SISTEMAS DE EQUAÇÕES 2x2

SISTEMAS DE
EQUAÇÕES 2x2
1
equações (1º grau, 2º grau...). Para explicar, vamos
usar o exemplo da introdução:
Introdução
Em um estacionamento, entre carros e motos, há 14
veículos. Qual é o número exato de carros e motos?
ão
Se representarmos o número de carros por x e o
número de motos por y, temos a seguinte equação:
x  y  14
No entanto, podemos facilmente verificar que há
várias respostas possíveis:
12 carros + 2 motos = 14 veículos
6 carros + 8 motos = 14 veículos
7 carros + 7 motos = 14 veículos
Para restringir nossa resposta a somente uma
solução possível, temos que dar mais alguma
informação sobre esses carros e as motos. Se
dissermos que há um total de 48 rodas nesse
estacionamento, temos a seguinte equação:
Em um estacionamento, entre carros e motos, há 14
veículos. Sabe-se que o número total de rodas nesse
estacionamento é de 48 rodas. Quantas motos e
carros há nesse estacionamento:
Construindo o sistema, temos:
 x  y  14

4 x  2 y  48
O método da substituição consiste em isolar
qualquer incógnita em qualquer uma das equações
e substituir a expressão correspondente a essa
incógnita na outra equação.
Complicado? Vamos fazer passo a passo.

Vamos isolar o valor de x na primeira equação
do sistema:
x  y  14
 x  14  y
4 x  2 y  48
São 4 rodas por carro e 2 rodas por moto. Temos
então o que chamamos de sistema de duas
equações com duas incógnitas, ou sistema 2x2.

Na segunda equação, substituímos x pela
expressão isolada. Note que após a substituição,
temos somente uma equação de uma incógnita
para resolver:
4 x  2 y  48
 x  y  14

4 x  2 y  48
4(14  y )  2 y  48
56  4 y  2 y  48
Note que somente para x  10 e y  4 o sistema é
56  2 y  48
 10  4  14
.
4 10  2  4  48
2 y   8
atendido nas duas equações: 
2y  8
y4
Neste capítulo vamos descobrir métodos para a
resolução de sistemas.
2
método da substituição

Já descobrimos o valor de y. Agora precisamos
descobrir o valor de x. Basta substituir o valor
de y que a gente descobriu em qualquer uma
das equações:
O método da substituição é o mais eficiente na
resolução de sistemas de duas incógnitas, pois
serve para qualquer tipo de sistema de duas
Prof. Diego Medeiros – Álgebra II – Escola Preparatória da UFABC
x  14  y
x  14  4  x  10
9
Capítulo 2 – Sistemas de equações 2x2
Agora já sabemos a resposta. O sistema possui
somente uma solução e esta é S  10, 4  .
Vejamos, agora, outros exemplos:
 2x  3y  7
Determine a solução do sistema 
.
3 x  5 y  20
Álgebra II
x
y
1 
2
3
3x  6 2 y

6
6
3x  6  2 y
x  3( y  2)  4
x  3 y  6  4
x  3y  2
3x  2 y  6
3x  2 y  6
.
 x  3y  2
Isolamos a incógnita:
Temos então um novo sistema: 
2x  3y  7
2x  7  3 y
x
Nesse caso, convém isolar x na segunda equação e
com o resultado, substituir na isolada:
7  3y
2
3x  2 y  6
Substituímos na outra equação do sistema:
x  3y  2
3 x  5 y  20
x  3y  2
 7  3y 
3
  5 y  20
 2 
21  9 y
 5 y  20
2
21  9 y  10 y 40

2
2
19 y  40  21
33 y  2  2 y  6 x  3 y  2
9y  6  2y  6
x  3 0  2
7y  0
x2
y0
A solução então é S   2, 0  .
O método da substituição também serve para a
resolução de sistemas de equações do 2º grau.
Vejamos um exemplo:
19 y  19
 x ²  6  xy
.
 x y 4
y  1
Resolva o sistema 
Agora substituímos. Vamos escolher a isolada:
Nesse caso, a primeira equação é do 2º grau e a
segunda, do 1º grau. Convém isolar a incógnita na
segunda equação.
7  3y
x
2
7  3  (1)
x
2
x5
x y 4
x  4 y
A solução então é S   5, 1 .
Substituindo, na outra equação, x pelo seu valor
4 – y temos:
y
x
 1 
Determine a solução do sistema  2
.
3
 x  3( y  2)  4
x ²  6  xy
Neste caso, antes de isolar, convém deixar as duas
equações na forma ax + by = c.
10
(4  y )²  6  (4  y ) y
16  8 y  y ²  6  4 y  y ²
2 y ²  12 y  10  0 : 2 
y²  6 y  5  0
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Capítulo 2 – Sistemas de equações 2x2
Temos uma equação do 2º grau para resolver.
Resolvemos por Bháskara:
y²  6 y  5  0
  b²  4ac    (6)²  4 1 5  36  20  16
64

y1 
 5

b   (6)  16 6  4 
2
y



64
2a
2 1
2 
y2 
1

2
Temos dois valores para y. Substituímos duas vezes:
Para y  5  x  4  5  x  1
Para y  1  x  4  1  x  3
A solução do sistema é então dada por dois pares
ordenados: (  1, 5) e (3, 1).
Logo, S   1,5  ;  3,1 .
EXERCÍCIOS DE TREINO
1. Determine a solução de cada um dos seguintes
sistemas de equações nas incógnitas x e y.
 x  y  20
 x y 8
a) 
x  5  2 y
 y ²  7  3 x
b) 
 2 x  y  3
c) 
 x  3 y  26
 x  5 y  24
3x  2 y  4
d) 
x  2 y
 x  y ²  35
e) 
Álgebra II
1
x
 4  y  2
f) 
x y  2

3
 3x  5 y  2( x  y )  1
3 y  3( x  3 y )  x  2  3 y
g) 
x y x y
 5  3
h) 
 x  y2
 2
 x  2( y  2)

i)  x  y x
 2

2
 10
x  y  9
 xy  14
j) 
3
método da adição
Você já deve ter percebido, pelos exemplos e pelos
exercícios, que para resolver um sistema de duas
equações é preciso chegar a uma só equação com
uma só incógnita. Já fizemos isso usando o método
da substituição. Veremos, agora, como resolver um
sistema de duas equações do 1º grau com duas
incógnitas usando o método da adição.
Atenção: o método da adição só é aplicado para a
resolução de sistemas de equações do 1º grau, ou
como veremos no capítulo 5, sistemas lineares 2  2.
Para demais casos, o método da substituição
funciona prática e corretamente.
Para mostrar o método, vamos usar um exemplo:
5 x  3 y  21
.
2 x  3 y  14
Vamos resolver o seguinte sistema 
Podemos observar que as duas equações possuem
termos opostos ( 3y na primeira e 3y na
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Capítulo 2 – Sistemas de equações 2x2
Álgebra II
segunda). Portanto, se somarmos as duas equações,
teremos uma só equação com uma só incógnita:
 10 x  6 y  4

12 x  6 y  18
5 x 3 y  21

2 x 3 y  14
22 x  22
7 x  35
Finalmente, vamos substituir x por 1 em qualquer
uma das equações do sistema e teremos:
x 1
x5
Agora, basta substituir x por 5 em qualquer uma
das equações do sistema:
5x  3 y  2
5 1  3 y  2
5  3y  2
5 x  3 y  21
3 y  3
5  5  3 y  21
y  1
25  3 y  21
3 y  4
Logo, a solução do sistema é S  1, 1 .
4
y
3
EXERCÍCIOS DE TREINO
2. Determine a solução de cada um dos seguintes
sistemas de equações nas incógnitas x e y.

4 
Logo, a solução do sistema é S   5,    .
3 

 x  y  32
 x  y  18
a) 
Vejamos agora outros exemplos:
5 x  3 y  2
.
4 x  2 y  6
6 x  3 y  20
4 x  3 y  40
Vamos resolver o sistema 
b) 
Observando as duas equações, vemos que de nada
serve somar as duas equações, pois esse processo não
eliminará nenhuma incógnita. Vamos então utilizar
um recurso:
c) 

d) 

Multiplicamos todos os termos da 1ª equação por
2.
Multiplicamos todos os termos da 2ª equação por
3.
5 x  3 y  2  (2)  10 x  6 y  4


4 x  2 y  6  (3) 12 x  6 y  18
Agora sim temos equações com termos opostos.
Vamos somá-las:
7 x  6 y  23
 5 x  6 y  21
8 x  5 y  11
 4x  5 y  3
2 x  3 y  11
2 x  7 y  1
e) 
2 x  y  12

f)  x y
 3  2  6
y

2( x  1)  2  3
g) 
 5x  1  3  y

2
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Capítulo 2 – Sistemas de equações 2x2
 3( x  2)  2( y  3)
18( y  2)  y  3(2 x  3)
h) 
x y x y
 5  2
i) 
 3x  y  2
 2
problemas envolvendo sistemas
A dificuldade da maioria dos problemas está em
interpretar o problema numa situação matemática.
Vamos resolver dois problemas que envolvem
sistemas de equações de duas incógnitas:
Em um terreno de 1050 m² vai ser construída uma
casa. Fica estabelecido que a parte reservada ao
jardim deve ter 40% da área ocupada pela
construção. Qual deve ser a área ocupada pela
construção e pelo jardim?
Vamos indicar por:
x: a área ocupada pela construção.
y: a área ocupada pelo jardim.
Lembrando que 40% 
2
x  1050
5
5 x  2 x 1050

5
5
7 x  5250
x
x  750
2( x  1)  3( y  2)  x

j)  x y  1
 4  2  2
4
Álgebra II
40 2
 , podemos formar o
100 5
seguinte sistema:
Substituímos na equação isolada:
2
x
5
2
y   750
5
y
y  300
Logo, a área construída será de 750 m² e o jardim
terá 300 m².
Carlos tinha 5 anos quando Eduardo nasceu.
Atualmente, a razão entre os quadrados das idades
de Eduardo e Carlos é
de cada um.
Vamos representar por x a idade de Carlos e y a
idade de Eduardo. Se Carlos tinha 5 anos quando
Eduardo nasceu, então a diferença de idades é de 5
anos. Montamos então o sistema:
x  y  5

 y² 4
 x ²  9
Resolvendo o sistema, temos:
 x  y  1050

.
2

 y  5 x
No caso, y já está isolado, basta substituir na 1ª
equação:
4
. Determine a idade atual
9
x y 5
x  y5
y² 4

x² 9
y²
4

( y  5)² 9
9 y ²  4( y ²  10 y  25)
5 y ²  10 y  25  0
x  y5
x  10  5
x  15
y ²  8 y  20  0
y1  10
y 2  2
Logo, Carlos tem 15 anos e Eduardo, 10 anos.
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Capítulo 2 – Sistemas de equações 2x2
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. A soma de dois números é 169 e a diferença
entre eles é 31. Quais são os dois números?
2. A soma de dois números é 110. O maior deles é
igual ao triplo do menor menos 18 unidades.
Quais são os dois números?
3. Um terreno retangular tem 128 m de perímetro.
O comprimento tem 20m a mais que a largura.
Determine as dimensões desse terreno e a área.
4. A 7ª série A tem 47 alunos. No dia da eleição
para o representante dessa série no conselho de
escola, faltaram 5 alunos e dois se apresentaram
como candidatos. Feita a votação e a apuração,
verificou-se que o vencedor teve 8 votos a mais
que o perdedor. Quantos votos o candidato
vencedor recebeu?
Álgebra II
fazenda é de 40 km². Quais são as dimensões da
fazenda?
10. Um galpão tem 96 m² de área. Se aumentarmos
o comprimento desse galpão em 3 m e a largura
em 2 m, a área do galpão passa a ser de 150 m².
Calcule as dimensões originais do galpão.
11. Se você dividir um número real positivo x por
um número real positivo y vai encontrar 3 como
resultado. Se o quadrado do número y é igual ao
número x aumentado de 10 unidades,
determine os dois números.
12. A soma das áreas de dois quadrados distintos é
igual a 52 cm². Sabendo que a diferença entre as
medidas do lado dos quadrados é igual a 2 cm,
calcule a área de cada quadrado.
5. Duas pessoas têm juntas 70 anos. Subtraindo-se
10 anos de idade da mais velha e acrescentando
os mesmos 10 anos à idade da mais jovem, as
idades ficam iguais. Qual é a idade de cada
pessoa?
6. Pelo regulamento de um torneio de basquete,
cada partida que a equipe ganha vale 2 pontos, e
a cada uma que perde, 1 ponto. A equipe de
basquete do colégio A, disputando um torneio,
jogou 10 vezes e já acumulou 16 pontos.
Quantos jogos a equipe A já venceu?
7. Uma tábua tinha 235 cm de comprimento e foi
dividida em 3 partes. A primeira delas tem 85
cm de comprimento e a segunda tem o dobro do
comprimento da segunda parte. Quais são os
comprimentos dessas partes desconhecidas?
8. Em um terreiro, tem-se galinhas e carneiros,
num total de 21 animais e 50 pés. Quantos
animais de cada espécie há nesse terreiro?
9. Um fazendeiro, percorrendo com um jipe todo o
contorno de sua fazenda, de forma retangular,
perfaz exatamente 26 km. A área ocupada pela
14
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