Modulo 3

Módulo III
Claudia Regina Campos de Carvalho
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Módulo III –Capacitores
Capacitores:
Denomina-se condensador ou capacitor ao conjunto de condutores e dielétricos
arrumados de tal maneira que se consiga armazenar a máxima quantidade de cargas
elétricas. Sua simbologia é:
C1
ou
C2
A capacidade elétrica ou capacitância, que relaciona quantidade de carga Q e
tensão V, pode ser expressa como:
C=
Q
V
A unidade de capacitância no Sistema Internacional é o farad (F) .
Quando o condutor é esférico, de raio R, isolado e em equilíbrio eletrostático, o
potencial elétrico é determinado por:
C=
Q
Q
R
=
⇒C =
Q
V
k
k.
R
Onde k é a constante eletrostática (que no vácuo vale 9x109 N.m2/C2).
A energia potencial elétrica do capacitor será:
U=
1
C.V 2
2
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Associação de Capacitores:
Assim como os resistores, podemos ligar nossos capacitores em série ou em
paralelo. A associação em série visa dividir a tensão entre vários capacitores, sem que se
queimem. Podemos então, pensar em um capacitor equivalente, que nas mesmas
condições, eqüivaleria a todos os outros.
série ⇒
1
1
1
1
=
+
+
+ ...
C e C1 C 2 C 3
V = V1 + V2 + V3 + ...
Q1 = Q2 = Q3 = ...
Já a associação em paralelo, visa aumentar a quantidade de carga armazenada, mas
mantendo a tensão. Desta maneira,
paralelo ⇒ C e = C1 + C 2 + C 3 + ...
Q = Q1 + Q2 + Q3 + ...
V1 = V2 = V3 = ...
Circuitos RC :
Um circuito com um resistor e um capacitor é um circuito RC. A corrente neste
circuito circula num só sentido, mas tem valor que varia no tempo. Um exemplo prático de
um circuito RC é o de uma lâmpada de flash de máquina fotográfica. Neste circuito uma
bateria carrega um capacitor através de um resistor em série. O clarão que ilumina a cena, é
decorrente da descarga do capacitor. Com as regras de Kirchhoff é possível ter as equações
da carga Q e da corrente I em função do tempo, na carga e descarga de um capacitor através
de um resistor.
Descarga de um Capacitor:
S
+Q0
R
C
-Q0
Figura1. Capacitor em série com uma chave (S) e um resistor R.
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A diferença de potencial no capacitor é:
Q0
C
No instante t = 0 a chave é fechada. Como há uma diferença de potencial no resitor,
há uma corrente que o percorre. A corrente inicial é
V0 =
I0 =
V0
Q
= 0
R
RC
Esta corrente é provocada pelo deslocamento de carga da placa positiva para a
negativa. Neste processo, porém, a carga do capacitor se reduz. Supondo que a corrente
circule no sentido horário, ela irá medir a taxa de diminuição de carga em função do tempo,
ou seja:
I =−
dQ
dt
Aplicando a regra das malhas, teremos uma queda de tensão proporcional a IR e
uma elevação de potencial proporcional a Q/C .
Q
− IR = 0
C
Q
dQ
+R
=0
C
dt
A solução da equação acima (equação diferencial) será aprendida futuramente nas matérias
de matemática, e pode ser expressa como:
Q ( t ) = Q 0 e − t / RC = Q 0 e − t / τ
Onde τ é a constante de tempo (intervalo em que a carga leva para cair a 1/e do seu valor
inicial) . Para a corrente teremos:
I = I 0e −t /τ
Carga de um Capacitor:
De maneira análoga podemos construir o caso de carga em um capacitor.
Considerando o circuito abaixo, teremos:
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+
1
S
+
R
2
e
-
+
C
Figura2. Circuito para carregar capacitor.
Se em t=0, fechamos a chave, a carga imediatamente começa a passar pelo resistor e
a se acumular na placa positiva do capacitor. Usando a regra das malhas:
ε − V R − VC = 0
ε −I∗R−
Q
=0
C
O sentido que tomamos para a corrente corresponde ao crescimento da carga no
capacitor, ou seja:
I = +
dQ
dt
Com isso,
ε = R∗
dQ
Q
+
dt
C
No instante t =0 a carga é nula no capacitor e a corrente será:
I0 =
ε
R
A solução da equação diferencial pode ser expressa, neste caso, como:
Q ( t ) = C ε (1 − e − t / RC ) = Q f (1 − e − t / τ )
Em que
Q f = Cε
I = I 0e −t /τ
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Exercício 1:
Um capacitor de 4µF é carregado a 24 V e depois ligado a um resistor de 200Ω. Calcular
(a) a carga inicial no capacitor, (b) a corrente inicial no resistor, (c) a constante de tempo do
circuito, (d) a carga no capacitor depois de 4ms.
Solução:
(a) A carga inicial é dada pela capacitância e pela tensão:
Q0 = CV = (4 µF ) ∗ (24V ) = 96µC
(b) A corrente inicial é igual ao quociente entre a voltagem inicial e a resistência:
I0 =
V0
24
=
= 0 ,12 A
R
200
(c) A constante de tempo será:
τ = RC = ( 200 ) * ( 4 x10 − 6 ) = 800 µ s = 0 ,8 ms
(d) Temos:
Q ( t ) = Q 0 e − t / τ = ( 96 µ C ) e − ( 4 ms ) /( 0 , 8 ms )
Q ( t ) = ( 96 µ C ) e − 5
Q ( t ) = 0 , 647 µ C
Exercício 2:
Três capacitores são associados conforme figura:
2µF ; 12 V
6µF
12µF
Determine:
(a) a carga e tensão em cada capacitor;
(b) a tensão associada;
(c) a capacidade equivalente;
(d) a energia potencial elétrica da associação
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Solução:
(a) a carga é a mesma para todos os capacitores (associação em série):
a tensão em cada capacitor é obtida através da relação:
V =
Q
C
temos:
V2 =
Q 24 x10 −6
=
= 4V
C
6 x10 − 6
V3 =
Q 24 x10 −6
=
= 2V
C 12 x10 −6
(b) a tensão da associação é:
V = V1 + V2 + V3
V = 12 + 4 + 2 = 18V
(c) a capacidade equivalente é:
1
1
1
1
=
+
+
C e C1 C 2 C 3
1
1
1
1
=
+
+
−6
−6
C e 2 x10
6 x10
12 x10 −6
Ce =
4
µF
3
(d) a energia potencial elétrica é:
U=
Q.V (24 x10 −6 ) ∗ 18
=
= 2,16 x10 −4 J
2
2
Bibliografia:
Tipler, Paul A. Mosca, Gene. Física,
Engenheiros (em Português). Ed. LTC, 2006.
V.3
-
Para
Cientistas
e
Sears, Francis; Young, Hugh D; Zemansky, Mark Waldo. Física – 4 volumes. Ed.
LTC, 2002.
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