Categoria). Uma categoria C é constituída do que segue:
(i) Uma classe de objetos, denotados por Ob(C).
(ii) Para cada par X, Y de objetos, tem-se um conjunto de morfismos de X para Y ,
denotado por C(X, Y ) ou [X, Y ].
(iii) Para cada tripla ordenada de objetos X, Y, Z, tem-se uma aplicação de
C(X, Y )×C(Y, Z) para C(X, Z) chamada de composição. A imagem de (α, β) ∈
C(X, Y )×C(Y, Z) será denotada por β ◦ α ou βα e será chamada de composta de α
por β.
E ainda, deve valer os seguintes dois axiomas:
(iv) (Associatividade):
Para todo morfismo α, β e γ tais que
α
β
γ
X→Y →Z→W
tem-se
γ ◦ (β ◦ α) = (γ ◦ β) ◦ α.
(v) Para cada objeto X ∈ Ob(C) , existe um morfismo identidade id = idX : X −→
X tal que
α ◦ idX = α e idY ◦ α = α,
sempre que α : X −→ Y .
Observação 1.2. O morfismo identidade descrito no axioma (v) é facilmente verificado que
é único, pois id1X = id1X ◦ id2X = id2X .
Observação 1.3. Quando não houver perigo de confusão, denotaremos também uma classe
de objetos simplesmente por C ao invés de Ob(C).
2
1. Conceitos Preliminares
Vejamos alguns exemplos de categorias:
Exemplo 1.4. A categoria dos conjuntos, onde C=Sets será sua notação. Seus objetos são
conjuntos arbitrários, ou seja, Ob(Sets)= classe de todos os conjuntos. Seus morfismos são
aplicações, ou seja, [X, Y ] = conjunto de todas as aplicações de X para Y , e a composição
tem o significado usual.
Exemplo 1.5. A categoria dos grupos abelianos, onde C=A G será sua notação. Nesta,
Ob(A G)= classe de todos os grupos abelianos, [X, Y ] =Hom(X, Y ) é o conjunto de todos
os homomorfismos de X para Y , e a composição tem o significado usual.
Exemplo 1.6. A categoria dos espaços topológicos, onde C=Top será sua notação. Nesta
Ob(Top)= classe de todos os espaços topológicos, [X, Y ] = conjunto de todas as aplicações
continuas de X para Y , e a composição tem o significado usual.
Exemplo 1.7. A categoria homotopia, onde C=Htp será sua notação. Esta categoria
será estudada na seção 1.3. Seus objetos são os mesmos da categoria Top, mas seus
morfismos não são aplicações no sentido usual.
Definição 1.8 (Categoria Dual ou Oposta). Seja C uma categoria. Definimos a categoria
dual, ou oposta, de C, denotada por C op , sendo tal que
Ob(C op ) = Ob(C), C op (X, Y ) = C(Y, X) e a composição β∗α = α◦β, ∀ α, β ∈ C op (X, Y ),
onde ∗ denota a composição em C op e ◦ a composição em C.
Definição 1.9 (Categoria Produto). Sejam C1 e C2 categorias. Definimos a categoria
produto C=C1 ×C2 tal que:
(i) Ob(C) = Ob(C1 ) × Ob(C2 ) = classe de todos os pares (X1 , X2 ), onde Xi ∈ Ob(Ci ).
(ii) C((X1 , X2 ), (Y1 , Y2 )) =C1 (X1 , Y1 )×C2 (X2 , Y2 ).
(iii) (β1 , β2 ) ◦ (α1 , α2 ) = (β1 ◦ α1 , β2 ◦ α2 ).
Definição 1.10 (Subcategoria (Incompleta)). Sejam C ’ e C categorias. A categoria C ’
é chamada uma subcategoria (incompleta) de C se satisfaz as seguintes condições:
(i) Ob(C ’) ⊂ Ob(C).
(ii) C ’(X 0 , Y 0 ) ⊂ C(X 0 , Y 0 ), ∀ X 0 , Y 0 ∈ Ob(C ’).
(iii) As composições de α ∈ C ’(X 0 , Y 0 ) por β ∈ C ’(Y 0 , Z 0 ) coincidem em C ’ e em C .
(iv) Os morfismos identidades de X ∈ Ob(C ’) coincidem em C ’ e em C .
E se além disso, C ’(X 0 , Y 0 ) =C(X 0 , Y 0 ), ∀ X 0 , Y 0 ∈ Ob(C ’), então C ’ é chamado de
subcategoria completa de C.
Observação 1.11. Observe que uma subcategoria completa C ’ de uma categoria C é completamente determinada pela classe de seus objetos, Ob(C ’). Por exemplo, a categoria de
todos os conjuntos finitos (e todas as aplicações) é uma subcategoria completa de Sets.
1.2. Funtores Covariantes e Contravariantes
3
Observação 1.12. Como exemplos de subcategorias incompletas, tomemos para os exemplos 1.4, 1.5 e 1.6 dados anteriormente, C ’(X 0 , Y 0 ) = conjunto de todos os morfismos
injetivos (ou todos sobrejetivos), e Ob(C ’) = Ob(C).
Definição 1.13. Sejam α ∈ C(X, Y ) e β ∈ C(Y, X) morfismos tal que βα = id. Então,
dizemos que β é um inverso à esquerda de α e que α é um inverso à direita de β.
Observação 1.14. Veja que se α admite um inverso à esquerda βl e também um inverso à
direita βr então temos que
βl = βl id = βl (αβr ) = (βl α)βr = idβr = βr .
Neste caso, dizemos que α é uma equivalência, ou um isomorfismo, e seu inverso,
ou isomorfismo inverso, βl = βr é comumente denotado por α−1 .
Desse modo, diremos que dois objetos X, Y ∈ Ob(C) são equivalentes, ou isomorfos,
se existe uma equivalência α ∈ C(X, Y ). Por exemplo, uma equivalência em C=Sets é uma
aplicação bijetora, uma equivalência em C=Top é um homeomorfismo e uma equivalência
em C=A G é um isomorfismo no sentido usual.
1.2
Funtores Covariantes e Contravariantes
Definição 1.15 (Funtor Covariante). Sejam C e D duas categorias. Dizemos que
T :C−→ D é um funtor, ou um funtor covariante, se é constituído de:
(i) Uma aplicação T : Ob(C) −→ Ob(D).
(ii) Aplicações T = TXY :C(X, Y ) −→D(T X, T Y ), para cada X, Y ∈ Ob(C), que
preservam composições e identidades, ou seja, satisfaz ainda
β
α
(iii) T (β ◦ α) = (T β) ◦ (T α), para todos morfismos X −→ Y −→ Z em C, e
(iv) T (idX ) = idT X , ∀ X ∈ Ob(C).
Definição 1.16 (Funtor Contravariante). Sejam C e D duas categorias. Dizemos que
T :C−→ D é um cofuntor, ou um funtor contravariante, se é constituído de:
(i) Uma aplicação T : Ob(C) −→ Ob(D).
(ii) Aplicações T :C(X, Y ) −→D(T Y, T X), para cada X, Y ∈ Ob(C), que preservam
composições e identidades, ou seja, satisfaz ainda
β
α
(iii) T (β ◦ α) = (T α) ◦ (T β), para todos morfismos X −→ Y −→ Z em C, e
(iv) T (idX ) = idT X , ∀ X ∈ Ob(C).
Observação 1.17. Pela definição anterior, temos que um cofuntor de C para D é um
funtor de C para a categoria dual D op , ou equivalentemente, um funtor de C op para D.
Definição 1.18 (Funtor de Duas Variáveis). Um funtor T :C1 ×C2 −→D, onde C1 ×C2
é uma categoria produto, veja definição 1.9, é chamado um funtor de duas variáveis
(com valores em D).
4
1. Conceitos Preliminares
Observação 1.19. Os funtores possuem um papel fundamental para a compreensão completa deste trabalho e sendo assim, o leitor irá se deparar com diversos deles durante
sua leitura. A critério de ilustrar como um exemplo neste momento, de forma trivial,
consideremos o funtor identidade T = ID :C−→C dado por ID(X) = X, ∀ X ∈ Ob(C) e
ID(α) = α, ∀ α ∈ C(X, Y ).
Observação 1.20. Observe que se T :C−→D e U :D−→E são funtores então a composição U T :C−→E definida por (U T )(X) = U (T (X)), ∀ X ∈ Ob(C), e (U T )(α) =
U (T (α)), ∀ α ∈ C(X, Y ), também é um funtor.
1.3
Homotopia
Definição 1.21 (Homotopia). Sejam X e Y espaços topológicos e I = [0, 1] ⊂ R o
intervalo unitário. Então uma homotopia ou deformação de X para Y é uma aplicação
contínua Φ : X × [0, 1] −→ Y .
Em uma forma mais intuitiva, observemos que para cada t ∈ [0, 1] temos uma aplicação contínua Φt : X −→ Y, com Φt (x) = Φ(x, t). Se tomarmos a família a um parâmetro
{Φt }0≤t≤1 claramente isso determina Φ, e vice-versa. Portanto, {Φt }0≤t≤1 também é chamada uma homotopia ou deformação.
Uma forma clara de compreendermos o que é uma homotopia de um espaço topológico
X a outro Y , é fixando x ∈ X e variando t ∈ [0, 1], assim podemos pensar em Φ(x, t) como
sendo a trajetória que x descreve em Y durante a unidade de tempo [0, 1]. A deformação
Φ é então uma família de tais trajetórias em Y , indexadas pelo parâmetro x ∈ X.
Definição 1.22 (Homotopia de Aplicações Contínuas). Sejam f0 , f1 : X −→ Y duas
aplicações contínuas, onde X e Y são espaços topológicos. Então, f0 e f1 são ditas serem
homotópicas se existe uma deformação {Φt : X → Y }0≤t≤1 tal que f0 = Φ0 e f1 = Φ1
e escrevemos Φ : f0 ' f1 , ou simplesmente f0 ' f1 . Também dizemos que Φ é uma
deformação de f0 para f1 .
Ainda, se A ⊂ X e Φ : X × [0, 1] −→ Y é tal que Φt |A = Φ0 |A, ∀ t ∈ [0, 1], dizemos
que Φ é uma homotopia relativa a A e escrevemos Φ : f0 ' f1 rel A. E também, se
f1 for uma aplicação constante, dizemos que a homotopia Φ : f0 ' f1 é uma homotopia
nula, e f0 = Φ0 é dita ser homotopicamente nula.
Proposição 1.23. A relação de homotopia ' é uma relação de equivalência.
Demonstração. De fato, consideremos a homotopia constante {Φt = f }0≤t≤1 , então claramente Φ é uma deformação de f para f , ou seja, f ' f e logo ' é reflexiva. Para a
propriedade de simetria basta observarmos que se {Φt } : f0 ' f1 é uma deformação de f0
para f1 então tomamos {Φ1−t } : f1 ' f0 que é uma deformação de f1 para f0 e logo ' é
simétrica. Para a propriedade de transitividade vejamos que:
1.3. Homotopia
5
Se Φ0 : f0 ' f1 e Φ00 : f1 ' f2 , então tomamos Φ : f0 ' f2 tal que

Φ0 , para 0 ≤ 2t ≤ 1
2t
Φt =
Φ00 , para 1 ≤ 2t ≤ 2
2t−1
,
logo ' é transitiva.
Definição 1.24 (Classe de Homotopia de Aplicações Contínuas). A classe de equivalência
de uma aplicação contínua f : X −→ Y , onde X e Y são espaços topológicos, sob ', é
chamada classe de homotopia de f , e será denotada por [f ].
Proposição 1.25. A relação de homotopia ' é compatível com a composição,i.e., se
f0 , f1 : X −→ Y e g0 , g1 : Y −→ Z são aplicações contínuas tais que f0 ' f1 e g0 ' g1 ,
então g0 ◦ f0 ' g1 ◦ f1 .
Demonstração. Ora, como a composição de aplicações contínuas é ainda contínua, se
Φ0 : f0 ' f1 e Φ00 : g0 ' g1 , então tomemos Φ : g0 ◦ f0 ' g1 ◦ f1 tal que Φt = Φ00t ◦ Φ0t .
Assim, podemos fazer a seguinte definição:
Definição 1.26 (Composição de Classes de Homotopia de Aplicações Contínuas). Sejam
[f ] e [g] classes de homotopia de aplicações contínuas. Definimos a composição de [f ]
por [g] por [g] ◦ [f ] = [g ◦ f ].
Desse modo, acabamos de mostrar que espaços topológicos e classes de homotopia de
aplicações contínuas formam uma categoria, veja definição 1.1, e passaremos a denotá-la
por Htp.
Observação 1.27. Como mencionamos no exemplo 1.7, Ob(Htp) = Ob(Top) = classe de
todos os espaços topológicos e Htp(X, Y ) = {[f ] : f ∈ Top(X, Y )} = conjunto de todas
as classes de homotopia de aplicações contínuas.
Se atribuirmos a cada aplicação contínua f ∈ Top(X, Y ) sua classe de homotopia [f ] ∈
Htp(X, Y ) obteremos um funtor
π : Top −→ Htp tal que πX = X, ∀ X ∈ Ob(Top), e πf = [f ].
Uma ferramenta de extrema importância em Topologia Algébrica são os funtores
t :Top−→A, onde A é uma categoria algébrica como grupos, anéis, e outros. Esses funtores em geral são invariantes por homotopia, ou seja, se temos que f0 ' f1 ⇒ tf0 = tf1 .
Equivalentemente, temos que t se fatora por meio de π, ou seja, t = t0 ◦ π, onde
π
t0
Top−→Htp−→A. Desse modo, temos que t perde todas as informações sobre Top que
foram perdidas por π.
Em geral em Htp, também não se faz distinção entre espaços topológicos X e Y se
eles são equivalentes, ou seja, se existem aplicações f : X −→ Y e g : Y −→ X tais que
6
1. Conceitos Preliminares
f g ' idY e gf ' idX . Essas aplicações são chamadas equivalências de homotopia
(recíprocas), e X e Y são chamados homotopicamente equivalentes, em símbolos
X 'Y.
Os funtores t como descrevemos acima assumem o mesmo valor sobre espaços homotopicamente equivalentes, pois transformam equivalências de homotopia f : X ' Y em
equivalências tf : tX ∼
= tY .
Definição 1.28 (Par de Espaços). Um par de espaços (X, A) consiste de um espaço
X junto com um subespaço A.
Definição 1.29 (Aplicação de Pares). Sejam (X, A) e (Y, B) pares de espaços. Uma
aplicação de pares f : (X, A) −→ (Y, B) é uma aplicação f : X −→ Y tal que
f (A) ⊂ B.
Observação 1.30. Se (X, A) e (Y, B) são pares de espaços topológicos, podemos tomar a
aplicação de pares f : (X, A) −→ (Y, B) como uma aplicação contínua f : X −→ Y tal
que f (A) ⊂ B, e assim temos que pares de espaços e suas aplicações de pares formam
uma nova categoria, sob a composição de aplicações usual, que passaremos a denotar por
Top(2) .
Além disso, se atribuirmos a cada espaço X ∈ Ob(Top) o par de espaços (X, ∅) ∈
Ob(Top(2) ) e a cada aplicação f ∈ Top(X, Y ) a aplicação de pares correspondente em
Top(2) ((X, ∅), (Y, ∅)), obtemos um funtor T :Top−→Top(2) . Este funtor então, identifica
Top como uma subcategoria completa de Top(2) , veja o último parágrafo da definição 1.10,
ou seja, podemos escrever X = (X, ∅).
Observação 1.31. Triplas, etc., de espaços, e aplicações entre eles, podem ser definidos de
maneira análoga a que fizemos para pares de espaços, por exemplo, a tripla de espaços
(X, A, B) consiste de um espaço X, um subespaço A e um subespaço B de A.
Podemos também estender todas as noções que fizemos anteriormente para homotopia
e categorias, para pares, triplas, etc., de espaços topológicos, como abaixo:
Uma homotopia entre aplicações de pares contínuas f0 , f1 : (X, A) −→ (Y, B) é, por
definição, uma família a um parâmetro Φt : (X, A) −→ (Y, B), com 0 ≤ t ≤ 1, como
em 1.21 e em 1.22, com Φ0 = f0 e Φ1 = f1 , e escrevemos f0 ' f1 . Segue então que
' é uma relação, como em 1.23, que é compatível com a composição, como em 1.25.
Identificando aplicações homotópicas podemos definir a categoria homotopia Htp(2) e
um funtor
π : Top(2) −→ Htp(2) , tal que π(X, A) = (X, A), e πf = [f ] = classe de homotopia de f.
7
Capítulo 2
Complexos de Cadeia e Homologia
2.1
Complexos de Cadeia
Sejam J ⊆ Z um conjunto de índices e λ um domínio ideal principal.
Definição 2.1 (Complexo de Cadeia). Um complexo de cadeia é um par
(C = {Cn }n∈J , ∂), onde C é um Λ-módulo graduado e ∂ : C −→ C é um morfismo
de grau −1 tal que ∂∂ = 0 (Refere-se a composição de morfismos ∂ que é trivial em cada
Cn ).
Em outras palavras, um complexo de cadeia (C, ∂) é uma sequência
∂n+1
∂
n
· · · −→ Cn+1 −→ Cn −→
Cn−1 −→ · · ·
de λ-módulos Cn e morfismos ∂n de grau −1, chamados operadores bordos, tal que
∂n ∂n+1 = 0 ∀ n ∈ J.
Definamos Zn (C) = Ker(∂n ) = ∂n−1 (0) e Bn (C) = Im(∂n+1 ) = ∂n+1 (Cn+1 ). Assim,
passaremos a denominar de n-cadeias os elementos de Cn , de n-ciclos os elementos de
Zn (C) e de n-bordos os elementos de Bn (C).
2.2
Homologia de um Complexo de Cadeia
A condição de que ∂n ∂n+1 = 0, ∀ n ∈ J, em um complexo de cadeia (C = {Cn }n∈J , ∂),
significa que Bn (C) ⊂ Zn (C), ou seja, Bn (C) é um λ-submódulo de Zn (C), e assim
Zn (C)
e definimos:
podemos formar o λ-módulo quociente B
n (C)
Definição 2.2 (n-ésimo Grupo de Homologia de um Complexo de Cadeia). Dizemos que
Hn (C) é o n-ésimo grupo de homologia do complexo de cadeia (C, ∂) se
Hn (C) =
Zn (C)
,
Bn (C)
e seus elementos são chamados de classes n-ésimas de homologia.
8
2. Complexos de Cadeia e Homologia
Pela definição anterior, definição 2.2, temos que classes de homologia são classes de
equivalência de ciclos, e assim, dois ciclos zn , zn0 ∈ Zn (C) são equivalentes, se e somente
se, as suas diferença é um bordo, mais formalmente,
zn ≡ zn0 (mod Bn (C)) ⇔ zn0 − zn ∈ Bn (C).
A classe de homologia de um ciclo z será denotada por [z].
2.3
Aplicações de Cadeia
Definição 2.3 (Aplicação de Cadeia). Sejam (C, ∂) e (C 0 , ∂ 0 ) complexos de cadeia. Um
morfismo f : C 0 −→ C de grau zero é chamado de uma aplicação de cadeia se o
diagrama
C0
∂0
C
f
/
/
C
0
f
∂
C
comuta, ou seja, vale que ∂f = f ∂ 0 , ou mais especificamente que ∂n fn = fn−1 ∂n0 ∀ n ∈
J ⊆ Z.
Deste modo, temos que se f e f 0 são aplicações de cadeia tais que
f0
f
C 00 −→ C 0 −→ C,
então a composta f f 0 : C 00 −→ C definida por (f f 0 )n = fn fn0 também é uma aplicação de
cadeia. De fato, como f e f 0 são aplicações de cadeia, temos respectivamente que valem
0
∂n00 ∀ n ∈ J ⊆ Z e assim,
(i) ∂n fn = fn−1 ∂n0 e (ii) ∂n0 fn0 = fn−1
(i)
def.
∂n (f f 0 )n = ∂n (fn fn0 ) = (∂n fn )fn0 = (fn−1 ∂n0 )fn0 =
(ii)
def.
0
0
∂n00 ) = (fn−1 fn−1
)∂n00 =
= fn−1 (∂n0 fn0 ) = fn−1 (fn−1
def.
= (f f 0 )n−1 ∂n00 .
Além disso, acabamos de mostrar que complexos de cadeia e aplicações de cadeia
formam uma categoria, veja definição 1.1, e assim, passaremos a denotá-la por ∂A G.
Um resultado imediato que temos é que uma aplicação de cadeia f é um isomorfismo
em ∂A G se, e somente se, cada fn é um isomorfismo em A G.
2.4
Induzida em Homologia de Aplicações de Cadeia
Seja f : C 0 −→ C uma aplicação de cadeia. A relação de que (i) ∂n fn = fn−1 ∂n0 implica
que fn (Zn (C 0 )) ⊂ Zn (C) e que fn (Bn (C 0 )) ⊂ Bn (C), pois para quaisquer zn0 ∈ Zn (C 0 ) e
2.4. Induzida em Homologia de Aplicações de Cadeia
9
b0n ∈ Bn (C 0 ) temos:
(i)
0 = ∂n0 (zn0 ) = (fn−1 ∂n0 )(zn0 ) = (∂n fn )(zn0 ) ⇒ fn (zn0 ) ∈ Zn (C),
e
0
0
⇒
(b0n+1 ), para algum b0n+1 ∈ Cn+1
b0n = ∂n+1
(i)
0
⇒ fn (b0n ) = (fn ∂n+1
)(b0n+1 ) = (∂n+1 fn+1 )(b0n+1 ) ⇒ fn (b0n ) ∈ Im(∂n+1 ) = Bn (C).
0
Zn (C )
0
Portanto, se tomarmos os quocientes B
0 = Hn (C ) e
n (C )
induz um morfismo bem definido de grau zero
Zn (C)
Bn (C)
= Hn (C) temos que f
Hn f : Hn (C 0 ) −→ Hn (C) tal que (Hn f )[zn0 ] = [fn (zn0 )].
Se f f 0 é uma aplicação de cadeia que é dada pela composição de duas aplicações de
cadeia f e f 0 , temos que
def.
def.
def.
def.
def.
def.
(Hn (f f 0 ))[zn00 ] = [(f f 0 )n (zn00 )] = [(fn fn0 )(zn00 )] =
= [fn (fn0 (zn00 ))] = Hn f [fn0 (zn00 )] =
def.
= (Hn f Hn f 0 )[zn00 ].
Além disso, se tomarmos f = idC : C −→ C temos que
def.
(Hn (idC ))[zn ] = [idC (zn )] = [zn ] ⇒ Hn (idC ) = idHn (C) .
Portanto, acabamos de mostrar que a homologia é um funtor que vai da categoria
∂A G para a categoria A G, veja definição 1.15, ou seja,
Hn : ∂A G −→ A G.
Observação 2.4. Para facilitar a notação em alguns casos, denotaremos Hn f por f∗ .
Pensando em funtores, se tomarmos os ciclos Z(C) = {Zn (C)}n∈J , os bordos B(C) =
{Bn (C)}n∈J , ou a homologia H(C) = {Hn (C)}n∈J de um complexo de cadeia, temos
claramente que Z, B e H são funtores covariantes da categoria ∂A G para a categoria GA G
de grupos abelianos graduados, cujos morfismos ϕ : G −→ G0 , com G, G0 ∈ Ob(GA G),
desta categoria são sequências ϕn : Gn −→ G0n de homomorfismos ordinários.
Além disso, podemos realizar várias incorporações de categorias, como por exemplo:
Cada grupo abeliano graduado G ∈ GA G pode se tornar um complexo de cadeia bastando
tomarmos ∂ = 0. Isto define uma incorporação GA G ⊂ ∂A G. Vale notar que dado G ∈
GA G, o complexo de cadeia (G, ∂ = 0) é tal que Z(G) = G, B(G) = 0 e H(G) = G.
10
2. Complexos de Cadeia e Homologia
Outra incorporação que podemos fazer é definindo o que segue:
Definição 2.5. Seja A um grupo abeliano e k ∈ Z. Definimos e denotamos por (A, k) o
grupo abeliano graduado tal que (A, k)n = A se n = k, e (A, k)n = 0 se n 6= k, ou seja,
(A, k) é concentrado no nível k, e igual a A neste.
Portanto, pela definição acima, temos uma incorporação A G ⊂ GA G.
2.5
Complexos de Cadeia Exatos
Definição 2.6 (Complexo de Cadeia Exato). Seja (C = {Cn }n∈J , ∂) um complexo de
cadeia. Dizemos que (C, ∂) é um complexo de cadeia exato, ou acíclico, se e somente
se, Ker(∂n ) = Im(∂n+1 ), ∀ n ∈ J, ou seja, se e somente se, Hn (C) = 0, ∀ n ∈ J.
Observação 2.7. O termo acíclico empregado na definição anterior, refere-se ao fato de que
neste complexo de cadeia não há mais ciclos além dos bordos, em cada nível n, ∀ n ∈ J.
Desse modo, homologia então pode ser vista como uma medida para a falta de exatidão
de um complexo de cadeia.
Definição 2.8 (Soma Direta de Complexos de Cadeia). Seja {(C λ , ∂ λ )}λ∈A uma família
de complexos de cadeia. Vamos definir a soma direta dos complexos de cadeia desta
M
família, denotada por
(C λ , ∂ λ ) ∈ ∂A G, do seguinte modo:
λ
!
M
λ
M
λ
(C , ∂ ) :=
λ
λ
C ,∂
"
, onde
λ
#
M
C
λ
λ
=
n
M
Cnλ e ∂n {cλ } = {∂nλ (cλ )},
λ
ou seja, tomamos a soma direta dos módulos graduados C λ em cada nível n e deixamos
M
M
λ
o operador bordo ∂n :
Cnλ −→
Cn−1
atuar componente a componente.
λ
λ
Observação 2.9. Como consequência da definição acima temos que
!
M
Zn
C
λ
def.
= Ker(∂n ) =
λ
M
def.
M
Ker(∂nλ ) =
λ
Zn (C λ )
(2.1)
λ
e
!
M
Bn
Cλ
def.
= Im(∂n+1 ) =
λ
M
def.
λ
Im(∂n+1
) =
λ
M
Bn (C λ ),
(2.2)
λ
e assim, temos que
!
Z
M
λ
Cλ
(
def.
=
Zn
!)
M
λ
Cλ
n∈J
(
)
M
2.1
=
Zn (C λ )
λ
n∈J
2.8
=
M
λ
Z(C λ ),
(2.3)
2.6. O Cone de uma Aplicação
!
B
M
(
def.
Cλ
11
=
!)
Bn
M
λ
Cλ
λ
(
)
M
2.2
=
Bn (C λ )
λ
n∈J
2.8
=
n∈J
M
B(C λ )
(2.4)
λ
e ainda que
L λ 2.3 L
Z
C
Z(C λ ) ∼ M Z(C λ ) def. M
Lλ λ 2.4
= Lλ
=
H(C λ ).
=
=
λ)
λ)
B( λC )
B(C
B(C
λ
λ
λ
!
H
M
C
def.
λ
λ
Observação 2.10. De modo análogo ao feito na definição 2.8, podemos definir o produto
Q
direto
de complexos de cadeia.
2.6
O Cone de uma Aplicação
Definição 2.11 (Cone de uma aplicação). Sejam (K, ∂ K ) e (L, ∂ L ) dois complexos de
cadeia e f : K −→ L uma aplicação de cadeia. Definimos o cone da aplicação f ,
denotado por (Cf, ∂ Cf ), como sendo o novo complexo de cadeia tal que
(Cf )n = Ln ⊕ Kn−1 e
∂nCf (y, x)
L
k
= ∂n (y) + fn−1 (x), −∂n−1 (x) , ∀ (y, x) ∈ (Cf )n .
De fato, podemos verificar facilmente que (Cf, ∂ Cf ) é um complexo de cadeia. Consideremos o diagrama abaixo:
/
···
Kn+1
⊕
fn+1
/
···
···
/
K
∂n+1
Ln+1
(Cf )n+1
L
∂n+1
Cf
∂n+1
/ Kn
fn
/
Ln
/ (Cf )n
K
∂n
⊕
L
∂n
Cf
∂n
/
Kn−1
fn−1
/
Ln−1
/ (Cf )n−1
K
∂n−1
/
/
Kn−2
···
⊕ fn−2
L
∂n−1
/ Ln−2
/
···
/ ···
Claramente (Cf )n = Ln ⊕ Kn−1 é um grupo abeliano para todo n ∈ J ⊆ Z, pois Ln e
Cf
Kn−1 o são. E também temos que ∂nCf ∂n+1
= 0, ∀n ∈ J ⊆ Z, pois
def.
def. Cf
Cf
L
K
∂n+1 (y, x) = ∂n ∂n+1 (y) + fn (x), −∂n (x) =
def.
L L
K
K
K
= ∂n (∂n+1 (y) + fn (x)) + fn−1 (−∂n (x)), −∂n−1 (−∂n (x)) =
def.
L L
L
K
K
K
= ∂n (∂n+1 (y)) + ∂n (fn (x)) − fn−1 (∂n (x)), ∂n−1 (∂n (x)) =
def.
L L
L
K
K
K
= (∂n ∂n+1 )(y) + (∂n fn )(x) − (fn−1 ∂n )(x), (∂n−1 ∂n )(x) =
(∗)
L
K
= 0 + (∂n fn )(x) − (fn−1 ∂n )(x), 0 = (0, 0).
def.
Cf
(∂nCf ∂n+1
)(y, x) =
∂nCf
12
2. Complexos de Cadeia e Homologia
(∗) pois f : K −→ L é uma aplicação de cadeia e então temos que (fn−1 ∂nK )(x) =
(∂nL fn )(x).
2.6.1
A Suspensão de um Complexo de Cadeia
Considere a definição de cone de uma aplicação dada em 2.11. Se tomarmos o complexo
de cadeia (L, ∂ L ) = (0, ∂ = 0), teremos que a aplicação de cadeia f : K −→ L será tal
que f = 0. Então definimos:
Definição 2.12. Sob as condições acima, o cone da aplicação f = 0, denotado por
+
(K + , ∂ K ), é chamado a suspensão do complexo de cadeia (K, ∂ K ), e é dado por
+
K
(K + )n = Kn−1 e ∂nK (x) = −∂n−1
(x), ∀ x ∈ (K + )n .
Note que K = {Kn−1 }n∈J . Como H(K), ∂ = 0 ∈ ∂A G, vide final da seção 2.4,
+
+
+
sua suspensão
H(K) , ∂ = 0 é tal que H(K) = {Hn−1 (K)}n∈J , e assim temos
que
+
+
K
)
Zn (K + ) def. Ker(∂nK ) def. Ker(−∂n−1
Hn (K ) =
=
=
=
+
+
K
K
Bn (K )
Im(−∂n )
Im(∂n+1 )
K
Ker(∂n−1
) def. Zn−1 (K) def.
=
= Hn−1 (K),
=
Im(∂nK )
Bn−1 (K)
def.
+
(2.5)
e mais geralmente,
def.
def.
2.5
H(K + ) = {Hn (K + )}n∈J = {Hn−1 (K)}n∈J =
H(K)
+
.
Tendo em vista os conceitos já apresentados, podemos formar uma sequência exata
curta
`
k
0 −→ L −→ Cf −→ K + −→ 0
(2.6)
de aplicações de cadeia tal que
`(y) = (y, 0), ∀ y ∈ L e k(y, x) = x, ∀ (y, x) ∈ Cf.
Além disso, esta sequência, sequência 2.6, se fatora em todos os seus níveis, ou seja,
para todo n ∈ J, existem aplicações jn e qn com
0
/
`n
Ln j
jn
-
kn
(Cf )n m
qn
-
(K + )n
/
0
2.6. O Cone de uma Aplicação
13
tais que
jn `n = idLn , kn qn = id(K + )n e `n jn + qn kn = id(Cf )n .
(2.7)
Explicitamente:
Como `n (y) = (y, 0), ∀ y ∈ Ln , ⇒ jn (y, x) = y, ∀ (y, x) ∈ (Cf )n .
Como kn (y, x) = x, ∀ (y, x) ∈ (Cf )n , ⇒ qn (x) = (0, x), ∀ x ∈ (K + )n .
E assim segue as relações em 2.7.
Observação 2.13. Observe que as aplicações l e q são monomorfismos e que as aplicações
k e j são epimorfismos.
Observação 2.14. Quando uma sequência exata de aplicações de cadeia se fatora em todos
os seus níveis dizemos que ela cinde.
Observação 2.15. Em geral, a sequência exata 2.6 não se fatorará como aplicação de
cadeia, ou seja, as aplicações existentes em todos os seus níveis jn e qn de sua fatoração,
em geral não serão aplicações de cadeia. Veja o seguinte exemplo:
Tomemos (K, ∂ K ) = (L, ∂ L ) = (Z, 0), ∂ = 0 ∈ ∂A G e f : K −→ L aplicação de
cadeia tal que f = id. Assim,


0 ⊕ Z, se n = 1


(Cf )n = C(id) = Z ⊕ 0, se n = 0

n


0 ⊕ 0, se n =
6 0, 1
com
∂nC(id) (y, x) = (x, 0), ∀ (y, x) ∈ C(id) ,
n
e
+
(K )n = (Z, 0)
(Z,0)+
com ∂n
+
n

Z, se n = 1
=
0, se n 6= 1
= (Z, 1)
n
= 0.
Logo, a sequência exata 2.6 para este exemplo, é
Forma Aberta
Forma Fechada
14
2. Complexos de Cadeia e Homologia
···
/
0
···
/
H0
/0
j1
∂1L =0
···
/
···
···
/
/
Z
/
C(id)
∂1
/
···
0
/
···
(Z, 0)
H0
j−1
`0
/
0
∂0L =0
Z
H
j0
`1
0⊕
I Z
q1
/
`−1
J
j
/Z⊕0
/0⊕0
I
I
C(id)
∂
/
···
C(id)
J
0
q0
k1
(Z,0)+
=0
∂1
/0
q−1
k0
(Z,0)+
=0
∂0
/0
0
/
/
0
q
k−1
0
`
k
/
···
(Z, 0)+
/
···
0
Lembrando que
`(y) = (y, 0), ∀ y ∈ (Z, 0), j(y, x) = y, ∀ (y, x) ∈ C(id),
k(y, x) = x, ∀ (y, x) ∈ C(id) e q(x) = (0, x), ∀ x ∈ (Z, 0)+ ,
obtemos facilmente que j e q não são aplicações de cadeia, pois:
Para j:
(i)
C(id)
j0 ∂1
(ii)
(0, x) = j0 (x, 0) = x.
∂1L j1 (0, x) = ∂1L (0) = 0.
Logo, de (i) e (ii) temos que
C(id)
j0 ∂1
6= ∂1L j1 ⇒ j∂ C(id) 6= ∂ L j.
Portanto, j não é uma aplicação de cadeia.
E o mesmo temos para q, pois:
(iii)
(Z,0)+
q0 ∂1
(iv)
C(id)
∂1
(x) = q0 (0) = (0, 0).
C(id)
q1 (x) = ∂1
(0, x) = (x, 0).
Logo, de (iii) e (iv) temos que
(Z,0)+
q0 ∂1
C(id)
6= ∂1
+
q1 ⇒ q∂ (Z,0) 6= ∂ C(id) q.
Portanto, q não é uma aplicação de cadeia.
Definição 2.16. O cone da aplicação id : K −→ K é chamado cone de K, e será
2.6. O Cone de uma Aplicação
15
denotado por CK.
Assim, a sequência exata 2.6 para este caso torna-se
`
k
0 −→ K −→ CK −→ K + −→ 0.
17
Capítulo 3
O Homomorfismo de Conexão de uma
Sequência Exata de Aplicações de
Cadeia
3.1
Complexos de Cadeia: Mais Alguns Conceitos
Observação 3.1. Como por definição todo A-módulo, onde A é um anel com elemento
unidade 1 6= 0, é um grupo abeliano com respeito a operação de adição, quando não
houver perigo de confusão, poderemos nos referir a um A-módulo dado simplesmente
como sendo um grupo abeliano.
3.1.1
Subcomplexos de Cadeia
Definição 3.2 (Subcomplexo de Cadeia). Seja (C, ∂) um complexo de cadeia. Se Cn0 ⊂
0
Cn , ∀ n ∈ J, é uma sequência de subgrupos tal que ∂(Cn0 ) ⊂ Cn−1
, ∀ n ∈ J, então
∂0
∂0
0
0
· · · −→ Cn+1
−→ Cn0 −→ Cn−1
−→ · · · , ∂ 0 = ∂|C 0
é em si um complexo de cadeia, chamado de subcomplexo de cadeia do complexo de
cadeia (C, ∂).
Assim, temos claramente que a aplicação inclusão i : C 0 −→ C é uma aplicação de
cadeia, devido a definição de ∂ 0 .
3.1.2
Complexos de Cadeia Quocientes
Sejam (C, ∂) um complexo de cadeia e (C 0 , ∂ 0 = ∂|C 0 ) um subcomplexo de cadeia do
complexo de cadeia (C, ∂). Como temos que Cn0 ⊂ Cn , ∀ n ∈ J, podemos formar os
3. O Homomorfismo de Conexão de uma Sequência Exata de Aplicações de
18
Cadeia
quocientes
Cn
0 ,
Cn
∀ n ∈ J, e assim, temos que ∂n induz um homomorfismo bem definido
Cn
Cn−1
dado por ∂¯n [c] = [∂n (c)] tal que ∂¯n ∂¯n+1 = 0.
∂¯n : 0 −→ 0
Cn
Cn−1
E então definimos:
Definição 3.3 (Complexo de Cadeia Quociente). Definimos o complexo de cadeia CC0 , ∂¯
construído acima como sendo o complexo de cadeia quociente de (C, ∂) por (C 0 , ∂ 0 ).
Dessa forma, temos claramente que a projeção natural p : C −→ CC0 , que atribui a
¯
cada c ∈ C a sua classe lateral em CC0 , é uma aplicação de cadeia, devido a definição de ∂.
Exemplo 3.4. Seja f : K −→ L uma aplicação de cadeia. O Ker(f ) definido por
(Ker(f ))n = Ker(fn ) e a Im(f ) definida por (Im(f ))n = Im(fn ) formam subcomplexos
de cadeia dos complexos de cadeia (K, ∂ K ) e (L, ∂ L ), respectivamente, pois Ker(fn ) ⊂ Kn
e Im(fn ) ⊂ Ln , ∀ n ∈ J, e como f é uma aplicação de cadeia vale a relação de que (∗)
∂nL fn = fn−1 ∂nK , e assim temos que:
(i) ∂nK (Ker(fn )) ⊂ Ker(fn−1 ) :
De fato, seja z ∈ Ker(fn ) então
(∗)
0 = fn (z) = ∂nL (fn (z)) = (∂nL fn )(z) = (fn−1 ∂nK )(z) = fn−1 (∂nK (z)) ⇒ ∂nK (z) ∈ Ker(fn−1 ).
Logo, ∂nK (Ker(fn )) ⊂ Ker(fn−1 ).
(ii) ∂nL (Im(fn )) ⊂ Im(fn−1 ) :
De fato, seja b ∈ Im(fn ) então
b = fn (k), para algum k ∈ Kn ⇒
(∗)
∂nL (b) = ∂nL (fn (k)) = (∂nL fn )(k) = (fn−1 ∂nK )(k) = fn−1 (∂nK (k)) ⇒ ∂nL (b) ∈ Im(fn−1 ).
Logo, ∂nL (Im(fn )) ⊂ Im(fn−1 ).
Observação 3.5. Observe que pelo Teorema do Isomorfismo, ou também Teorema do
Homomorfismo dependendo do autor, que diz:
Teorema 3.6 (Teorema do Isomorfismo). Se ϕ : A −→ B é um homomorfismo então a
A
A
aplicação ϕ
b : Ker(ϕ)
−→ Im(ϕ) que associa a cada ā ∈ Ker(ϕ)
a imagem ϕ(a) ∈ Im(ϕ),
está bem definida e é um isomorfismo.
Demonstração. A demonstração é bem simples e pode ser encontrada nos livros 2, 4, 6, 7
e 10.
temos então que
K
Ker(f )
∼
= Im(f ). Isto será útil para o que segue.
3.2. Sequências Exatas de Homologia
19
Visto os conceitos de subcomplexos de cadeia e de complexos de cadeia quocientes, já
podemos mostrar facilmente que a sequência
p
i
0 −→ K 0 −→ K −→
K
−→ 0
K0
das aplicações de cadeia inclusão e projeção, definidas nas duas últimas seções, formam
uma sequência exata, o que significa que
0 −→
Kn0
−→ Kn −→
K
K0
−→ 0
(3.1)
n
é exata para cada n ∈ J. Reciprocamente, se
p
i
0 −→ K 0 −→ K −→ K 00 −→ 0
(3.2)
é uma sequência exata curta, em cada nível, de aplicações de cadeia então K 0 ∼
= i(K 0 )
K
e K 00 ∼
= i(K
0 ) pela observação 3.5, isto é, a menos de isomorfismos cada sequência exata
curta 3.2 é da forma 3.1.
3.2
Sequências Exatas de Homologia
Nosso objetivo nesta seção é construir o homomorfismo de conexão de uma sequência exata
de aplicações de cadeias e estudar as suas principais propriedades. Para isso, comecemos
provando a seguinte proposição:
i
p
Proposição 3.7. Se 0 −→ K 0 −→ K −→ K 00 −→ 0 é uma sequência exata de aplicações
p∗
i∗
de cadeia então a sequência HK 0 −→
HK −→ HK 00 também é exata (H é um funtor
meio-exato).
Contudo, em geral i∗ não é um monomorfismo e p∗ não é um epimorfismo.
Demonstração. Precisamos mostrar que Im(i∗ ) = Ker(p∗ ).
Ora, para mostrar que Im(i∗ ) ⊂ Ker(p∗ ) basta observarmos que pi = 0, e assim temos
prop.
que p∗ i∗ = (pi)∗ = 0∗ = 0.
Agora para mostrarmos que Ker(p∗ ) ⊂ Im(i∗ ) façamos o seguinte:
Lembremos primeiramente que como p e i são aplicações de cadeia temos que (∗) p∂ =
∂ 00 p e que (∗∗) i∂ 0 = ∂i.
Seja [z] ∈ Ker(p∗ ), logo z ∈ Z(K) ⊂ K e assim temos que (1) p(z) = ∂ 00 (x00 ), para
algum x00 ∈ K 00 . Escolha (2) x ∈ p−1 (x00 ). Assim,
(1)
(∗)
p(z − ∂(x)) = p(z) − p(∂(x)) = ∂ 00 (x00 ) − (p∂)(x) = ∂ 00 (x00 ) − (∂ 00 p)(x) =
(2)
= ∂ 00 (x00 ) − ∂ 00 (p(x)) = ∂ 00 (x00 ) − ∂ 00 (x00 ) = 0,
3. O Homomorfismo de Conexão de uma Sequência Exata de Aplicações de
20
Cadeia
logo z − ∂(x) ∈ Ker(p) ⇒ z − ∂(x) = i(z 0 ) (3), para algum z 0 ∈ K 0 . Mais ainda, temos
que
(∗∗)
(3)
i(∂ 0 (z 0 )) = (i∂ 0 )(z 0 ) = (∂i)(z 0 ) = ∂(i(z 0 )) = ∂(z − ∂(x)) = ∂(z) − ∂(∂(x)) = 0 − 0 = 0,
o que implica que ∂ 0 (z 0 ) = 0, pois i é um monomorfismo. Assim z 0 ∈ Z(K 0 ), logo
(3)
def.
i∗ [z 0 ] = [i(z 0 )] = [z − ∂(x)] = [z], pois ∂(x) ∈ B(K).
Em particular, [z] ∈ Im(i∗ ).
Como mencionado na proposição anterior, em geral i∗ não é um monomorfismo e p∗
não é um epimorfismo (logo H não é nem direita, nem esquerda exata na sequência). Um
exemplo deste fato é fornecido pelo mesmo exemplo que demos para mostrar que uma
sequência exata em geral não se fatora como aplicação de cadeia, veja observação 2.15,
ou seja, considere a seguinte sequência:
p=k
i=`
0 −→ (Z, 0) −→ C(Z, 0) −→ (Z, 1) −→ 0.
Assim, temos que
HC(Z, 0) = 0, H(Z, 0) = (Z, 0) ⇒ Ker(i∗ ) = (Z, 0) e H(Z, 1) = (Z, 1) 6= Im(p∗ ).
3.2.1
O Homomorfismo de Conexão ∂∗ : Hn K 00 −→ Hn−1 K 0
Como anteriormente, seja
p
i
0 −→ K 0 −→ K −→ K 00 −→ 0
(3.3)
uma sequência exata curta de aplicações de cadeia. Consideremos os homomorfismos (sem
∂∗ )
Hn−1 K g0 o
∂¯
∂∗
p−1 (Zn (K 00 ))
p̄
Hn K 00
¯
onde p̄(x) = [p(x)] e ∂(x)
= [i−1 (∂(x))]. Note que p(x) ∈ Zn (K 00 ) e que esta definição
para ∂¯ faz sentido, pois p é uma aplicação de cadeia e 0 = (∂ 00 p)(x) = (p∂)(x) e assim
temos que ∂(x) ∈ p−1 (0) = Ker(p) = Im(i), e ainda ∂ 0 i−1 (∂(x)) = i−1 ∂(∂(x)) = 0, o
que implica que i−1 (∂(x)) ∈ Z(K 0 ).
Além disso, claramente p̄ = [ ] ◦ p é um epimorfismo.
Como exibido no diagrama acima, queremos definir o homomorfismo ∂∗ = ∂¯p̄ −1 :
Hn K 00 −→ Hn−1 K 0 . Para que ∂∗ esteja bem definido, observemos ainda que se x, y ∈
p−1 (Zn (K 00 )) são tais que p̄x = c1 = p̄y temos que p̄(x − y) = 0 ⇒ x − y ∈ Ker(p̄) e que
3.2. Sequências Exatas de Homologia
21
¯ = ∂y
¯ ⇔ ∂(x
¯ − y) = 0 ⇒ x − y ∈ Ker(∂).
¯ Portanto, falta-nos ainda
∂∗ c1 = ∂¯p̄ −1 c1 = ∂x
def.
¯
verificar se ∂|Ker(p̄)
= 0. Mas veja, dado x ∈ Ker(p̄) temos que 0 = p̄(x) = [p(x)] ⇒
p(x) ∈ B(K 00 ) o que significa que p(x) = ∂ 00 (p(y)) = p(∂(y)), para algum y ∈ K, logo
p(x − ∂(y)) = 0 ⇒ x − ∂(y) ∈ Ker(p). Como Ker(p) = Im(i) temos que x − ∂(y) = i(y 0 ),
para algum y 0 ∈ K 0 , assim
∂(x) = ∂(i(y 0 )) ⇒ i−1 (∂(x)) = i−1 (∂(i(y 0 ))) = ∂ 0 (i−1 (i(y 0 ))) = ∂ 0 (y 0 )
e então [i−1 (∂(x))] = [∂ 0 (y 0 )] = 0.
Portanto, a passagem para quociente da sequência 3.3 produz um único homomorfismo
∂∗ = ∂¯ p̄ −1 : Hn K 00 −→ Hn−1 K 0 , com ∂∗ [p(x)] = [i−1 (∂(x))],
ou equivalentemente,
∂∗ = ∂¯ p̄ −1 : Hn K 00 −→ Hn−1 K 0 , com ∂∗ [y] = [i−1 (∂(p−1 (y)))], com y = p(x) ∈ Zn (K 00 ),
e x = p−1 y ∈ p−1 (Zn (K 00 )), e assim definimos:
Definição 3.8 (Homomorfismo de conexão). O homomorfismo ∂∗ = ∂¯ p̄−1 : Hn K 00 −→
Hn−1 K 0 , com ∂∗ [p(x)] = [i−1 (∂(x))], construído acima é chamado homomorfismo de
conexão da sequência 3.3.
Vejamos as principais propriedades de ∂∗ :
Proposição 3.9.
a) Naturalidade: Se
0
0
/
i
/
K0
f0
L0
/
j
p
K
/ K 00
f
/L
q
/
/
0
/
0
f 00
L00
é um diagrama comutativo de aplicações de cadeia com linhas exatas então
Hn K 00
∂∗
/
Hn−1 K 0
f∗0
f∗00
Hn L00
∂∗
/
Hn−1 L0
também é comutativo, i.e., ∂∗ f∗00 = f∗0 ∂∗ .
b) Exatidão: A sequência
∂
i
p∗
∂
i
p∗
∗
∗
∗
∗
· · · −→
Hn K 0 −→
Hn K −→ Hn K 00 −→
Hn−1 K 0 −→
Hn−1 K −→ · · · ,
3. O Homomorfismo de Conexão de uma Sequência Exata de Aplicações de
22
Cadeia
chamada sequência de homologia de 3.3 é exata.
Demonstração.
a) Seja [px] ∈ HK 00 . Então
def.
def.
hip.
hip.
f∗0 ∂∗ [px] = f∗0 [i−1 ∂ K x] = [f 0 i−1 ∂ K x] = [j −1 f ∂ K x] =
hip.
def.
hip.
def.
= [j −1 ∂ L f x] = ∂∗ [qf x] = ∂∗ [f 00 px] =
def.
= ∂∗ f∗00 [px].
b) Pela proposição 3.7, resta-nos apenas mostrar a exatidão sobre HK 0 e HK 00 , ou
seja, que Im(∂∗ ) = Ker(i∗ ) e que Im(p∗ ) = Ker(∂∗ ). Façamos:
(i) Im(∂∗ ) ⊂ Ker(i∗ ) :
Seja [px] ∈ HK 00 . Então
def.
def.
i∗ ∂∗ [px] = i∗ [i−1 ∂ K x] = [ii−1 ∂ K x] = [∂ K x] = 0.
(ii) Ker(i∗ ) ⊂ Im(∂∗ ) :
def.
Seja [z 0 ] ∈ Ker(i∗ ). Assim, 0 = i∗ [z 0 ] = [iz 0 ] ⇒ iz 0 = ∂ K x, para algum x ∈ K, ou
ainda que z 0 = i−1 ∂ K x. Como ∂ 00 px = p∂ K x = piz 0 = 0, pois Im(i) = Ker(p), temos que
def.
px ∈ Z(K 00 ) e assim segue que [z 0 ] = [i−1 ∂ K x] = ∂∗ [px].
(iii) Im(p∗ ) ⊂ Ker(∂∗ ) :
Seja [z] ∈ HK. Assim, z ∈ Z(K) e então
def.
def.
∂∗ p∗ [z] = ∂∗ [pz] = [i−1 ∂ K z] = 0.
(iv) Ker(∂∗ ) ⊂ Im(p∗ ) :
def.
Seja [px] ∈ Ker(∂∗ ). Assim, 0 = ∂∗ [px] = [i−1 ∂ K x] ⇒ i−1 ∂ K x = ∂ 0 x0 , para algum
x0 ∈ K 0 , ou ainda que ∂ K x = i∂ 0 x0 = ∂ K ix0 . Logo, ∂ K (x − ix0 ) = 0 ⇒ x − ix0 ∈ Z(K), e
assim segue que P∗ [x − ix0 ] = [px − pix0 ] = [px], pois Im(i) = Ker(p).
Vamos agora provar um corolário que podemos obter deste teorema de forma direta.
Porém para isso, precisaremos do seguinte lema:
Lema 3.10 (Lema das Cinco). Se
A1
α1
ϕ1
/
B1
β1
/
A2
α2
ϕ2
/
B2
β2
/
A3
α3
ϕ3
B3
/
A4
β3
α4
ϕ4
/ A5
/ B4
β4
/
ϕ5
B5
é um diagrama comutativo com linhas exatas e ϕ1 , ϕ2 , ϕ4 e ϕ5 são isomorfismos, então
assim também é ϕ3 .
3.2. Sequências Exatas de Homologia
23
Demonstração. Vide o livro 2, pág. 8.
Corolário 3.11. Se
0
0
/
/
K0
/
L0
K
/ K 00
/L
/
L00
/
0
/
0
é um diagrama comutativo de aplicações de cadeia com linhas exatas e se duas das setas
verticais induzir isomorfismos em homologia, em seguida o mesmo acontece com a terceira.
Demonstração. Pelo item a) da proposição anterior 3.9, temos que as setas verticais induzem aplicações entre as sequências exatas de homologia das linhas exatas do diagrama.
Como duas em cada três dessas aplicações são isomorfismos, temos portanto, que as terceiras aplicações são isomorfismos, pelo Lema das Cinco 3.10.
i
p
Definição 3.12. Uma sequência exata 0 −→ K 0 −→ K −→ K 00 −→ 0 de aplicações de
jn
cadeia cinde se se fatora em todos os seus níveis, ou seja, existem aplicações Kn0 ←−
qn
Kn ←− Kn00 , ∀ n ∈ J, tais que ji = id, pq = id e ij + qp = id.
Observação 3.13. Uma sequência exata de aplicações de cadeia que cinde não necessariamente se fatora como aplicação de cadeia, vide observação 2.15.
Desse modo, temos então que o homomorfismo de conexão ∂∗ : HK 00 −→ HK 0 tem
uma conveniente descrição como segue:
Proposição 3.14. A sequência de aplicações
0
dn = jn−1 ∂qn : Kn00 −→ Kn−1
= (K 0 )+
n
é uma aplicação de cadeia e o homomorfismo induzido em homologia
d∗ : Hn K 00 −→ Hn (K 0 )+ = Hn−1 K 0
coincide com o homomorfismo de conexão.
Demonstração. Primeiramente vamos mostrar que a sequência de aplicações dn é uma
00
aplicação de cadeia, ou seja, que vale (∂ 0 )+
n dn = dn−1 ∂n , ∀ n ∈ Z.
3. O Homomorfismo de Conexão de uma Sequência Exata de Aplicações de
24
Cadeia
0
Lembremos que (∂ 0 )+
n = −∂n−1 por definição. Então façamos:
0
0
)jn−1 ∂n qn = (∂n−1 in−1 )jn−1 ∂n qn = ∂n−1 (in−1 jn−1 )∂n qn =
dn ) = (in−2 ∂n−1
in−2 (∂n−1
= ∂n−1 (id − qn−1 pn−1 )∂n qn = ∂n−1 ∂n qn − ∂n−1 qn−1 pn−1 ∂n qn =
= 0 − ∂n−1 qn−1 (pn−1 ∂n )qn = −∂n−1 qn−1 (∂n00 pn )qn =
= −∂n−1 qn−1 ∂n00 (pn qn ) = −∂n−1 qn−1 ∂n00 id =
= −(id)∂n−1 qn−1 ∂n00 = −(in−2 jn−2 + qn−2 pn−2 )∂n−1 qn−1 ∂n00 =
= −in−2 (jn−2 ∂n−1 qn−1 )∂n00 − qn−2 (pn−2 ∂n−1 )qn−1 ∂n00 =
00
= −in−2 (dn−1 )∂n00 − qn−2 (∂n−1
pn−1 )qn−1 ∂n00 =
00
= in−2 (−dn−1 ∂n00 ) − qn−2 ∂n−1
(pn−1 qn−1 )∂n00 =
00
= in−2 (−dn−1 ∂n00 ) − qn−2 ∂n−1
(id)∂n00 =
= in−2 (−dn−1 ∂n00 ) − 0 =
= in−2 (−dn−1 ∂n00 ).
Assim, como i é um monomorfismo, obtemos que
0
0
00
∂n−1
dn = −dn−1 ∂n00 ⇔ −∂n−1
dn = dn−1 ∂n00 ⇒ (∂ 0 )+
n dn = dn−1 ∂n .
Como n ∈ Z que tomamos é qualquer, temos que d : K 00 −→ (K 0 )+ é uma aplicação
de cadeia.
Vamos mostrar agora que d∗ e ∂∗ coincidem.
Ora, tomemos z 00 ∈ Z(K 00 ). Então
∂∗ [z 00 ] = [i−1 ∂qz 00 ] = [j∂qz 00 ] = [dz 00 ] = d∗ [z 00 ].
Corolário 3.15. Se f : K −→ L é uma aplicação de cadeia então o homomorfismo
de conexão da sequência exata 2.6, 0 −→ L −→ Cf −→ K + −→ 0, coincide com
Hf : HK −→ HL
Demonstração. De fato, como esta sequência se fatora em todos os seus níveis por q(x) =
(0, x), j(y, x) = y e temos que j∂q = f , pela proposição anterior 3.14 terminamos.
Corolário 3.16. Se f : K −→ L é uma aplicação de cadeia então Hf : HK −→ HL é
um isomorfismo se, e somente se, o cone da aplicação f , Cf , é acíclica, H(Cf ) = 0.
Demonstração. Basta tomarmos a sequência exata de homologia 3.9 b) e utilizarmos o
corolário anterior 3.15.
25
Capítulo 4
Homotopia de Cadeias
Definição 4.1 (Homotopia de Aplicações de Cadeia). Sejam f, g : K −→ K 0 aplicações
de cadeia. Uma homotopia s entre f e g, em símbolos s : f ' g, é uma sequência de
homomorfismos
0
0
sn : Kn −→ Kn+1
tal que ∂n+1
sn + sn−1 ∂n = fn − gn , ∀ n ∈ J ⊆ Z.
Escrevemos f ' g e dizemos que f e g são homotópicas, se tal s existe.
Proposição 4.2. A relação de homotopia ' é uma relação de equivalência.
Demonstração. De fato, 0 : f ' f , pois 0 = ∂ 0 0 + 0∂ = f − f , logo ' é reflexiva. Se
s : f ' g então −s : g ' f , pois como s : f ' g ⇒ ∂ 0 s + s∂ = f − g (1) e assim,
(1)
∂ 0 (−s) + (−s)∂ = −∂ 0 s − s∂ = −(∂ 0 s + s∂) = −(f − g) = g − f,
logo ' é simétrica.
Se s : f ' g e t : g ' h então s + t : f ' h, pois como s : f ' g ⇒ ∂ 0 s + s∂ = f − g (i)
e como t : g ' h ⇒ ∂ 0 t + t∂ = g − h (ii) e assim,
(i)
0
0
0
0
0
(ii)
∂ (s + t) + (s + t)∂ = ∂ s + ∂ t + s∂ + t∂ = (∂ s + s∂) + (∂ t + t∂) =
(i)
(ii)
= (f − g) + (g − h) = f + (−g + g) − h = f + 0 − h =
= f − h,
logo ' é transitiva.
Definição 4.3 (Classe de Homotopia de uma Aplicação de Cadeia). A classe de equivalência de uma aplicação de cadeia f : K −→ K 0 , sob ', é chamada classe de homotopia
de f , e será denotada por [f ].
Proposição 4.4. A relação de homotopia ' é compatível com a composição, ou seja, se
f ' g : K −→ K 0 e f 0 ' g 0 : K 0 −→ K 00 então f 0 ◦ f ' g 0 ◦ g.
26
4. Homotopia de Cadeias
Demonstração. Primeiramente lembremos que como f 0 e g são aplicações de cadeia temos
que ∂ 00 f 0 = f 0 ∂ 0 (i) e ∂ 0 g = g∂ (ii), respectivamente. Assim, se s : f ' g ⇒ ∂ 0 s + s∂ =
f − g (1) e então f 0 s : f 0 f ' f 0 g, pois
(i)
∂ 00 (f 0 s) + (f 0 s)∂ = (∂ 00 f 0 )s + f 0 (s∂) = (f 0 ∂ 0 )s + f 0 (s∂) = f 0 (∂ 0 s) + f 0 (s∂) =
(1)
= f 0 (∂ 0 s + s∂) = f 0 (f − g) = f 0 f − f 0 g.
Do mesmo modo, temos que se s0 : f 0 ' g 0 ⇒ ∂ 00 s0 + s0 ∂ 0 = f 0 − g 0 (2) e então
s0 g : f 0 g ' g 0 g, pois
(ii)
∂ 00 (s0 g) + (s0 g)∂ = (∂ 00 s0 )g + s0 (g∂) = (∂ 00 s0 )g + s0 (∂ 0 g) = (∂ 00 s0 )g + (s0 ∂ 0 )g =
(2)
= (∂ 00 s0 + s0 ∂ 0 )g = (f 0 − g 0 )g = f 0 g − g 0 g.
Portanto, pela transitividade de ' temos que f 0 s + s0 g : f 0 f ' g 0 g.
Assim, podemos fazer a seguinte definição:
Definição 4.5 (Composição de Classes de Homotopia de Aplicações de Cadeia). Sejam
[f ] e [f 0 ] classes de homotopia de aplicações de cadeia. Definimos a composição de [f ]
por [f 0 ] por [f 0 ] ◦ [f ] = [f 0 ◦ f ].
Desse modo, acabamos de mostrar que complexos de cadeia e classes de homotopia de
aplicações de cadeia formam uma categoria, e passaremos a denotá-la por H ∂ G.
Observação 4.6. Veja que Ob(H ∂ G) = Ob(∂A G) = classe de todos os complexos de cadeia
e H ∂ G(K, L) = {[f ] : f ∈ ∂A G(K, L)} = conjunto de todas as classes de homotopia de
aplicações de cadeia.
Se atribuirmos a cada aplicação de cadeia f ∈ ∂A G(K, L) sua classe de homotopia
[f ] ∈ H ∂ G(K, L) obteremos um funtor covariante
π : ∂A G −→ H ∂ G tal que πK = K, ∀ K ∈ Ob(∂A G), e πf = [f ].
Uma aplicação de cadeia f : K −→ K 0 cuja classe de homotopia é uma equivalência
f
f−
em H ∂ G, ou seja, existem aplicações de cadeia K −→ K 0 −→ K tal que f − f ' idK
e f f − ' idK 0 , é chamada equivalência de homotopia. Os complexos de cadeia (K, ∂) e
(K 0 , ∂ 0 ) são chamados homotopicamente equivalentes e escrevemos (K, ∂) ' (K 0 , ∂ 0 ).
A aplicação f − é chamada de homotopia inversa de f .
4.1
Homologia e Homotopia
Proposição 4.7. Se f ' g : K −→ K 0 então f∗ = g∗ : HK −→ HK 0 , i.e., aplicações de
cadeia homotópicas induzem o mesmo homomorfismo em homologia.
4.2. Complexos de Cadeia Contráteis
27
Demonstração. Seja [z] ∈ HK ⇒ z ∈ Z(K) (1). Se s : f ' g ⇒ ∂ 0 s + s∂ = f − g (2), e
então temos que
def.
prop.
def.
(2)
f∗ [z] − g∗ [z] = [f z] − [gz] = [f z] + [−gz] = [f z − gz] = [(f − g)z] =
(2)
(1)
= [(∂ 0 s + s∂)z] = [∂ 0 sz + s∂z] = [∂ 0 sz + 0] = [∂ 0 sz] = 0,
pois ∂ 0 sz ∈ B(K 0 ).
Corolário 4.8. Se f : K −→ K 0 é uma equivalência de homotopia então f∗ : HK −→
HK 0 é um isomorfismo.
Demonstração. De fato, como f é uma equivalência de homotopia então temos que f f − '
idK 0 e f − f ' idK , e assim
prop.
4.7
f∗ f∗− = (f f − )∗ = id∗ = id e
prop.
4.7
f∗− f∗ = (f − f )∗ = id∗ = id.
Portanto, f∗ é um isomorfismo.
Observação 4.9. Equivalentemente à proposição 4.7, temos que a homologia vista como
um funtor H se fatora por meio de H ∂ G, ou seja, existe um diagrama comutativo de
funtores
H
/ GAG
∂A G
9
π
$
H0
H∂ G
Assim, o corolário acima, corolário 4.8, diz simplesmente que o funtor H 0 leva equivalências em equivalências.
4.2
Complexos de Cadeia Contráteis
Definição 4.10 (Complexo de Cadeia Contrátil). Seja (K, ∂) um complexo de cadeia.
Se idk ' 0, ou equivalentemente (K, ∂) ' 0, dizemos que (K, ∂) é um complexo de cadeia
contrátil.
Pelo corolário 4.8 temos que se (K, ∂) ' 0 então HK = 0. Para a recíproca desse
resultado temos a seguinte proposição:
Proposição 4.11. Seja (K, ∂) um complexo de cadeia acíclico, i.e., HK = 0. Então
(K, ∂) ' 0 se, e somente se, para todo n ∈ J, Zn (K) é uma soma direta de Kn .
Para demostrarmos este resultado, precisamos definir e demonstrar o que segue:
28
4. Homotopia de Cadeias
Definição 4.12. Sejam {Aλ }λ∈Λ e A grupos abelianos. Uma família de homomorfismos
{pλ : A → Aλ }λ∈Λ (resp. {iλ : Aλ → A}λ∈Λ ) é chamada representação do produto
Q
direto (resp. representação da soma direta) se {pλ } : A −→ λ Aλ (resp. {iλ } :
L
λ Aλ −→ A) é um isomorfismo.
Proposição 4.13. Se Λ é finito e se {pλ : A → Aλ }, resp. {iλ : Aλ → A}, λ ∈ Λ, são
famílias de homomorfismos tal que
pλ iλ = idAλ , pλ iµ = 0, para µ 6= λ,
X
iλ pλ = idA ,
(4.1)
λ
então {pλ } é uma representação do produto direto e {iλ } é uma representação da soma
direta.
Reciprocamente, se p = {pλ : A → Aλ }λ∈Λ é uma representação do produto direto
então existe uma única família {iλ : Aλ → A} que satisfaz 4.1. Analogamente para
representações de somas diretas.
α0
α00
Observação 4.14. Em particular, uma sequência exata curta 0 −→ A0 −→ A −→ A00 −→ 0
se fatora se, e somente se, Im(α0 ) (resp. Im(α00 )) é uma componente da representação da
soma direta (resp. representação do produto direto) A0 ⊕ A00 ∼
= A.
Demonstração. (Proposição 4.13.)
Vide 2, pág. 10.
Demonstração. (Proposição 4.11.)
(⇒)
Tome s : idK ' 0, ou seja, temos que ∂s + s∂ = idK . Como (K, ∂) é acíclico, temos
⊂
∂
que ∂|B(K) = 0 ⇒ ∂s|B(K) = idB(K) . Logo, a sequência exata 0 −→ Z(K) −→ K −→
B(K) −→ 0 se fatora, e pela proposição 4.13 e observação 4.14, temos que Z(K) é uma
soma direta de K.
(⇐)
Suponhamos que ∃ t : B(K) −→ K tal que ∂t = id. Logo temos que K = Z(K) ⊕
tB(K) = B(K) ⊕ tB(K). Definamos s tal que s|B(K) = t e s|tB(K) = 0. Então
(∂s + s∂)|B(K) = ∂t = id e (∂s + s∂)|tB(K) = s∂|tB(K) = t∂|tB(K) = id.
Observação 4.15. Um exemplo de um complexo de cadeia (K, ∂) tal que HK = 0 e
(K, ∂) não é homotopicamente equivalente a 0, é Kn = Z4 e ∂n = multiplicação por
2, ∀ n ∈ J. Se fosse, Z4 seria isomorfo a Z2 ⊕ Z2 e {0̄, 2̄} ∼
= Z2 . Absurdo!
A proposição 4.11 é particularmente útil em conexão com o que segue:
4.3. Complexos de Cadeia Livres
29
Proposição 4.16. Se o cone de uma aplicação de cadeia f : K −→ L é contrátil, Cf ' 0,
então f é uma equivalência de homotopia. A recíproca também é verdadeira.
Demonstração. Vide 2, pág. 25.
4.3
Complexos de Cadeia Livres
Definição 4.17 (Complexo de Cadeia Livre). Um complexo de cadeia (K, ∂) é chamado
livre, se Kn é livre, ∀ n ∈ J ⊆ Z.
Proposição 4.18. Seja (K, ∂) um complexo de cadeia livre. Então o grupo de ciclos
Zn (K) é uma soma direta de Kn .
Para demostrarmos este fato vamos fazer uso das seguintes proposições:
Proposição 4.19. Todo subgrupo de um grupo abeliano livre é livre.
Proposição 4.20. Se F é um grupo abeliano livre então toda sequência exata curta
α
0 −→ A0 −→ A −→ F −→ 0 se fatora. (Por isso A ∼
= A0 ⊕ F .)
Demonstração. (Proposições 4.19 e 4.20.)
Ambas as demonstrações encontram-se na pág. 12 do livro 2.
Demonstração. (Proposição 4.18)
Como pela proposição 4.19 temos que todo subgrupo de um grupo abeliano livre é
livre, temos que B(K) ⊂ K é livre, e assim a sequência exata 0 −→ Z(K) −→ K −→
B(K)+ −→ 0 se fatora, pela proposição 4.20, e portanto, K = Z(K) ⊕ B(K)+ .
Proposição 4.21. Seja f : K −→ L uma aplicação de cadeia entre complexos de cadeia
livres. Se f∗ : HK ∼
= HL então f é uma equivalência de homotopia.
Demonstração. Pela proposição 4.16, é suficiente mostrarmos que Cf ' 0, e para mostrarmos que Cf ' 0, pela proposição 4.11, é suficiente mostrarmos que HCf = 0 e que
os ciclos Z(Cf ) são somas diretas. Este último segue da proposição 4.18, pois (Cf, ∂) é
tal que (Cf )n = Ln ⊕ Kn−1 que é livre ∀ n ∈ J. E HCf = 0, pelo corolário 3.16.
Observação 4.22. Veja que a proposição acima, proposição 4.21, é a recíproca do corolário 4.8 demonstrado na seção 4.1.
4.3.1
Complexos de Cadeia Curtos
Definição 4.23 (Complexo de Cadeia Curto). Seja (K, ∂) um complexo de cadeia. Se
∃ n ∈ Z tal que Ki = 0, ∀ i 6= n, n + 1 e ∂n+1 : Kn+1 −→ Kn é monomórfica, então
dizemos que (K, ∂) é um complexo de cadeia curto.
Observe que essencialmente um complexo de cadeia curto é concentrado no nível n.
E além disso, se Kn ∼
= Z então dizemos que (K, ∂) é um complexo de cadeia
elementar.
30
4. Homotopia de Cadeias
Proposição 4.24. Cada complexo de cadeia livre (K, ∂) é uma soma direta de complexos
de cadeia (livres) curtos. Se além disso, cada Km é finitamente gerado, então (K, ∂) é
uma soma direta de complexos elementares.
Demonstração. (Primeira parte de 4.24:)
⊥
.
Pela proposição 4.18 podemos escrever Km como uma soma direta Km = Zm (K)⊕Zm
(m)
(m)
(m)
Construamos um novo complexo de cadeia (K , ∂
= ∂|K ) tal que
(m)
Ki
= 0, ∀ i 6= m, m + 1,
(m)
(m)
⊥
Km
= Zm (K) e Km+1 = Zm+1
.
Claramente (K (m) , ∂ (m) ) é um subcomplexo de cadeia de (K, ∂), é um complexo de
L
cadeia curto e (K, ∂) = m (K (m) , ∂ (m) ).
Para demonstrarmos a segunda parte da proposição 4.24, precisaremos do seguinte
resultado:
Proposição 4.25. Se F é um grupo abeliano livre finitamente gerado e G ⊂ F é um
subgrupo, então podemos achar uma base {b1 , . . . , bm } de F e uma base {c1 , . . . , cn } de G
tal que n ≤ m e cj = µj bj , com µj ∈ Z ∀ j ≤ n. E ainda, µj divide µj+1 , ∀ j < n.
Demonstração. Vide o livro 2, pág. 12.
Demonstração. (Segunda parte de 4.24:)
⊥
. Além disso, se olharmos
Se Km é finitamente gerado então também são Zm (K) e Zm
⊥
Zm+1 como um subgrupo de Zm (K) aplicando-se ∂m+1 , temos pela proposição 4.25 que
m+1
m
⊥
existem bases {am
, . . . , bm+1
} de Zm+1
, com s ≤ r, tal que
1 , . . . , ar } de Zm (K) e {b1
s
m+1
m
(m,i)
(m,i)
m m
,∂
) ⊂ (K, ∂) o subcomplexo de
∂m+1 bi
= τi ai , com τi ∈ Z, i ≤ s. Seja (K
m+1
), para i ≤ s, e pelo elemento am
cadeia gerado pelo par (am
i , bi
i , para i > s. Então,
L
(m,i)
(m,i)
(K
,∂
) é um complexo de cadeia elementar e (K, ∂) = i,m (K (m,i) , ∂ (m,i) ).
n
Observação 4.26. Pela proposição 4.25, a base {am
i , bj } pode até ser escolhida de modo
m
(e todos os τim > 0). Ela é então chamada base canônica de
que τim sempre divida τi+1
K. Os números τim > 1 são chamados de coeficientes de torção de K (ou de HK).
Estes coeficientes são unicamente determinados por HK, ou seja, independem da escolha
n
da base {am
i , bi }.
Proposição 4.27. Se (K, ∂) é um complexo de cadeia livre, (L, ∂ 0 ) é um complexo de
cadeia arbitrário e ϕn : Hn K −→ Hn L, ∀ n ∈ Z, é uma sequência de homomorfismos,
então existe uma aplicação de cadeia f : K −→ L tal que f∗ = ϕ. Ou seja, todo homomorfismo ϕ : HK −→ HL cujo domínio é a homologia de uma complexo de cadeia livre
(K, ∂) pode ser dado por uma aplicação de cadeia.
Para demonstrarmos esta proposição precisamos do seguinte lema:
4.3. Complexos de Cadeia Livres
31
Lema 4.28. Todo diagrama comutativo
γ1
F
/
g
G01
/
γ10
γ0
G0
/
g0
G00
/
γ00
G−1
g−1
G0−1
de homomorfismos de grupos abelianos (sem g ainda) cuja segunda linha é exata, a primeira linha é um complexo de cadeia, i.e., γ0 γ1 = 0, e F é livre, pode ser completado por
um homomorfismo g.
Demonstração. Se a ∈ F então γ00 g0 γ1 a = g−1 γ0 γ1 a = 0, i.e., g0 γ1 a ∈ Ker(γ00 ) = Im(γ10 ).
Portanto, se {aµ } é uma base de F podemos encontrar elementos bµ ∈ G01 com γ10 bµ =
g0 γ1 aµ , e defina g por gaµ = bµ .
Demonstração. (Proposição 4.27:)
Seja K = Z(K) ⊕ Z ⊥ como na demonstração 4.24. Pelo lema 4.28 podemos encontrar
⊥
que fazem
primeiro fnz , então fn+1
⊥
Zn+1
∂
/
Zn (K)
⊥
fn+1
Ln+1
∂
/
proj
/
fnz
Hn K
Zn L
/
0
ϕn
proj
/
Hn L
/
0
comutativo. Então f : K −→ L, f |Z(K) = f z , f |Z ⊥ = f ⊥ é uma aplicação de cadeia
como queríamos.
Corolário 4.29. Seja K, L complexos de cadeia livres. Então K ' L ⇔ HK ∼
= HL.
Demonstração. Se ϕ : HK −→ HL é um isomorfismo, ele pode ser dado por uma aplicação de cadeia f : K −→ L e f é então uma equivalência de homotopia pela proposição 4.21.
O inverso está contido no corolário 4.8.
Corolário 4.30. Se K é um complexo de cadeia livre e HK é também livre então K '
HK.
33
Capítulo 5
Teoria da Homologia Singular
5.1
Simplexos Padrão
Definição 5.1 (q-Simplexo Padrão). Ao conjunto de todos os pontos x ∈ Rq+1 , onde
Rq+1 denota o espaço Euclidiano, tal que satisfazem:
(a) 0 ≤ xi ≤ 1, i = 0, 1, . . . , q;
q
X
(b)
xi = 1;
i=0
onde {xi } são as coordenadas de x ∈ Rq+1 , definimos como sendo o q-simplexo padrão
e o denotamos por ∆q .
Claramente temos que ∆q é compacto (fechado e limitado). Além disso, observemos
que devido ao item (b) da definição acima 5.1, podemos substituir o item (a) desta por
(a0 ) 0 ≤ xi , i = 0, 1, . . . q. Assim, podemos pensar em ∆q como sendo a intersecção do
q
X
hiperplano
xi = 1 com o “quadrante” positivo formado pelo conjunto dos xi ≥ 0.
i=0
Em particular, como a intersecção finita de conjuntos convexos é ainda um conjunto
convexo (basta tomar dois pontos quaisquer na intersecção e o resultado segue da convexidade de cada um) temos, que ∆q é convexo (todo seguimento cujas extremidades estão
em ∆q encontram-se em ∆q ).
Em dimensões mais baixas podemos facilmente retratar um q-simplexo padrão, por
exemplo, ∆0 é um simples ponto, ∆1 é um segmento (vide tabela 5.1) e ∆2 é um triângulo
equilátero (vide tabela 5.1). O 3-simplexo padrão ∆3 seria um tetraedro regular e assim
por diante.
34
5. Teoria da Homologia Singular
Tabela 5.1: 1-simplexo padrão e 2-simplexo padrão.
x
1
1
e
x
1
1
e
D1
0 x
e
0
1-simplexo padrão.
2
e
x
2
0 x
e
0
2-simplexo padrão.
Os pontos unitários ej = (0, . . . , 0, |{z}
1 , 0, . . . , 0) de Rq+1 apresentados nas figuras
j
acima, na tabela 5.1, estão em ∆q e são chamados vértices de ∆q .
5.2
Aplicações Lineares de ∆q para Rn
Definição 5.2 (Aplicação Linear de ∆q para Rn ). Uma aplicação f : ∆q −→ K ⊆ Rn
é chamada linear se existe uma aplicação linear, no sentido usual, F : Rq+1 −→ Rn tal
que F |∆q = f .
Desse modo, dados p0 , p1 , . . . , pq ∈ Rn pontos arbitrários, então existe uma única
q
X
aplicação linear f : ∆q −→ Rn tal que f (ei ) = pi , a saber, f (x) =
xi pi . A imagem
f (∆q ) consiste de todos os pontos p =
q
X
i=0
xi pi de Rn , com 0 ≤ xi ≤ 1 e
i=0
q
X
xi = 1.
i=0
Assim temos que as aplicações lineares de ∆q são completamente determinadas por
seus valores nos vértices e esses valores podem ser prescritos!
5.2.1
O Operador Face
Como visto na seção anterior, podemos determinar as aplicações lineares de ∆q para Rn
simplesmente conhecendo os seus valores nos vértices. Em particular, consideremos a
seguinte aplicação linear:
Definição 5.3 (Operador da j-ésima Face). Uma aplicação linear εjq : ∆q−1 −→ ∆q tal
que para cada ei ∈ ∆q−1 , i = 0, . . . , q − 1, temos
εjq (ei ) =

ei
, para i < j
ei+1 , para i ≥ j
,
5.3. O Complexo de Cadeia Singular
35
denominamos de operador da j-ésima face do q-simplexo padrão ∆q .
A imagem de εjq consiste de todos os pontos x ∈ ∆q tal que xj = 0, e é denominada
de j-ésima face de ∆q .
Ainda, se tomarmos a união das (q + 1) faces de ∆q teremos o que chamamos de bordo
˙ q . Em outras palavras, o bordo de ∆q consiste de todos
de ∆q , que será denotado por ∆
os pontos x ∈ ∆q com pelo menos uma de suas coordenadas igual a zero.
Aproveitando o momento, notemos o seguinte lema que iremos usar na próxima seção.
Lema 5.4. Se k < j temos que εjq+1 εkq = εkq+1 εj−1
q .
Demonstração.
De fato, veja que em ambos os lados da igualdade temos que ei 7→ ei para i < k,
ei 7→ ei+1 para k ≤ i < j − 1 e que ei 7→ ei+2 para i ≥ j − 1.
5.3
O Complexo de Cadeia Singular
O nosso intuito nesta seção é construir um funtor que leva espaços topológicos em complexos de cadeia. Este funtor recebe o nome de complexo de cadeia singular.
5.3.1
Simplexos Singulares e Seus Grupos Abelianos Livres
Definição 5.5 (q-Simplexo Singular). Seja X um espaço topológico. Um q-simplexo
singular de X é uma aplicação contínua σq : ∆q −→ X, para q ≥ 0.
Assim, podemos considerar o conjunto formado por todos os q-simplexos singulares.
Este conjunto gera um grupo abeliano livre, que será denotado por Sq X, cujos elementos
cq ∈ Sq X são chamados de q-cadeias singulares de X.
Por definição, cada c ∈ Sq X tem uma única representação como combinação linear
X
finita de q-simplexos singulares σq , c =
cσq σq , com cσq ∈ Z.
Observação 5.6. Na verdade, os coeficientes cσq tomados acima não precisam ser números
inteiros, podem pertencer a qualquer anel. No entanto, estamos intencionando nosso
trabalho para estudarmos e desenvolvermos alguns resultados mais ao final.
Observação 5.7. Como em geral, não iremos fazer distinção entre um simplexo singular
σ e a cadeia c cujo único coeficiente diferente de zero é cσ = 1. E também para q < 0
colocaremos Sq X = 0.
5.3.2
O Operador Bordo e o Complexo de Cadeia Singular
Definição 5.8 (Operador Bordo). Um homomorfismo ∂q : Sq X −→ Sq−1 X tal que
q
X
∂q (σq ) =
(−1)j (σq εjq ), onde εjq : ∆q−1 −→ ∆q denota o operador da j-ésima face
j=0
de ∆q , vide 5.3, definimos como sendo o operador bordo.
36
5. Teoria da Homologia Singular
∂q+1
∂q
Proposição 5.9. A sequência · · · −→ Sq+1 X −→ Sq X −→ Sq−1 X −→ · · · é um complexo
de cadeia, i.e., ∂q ∂q+1 = 0, ∀ q. Este complexo de cadeia é chamado complexo de cadeia
singular de X e é denotado por (SX, ∂).
Demonstração.
Seja σq+1 ∈ Sq+1 X. Então,
q+1
X
def.
∂q ∂q+1 (σq+1 ) = ∂q
!
j
(−1)
(σq+1 εjq+1 )
Lin.
=
q+1
X
(−1)j ∂q σq+1 εjq+1
j=0
j=0
q
X
(−1)k (σq+1 εjq+1 )εkq
q+1
X
def.
(−1)j
=
j=0
!
=
XX
j≤k
=
j=0 k=0
(−1)j+k (σq+1 εjq+1 εkq ) +
k=0
q
XX
j≤k
j>k
j+k
(−1)
(σq+1 εjq+1 εkq )
j>k
j≤q+1
=
j≤k
j+k
(−1)
(σq+1 εjq+1 εkq )
k=0
j≥0
k=0
q
X X
(∗)
+
(−1)j+k (σq+1 εkq+1 εj−1
q ) =
k=0
q
XX
X X
5.4
(−1)j+k (σq+1 εjq+1 εkq ) =
j≤q+1
j≥0
(∗)
(−1)j+k (σq+1 εjq+1 εkq ) =
q
j≥0
5.4
q+1 q
X
X
k=0
q
=
def.
=
+
k=0
q
XX
k≥j
(−1)j+k+1 (σq+1 εjq+1 εkq ) =
j=0
k≤q
= 0.
(∗) substituição na segunda soma de k por j e j − 1 por k, ou equivalentemente j por
k + 1.
Logo, ∂q ∂q+1 = 0 para todo q + 1-simplexo singular pertencente a base de Sq+1 X, e
portanto ∂q ∂q+1 = 0 para toda q + 1-cadeia singular pertencente a Sq+1 X.
Como o índice q ∈ Z que tomamos é arbitrário, terminamos.
5.3.3
A Aplicação de Cadeia
Dados f : X −→ Y uma aplicação contínua entre espaços topológicos e σq : ∆q −→ X um
q-simplexo singular de X então temos que a composta f ◦ σq : ∆q −→ Y é um q-simplexo
singular de Y , e assim temos um homomorfismo
Sq f : Sq X −→ Sq Y dado por (Sq f )(σq ) = f ◦ σq .
Logo, podemos formular a seguinte proposição:
Proposição 5.10. A sequência de homomorfismos Sq f : Sq X −→ Sq Y , com q ∈ Z, é
uma aplicação de cadeia.
5.4. Generalização para Pares de Espaços Topológicos
37
Demonstração. De fato, seja σ ∈ Sq X. Então
def.
∂qY (Sq f )(σ) =
def.
∂qY (f σ) =
q
q
X
X
j
j
(−1)j f (σεjq ) =
(−1) (f σ)εq =
j=0
j=0
q
=f
!
X
(−1)j σεjq
= f (∂qX σ) = (Sq−1 f )∂qX (σ).
j=0
Como o índice q ∈ Z tomado é qualquer, temos que ∂qY (Sq f ) = (Sq−1 f )∂qX , ∀ q ∈ Z.
Assim, passaremos a denotar uma aplicação de cadeia entre dois complexos de cadeia
singulares (SX, ∂ X ) e (SY, ∂ Y ) por Sf : SX −→ SY .
f
g
Proposição 5.11. Dados X −→ Y −→ Z aplicações contínuas entre espaços topológicos
então S(g ◦ f ) = (Sg) ◦ (Sf ) e S(idX ) = idSX .
Demonstração. Seja σ ∈ SX. Então
def.
def.
def.
def.
def.
[S(g ◦ f )] (σ) = (g ◦ f )(σ) = g(f (σ)) = g(Sf (σ)) = (Sg)(Sf (σ)) = [(Sg) ◦ (Sf )] (σ).
Agora tomemos idX : X −→ X, então
def.
[S(idX )] (σ) = idX (σ) = σ ⇒ S(idX ) = idSX .
Portanto, acabamos de mostrar que S é um funtor de espaços topológicos para
complexos de cadeia, em notação, S :Top−→ ∂A G.
5.4
Generalização para Pares de Espaços Topológicos
Nesta seção vamos generalizar o que fizemos anteriormente trabalhando agora sob pares
de espaços topológicos.
Sejam (X, A) um par de espaços topológicos e i : A −→ X a aplicação inclusão. Então,
temos que Si : SA −→ SX é um monomorfismo, pois Ker(Si) = {0}. Além disso, Si
é uma aplicação de cadeia e temos portanto que Im(Si) = SA forma um subcomplexo
de cadeia singular do complexo de cadeia singular (SX, ∂), no sentido apresentado na
seção 3.1 e exemplo 3.4.
formar
o complexo de cadeia singular relativo de (X, A),
Assim, podemos
SX ¯
¯
S(X, A), ∂ = SA , ∂ , onde ∂¯ denota o homomorfismo induzido no quociente SX
pelo
SA
operador bordo ∂ de (SX, ∂).
38
5. Teoria da Homologia Singular
Seja Sj : SX −→ S(X, A) a aplicação que atribui a cada elemento de SX a sua classe
lateral em S(X, A). Então Sj é uma aplicação de cadeia, vide seção 3.1, e
Sj
Si
0 −→ SA −→ SX −→ S(X, A) −→ 0
(5.1)
é uma sequência exata curta das aplicações de cadeia Si e Sj. Além disso, temos que
esta sequência 5.1 se fatora em todos os seus níveis, ou seja, temos que vale ∀ q ∈ Z que
Sq X = Sq A ⊕ Sq (X, A) (para a equivalência dessas afirmações vide a proposição 4.13 e
a observação 4.14), pois se tomarmos a base {σq : ∆q −→ X} de Sq X temos que ela
se divide em duas partes: As dos q-simplexos padrão que chegam em A ⊂ X e a dos
q-simplexos padrão que não chegam em A ⊂ X. Os q-simplexos padrão que chegam em A
formam uma base para Sq A e os que não chegam em A formam uma base para
Sq (X, A).
¯
Notemos que com as construções que já fizemos, temos que S(X, ∅), ∂ = SX, ∂ .
Também, dado uma aplicação de pares f : (X, A) −→ (Y, B), temos que ela induz um
diagrama comutativo
/
0
0
/
SA
/
S(f |A)
SX
SB
/
/ S(X, A)
Sf
SY
/
/
0
Sf
S(Y, B)
/
0
de aplicações de cadeia com linhas exatas, onde a aplicação Sf é obtida de Sf passando-se
para os quocientes.
Facilmente podemos ver que sequências exatas curtas de complexos de cadeias
singulares e suas aplicações de cadeia formam uma categoria, que passaremos a
denotar por S ∂S.
Além disso, as propriedades postas na proposição 5.11 são transferidas para pares de
espaços topológicos.
Portanto, podemos ver S como um funtor de pares de espaços topológicos
para sequências exatas curtas de complexos de cadeias singulares, em notação,
S :Top (2) −→S ∂S.
5.5
A Homologia Singular
Definição 5.12 (Grupo de Homologia Singular). Os grupos de homologia singular de
um espaço topológico X (resp. um par de espaços topológicos (X, A)) são, por definição, os
¯
grupos de homologia do complexo de cadeia singular (SX, ∂) (resp. (S(X, A), ∂)).
Escrevemos HX = HSX (resp. H(X, A) = HS(X, A)).
Os grupos de homologia singular H(X, A) são também chamados de grupos de homologia relativos de X mod A, em contraste com os grupos de homologia absolutos
HX.
5.5. A Homologia Singular
39
Seja z ∈ SX. Dizemos que z é um ciclo mod A se ∂(z) ∈ SA. Dizemos também que
z é um bordo mod A se ∃ x ∈ SX e um y ∈ SA tal que z = ∂(x) + y.
Desse modo, temos que o grupo de homologia relativo Hq (X, A) é então o quociente
do grupo de q-ciclos mod A pelo grupo de q-bordos mod A, em notação
H(X, A) =
Z(X, A)
.
B(X, A)
Seja f : (X, A) −→ (Y, B) uma aplicação de pares. Então temos que Sf : S(X, A) −→
S(Y, B) é uma aplicação de cadeia e logo induz homomorfismos em homologia Hf = f∗ :
H(X, A) −→ H(Y, B). Portanto, isto transforma a homologia singular em um funtor
de pares de espaços topológicos para grupos abelianos graduados. Por definição, ele é
composto de
S
H
Top (2) −→ ∂A G −→ G A G.
Consideremos agora a sequência exata curta de aplicações de cadeia, já construída
anteriormente,
Sj
Si
0 −→ SA −→ SX −→ S(X, A) −→ 0.
O homomorfismo de conexão ∂∗ : Hq+1 (X, A) −→ Hq A é chamado homomorfismo
de conexão de (X, A), e a sequência exata
∂
j∗
i
∂
j∗
i
∗
∗
∗
∗
· · · −→
Hq+1 A −→
Hq+1 X −→ Hq+1 (X, A) −→
Hq A −→
Hq X −→ · · ·
é chamada sequência de homologia de (X, A).
Ainda, dada f : (X, A) −→ (Y, B) uma aplicação de pares então
Hq+1 A
(f |A)∗
Hq+1 B
/ Hq+1 X
/
Hq+1 (X, A)
f∗
/ Hq+1 Y
/
f¯∗
Hq+1 (Y, B)
/
Hq A
(f |A)∗
/ Hq B
/ Hq X
f∗
/ Hq Y
é um diagrama comutativo com linhas exatas.
Observação 5.13. O leitor já deve ter percebido que quase tudo o que fizemos anteriormente neste trabalho para complexos de cadeia e homologia, foi transferido para o nível
singular. Falta agora, mostrarmos a sua invariância por homotopia, ou seja, que uma homotopia no nível de espaços topológicos induz uma homotopia de cadeia no nível singular.
Faremos isso no próximo capítulo.
Observação 5.14. Podemos estender tudo o que fizemos até agora para triplas de espaços
topológicos (X, A, B). Porém esta noção não será utilizada neste trabalho.
40
5. Teoria da Homologia Singular
5.6
Algumas Aplicações e Casos Especiais
Vamos agora estudar algumas aplicações e alguns casos especiais da homologia singular.
Seja P ∈ Rn um único ponto. Vamos encontrar quem é o grupo de homologia singular
de P , HP .
Como P ∈ Rn é um único ponto, para cada q ≥ 0, temos que ∃! q-simplexo singular
τq : ∆q −→ P , a saber, τq (x) = P, ∀ x ∈ ∆q ⊂ Rq+1 . Logo, os grupos abelianos livres Sq P
gerados pelos τq serão formados apenas por múltiplos de τq , portanto, para cada q ≥ 0,
temos que Sq P ∼
= A, onde A é o anel dos escalares que multiplicam τq em Sq P .
Como estamos admitindo A = Z neste trabalho, esses grupos abelianos livres serão
todos isomorfos a Z.
Precisamos ainda saber quem será o operador bordo entre esses grupos. Por definição,
temos que
q
q
X
X
j
j (∗)
(−1) τq εq =
(−1)j τq−1 , para q > 0.
∂q (τq ) =
j=0
j=0
(∗) pois τq εjq pertence a base de Sq−1 P = [τq−1 ].
Sendo assim, temos dois casos a considerar:
1o Caso: Se q > 0 for ímpar.
∂q (τq ) =
q
X
j
(−1) τq−1 =
j=0
q+1
2
q+1
parcelas de τq−1 +
parcelas de −τq−1 = 0 ⇒ ∂q ≡ 0.
2
2o Caso: Se q > 0 for par.
∂q (τq ) =
q
q
q X
(−1)j τq−1 =
+ 1 parcelas de τq−1 +
parcelas de −τq−1 = τq−1 ⇒ ∂q = idZ .
2
2
j=0
Logo, o complexo de cadeia singular (SP, ∂) é
∂4 =id
∂ ≡0
∂2 =id
∂ ≡0
∂ ≡0
3
1
0
· · · −→ Z −→Z Z −→
Z −→Z Z −→
Z −→
0 −→ · · ·
Logo,
H0 P =
Z
Z
0
= Z, Hi P = = 0, para i > 0 ímpar e Hi P = = 0, para i > 0 par e i < 0.
0
Z
0
(5.2)
Portanto, HP = (Z, 0).
Definição 5.15 (Homomorfismo Aumento). Sejam X um espaço topológico e γ : X −→
P , onde P denota um único ponto, uma aplicação constante. Então, temos que γ induz
um homomorfismo em homologia γ∗ = γ∗X : HX −→ HP que recebe o nome aumento.
5.6. Algumas Aplicações e Casos Especiais
41
Vejamos que se f : X −→ Y é uma aplicação contínua, temos que
f∗
HX
#
γ∗X
HP
/
{
HY
γ∗Y
é um diagrama tal que γ∗Y f∗ = γ∗X (Naturalidade de γ∗ ). Em particular, as aplicações
f̃ = f∗ |Ker(γ∗X ) levam o Ker(γ∗X ) no Ker(γ∗Y ). Assim, podemos ver os grupos Ker(γ∗ )
como funtores da categoria dos espaços topológicos para a categoria dos grupos abelianos
graduados, e assim definimos:
Definição 5.16. Os grupos H̃ q X = Ker(γ∗ : Hq X −→ Hq P ) são chamados de grupos
de homologia reduzida de X.
Observe que pelo exemplo anterior, relação 5.2, temos que HP = (Z, 0) e assim temos
que se q 6= 0 então H̃ q X = Hq X. E o que acontece no nível q = 0? Notemos que
se X 6= ∅ então qualquer aplicação ` : P −→ X é uma inversa à direita para γ, pois
(γ ◦ `)(P ) = γ(`(P )) = P ⇒ γ ◦ ` = idP , e assim, esta composição induzida em homologia
é tal que γ∗ ◦ `∗ = id. Portanto, para q = 0 temos que
/
0
i∗
H̃ 0 X
/
γ∗
H0 X l
,
H0 P
/0
`∗
é uma sequencia exata curta que se fatora em todos os seus níveis, e portanto, H0 X =
Im(`∗ )0 ⊕Ker(γ∗ )0 = Z⊕H̃ 0 X, ou seja, no nivel zero, a homologia reduzida e não-reduzida
se diferem apenas por uma soma direta de Z.
Além disso, se tomarmos a sequência exata do par (X, P ),
`
k
∗
∗
0 −→ H0 P −→
H0 X −→
H0 (X, P ) −→ 0
teremos que H0 X = Im(`∗ )0 ⊕ Im(k∗ )0 = Z ⊕ H0 (X, P ), e pelo que obtivemos anteriormente e agora, temos que k∗ : H̃ 0 X ∼
= H0 (X, P ).
Tomemos agora (X, A) um par de espaços topológicos com A 6= ∅. Então, temos as
aplicações de pares
γ
`
(X, A) −→ (P, P ) −→ (X, A), tal que γ ◦ ` = id(P,P ) .
Do mesmo modo como anteriormente, esta última relação induzida em homologia é
tal que γ∗ ◦ `∗ = id, e assim, tomando as sequências longas de homologia dos pares de
42
5. Teoria da Homologia Singular
espaços (X, A) e (P, P ) obteremos
..
.
0
/
..
.
H̃ i+1 (X, A)
/
0
/
(X,A)
γ∗
Hi+1 (X, A) n
∂∗
..
.
/
H̃ i (A)
∂∗
.
/
0
/
0
/
0
/
0
/
0
Hi+1 (P, P )
`∗
γ∗A
-
Hi (A) l
∂∗
Hi (P )
`∗
/
0
/
H̃ i (X)
γ∗X
-
Hi (X) m
Hi (P )
`∗
0
/
/
H̃ i (X, A)
(X,A)
γ∗
Hi (X, A) m
-
Hi (P, P )
`∗
0
/
∂∗
∂∗
/ Hi−1 (A) m
H̃ i−1 (A)
γ∗A
-
∂∗
Hi−1 (P )
`∗
..
.
..
.
..
.
que é um diagrama com linhas e colunas exatas. Observe que claramente temos que
Hi (P, P ) = 0, e portanto, H̃ i (X, A) ∼
= Hi (X, A). Assim
Proposição 5.17. Se (X, A) é um par de espaços com A 6= ∅, então temos uma sequência
exata
∂
i
j∗
∂
i
j∗
∗
∗
∗
∗
· · · −→
H̃q+1 A −→
H̃q+1 X −→ Hq+1 (X, A) −→
H̃q A −→
H̃q X −→ · · ·
que é chamada sequência de homologia reduzida de (X, A).
O nome aumento que usamos para definir a aplicação γ é também frequentemente
usado para nomear a aplicação de cadeia η = η X : SX −→ (Z, 0), que leva cada zero
simplexo singular σ0 em 1 ∈ Z.
Esta aplicação no entanto, está intimamente relacionada com γ, pois temos que η X =
η P ◦ γ X . Além disso, a aplicação η P : SP −→ (Z, 0) é claramente uma equivalência de
homotopia.
Observemos também que Ker(η∗ ) = Ker(γ∗ ) = H̃ X. Portanto, o perigo de confundir
os dois aumentos γ e η não é tão grave.
Observação 5.18. Na literatura, o nome “índice” também é usado para a aplicação de
cadeia η.
Já mostramos anteriormente que os grupos de homologia singular de um único ponto
são tais que HP = (Z, 0). Assim, claramente temos que H̃ P = Ker(γ∗ ) = Ker(η∗ ) = 0.
5.6. Algumas Aplicações e Casos Especiais
43
Consideremos agora conjuntos convexos de Rn . Vamos mostrar que sua homologia
reduzida se revela ser igualmente trivial.
Proposição 5.19. Se X 6= ∅ é um subespaço convexo do espaço Euclidiano Rn então o
aumento η : SX −→ (Z, 0) é uma equivalência de homotopia. Em particular temos que
H̃X = 0.
Demonstração. O método da demonstração que faremos é conhecido como “construção
cone” e nos basearemos no livro 2.
Seja P ∈ X.
Para cada σq : ∆q −→ X, q ≥ 0, definamos (P • σq ) : ∆q+1 −→ X tal que
(P • σq )(x0 , . . . , xq+1 ) =

P
, se x0 = 1
x0 P + (1 − x0 )σq
xq+1
x1
, . . . , 1−x
1−x0
0
(5.3)
, se x0 6= 1
Isto define homomorfismos
Pq : Sq X −→ Sq+1 X tal que Pq (σq ) = P • σq .
Se pensarmos intuitivamente, temos que P • σq é obtido pela projeção de σq a partir
do novo vértice P , ou ainda, pela ereção do cone com vértice P sobre σq (por isso o nome
“construção cone” para este método de demonstração). Veja a figura abaixo:
s
Ps
P
Figura 5.1: Projeção de σ sobre P .
Recordemos que εjq+1 : ∆q −→ ∆q+1 , e então faz sentido calcularmos (P • σq )εjq+1 :
∆q −→ X, e é isso o que faremos agora:
def.
(P • σq )εjq+1 (x0 , . . . , xq ) = (P • σq )(x0 . . . , xj−1 , 0, xj , . . . , xq ).
def.
Vejamos que se j = 0, temos que (P • σq )(0, x0 . . . , xq ) = σq (x0 , . . . , xq ).
44
5. Teoria da Homologia Singular
def.
Se q = 0 e j = 1, temos que (P • σq )(x0 , 0) = P . E se q > 0 e j > 0 temos que
def.
(P • σq )(x0 . . . , xj−1 , 0, xj , . . . , xq ) =
x1
xj−1
xj
xq
def.
= x0 P + (1 − x0 )σq
,...,
, 0,
,...,
=
1 − x0
1 − x0
1 − x0
1 − x0
x1
xq
def.
j−1
,...,
=
= x0 P + (1 − x0 )(σq εq )
1 − x0
1 − x0
def.
= [P • (σq εqj−1 )](x0 , . . . , xq ).
Se nós definirmos agora uma aplicação de cadeia P̂ : (Z, 0) −→ SX dada por P̂ (m) =
mP , podemos então expressar o resultado que obtivemos acima como segue:
j
1
(P • σq )ε0q+1 = σq , (P • σq )εj+1
q+1 = P • (σq εq ) para q > 0 e (P • σ0 )εq+1 = (P̂ η)(σ0 ).
(5.4)
Tomando somas alternadas em 5.4 obtemos
∂q+1 Pq = id − Pq−1 ∂q , para q > 0, e ∂1 P0 = id − (P̂ η)0 ,
ou seja, {Pq } é uma homotopia id ' P̂ η. Claramente η P̂ = id.
Corolário 5.20. Se Y
Hq (Rn , Y ) ∼
=H̃q−1 Y .
⊂
Rn é qualquer subespaço não-vazio então ∂∗
:
Demonstração. Basta construirmos a sequência de homologia reduzida 5.17 de (Rn , Y ), e
como H̃ Rn = 0, pela proposição anterior 5.19, o resultado segue.
45
Capítulo 6
Teoria da Homotopia entre Espaços
Topológicos e Homotopia de Cadeias
Nesta seção vamos unir as ideias de homotopia de aplicações contínuas entre espaços
topológicos e homotopia de aplicações de cadeias.
Para começar, vamos recordar que duas aplicações contínuas entre espaços topológicos
f, g : X −→ Y são homotópicas, se existe uma deformação Φ : X × [0, 1] −→ Y tal que
Φ0 = f e Φ1 = g. Do mesmo modo temos para aplicações de pares entre pares de espaços
topológicos.
O principal resultado que queremos provar neste capítulo é o que segue:
Teorema 6.1. Sejam f, g : (X, A) −→ (Y, B) aplicações de pares entre pares de espaços
topológicos. Se f e g são homotópicas então as aplicações de cadeia Sf, Sg : S(X, A) −→
S(Y, B) também o são.
Antes de o demonstramos, pois precisaremos de outros resultados que vamos ainda
desenvolver, notemos três corolários importantes que podemos extrair do mesmo.
Corolário 6.2. Se f, g : (X, A) −→ (Y, B) são aplicações de pares homotópicas então
f∗ = g∗ : H(X, A) −→ H(Y, B).
Demonstração. Como f e g são aplicações homotópicas, pelo teorema anterior 6.1 temos
que as aplicações de cadeia Sf e Sg também são homotópicas. Como já mostramos
que aplicações de cadeia homotópicas induzem o mesmo homomorfismo em homologia,
vide 4.7, terminamos.
Corolário 6.3. Se (X, A) ' (Y, B) então H(X, A) ∼
= H(Y, B).
f
f−
Demonstração. Como (X, A) ' (Y, B), temos que (X, A) −→ (Y, B) −→ (X, A) são
equivalências de homotopia recíprocas, ou seja, existem aplicações f : (X, A) −→ (Y, B) e
f − : (Y, B) −→ (X, A) tais que f f − ' id(Y,B) e f − f ' id(X,A) , e pelo corolário anterior 6.2,
temos que f∗ f∗− = id∗ = id e f∗− f∗ = id∗ = id, e portanto, em particular, f∗ : H(X, A) −→
H(Y, B) é um isomorfismo.
46
6. Teoria da Homotopia entre Espaços Topológicos e Homotopia de Cadeias
Corolário 6.4. Se X é contrátil, X ' P , então H̃X = 0.
Demonstração.
Ora, podemos incorporar a categoria Top na categoria Top (2) e ver X como o par de
espaços (X, ∅) e P como o par de espaços (P, ∅). E assim, pela hipótese, teremos que
(X, ∅) ' (P, ∅), o que implica que H(X, ∅) ∼
= H(P, ∅), pelo corolário anterior 6.3. Como
H̃ (P, ∅) =H̃ (P ) = 0, segue que H̃ X =H̃ (X, ∅) = 0.
Podemos ilustrar o que estamos construindo, e o que já construímos, com o seguinte
diagrama comutativo de funtores:
/
S
Top
∂A G
H
$
G: A G
π
π
/
Htp
S̄
H̄
H∂ G
onde π denota a passagem para classes de homotopia.
O teorema 6.1 afirma que a seta tracejada S̄ existe. A proposição 4.7 mostra que a
seta H̄ existe. O corolário 6.2 somente diz que (H̄ S̄) existe e 6.3 comenta que H̄ S̄ leva
equivalências em equivalências (como qualquer funtor faz).
Um fato interessante, e que não entraremos em detalhe, é que se f : (X, A) −→ (Y, B)
é uma equivalência de homotopia então também são f : X −→ Y e f |A : A −→ B. A
recíproca desta afirmação não é verdadeira. Um contra-exemplo é dado tomando X =
Y = [0, 1], A = {0} ∪ {1}, B = [0, 1] − { 21 } e f =inclusão. No entanto, no nível de cadeia,
essa recíproca é verdadeira, vide proposição 4.21.
Então vamos agora caminhar para demonstrarmos o teorema 6.1.
Para a sua prova, vamos precisar de um resultado importantíssimo cuja demonstração é
devida a Eilenberg-MacLane (por volta de 1953). E além disso, essa prova ficou conhecida
como típica do método dos “modelos acíclicos”, criado por eles. Vejamos:
Teorema 6.5. Se F 0 , F 1 : SX −→ S(X × [0, 1]) são aplicações de cadeia naturais tais
que as duas composições
F 0 ,F 1
η
S∆0 −→ S(∆0 × [0, 1]) −→ (Z, 0)
coincidem então existe uma homotopia natural s : F 0 ' F 1 . A naturalidade de ϕ =
F 0 , F 1 , ou s, significa que ϕ é definida para todos os espaços X e que
SX 0
ϕ
/
h
S(X 0 × [0, 1])
SX
ϕ
/
h×id
S(X × [0, 1])
(6.1)
6. Teoria da Homotopia entre Espaços Topológicos e Homotopia de Cadeias
47
comuta para toda aplicação contínua h : X 0 −→ X.
Demonstração.
Queremos mostrar que satisfazendo-se as hipóteses dadas, existe uma homotopia natural s entre F 0 e F 1 que é por definição uma sequência de homomorfismos sq : Sq X −→
S(X×[0,1])
Sq+1 (X × [0, 1]) tal que ∂q+1
sq + sq−1 ∂qSX = Fq0 − Fq1 , ∀ q ∈ J ⊆ Z.
Suponhamos indutivamente que já encontramos sk : Sk X −→ Sk+1 (X × [0, 1]) com
S(X×[0,1])
∂k+1
sk + sk−1 ∂kSX = Fk0 − Fk1 para k < q.
(6.2)
Consideremos agora o complexo de cadeia singular S∆q , onde ∆q denota o q-simplexo
padrão, e seja id∆q ∈ Sq (∆q ) a aplicação identidade de ∆q . Agora calculamos:
∂qS(∆q ×[0,1]) Fq0 id∆q − Fq1 id∆q − sq−1 ∂qS∆q id∆q =
= ∂qS(∆q ×[0,1]) Fq0 id∆q − ∂qS(∆q ×[0,1]) Fq1 id∆q − ∂qS(∆q ×[0,1]) sq−1 ∂qS∆q id∆q =
6.2
0
1
= Fq−1
∂qS∆q id∆q − Fq−1
∂qS∆q id∆q − ∂qS(∆q ×[0,1]) sq−1 ∂qS∆q id∆q =
6.2
S∆
0
1
0
1
= Fq−1
∂qS∆q id∆q − Fq−1
∂qS∆q id∆q − Fq−1
− Fq−1
− sq−2 ∂q−1q ∂qS∆q id∆q =
S∆q
S∆q
S∆q S∆q
0
1
0
1
= Fq−1 − Fq−1 ∂q id∆q − Fq−1 − Fq−1 ∂q id∆q + sq−2 ∂q−1 ∂q
id∆q =
= 0 + 0 = 0.
S∆q
Assim, temos que Fq0 id∆q − Fq1 id∆q − sq−1 ∂q
id∆q é um q-ciclo.
Se q = 0, temos que
η0 F00 id∆0 − F01 id∆0 − s−1 ∂0S∆0 id∆0 = η0
F00 − F01 id∆0 − 0 × id =
= η0 (F00 − F01 )(id∆0 ) = η0 F00 − η0 F01 (id∆0 ) =
= 0,
pois ηF 0 = ηF 1 por hipótese.
Logo, F00 id∆0 − F01 id∆0 − s−1 ∂0S∆0 id∆0 é um bordo, pois ∆q × [0, 1] é convexo, vide
S(∆ ×[0,1])
proposição 5.19, ou seja, existe b ∈ Sq+1 (∆q × [0, 1]) com ∂q+1 q
b = Fq0 id∆q − Fq1 id∆q −
S∆
sq−1 ∂q q id∆q .
Agora defina
sq : Sq X −→ Sq+1 (X × [0, 1]) tal que sq (σq ) = (σq × id)b,
onde σq : ∆q −→ X varia sobre todos os q-simplexos singulares de X.
Vamos agora verificar a naturalidade de 6.1 e a fórmula 6.2 para k = q.
48
6. Teoria da Homotopia entre Espaços Topológicos e Homotopia de Cadeias
Seja σq0 : ∆q −→ X 0 . Então
def.
def.
def.
(h × id)sq σq0 = (h × id)(σq0 × id)b = (hσq0 × id)b = sq (hσq0 ) = (sq h)σq0 .
O que prova a naturalidade. Além disso,
S(X×[0,1])
∂q+1
def. S(X×[0,1])
S(X×[0,1])
S(X×[0,1])
sq σq = ∂q+1
(sq σq ) = ∂q+1
(σq × id)b = (σq × id)∂q+1
b=
= (σq × id) Fq0 id∆q − Fq1 id∆q − sq−1 ∂qSX id∆q =
= Fq0 σq id∆q − Fq1 σq id∆q − sq−1 σq ∂qSX id∆q =
= Fq0 σq − Fq1 σq − sq−1 ∂qSX σq id∆q =
= Fq0 − Fq1 − sq−1 ∂qSX σq ,
o que prova a fórmula 6.2.
Vamos então demonstrar o teorema 6.1.
Demonstração. (Demonstação do teorema 6.1:)
Para cada espaço topológico X, tomemos as inclusões
F t : X −→ X × [0, 1] tal que F t (x) = (x, t), 0 ≤ t ≤ 1.
Como essas inclusões são contínuas, temos que elas definem aplicações de cadeia naturais
F t : SX −→ S(X × [0, 1]).
Observe que a sequência de aplicações de cadeia
F t ,F k
η
S∆0 −→ S(∆0 × [0, 1]) −→ (Z, 0), com 0 ≤ t, k ≤ 1
é tal que
ηq Fqt = ηq Fqk , ∀ q ∈ J ⊆ Z e 0 ≤ t, k ≤ 1,
(6.3)
pois
Para q = 0:
η0 F0t (σ0 ) = η0 (σ0 , t) = 1 = η0 (σ0 , k) = η0 F0k (σ0 ), ∀ t, k ∈ [0, 1].
Para q 6= 0:
ηq Fqt (σq ) = ηq (σq , t) = 0 = ηq (σq , k) = ηq Fqk (σq ), ∀ t, k ∈ [0, 1].
Em particular, a relação 6.3 continua válida para t = 0 e k = 1. Logo, pelo teorema 6.5
existe uma homotopia natural s : F 0 ' F 1 .
6. Teoria da Homotopia entre Espaços Topológicos e Homotopia de Cadeias
49
Se A ⊂ X é um subespaço, então F t |A : A −→ A×[0, 1] é ainda contínua, F t |A(SA) ⊂
S(A×[0, 1]) e pela naturalidade de s temos que s(SA) ⊂ S(A×[0, 1]). Assim, passando-se
para quocientes obtemos
F̄ t : S(X, A) −→ S(X × [0, 1], A × [0, 1]) e s̄ : F̄ 0 ' F̄ 1 .
Consideremos agora uma homotopia Φ : f ' g, como em nossa hipótese. Assim temos
que F t e Φ são tais que
Ft
Φ
(X, A) −→ (X × [0, 1], A × [0, 1]) −→ (Y, B)
e assim, Φt = Φ ◦ F t . Logo, passando-se para quocientes temos que Φ̄t = Φ̄ ◦ F̄ t :
S(X, A) −→ S(Y, B).
Portanto,
Sf = Φ̄0 = Φ̄ ◦ F̄ 0 ' Φ̄ ◦ F̄ 1 = Φ̄1 = Sg
.
51
Referências Bibliográficas
[1] Brown, Robert F., The Lefschetz Fixed Point Theorem, Scott Foresman Company,
1971.
[2] Dold, A., Lectures on Algebraic Topology, Springer Verlag, no 200, 1980.
[3] Galves, A. P. T., O Teorema de Lefschetz-Hopf e sua relação com outros teoremas clássicos da topologia, Dissertação (Mestrado em Matemática)- Instituto de Biociências,
Letras e Ciências Exatas, UNESP, São José do Rio Preto, 2009.
[4] Garcia, A., Lequain, Y., Elementos de Álgebra, Projeto Euclides, 5a ed., IMPA, Rio
de Janeiro, 2010.
[5] Jacobson, N., Basic Algebra I, W. H. Freeman Company, 1985.
[6] Lang, S., Estruturas Algébricas, Ao Livro Técnico S.A., Rio de Janeiro, 1972.
[7] Hoffman, K. M., Kunze, R. A., Álgebra Linear, Livros Técnicos e Científicos, 2a ed.,
Rio de Janeiro, 1979.
[8] Maunder, C. R. F., Algebraic Topology, Van Nostrand Rinhold Company, London,
1970.
[9] Miranda J., Tavares G., Métodos Simpliciais em Computação Gráfica, 17o Colóquio
Brasileiro de Matemática, Rio de Janeiro, 1989.
[10] Monteiro, L. H. J., Elementos de Álgebra, Ao Livro Técnico S.A., Rio de Janeiro,
1969.
[11] Penteado, Dirceu, Cálculos de Homologia e Cohomologia Simplicial, Notas do mini
curso da Reunião Regional da SBM, na UFSCar, abril de 1995.