I. TEORIA DOS CONJUNTOS 1. Conceitos

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I. TEORIA DOS CONJUNTOS
1. Conceitos iniciais
A teoria dos Conjuntos se inicia com três conceitos denominados conceitos primitivos
(conceitos sem definições): conjunto, elemento e relação de pertinência.
Notação: os conjuntos são indicados por letras maiúsculas e os elementos por letras
minúsculas.
Representação de um conjunto:
a) a partir de uma ou mais propriedades que caracterizem seus elementos;
b) por enumeração de seus elementos;
c) através de diagrama Euler-Venn.
Relação de pertinência: 2 ∈ A ... lê-se: 2 é elemento de A (ou 2 pertence a A).
Classificação dos conjuntos quanto aos elementos: finito, infinito, denso, vazio, unitário,
binário, etc.
Representação de um conjunto vazio: ∅ ou { }.
Um conjunto cujos elementos são números é denominado conjunto numérico.
2. Subconjunto ou Parte
Um conjunto A é subconjunto (ou parte) de um outro conjunto B, se todo elemento de
A é também elemento de B.
A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B
A ⊂ B ... lê-se: A é subconjunto de B.
∀... qualquer que seja (ou para todo).
Propriedades:
• ∅ ⊂ A, ∀A ... o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
• A ⊂ A, ∀A ... qualquer conjunto é subconjunto dele mesmo.
• número das partes de um conjunto: 2n, onde n é o número de elementos do conjunto.
Igualdade de conjuntos:
A=B⇔A⊂BeB⊂A
Obs.: {2,1} = {1,2} = {1,2,2}.
3. Operações com conjuntos
a) UNIÃO ou REUNIÃO: A∪B = {∀x / x ∈ A ou x ∈ B}.
b) INTERSECÇÃO: A∩B = {∀x / x ∈ A e x ∈ B}.
c) DIFERENÇA: A – B = {∀x / x ∈ A e x ∉ B}. Se B ⊂ A ⇒ A – B = CAB (complementar
de B em relação a A). CAB ∪ B = A.
Observações:
1a) se A∩B = ∅, A e B são conjuntos disjuntos;
2a) n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B).
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EXERCÍCIOS
1. Sendo A = {1,2,3,4}, B = {3,4,5,6} e C = {4,5,6,7}, calcule:
a) (A∪C) – (B∩C)
b) (A∪B) – (A∩C)
c) (A∩C) – B
2. Se A, B e A∩B são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, então qual é
o número de elementos do conjunto A∪B?
3. Numa comunidade universitária são lidos dois jornais A e B. Verificou-se que 75 % dos
alunos lêem o jornal A e 60% lêem o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo
menos um jornal, qual a percentagem dos alunos lêem os dois jornais?
4. Em um colégio, 80 % dos alunos do 3o ano prestarão vestibular para ingresso em
universidades públicas e 60 % farão exames em escolas particulares. Sabendo que todo
aluno fará pelo menos um vestibular, qual o percentual de alunos que farão exames
para escolas públicas e particulares?
5. Conferindo as carteiras de vacinação de 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68
receberam a vacina Sabin, 50 receberam a vacina Tríplice e 12 não foram vacinadas.
Quantas crianças dessa creche receberam as duas vacinas?
6. Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que,
exatamente 17% têm casa própria, 22% têm automóvel e 8% têm casa própria e
automóvel. Qual o percentual dos que não tem casa própria nem automóvel?
7. Numa lista com 500 números inteiros, 280 são múltiplos de 2, 250 são múltiplos de 5
enquanto 70 são números primos maiores que 11. Quantos números dessa lista
terminam em zero?
8. Numa comunidade constituída de 1.800 pessoas há três programas de TV favoritos:
esporte (E), novela (N) e humorismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas
assistem a esses programas.
Programa
No de
Telespectadores
E
N
H
EeN
NeH
EeH
E, N e H
400
1.220
1.080
220
800
180
100
Através desses dados, determine o número de pessoas da comunidade que não
assistem a qualquer dos três programas.
9. Numa certa cidade são consumidos três produtos A, B e C, sendo: A – um tipo de
desodorante, B – um tipo de sabonete e C – um tipo de creme dental. Feita uma
pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os dados da
tabela a seguir:
Produto
A
B
C
AeB AeC BeC
No de
120 180 250
40
50
60
consumidores
Nessas condições, quantas pessoas foram consultadas?
A, B e C
Nenhum
30
180
10. Numa escola de 1.030 alunos, foi feita uma pesquisa. Cada aluno poderia optar por até
duas áreas de estudo. A tabela seguinte indica o resultado:
Área
X
Y
Z
XeY
YeZ
XeZ
Optantes
598
600
582
250
300
200
Determine o número de alunos que optaram somente pela área Y.
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11. No último clássico Corinthians × Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se que só
foram ao estádio paulistas e cariocas, e que todos eles eram só corintianos ou só
flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram
corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o
Flamengo. Pergunta-se:
a) quantos paulistas corintianos foram ao estádio?
b) quantos cariocas foram ao estádio?
c) quantos não flamenguistas foram ao estádio?
d) quantos flamenguistas foram ao estádio?
e) dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas?
f ) dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos?
g) quantos eram flamenguistas ou cariocas?
h) quantos eram corintianos?
i ) quantos torcedores eram não paulistas ou não flamenguistas?
Respostas
1. a) {1,2,3,7}
5. 46
11. a) 80.000
f) 5.000
b) {1,2,3,5,6}
c) { }
6. 69%
7. 100
b) 16.000
c) 85.000
g) 20.000
h) 85.000
2. 110
3. 35%
4. 40%
8. 200
9. 610
10. 50
d) 15.000
e) 80.000
i) 96.000
II. CONJUNTOS NUMÉRICOS
1. Conjunto dos números Naturais (IN)
IN = {0,1,2,3,...}
Conjunto dos números naturais não-nulos: IN* = IN – {0}
1.1. Operações em IN:
ADIÇÃO
5
+ 2
7
parcelas
soma ou total
SUBTRAÇÃO
7
– 2
5
minuendo (m)
subtraendo (s)
resto ou diferença (r)
5+2=7
m≥s
s+r=m
7–2=5
soma
diferença
MULTIPLICAÇÃO
5
x 2
10
fatores
produto
DIVISÃO
Dividendo (D)
resto (r ≥ 0)
divisor (d)
quociente (q)
7 2
1 3
d≠0
r<d
D = q.d + r
5 . 2 = 10
produto
POTENCIAÇÃO
RADICIAÇÃO
expoente
23 = 8
potência
índice
3
8=2
raiz
radicando
base
23 = 8
potência
3
8=2
raiz
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Divisão exata: r = 0
6
0
2
3
6 é múltiplo de 2 (ou 6 é divisível por 2)
2 é divisor de 6 (ou 2 é fator de 6)
Regras de divisibilidade: um número é divisível por
• 2, se for par;
• 3, se a soma de seus algarismos resultar num múltiplo de 3;
• 5, se o algarismo das unidades for 0 ou 5;
• 10, se o algarismo das unidades for 0.
1.2. Números primos
Número primos são números cujo conjunto de divisores é binário. Exs.: 2, 3, 5, 7 ,11,
13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, etc.
Número composto – possui mais de dois divisores.
Obs.: o número 1 não é primo e nem composto.
Decomposição em fatores primos – é a divisão sucessiva de um número por todos
os números primos que sejam divisores do mesmo.
Ex.: decompor o número 60 em fatores primos.
Fatoração – representação de um número sob a forma de produto de seus fatores
primos.
Ex.: fatorar o número 60.
Extração da raiz de potências de números naturais – fatora-se o radicando, dividese os expoentes obtidos pelo índice da raiz, e multiplica-se os fatores resultantes.
Exemplos:
784 =
3
1728 =
Regra prática para extração de raiz quadrada de quadrados perfeitos:
Exemplos:
784 =
576 =
3.969 =
Obs.: quadrado perfeito é o quadrado de qualquer número natural, e cubo perfeito é o cubo
de qualquer número natural.
EXERCÍCIOS
1. Numa adição com três parcelas, o total era 58. Somando-se 13 à primeira parcela, 21 à
segunda e subtraindo-se 10 da terceira, qual será o novo total?
2. Numa subtração, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto resultou 412. Qual o
valor do minuendo?
3. O produto de dois números naturais é 620. Se adicionássemos 5 unidades a um de
seus fatores, o produto ficaria aumentado de 155 unidades. Quais são os dois fatores?
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4. Numa divisão, o divisor é 12, o quociente é uma unidade maior que o divisor e o resto,
uma unidade menor que o divisor. Qual é o valor do dividendo?
5. A soma de dois números naturais e consecutivos é 91. Quais são eles?
6. A soma de dois números pares e consecutivos é 126. Quais são eles?
7. A soma de três números ímpares e consecutivos é 303. Qual é o menor deles?
8. A soma de onze números naturais e consecutivos é 352. Qual é o maior deles?
9. Qual o menor algarismo que deve ocupar o lugar de x no número 2x59 para que se
obtenha um múltiplo de 3?
10. Qual o maior algarismo que deve ocupar o lugar de x no número 259x para que se
obtenha um múltiplo de 4?
11. Qual é o menor número natural que se deve adicionar a 316.436 para se obter um
múltiplo de 5?
12. Qual o algarismo que deve ocupar o lugar de x no número 432x para que se obtenha
um múltiplo de 7?
13.Qual o menor no natural que se deve subtrair de 52.647 para que se obtenha um
múltiplo de nove?
14. Fatorar os números a seguir:
a) 48
b) 81
c) 300
d) 504
e) 720
f) 6.600
15. Qual é o menor número natural não nulo que se deve multiplicar por 4.500 para se
obter um número divisível por 2.520?
16. Calcular:
a) 441
b) 1936
c) 7.056
d) 3 1.728
e) 3 2.744
f)
5
7.776
17. Qual é menor número natural não nulo que se deve multiplicar por 72 para se obter um
quadrado perfeito?
18. Qual é menor número natural não nulo que se deve multiplicar por 196 para se obter
um cubo perfeito?
19. Certo prêmio será distribuído entre três vendedores de modo que o primeiro receberá
R$ 325,00; o segundo receberá R$ 60,00 a menos que o primeiro, e o terceiro receberá
R$ 250,00 a menos que o primeiro e o segundo juntos. Qual o valor total do prêmio
repartido entre os três vendedores?
20. Um livro tem 950 páginas. Cada página é dividida em 2 colunas, cada coluna tem 64
linhas e cada linha tem, em média, 35 letras. Quantas letras há nesse livro?
21. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês. Quanto
ela economizará em um ano se trabalhar, em média, 23 dias por mês?
22. Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas com a mesma capacidade. Tendo
pago R$ 7,00 o litro e vendido a R$ 9,00, ele ganhou, ao todo, R$ 1.760,00. Qual era a
capacidade de cada barrica?
23. Do salário de R$ 3.302,00, Seu José transferiu uma parte para uma conta de
poupança. Já a caminho de casa, Seu José considerou que, se tivesse transferido o
dobro daquele valor, ainda lhe restariam R$ 2.058,00 do seu salário em conta corrente.
De quanto foi o depósito feito?
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24. O percurso de um autódromo é de 20 km. Os pontos marcantes do autódromo são: A,
que é o ponto de partida; B, que dista 5 km de A; C, que dista 3 km de B; D, que dista
4 km de C e E, que dista 5 km de D. Todas as distâncias indicadas foram tomadas no
sentido do percurso. Um carro percorre 367 km no sentido de percurso deste
autódromo e pára. Qual o ponto marcante mais próximo de onde este carro parou?
25. Se eu der 4 balinhas a cada um dos alunos de uma classe, sobram-me 7 das 135 que
eu tenho. Quantos alunos há nesta classe?
26. Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos xy e yx, cuja
soma é o número de três algarismos zxz. Quanto valem x, y e z?
27. Determinar o número de vezes que o algarismo 4 é escrito de 1 a 2.000.
28. Se o dia 1o de janeiro de um ano bissexto for numa segunda-feira, em que dia da
semana cairá o dia 7 de dezembro deste mesmo ano?
Respostas
1. 82
2. 206 3. 20 e 31 4. 167 5. 45 e 46 6. 62 e 64 7. 99
8. 37
9. 2
10. 6
11. 4
12. 6
13. 6
15. a) 2 4. 3
b) 3 4
c) 2 2. 3 . 5 2
d) 2 3. 32. 7
e) 2 4. 32. 5
f) 2 3. 3 . 52. 11
16. 14
18. a) 21
b) 44
c) 84
d) 12
e) 14
f) 6
19. 2
20. 14
21. 930 22. 4.256.000
23. 1.440
26. 32
24. 110 l 25. 622
27. x = 2, y = 9 e z = 1 28. C 29. 600 30. sábado
1.3. Múltiplos
Para se obter o conjunto de todos os múltiplos de um número basta multiplicá-lo por
todos os números naturais.
Ex.: M(4) =
M(6) =
M(4) ∩ M(6) =
Conclusão: mmc(4, 6) =
Obs.: o número zero é múltiplo universal.
Regras práticas para se determinar o mínimo múltiplo comum (mmc):
1 ) por fatoração – fatora-se separadamente os números dados, e o mmc deles será o
produto de todos os fatores obtidos (sem repeti-los) elevados ao maior expoente.
a
2a) por fatoração simultânea - fatora-se simultaneamente os números dados, e o mmc
será o produto dos fatores obtidos.
1.4. Divisores
Regra prática para se obter o conjunto de todos os divisores de um número:
Ex.: D(18) =
D(30) =
D(18) ∩ D(30) =
Conclusão: mdc(18, 30) =
Obs.: o número um é divisor universal.
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Regra prática para se determinar os número de divisores (n) de um número: fatorase o número dado e, o seu número de divisores será dado pelo produto dos sucessores
dos expoentes obtidos na fatoração.
Regras práticas para se determinar o máximo divisor comum (mdc)
1a) por fatoração – fatora-se separadamente os números dados, e o mdc deles será o
produto dos fatores comuns obtidos elevados ao menor expoente.
2a) por fatoração simultânea - fatora-se simultaneamente os números dados apenas
pelos seus fatores comuns.
3a) método das divisões sucessivas (para dois números) - divide-se o maior pelo
menor. Em seguida, divide-se o menor pelo resto obtido e assim, sucessivamente
até se obter uma divisão exata. O último divisor obtido é o mdc dos números dados.
Propriedades do mmc e do mdc:
1 ) se o mdc(a, b) = 1, então a e b são denominados números primos relativos ou
números primos entre si;
a
2 ) se dois ou mais números são, dois a dois, primos entre si, então o mmc será o
produto deles;
3a) mmc(a, n.a) = n.a, e mdc(a, n.a) = a;
4a) se mmc(a, b) = m, então mmc(k.a, k.b) = k.m;
5a) se mdc(a, b) = d, então mdc(k.a, k.b) = k.d;
6a) dois números consecutivos são sempre primos entre si: mdc(n, n+1)=1 e mmc(n, n+1)
= n.(n+1);
a
7 ) mmc(a, b) . mdc(a, b) = a . b.
a
EXERCÍCIOS
1. Determinar o mmc e o mdc de:
a) 70 e 98
b) 12 e 60
c) 8, 12, 20, 24, 36 e 40
2. Sejam A = 24.32.54 e B = 23.33.5. 72. Determinar o mmc(A,B).
3. Sejam A = 32.53.72, B = 23.33.5.114 e C = 23.73.112. Determinar o mdc(A,B,C).
4. Sejam A = 23.3x.5y e B = 104.38. Se o mdc(A,B) é 360, então quanto vale x + y?
5. Qual é o produto de dois números naturais cujo mdc é 8 e o mmc é 48?
6. Quantos divisores naturais têm em comum os números 48 e 204?
7. Determinar todos os números compreendidos entre 1.000 e 4.000 que sejam divisíveis
simultaneamente por 75, 150 e 180.
8. Qual é o menor número natural cujo triplo é divisível por 9, 11 e 14?
9. Determinar os dois menores números naturais pelos quais devemos multiplicar,
respectivamente, os números 60 e 78, a fim de obter produtos iguais.
10. Ao proceder-se a divisão de um certo número N por 12, 15 ou 27, obteve-se sempre o
mesmo resto 4 e quociente maiores que zero. Determinar o menor valor possível para
N.
11. Um ciclista dá uma volta em uma pista de corrida em 16 segundos, e outro ciclista em
20 segundos. Se os dois ciclistas partirem juntos, após quanto tempo irão se encontrar
de novo no ponto de partida, levando em consideração ambas as velocidades
constantes?
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12. No problema anterior, quantas voltas terá dado o mais lento?
13. As capacidades de dois reservatórios são de 6.480 litros e 6.000 litros respectivamente.
Deseja-se construir um tanque que possa ser alimentado por esses reservatórios.
Calcular a maior capacidade desse tanque de maneira que ele possa ser abastecido
um número exato de vezes com o total de água de qualquer dos dois reservatórios.
14. Três peças de fazenda medem, respectivamente, 180 m, 252 m e 324 m. Pretende-se
dividi-las em retalhos de igual comprimento. Qual deverá ser esse comprimento, de
modo que o número de retalhos seja o menor possível?
15. Numa República, o Presidente deve permanecer durante 4 anos em seu cargo, os
Senadores 6 anos e os Deputados, 3 anos. Se em 1929 houve eleições para os 3
cargos, qual será o primeiro ano após 1929 em que se realizarão novamente juntas as
eleições para esses cargos?
16. Um trenzinho de brinquedo percorre uma pista circular parando de 6 em 6 estações.
Quantas voltas na pista o trenzinho deverá dar até parar novamente na estação de
onde partiu, se a pista tem ao todo 20 estações?
17. No problema anterior, quantas paradas o trenzinho fará até parar novamente na
estação de onde partiu?
18. Duas rodas de uma engrenagem têm, respectivamente, 14 e 21 dentes. cada roda tem
um dente estragado. Se num dado instante estão em contato os dois dentes
estragados, depois de quantas voltas da roda menor ocorrerá o próximo encontro?
19. Virgínia deseja plantar 72 mudas de violeta, 24 de rosa, 36 de orquídeas e 48 de
camélia no menor número possível de canteiros. Sabendo-se que cada canteiro deverá
receber o mesmo número de plantas de uma mesma espécie, pergunta-se:
a) qual o número de plantas que deve conter cada canteiro?
b) quantos canteiros são necessários?
Respostas
1. a) mmc = 490 e mdc = 14
b) mmc = 60 e mdc = 12
c) mmc = 240 e mdc = 4
4
3
4
2
2. 2 . 3 . 5 . 7
3. 1
4. 3
5. 384 6. 4
7. 5
8. 462
9. 13 e 10
10. 544
11. 1min20s
12. 4
14. 36 m 15. 1941 16. 3
13. 240 l
17. 10
18. 3
19. a) 12 b) 15
1.5. Frações
a
b
numerador (a ∈ IN)
denominador (b ∈ IN*)
Classificação
0 6
• aparente: a é múltiplo de b. Exs.: 5 , 2 , etc.
2
própria: a < b. Ex.:
5
• não aparente
imprópria: a > b. Ex.: 7
3
{
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Número misto – representação alternativa de uma fração imprópria, destacando-se a
parte inteira da parte fracionária. Para se escrever uma fração imprópria na forma de
número misto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será a parte
inteira, e a parte fracionária terá como numerador o resto da divisão e o denominador
será o divisor.
Ex.: 7
3
7 3
1 2
⇒
7 =21
3
3
Para se obter a fração imprópria que originou o número misto, basta multiplicar a
parte inteira pelo denominador da parte fracionária, e somar o resultado obtido pelo
numerador da mesma. O resultado assim obtido será o numerador da fração imprópria,
enquanto o denominador desta será o próprio denominador da parte fracionária do
número misto.
Ex.:
2 1 = 2. 3 + 1 = 7
3
3
3
Obs.: 2 1 = 2 + 1
3
3
Frações inversas – duas frações são ditas inversas entre si, se o numerador de uma
for igual ao denominador da outra e vice-versa. O produto de duas frações inversas
entre si é igual a 1.
Frações equivalentes – duas frações são equivalentes se o numerador e o
denominador de uma são respectivamente múltiplos (ou divisores) do numerador e
denominador da outra, pelo mesmo fator (ou quociente).
Obs.: todo número inteiro pode ser considerado como uma fração de denominador 1.
Fração irredutível – uma fração é dita irredutível se o numerador e o denominador
são primos entre si.
Frações decimais – são frações cujos denominadores são potências de 10, de
expoente maior que zero.
Simplificação de frações
1 método: dividir sucessivamente o numerador e o denominador por divisores
comuns diferentes de 1, até obter uma fração irredutível.
o
2o método: dividir o numerador e o denominador pelo mdc deles.
Comparação de frações
– denominadores iguais: compara-se os numeradores;
– denominadores diferentes: substituir as frações dadas por frações equivalentes de
mesmo denominador (obtidas através do mmc de seus denominadores) e comparase os numeradores obtidos.
Obs.: se os numeradores forem iguais, o maior será aquele que tiver o menor denominador,
e vice-versa.
Operações com frações:
ADIÇÃO ou SUBTRAÇÃO
– denominadores iguais: soma-se (ou subtrai-se) os numeradores;
– denominadores diferentes: substituir as frações dadas por frações equivalentes de
mesmo denominador (obtidas através do mmc de seus denominadores) e efetuar a
soma (ou subtração) das frações resultantes.
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MULTIPLICAÇÃO
Multiplica-se respectivamente os numeradores e denominadores.
Obs.: procurar simplificar ao máximo as frações antes de efetuar as multiplicações.
DIVISÃO
Transformar em produto, multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda.
POTENCIAÇÃO
Eleva-se o numerador e o denominador ao expoente da fração.
RADICIAÇÃO
Calcula-se a raiz do numerador e do denominador.
Fração de fração: para se calcular fração de fração basta multiplicar a primeira
fração pela segunda.
Ex.: 2
de 3 ⇔ 2 × 3
5
7
5 7
Expressões numéricas (ou aritméticas):
– os sinais gráficos indicam prioridade, e são eliminados na seguinte ordem:
parênteses, colchetes e chaves;
– as operações são resolvidas na seguinte ordem: potenciação ou radiciação,
multiplicação ou divisão, e por fim, adição algébrica.
Obs.: nas expressões numéricas envolvendo números mistos, é aconselhável transforma-los
em frações impróprias antes de efetuar as operações.
EXERCÍCIOS
1. Simplificar as frações a seguir:
a) 32
b) 81
c) 64
48
54
144
e) 102
136
d) 105
84
f) 168
314
2. Escrever as frações a seguir em ordem crescente:
5 , 1 , 7 , 2 e 10
4 2 3 5
6
3. Escrever as frações a seguir em ordem decrescente:
7 , 12 , 4 , 6 e 10
5 16 3 4
6
4. Calcular:
a) 2 + 1 − 1 =
3 4 2
b) 2 1 + 3 − 2 =
2 4
c) 2 1 − 4 + 1 =
5 10 2
d) 4 − 1 1 − 2 =
2 3
e) 3 . 16 . 9 =
8 27 10
f) 5 . 12 . 5 . 2 =
6 25 4 3
g) 15 . 11 . 2 . 4 . 9 =
22 35
3 7
h) 4 . 1 1 =
9 8
i) 2 : 7 =
5 10
j) 2 1 : 7 =
3
l) 1 5 : 2 8 =
8
9
m) 3 1 : 1 2 =
3
5
5. Calcular:
a) ⎛⎜ 2 ⎞⎟
⎝7⎠
2
b) ⎛⎜ 1 ⎞⎟
⎝6⎠
2
c) ⎛⎜ 2 ⎞⎟
⎝3⎠
4
d) ⎛⎜1 1 ⎞⎟
⎝ 2⎠
3
e) ⎛⎜ 2 1 ⎞⎟
⎝ 3⎠
j)
1 24
25
2
Curso Aprovação
9
25
f)
49
64
g)
6. Calcular:
3
a) 5 =
4
7
7. Calcular:
h)
1
4
b)
=
5
6
1
4
4
81
d) 8 =
5
4
b) ⎛⎜1 2 − 1 ⎞⎟ : ⎛⎜ 4 − 2 ⎞⎟ =
5⎠
⎝ 5 2⎠ ⎝
⎡⎛ 3 + 2 ⎞ . 6 + 1 ⎤ : 8 =
⎟ 22 2 ⎥ 10
⎢⎣⎜⎝ 4
⎠
⎦
⎞ ⎛
1 1 + 1⎟ . ⎜ 2 1 −
4
⎠ ⎝ 4
2
c) 1 1 + ⎛⎜ 1 ⎞⎟ − 5 =
3 ⎝2⎠
6
2
e) ⎛⎜ 2 . 1 2 − 1 ⎞⎟ . ⎛⎜ 1 + 1⎞⎟ =
⎠
⎝5 3 3⎠ ⎝5
2
2
⎡⎛ 7 ⎞ 0
⎤
2
2
2
1
⎛
⎞
g) . ⎜ + . 1 ⎟ : ⎢⎜ ⎟ + 3 1 ⎥ =
5 ⎝ 3 4 2 ⎠ ⎣⎝ 8 ⎠
4⎦
f) 2 . ⎡⎢⎛⎜ 1 + 1⎞⎟ . 4 . 1 ⎤⎥ =
4 ⎣⎝ 2
⎠ 6 2⎦
⎛
h) ⎜
⎝
i)
5
c) 4 =
6
a) 2 . 5 + 1 : 3 =
15 6 2 4
d)
11
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⎞
2 1⎟ − 1
4⎠ 2
1 =
9
8. Calcular:
b) 2 de 490
a) 2 de 6
7
3
8
9. Calcular:
31−21
1+
4
3 =
b)
a)
1−
2 1 + 12
3
3
c) 5 de R$ 600,00
12
3 2− 1
4 +
2 −21 =
1 1+ 1
4
5
3
d) 3 dos 5 dos 3 de 2
8
9
5
3
c)
1
1+
=
1
1+
1
1+ 1
2
10. Quanto valem três quintos de 1.500?
Respostas
1.
a) 2
3
3.
b) 1 1
2
c) 4
9
4.
10 , 6 , 7 , 4 e 12
6 4 5 3 16
g) 36
49
h) 1
2
c) 16
81
6.
a) 1 1
20
d) 3 3
8
b) 3
10
d) 1 1
4
i) 4
7
e) 3
4
a) 5
12
c) 2 3
10
b) 5
4
l) 9
16
j) 1
3
f) 84
157
e) 5 4
9
f) 3
5
c) 5
24
d) 6 2
5
d) 1 5
6
g) 7
8
a) 7
9
e) 1
5
5.
a) 4
49
m) 2 8
21
7.
2. 2 1 5 10 7
, , ,
e
5 2 4 6
3
b) 1
4
f) 1
3
b) 1
36
i) 2
9
j) 1 2
5
c) 3
4
d) 1 9
16
h)
Curso Aprovação
e) 2
15
9.
f) 1
4
a) 11
48
b) 17
16
2
12
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g) 2
45
8.
h) 23
24
c) 5
8
a) 1
2
b) 140
c) R$ 250,00
d) 1
12
10. 900
1.6. Números decimais
Ao se dividir o numerador de uma fração pelo seu denominador podemos obter um
número inteiro ou número decimal (número com vírgula). Um número decimal pode ser
exato (número finito de casas decimais) ou dízima (número infinito de casas decimais,
e que apresenta período).
a
b ⇒ dividindo a por b
número inteiro. Ex.: 6 = 3
2
número decimal
exato. Ex.: 5 = 2,5
2
dízima. Ex.: 1 = 0,333...
3
Observações
• número inteiro: 3 = 03 = 3,00 = 3,0000;
• decimal exato: 2,5 = 002,5 = 2,50 = 2,5000.
Dízimas: são números decimais que apresentam período; ou seja, uma parte que se
repete indefinidamente denominada período. As dízimas podem ser:
s
• dízima periódica simples – o período aparece logo após a vírgula. Ex .: 0,333...;
2,141414...; 501,187718771877...; etc.
• dízima periódica composta – o período aparece após um ou mais algarismos após
a vírgula. Exs.: 0,14222...; 5,4424242...; 401,012125125125...; etc.
Observação
As dízimas podem ser representadas como se segue:
0,333... = 0,(3) = 0,3 ; 2,141414... = 2,(14) = 2,14 ;
0,14222... = 0,14(2) = 0,142
Operações com números decimais:
ADIÇÃO ou SUBTRAÇÃO
Operar os números com as vírgulas alinhadas na vertical. Se necessário, completar
casas decimais com zeros para efetuar a operação.
MULTIPLICAÇÃO
Multiplica-se normalmente, e o resultado deverá ter o total de casas decimais de
todos os fatores envolvidos.
DIVISÃO
Igualar as casas decimais do dividendo e do divisor (acrescentando zeros nas casas
decimais, se necessário), eliminar as vírgulas e efetuar a divisão.
POTENCIAÇÃO
Transformar em produto e efetuar os cálculos.
RADICIAÇÃO
Extrair normalmente a raiz, e o número de casas decimais do resultado terá o
número de casas decimais do radicando dividido pelo índice.
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s
Ex .:
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0,04 =
1,21 =
3
0,027 =
Transformação de número decimal em fração
Número decimal exato: para escrever um número decimal exato sob a forma de
fração, basta colocá-lo no numerador de uma fração, na qual o denominador será o
número 1 com tantos zeros à direita quanto o número de casas decimais do decimal
exato.
Dízimas periódicas: a fração que origina uma dízima é denominada fração
geratriz. Para se obter a fração geratriz de uma dízima periódica simples, basta
proceder como nos exemplos a seguir:
1o) 0,333...
2o) 2,141414...
Para se obter a fração geratriz de uma dízima periódica composta, primeiramente é
necessário transformá-la em dízima periódica simples:
x = 0,14222... .(100)
100 x = 14,222...
Em seguida, proceder como na dízima periódica simples.
Expressões numéricas: nas expressões numéricas envolvendo números decimais, é
conveniente transformá-los em frações antes de efetuar os cálculos.
EXERCÍCIOS
1. Calcular, dando as respostas na forma decimal:
a) 1,3 + 1,054 – 0,7 – 0,07 =
b) 4,3 – 2,07 =
c) 2 – 0,003 =
d) 2,5 . 0,157 =
e) 17,375 . 1,04 =
f) 6,534 : 9 =
g) 3,22 : 2,3 =
h) 0,019 : 7,6 =
i) (4,32 + 1,18) . 0,07 =
j) (7,2 – 1,3) . (4,2 – 1,6) =
k) (0,4)3 =
l) (2,3)2 + (0,9)2 =
m)(7,2)2 : 5,184 =
n) 0,01575 : 0,45 =
2. Determine o valor das expressões, dando as respostas na forma decimal:
b) 0,5 : 0,1666... =
c) (0,222...)2 × 1,35 =
a) 6,666... × 0,6 =
d)
0,0256 =
Respostas
1. a) 1,584
h) 0,0025
2. a) 4
b) 2,23
i) 0,385
b) 3
e)
0,444... =
c) 1,997
d) 0,3925 m
j) 15,34
k) 0,064
c) 0,0666...
d) 0,16
2. Conjunto dos números Inteiros (Z)
Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}
f)
0,69444... =
e) 18,07
f) 0,726
g) 1,4
l) 6,1
m) 10
n) 0,035
e) 0,666...
f) 0,8333...
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Subconjuntos:
Z * ... conjunto dos números inteiros não nulos;
Z + ... conjunto dos números inteiros não negativos;
Z – ... conjunto dos números inteiros não positivos;
Z +* ... conjunto dos números inteiros positivos;
Z –* ... conjunto dos números inteiros negativos.
2.1. Representação geométrica
–3
–2
menor
–1
0
1
origem
2
3
Z
maior
Módulo ou valor absoluto de um número – é a distância do número à origem.
Números opostos ou simétricos – são números eqüidistantes da origem.
Oposto de: – ( )
2.2. Operações em Z:
ADIÇÃO
– sinais iguais: soma-se os valores absolutos e conserva-se o sinal.
– sinais diferentes: subtrai-se os valores absolutos e atribui-se ao resultado o sinal do
maior em módulo.
SUBTRAÇÃO: transforma-se em adição, somando-se o primeiro com o oposto do
segundo.
ADIÇÃO ALGÉBRICA: transforma-se todas as operações de subtração em adição,
elimina-se os parênteses e os sinais das operações.
Ex.: (–7) + (+3) – (–2) + (–5) – (+1) =
MULTIPLICAÇÃO ou DIVISÃO (de dois números)
– sinais iguais: resultado positivo.
– sinais diferentes: resultado negativo.
Multiplicação de mais de dois fatores – se o número de fatores negativos for:
– par ⇒ o resultado será positivo;
– ímpar ⇒ o resultado será negativo.
POTENCIAÇÃO – se o expoente for:
– par ⇒ o resultado será positivo;
– ímpar ⇒ o resultado será negativo.
RADICIAÇÃO – se o índice da raiz for:
– par ( somente para radicandos positivos) ⇒ o resultado será positivo;
– ímpar ⇒ o resultado terá o sinal do radicando;
EXERCÍCIOS
Calcular o valor das expressões a seguir:
1) – [5 + (–1 + 3)] – {–2 + [–3 – (5 – 7)] – (–1)} =
2) –3 – 4.(–3) + (–7) – (–5).2 + 1 =
3) (–4 + 12) : (–1 – 3) – {–3 – [(–5) – (–8 – 4) : (5 – 3)] . (–3 + 5)} : (–9 + 8) =
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4) [(–1 – 4).3 – 4.(–5)] – [(–2 – 8) : (–1 – 1) + 2.(–6)] =
5) 24 – 3 {2 – 3 [4 – 2(16 : 4 + 3)] + 1} – 10:2 =
6) 15 – (–16:4) + (2 – 4)3 + 8:(–2) – (–2) – (–8:2) =
7) [(–5)2 : (–2 – 3) + (–3 – 1)3 : (1 – 5)2 : [–5 – 3.(–2)] =
8) (–2 + 3) . (–3 – 1)2 – [(–5 – 2)2 : (–1 – 6) + (–1)2 . (–4 + 5)3] =
9) (–1 + 4)2 – {– 49 – [(–7)0 + (–5 – 4)2 : (– 9 )] : (–5 + 3)} .
4 – (–1 – 4)2 =
10) 10 – [5 – (4 – 3) + ( 49
– 64 ) + (6 – 7) – (8 – 9)3 + (–2)2] =
Respostas
1. –5
2. 13
4. 12
3. –7
5. –80
6. 13
7. –9
8. 22
9. 24
10. 9
3. Conjunto dos números Racionais (Q)
Número racional é todo número que pode ser escrito sob forma de fração. São os
números inteiros, os números decimais exatos e as dízimas.
Q = { a / a∈Z e b∈Z*}
b
Obs.: − 6 = 6 = − 6 = − 3
2
−2
2
4. Conjunto dos números Reais (IR)
Número irracional é todo número decimal, com número infinito de casas decimais, e
que não podem ser escritos sob forma de fração.
Exemplos:
0,101001000100001...
–1,23456789101112...
π = 3,141592653589...
2 = 1,414213.. .
À reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais
denominamos conjunto dos números Reais.
Representação geométrica
-3
1
3
2
–2
–1
0
2
1
2
3
IR
Obs.: se x é um número real tal que 0 < x < 1, então 0 < x n< x (n∈IN / x ≥ 2).
III. EQUAÇÃO DO 1O. GRAU
Equação do 1o grau
É toda equação que pode ser escrita sob a forma:
ax + b = 0 , com a ≠ 0.
a e b ... coeficientes
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x ... variável
Exemplo
Resolver a equação 3x – 2 = x + 5.
EXERCÍCIOS
1. Pensei em um número. Multipliquei-o por 4, depois somei 6 ao resultado, dividi tudo por
2 e subtraí 7 do quociente obtendo, finalmente 12. Qual foi o número em que pensei?
2. Qual é o número que adicionado a 5 é igual à sua metade mais 7?
3. O triplo de um número menos 40 é igual à sua metade mais 20. Qual é este número?
4. Qual é o número cujo triplo excede de 16 a sua terça parte?
1. 8
Respostas
2. 4
3. 24
4. 6
IV. RAZÃO E PROPORÇÃO
1. Razão
Razão entre dois números é o quociente do primeiro pelo segundo.
antecedente
a
b ou a : b (lê-se: a está para b).
conseqüente
Razões inversas – são razões cujo produto é igual a 1.
Aplicação: Escala
medida do desenho
Escala = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
medida real
2. Proporção
É uma igualdade de duas razões.
meios
a = c
b d
ou
a:b :: c:d
extremos
Propriedade fundamental – o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
a = c
⇔ b.c = a.d
b d
Outras propriedades:
1a) a = c ⇔ a ± b = c ± d ou a ± b = c ± d
b d
a
c
b
d
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a c a±c
2a) b = d = b ± d
2
2
3a) a 2 = c 2 = a.c
b.d
b
d
Proporção múltipla – é uma igualdade de três ou mais razões. A razão entre eles
é denominado constante de proporcionalidade.
3. Divisão proporcional
Divisão
12 = 2
6
neste caso, 12 e 6 são números
diretamente proporcionais (D.P.)
Multiplicação
12 . 6 = 72
neste caso, 12 e 6 são números
inversamente proporcionais (I.P.)
EXERCÍCIOS
1. A razão entre a velocidade de um automóvel e a de um avião é de 1/6. Sabendo que o
automóvel vence 330 km em 5 horas e 30 minutos, determinar a velocidade do avião.
2. Para usar certo tipo de tinta concentrada, é necessário diluí-la em água na proporção
de 3 : 2 (proporção de tinta concentrada para água). Sabendo que foram comprados 9
litros dessa tinta concentrada, quantos litros de tinta serão obtidos após a diluição na
proporção recomendada?
3. O filho nasceu quando o pai tinha 27 anos. Hoje, a razão entre as idades é de 4/1.
Determine suas idades.
4. Uma caixa contém 35 bolas azuis e vermelhas. Depois de se retirar 3 bolas, ficaram na
caixa bolas azuis e vermelhas na razão de 1/3. Quantas bolas azuis ficaram na caixa?
5. Num galinheiro existem galinhas e galos na razão de 3/17. Sabendo que o número de
galinhas supera em 210 o número de galos, determine a quantidade de galos desse
galinheiro.
6. Determinar os antecedentes de uma proporção cujos conseqüentes são 7 e 10,
sabendo-se que a diferença entre oito vezes o primeiro antecedente e cinco vezes o
segundo é 15.
7. Determinar dois números, sabendo-se que a soma do dobro do primeiro com a terça
parte do segundo é igual a 42, e a razão entre eles é de 10/3.
8. Determinar os antecedentes de uma proporção cujos conseqüentes são 3 e 4,
sabendo-se que a soma de seus quadrados é igual a 100.
9. Determinar dois números sabendo que o produto de seus quadrados é igual a 90.000 e
que a razão entre eles é de 3 para 4.
10. Determine x, y e z de modo que as sucessões (x, 32, y, z) e (3, 4, 7, 9) sejam
diretamente proporcionais.
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18
11. Determine x e y de modo que as sucessões (20, x, y) e (3, 4, 5) sejam inversamente
proporcionais.
12. Dividir 625 em partes diretamente proporcionais a 5, 7 e 13.
13. Dividir 96 em partes proporcionais a 1,2; 2/5 e 8.
14. Dividir 21 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4.
15. Dividir 1.090 em partes inversamente proporcionais a 2/3, 4/5 e 7/8.
16. Dividir 108 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3, e inversamente proporcionais
a 5 e 6.
17. Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7, e inversamente
proporcionais a 5, 4 e 2.
18. Repartir uma herança de R$ 460.000,00 entre três pessoas na razão direta do número
de filhos de cada uma e na razão inversa das idades delas. As três pessoas têm,
respectivamente, 2, 4 e 5 filhos, e as idades respectivas são 24, 32 e 45 anos.
19. Dois irmãos repartiram uma herança em partes diretamente proporcionais às suas
idades. Sabendo que cada um deles ganhou, respectivamente R$ 3.800,00 e R$
2.200,00, e que as suas idades somam 60 anos, qual é a idade de cada um deles?
20. Dividindo o número 224 em três partes tais que sejam ao mesmo tempo, diretamente
proporcionais a 2/3, 4/5 e 2/7 e inversamente proporcionais a 1/6, 3/10 e 5/14, qual
será a parte maior?
21. As sucessões: 2, x, y + 1 e z, 5 e 8 são inversamente proporcionais e o fator de
proporcionalidade entre elas é 120. Determinar o valor de x + y – z .
22. Colocou-se laranjas em quatro cestas cujos volumes são inversamente proporcionais
aos números 14, 10, 8 e 4. A segunda cesta contem 48 laranjas a mais do que a
primeira. Quantas laranjas foram distribuídas ao todo?
Respostas
1. 360 km/h
3. 36 e 9 4. 8
5. 45
6. 17,5 e 25
7. 20 e 6
2. 15 l
8. 6 e 8 9. 15 e 20 10. 24, 56 e 72
11. 15 e 12
12. 125, 175 e 325
13. 12, 4 e 80 14. 12 e 9 15. 420, 350 e 320
16. 48 e 60
17. 60, 150 e 350
18. 120.000, 180.000 e 160.000
19. 38 e 22
20. 120
21. –22
22. 918
V. REGRA DE TRÊS
1. Grandezas proporcionais
Duas grandezas são ditas proporcionais se existir uma proporção entre suas
variações.
Grandezas:
– diretamente proporcionais: ↑↑ ou ↓↓ (setas no mesmo sentido)
– inversamente proporcionais: ↑↓ ou ↓↑ (setas em sentidos inversos)
2. Regra prática:
1a) identificar as grandezas envolvidas;
2a) localizar a incógnita (x);
3a) definir uma seta ( ↑ ou ↓ ) para a grandeza na qual se encontra a incógnita;
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a
4 ) comparar cada grandeza com aquela em que se encontra a incógnita.
EXERCÍCIOS
1. Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto deste queijo poderei comprar com R$ 53,30?
2. Em 8 dias 5 pintores pintam um prédio inteiro. Se fossem 3 pintores a mais, quantos dias
seriam necessários para pintar o mesmo prédio?
3. Um veículo trafegando com uma velocidade média de 60 km/h faz determinado percurso
em duas horas. Quanto tempo levaria um outro veículo para cumprir o mesmo percurso
se mantivesse uma velocidade média de 80 km/h?
4. Uma roda d’água dá 390 voltas em 13 minutos. Quantas voltas terá dado em uma hora e
meia?
5. Duas rodas dentadas estão engrenadas uma na outra. A menor tem 12 dentes e a maior
tem 78 dentes. Quantas voltas terá dado a menor quando a maior der 10 voltas?
6. Um comerciante comprou duas peças de um mesmo tecido. A mais comprida custou R$
660,00, enquanto a outra, 12 metros mais curta, custou R$ 528,00. Quanto media a mais
comprida?
7. Se 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operários que trabalhavam 7 horas
por dia, então quantos dias serão necessários para terminar o trabalho, sabendo que 4
operários foram dispensados e que o restante agora trabalha 6 horas por dia?
8. Um grupo de 15 mineiros extraiu em 30 dias 3,5 toneladas de carvão. Se esta equipe for
aumentada para 20 mineiros, em quanto tempo serão extraídos 7 toneladas de carvão?
9. Se 27 operários, trabalhando 6 horas por dia levaram 40 dias para construir um parque
de formato retangular medindo 450 m de comprimento por 200 m de largura, quantos
operários serão necessários para construir um outro parque, também retangular,
medindo 200 m de comprimento por 300 m de largura, em 18 dias e trabalhando 8 horas
por dia?
10.Uma turma de 15 operários pretende terminar em 14 dias certa obra. Ao cabo de 9 dias,
entretanto, fizeram somente 1/3 da obra. Com quantos operários a turma original deverá
ser reforçada para que a obra seja concluída no tempo fixado?
11.Se m homens fazem um trabalho em d dias, em quantos dias m + r homens farão o
mesmo trabalho?
Respostas
1. 6,5 kg
7. 21 dias
2. 5 dias
8. 45 dias
3. 1h30min
4. 2.700 voltas
5. 65 voltas
6. 60 m
9. 30 operários
10. 39 operários
11. md : (m + r)
VI. PORCENTAGEM
1. Taxa de porcentagem
Razão centesimal (razão porcentual ou percentil) é toda razão de conseqüente 100.
Ao substituirmos o conseqüente 100 pelo símbolo % (lê-se: “por cento”), temos uma
taxa de porcentagem (ou taxa percentual).
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20
Dado um valor de referência V e uma taxa de porcentagem i (i = r %), temos:
Porcentagem: p = i .V
O valor final F após um:
• aumento de r %: F = V + p ⇔
F = ( 1 + i )V
• desconto ou abatimento de r %: F = V – p ⇔
F = ( 1 – i )V
2. Lucro ou Prejuízo
Nos problemas de vendas com lucro (L) ou prejuízo (P), temos:
V=C+L
ou
V=C–P
EXERCÍCIOS
1. Qual é a porcentagem correspondente à fração 13/40?
2. Meio, quantos por cento são de 5/8?
3. Quanto é 20% de 40% de 30% de 1.000?
4. Quantos por cento são
9% +
4 %?
5. Um ano depois de ter sido negociada por R$ 1.200,00, uma obra de arte foi vendida por
R$ 6.000,00. De quanto foi o percentual de aumento?
6. Em uma certa cidade as tarifas de ônibus foram majoradas, passando de Cr$ 16,00
para Cr$ 20,00. De quanto foi o percentual de aumento?
7. A população de uma cidade aumenta à taxa de 10% ao ano. Sabendo-se que em 1997
a população era de 200.000 habitantes, quantos habitantes esta cidade terá em 2001?
8. A soma de dois números x e y é 28 e a razão entre eles é de 75%. Qual é o maior
desses números?
9. João, Antônio e Ricardo são operários de uma certa empresa. Antônio ganha 30% a
mais que João, e Ricardo 10% a menos que Antônio. A soma dos salários dos três,
neste mês, foi de R$ 4.858,00. Qual foi a quantia que coube a Antônio?
10. Num grupo de 400 pessoas, 70% são do sexo masculino. Se nesse grupo 10% dos
homens são casados e 20% das mulheres são casadas, qual o número de pessoas
casadas?
11. Comprei um objeto por R$ 80,00 e o vendi por R$ 100,00. Qual foi o percentual do meu
lucro sobre o preço de custo?
12. Comprei um objeto por R$ 80,00 e o vendi por R$ 100,00. Qual foi o percentual do meu
lucro sobre o preço de venda?
13. Um lucro de 25% sobre o preço de custo de uma mercadoria corresponde a quanto por
cento se for calculado sobre o preço de venda?
14. Um prejuízo de 50% sobre o preço de custo de uma mercadoria corresponde a quanto
por cento se for calculado sobre o preço de venda?
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21
15. Para obter um lucro de 25% sobre o preço de venda de um produto adquirido por R$
615,00, o comerciante deverá vendê-lo por quanto?
16. Antônio comprou um conjunto de sofás com um desconto de 20% sobre o preço de
venda. Sabendo-se que o valor pago por Antônio foi de R$ 1.200,00, qual era o preço
de venda da mercadoria?
17. Um produto é vendido com um lucro bruto de 20%. Sobre o preço total da nota, 10%
corresponde a despesas. De quantos por cento foi o lucro líquido do comerciante?
18. Um cliente obteve de um comerciante desconto de 20% no preço da mercadoria.
Sabendo-se que o preço de venda, sem desconto, é superior em 20% ao do custo,
pode-se afirmar que houve, por parte do comerciante, um lucro ou prejuízo e de
quanto?
19. Quanto por cento sobre o custo corresponde um lucro de 60% sobre a venda?
20. Um produto custava em março R$ 100,00 e foi sucessivamente reajustado em 20% nos
meses de abril, maio, junho e julho. Qual é o valor desse produto após o último desses
reajustes?
21. Uma mercadoria que custava R$ 20.000,00 sofreu três reajustes sucessivos de 10%,
20% e novamente 10%. Qual o novo preço deste produto após a aplicação destas taxas
sobre taxas?
22. Um comerciante comprou 350 litros de aguardente à razão de $ 1,35 o litro. Que
quantidade de água ele deverá acrescer à aguardente para vendê-la a $ 1,75 o litro, e
ainda ganhar 30% sobre o preço de compra?
23. A empresa “Vestebem” comprou o produto A pagando 10% de imposto sobre o preço
de aquisição e 30% de despesa com transporte sobre o preço da mercadoria com
imposto. Sabendo-se que na venda de A obteve um lucro de R$ 143,00,
correspondente a 20% sobre o preço de aquisição mais despesas (imposto e
transporte), qual foi o preço de aquisição da mercadoria com imposto?
24. Um pequeno criador possui 4 vacas que dão, cada uma, 6 litros de leite por dia. Cada
litro de leite produz 60% de seu peso de nata , e esta produz 60% de seu peso de
manteiga, que é vendida a R$ 20,00 o kg. Supondo que cada litro de leite pese 1.000 g,
qual o valor total, em reais, da manteiga produzida em 30 dias?
25. Antônio ganha 30% a mais que Beatriz, e Carlos 20% a menos que Antônio. Se a
diferença entre os salários de Antônio e Carlos é de R$ 130,00, qual é o salário de
Beatriz?
26. Comprei numa promoção uma calça e uma camisa. Após o término da promoção, a
calça ficou 20% mais cara e a camisa, 10% mais cara. Se comprasse as mesmas duas
peças hoje, eu gastaria 16% a mais. Quanto por cento me custou a mais a calça em
relação à camisa?
27. O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 e
mais uma comissão de 3% sobre o total das vendas que exceder a R$ 10.000,00.
Estima-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre o salário
bruto. Em determinado mês o vendedor recebeu, líquido, o valor de R$ 4.500,00.
Quanto ele vendeu neste mês?
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28. Num certo grupo de 300 pessoas sabe-se que 98% são do sexo masculino. Quantos
homens deveriam sair do grupo para que o restante deles passasse a representar 97%
das pessoas presentes no grupo remanescente?
Respostas
1. 32,5%
2. 80%
3. 24
4. 32%
5. 400%
6. 25%
7. 292.820 hab
8. 16
9. R$ 1.820,00
10. 52
11. 25%
12. 20%
13. 20%
14. 100%
15. R$ 820,00
16. R$ 1.500,00
17. 8%
18. prejuízo de 4%
19. 150%
20. R$ 207,36
21. R$ 29.040,00
24. R$ 5.702,40
22. 1 l 23. R$ 550,00
25. R$ 500,00
26. 50%
27. R$ 100.000,00
28. 100 homens
VII. JUROS SIMPLES
Capitalização – processo de incorporação dos juros ao capital.
Regime de capitalização simples – somente o capital inicial rende juros.
J = C.i.n
tempo (ou período)
taxa percentual
Capital
Montante (M)
J
C
M
M = C + J ⇒ M = C(1 + in)
EXERCÍCIOS
1. Calcular os juros obtidos por um capital de R$ 1.400,00 aplicado durante 5 meses a uma
taxa de juros simples de 2% ao mês.
2. Determinar o capital que deve ser aplicado durante 8 meses, a uma taxa de juros
simples de 60% ao ano, para que produza R$ 1.280,00 de juros.
3. Um capital de R$ 750,00 aplicado durante dois meses e doze dias rende juros simples
de R$ 45,00. Qual a taxa anual de juros da aplicação?
4. Um capital de R$ 1.200,00 aplicado a uma taxa de juros simples de 2% ao mês rende R$
104,00 de juros. Qual é o prazo da aplicação?
5. A que taxa mensal deve ser aplicado um capital durante 1 ano e 3 meses para que
produza juros simples correspondentes a 3/8 do seu valor?
6. Qual o montante obtido pela aplicação de R$ 2.500,00 a uma taxa de juros simples de
1,4% ao mês, durante cinco meses?
7. Qual é o prazo que um capital deve ser aplicado a uma taxa de juros simples de 30% ao
semestre para que ele duplique?
8. Qual é o prazo que deverá ser aplicado um capital de R$ 2.000,00, a uma taxa anual de
36% no regime de capitalização simples, para que produza um montante de R$
2.300,00?
Respostas
1) R$ 140,00
2) R$ 3.200,00
3) 30% a.a.
4) 4 meses e 10 dias
5) 2,5% a.m.
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6) R$ 2.675,00
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7) 1 ano e 8 meses
8) 5 meses
VIII. MÉDIA ARITMÉTICA
⎯
Média aritmética ( X )
A média aritmética de uma série de números é o valor que resume (representa) a série.
⎯
x1 + x2 + x3 + ... + xn
X = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⇔
n
Σ xi
X = ⎯⎯
; i = 1, 2, 3, ... , n.
n
⎯
Σ ... somatório.
⎯
Média aritmética ponderada ( P )
Dada uma série de valores (x1, x2, x3, ... , xn) com os respectivos pesos (p1, p2, p3, ..., pn),
temos:
n
p .x + p2.x 2 + p3.x 3 + ... + pn.xn
P = 1 1
p1 + p2 + p3 + ... + pn
⎯
⇔
⎯
P =
∑ pi.xi
i=1
n
∑ pi
; i = 1, 2, 3, ... , n.
i=1
EXERCÍCIOS
1. Um aluno obteve nota 6,0 na prova de Português e 4,5 na de Matemática. Qual foi a
média obtida por esse aluno, sabendo-se que a nota de Português tinha peso 3, e a de
Matemática peso 2?
2. Duas classes de um colégio fizeram o mesmo teste. A média aritmética das notas da
classe menor foi de 80 e a da classe maior foi 70. Sabendo que a classe maior tem 50%
mais alunos que a menor, qual é a média aritmética das duas classes juntas?
3. Depois de ter calculado a média aritmética das 50 notas das provas dos alunos de sua
classe, o professor Milton percebeu que havia enganos no total de pontos de duas delas,
tendo marcado 30 pontos numa prova que teve 45, e 80 numa prova que só tinha 60
pontos. Se a primeira média calculada resultou em 63,7 pontos, então qual era a média
correta das 50 notas?
4. Um carro percorre 120 km em 2 h e, em seguida, 80 km em 8 h. Qual foi a velocidade
média da viagem?
5. Os irmãos Metralha assaltam um banco e fogem com velocidade de 100 km/h. Meia hora
depois, a polícia sai em seu encalço com velocidade de 120 km/h. Determine:
a) após quanto tempo a polícia alcançara os bandidos?
b) a que distância do banco isto ocorre?
6. Duas cidades A e B distam 500 km uma da outra. Se dois carros partem
simultaneamente de A e B, um ao encontro do outro, com velocidade de 40 km/h e 60
km/h, respectivamente, pergunta-se:
a) após quanto tempo se encontrarão?
b) a que distância da cidade A se encontrarão?
Respostas
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1. 5,4
2. 74
3. 63,6 pontos
6. a) 5 h
b) 200 km
4. 20 km/h
5. a) 2,5 h ou 2h30min
b) 300km
IX. ANÁLISE COMBINATÓRIA
1. Fatorial
Fatorial de n (ou n fatorial): n! = n.(n–1).(n–2). ... .3.2.1, n∈IN / n ≥ 2.
1! = 1 e 0! = 1
Exemplo: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
2. Permutação
Simples
Com repetição
α,β,γ, ...
Pn = n!
(PR)n
3. Arranjo
Simples
n!
A n, p = ⎯⎯⎯
(n–p)!
(PC)n = (n – 1)!
(AR) n, p = np
Com repetição
n!
C n , p = ⎯⎯⎯⎯
(n–p)!.p!
(CR) n , p = C n + p – 1, p
2a) C n, 1 = n
EXERCÍCIOS
1. Simplifique:
a) 7!
b) 4!
5!
6!
f)
n!
= ⎯⎯⎯⎯ , α+β+γ+... =n.
α!.β!.γ!...
Com repetição
1. Combinação
Simples
Propriedades:
1a) C n, 0 = 1
Circular
n!
(n – 1)!
2. Calcular:
4,3
a) P4
b) (PR)7
c)
3a) C n, n = 1
4a) C n, n–p = C n , p
5!
3!.2!
d)
g) n! – (n + 1)!
n!
c) (PC)5
d) A9,3
5!
3! + 2!
n
5a) Σ C n, i = 2n
i =0
e) 6! + 4!
5! + 7!
h) n! + (n –1)!
(n + 1)!
e) (AR)2,5
f) C7,4
g) (CR)5,3
3. Quantos anagramas podem ser obtidos com as letras da palavra BOLA?
4. Quantos anagramas da palavra BOLA começam por vogal?
5. Quantos anagramas da palavra BOLA começam por consoante e terminam por vogal?
6. Em quantos anagramas da palavra BOLA as letras L e A aparecem juntas e nesta
ordem?
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7. Em quantos anagramas da palavra BOLA as letras L e A aparecem juntas?
8. Quantos anagramas da palavra PROVA começam e terminam por vogal?
9. Em quantos anagramas da palavra PROVA as letras P e R aparecem juntas?
10. Quantos anagramas podem ser obtidos com as letras da palavra CASA?
11. Quantos anagramas podem ser obtidos com as letras da palavra BANANA?
12. Quantos anagramas da palavra BANANA começam pela letra N?
13. Quantos anagramas da palavra BANANA começam por vogal?
14. Numa catedral há 10 portas. De quantas maneiras uma pessoa poderá entrar na
catedral e sair por uma porta diferente da que usou para entrar?
15. De quantos modos 5 pessoas podem se sentar em 8 cadeiras?
16. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando-se apenas
os algarismos 6, 7, 8 e 9?
17. Quantos números de três algarismos podem ser formados usando-se apenas os
algarismos 6, 7, 8 e 9?
18. Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados usando-se
apenas os algarismos 6, 7, 8 e 9?
19. Usando-se apenas os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9, quantos números de três algarismos e
múltiplos de 5 podem ser formados?
20. Quantos números de cinco algarismos podem ser formados usando-se apenas os
algarismos 1, 2 e 3?
21. Quantos subconjuntos de dois elementos tem o conjunto M = {m, n, p, q}?
22. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas a partir de um grupo de 8
pessoas?
23. Devo escolher 4 livros diferentes dentre os 10 títulos que mais me agradaram em uma
livraria. De quantas maneiras posso fazê-lo?
24. Uma comissão com 2 brasileiros e 2 argentinos deve ser formada a partir dos
componentes de um grupo onde estão presentes 6 brasileiros e 8 argentinos. De
quantos modos distintos esta comissão pode ser formada?
25. Quantos triângulos podem ser obtidos escolhendo-se os seus vértices dentre 7 pontos
distintos marcados sobre uma circunferência?
26. Determinar o número de diagonais de um hexágono.
27. Quatro pontos distintos são marcados sobre uma reta r, e cinco outros sobre uma reta
s paralela a r. Quantos triângulos distintos podem ser obtidos usando como vértices
três desses pontos?
28. Quantos subconjuntos podem ser formados a partir do conjunto A = {1,2,3,4,5,6}?
29. No exercício anterior, quantos subconjuntos contem o elemento 5?
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30. João e Maria fazem parte de um grupo de 12 pessoas. De quantas maneiras é
possível formar um grupo com 5 pessoas, se João e Maria devem necessariamente
fazer parte?
31. No exercício anterior, quantos são os grupos de 5 pessoas em que João e Maria não
fazem parte?
32. De quantas maneiras podemos formar uma comissão com 3 moças e 2 rapazes
escolhidos dentre 5 moças e 5 rapazes que pertencem a um grêmio?
33. Numa prova, os alunos devem escolher e responder somente 10 das 12 questões que
a compõem. Quantas maneiras diferentes existem para um aluno escolher as 10
questões que ele deve responder?
34. Ao final de uma reunião, cada um dos presentes cumprimentou os demais com um
aperto de mão uma única vez. Quantas pessoas estavam presentes se ao todo foram
trocados 36 apertos de mão?
35. De um grupo de 7 professores, 4 lecionam Matemática. De quantos modos pode-se
formar uma comissão com 3 componentes de forma que, pelo menos um dentre os
escolhidos seja professor de Matemática?
36. Um bar vende apenas 3 sabores de refrigerante: guaraná, laranja e limão. De quantas
maneiras uma pessoa pode comprar 5 garrafas de refrigerante?
37. De quantas maneiras pode-se responder a 10 testes de uma prova do tipo Verdadeiro
ou Falso?
38. De quantas maneiras 5 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?
Respostas
1. a) 42
b) 1/30
c) 10
d) 15
e) 31/215
f) n
g) –n
h) 1/n
2. a) 24
b) 35
c) 24
d) 504
e) 32
f) 35
g) 35
3. a) 24
4. 12
5. 8
6. 6
` 7. 12
8. 12
9. 48
10. 12
11. 60
12. 20
13. 30
14. 90
15. 56
16. 24
17. 64
18. 12
19. 25
20. 243
21. 6
22. 56
23. 210
24. 420
25. 35
26. 9 27. 70
28. 64
29. 32
30. 120
31. 672
32. 100
33. 66
34. 9
35. 34
36. 21
37. 1.024
38. 24
X. PROBABILIDADE
1. Conceitos básicos
Experimento (ou fenômeno) aleatório – repetido em condições semelhantes
apresentam resultados imprevisíveis.
Espaço amostral (ou conjunto universo) – conjunto contendo todos os resultados
possíveis de um experimento.
Evento – qualquer subconjunto do espaço amostral. Podem ser:
2. Probabilidade de ocorrer um evento
Sendo A um evento qualquer de um espaço amostral equiprovável, temos:
n(A)
P(A) = ⎯⎯
n(E)
n(A) ... no de elementos do evento
n(E) ... no de elementos do espaço amostral
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Propriedades:
1a) 0 ≤ P(A) ≤ 1;
2a) evento certo: P(E) = 1;
3a) evento impossível: P(∅) = 0;
Dados dois eventos complementares A e B, temos:
- P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1
- P(A∩B) = 0
- sendo P(A) = a e P(B) = b, então a probabilidade do evento A ocorrer exatamente k
vezes em n tentativas será dada por:
k
Pk(A) = Cn.ak.bn–k
EXERCÍCIOS
1. Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando-se uma delas, qual é a
probabilidade de que se obtenha um número múltiplo de 5?
2. Um dado é lançado e sua face superior é observada. Qual é a probabilidade de que
ocorra um número maior que 4?
3. Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Sorteando-se uma delas, qual é a
probabilidade e que se obtenha um número múltiplo de 2 ou de 3?
4. No problema anterior, qual é a probabilidade de que se obtenha um número múltiplo
de 2 e de 3?
5. Uma urna contém 5 bolas verdes, 4 brancas e 3 azuis. Sorteando-se uma bola, qual é
a probabilidade de que ela seja azul ou branca?
6. No problema anterior, qual é a probabilidade de que ela não seja branca nem azul?
7. Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retirando-se 3 bolas sem
reposição, qual é a probabilidade das duas primeiras bolas serem pretas e a terceira
vermelha?
8. Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Matemática, 150 Direito e 10 as duas
disciplinas. Um aluno sendo escolhido ao acaso, Qual é a probabilidade de que ele
estude somente Direito?
9. No problema anterior, qual é a probabilidade de que ele estude Direito, sabendo que
ele estuda Matemática?
10. Uma urna contém 5 bolas verdes e 3 azuis. Duas bolas são retiradas ao acaso. Qual é
a probabilidade de que as duas bolas sejam verdes?
11. Seis pessoas, entre elas Maria e José, estão dispostas em fila. Qual é a probabilidade
de Maria e José estarem um ao lado do outro?
12. Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual é a probabilidade de que ocorram exatamente 3
caras?
13. Um dado é lançado 3 vezes. Qual é a probabilidade de que ocorra o número 5
exatamente duas vezes?
14. Dois dados são lançados. Qual a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos
seja maior que 8?
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Respostas
1. 1/5 ou 20%
2. 1/3
7. 5/34
8. 7/25
9. 1/8
14. 5/18
3. 7/10
10. 5/14
4. 1/10
11. 1/3
5. 7/12
12. 5/16
6. 5/12
13. 5/72