x - Liceu Albert Sabin

MATEMÁTICA
Noções de Estatística
Professor
Marcelo Gonsalez Badin
O que é Estatística?
A Estatística é um ramo científico relacionado à obtenção
de informações a partir de dados numéricos e ao emprego
dessas informações para efetuar inferências a respeito de
uma população,a partir da qual os dados são coletados.
A Estatística é uma metodologia de coleta, sistematização,
descrição, análise, apresentação e interpretação de dados,
para a tomada de decisões.
Inferência: conexão indireta entre assuntos.
Ilação ou dedução
Frequência
É o número de vezes que a variável é observada na população estudada
Frequência absoluta e frequência relativa
Suponha que durante um cruzeiro marítimo pelo Caribe, foi escolhido
um grupo de turistas. Feita uma pesquisa sobre a nacionalidade de cada um,
obteve-se o seguinte:Pierre: francesa; José Carlos: brasileira; Laura: espanhola;
Asdrúbal: brasileira; Juan: espanhola; Sílvia: brasileira; Amélia: brasileira;
Carmem: espanhola; Roberta: brasileira; Flávio: brasileira.
Nesse exemplo, a variável é “nacionalidade” e a frequência absoluta de
cada um de seus valores é: brasileira, 6; espanhola, 3 e francesa, 1.
É comum apresentarmos as frequências relativas, que mostram a
frequência absoluta de cada um em relação ao total. No exemplo, temos:
Frequência relativa da nacionalidade brasileira: 6 em 10 ou 0,6 ou 60%
Frequência relativa da nacionalidade espanhola: 3 em 10 ou 0,3 ou 30%
Frequência relativa da nacionalidade francesa: 1 em 10 ou 0,1 ou 10%
Observação:
A tabela que mostra a variável e suas realizações (valores), com as frequências
absoluta (FA) e relativa (FR), é chamada de tabela de frequências.
Assim, usando o mesmo exemplo, temos:
Nacionalidade
FA
FR
Brasileira
6
60%
Espanhola
3
30%
Francesa
Total
1
10
10%
100%
Podemos associar a frequência relativa de um evento à probabilidade de que ele
ocorra. Se o número total de citações for suficientemente grande, a frequência
relativa se estabiliza em torno de um número que expressa a probabilidade
de ocorrência desse evento.
Organização de dados
Na organização de dados numéricos de uma coleta é
comum seguir a sequência de procedimentos:
Arranjar os dados em ordem crescente ou decrescente
(este modo de arranjar é chamado de ROL).
Se necessário, agrupar os dados do ROL em categorias ou classes
Tabular os dados agrupados de modo que a cada classe fique
associada sua frequência (montar tabelas)
Fazer gráficos que são representações no plano (ou no espaço) dos dados tabulados,
com o objetivo de permitir um acesso rápido aos dados e uma melhor análise destes
Recomendações úteis na construção de um gráfico:
• o gráfico deve comunicar direta e rapidamente;
• o gráfico deve enfatizar uma mensagem completa e coerente;
• o gráfico deve ser claro e não deixar dúvidas para o leitor.
Médias
Média Aritmética
4
∑ 2k
= 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.4
k =1
Dados os números reais x1, x2, ..., xn, a média aritmética será o número,
denotado x , calculado por:
n
xi
xi
∑
x + x 2 + x 3 + ... + x n
x=
x = i =1
x= 1
n
n
n
∑
Obs.: Em uma distribuição de frequências em que os valores x1, x2, ..., xn
forem observados com frequências f1, f2, ..., fn, respectivamente,
n
a média aritmética será dada por:
x ⋅ f + x 2 ⋅ f 2 + x 3 ⋅ f 3 + ... + x n ⋅ f n
x= 1 1
f1 + f 2 + f 3 + ... + f n
x=
∑ x ⋅f
i
i =1
n
∑f
i =1
i
x ⋅f
∑
x=
∑f
i
i
i
i
Outras médias
Além da aritmética, em algumas aplicações podem ser utilizadas as
médias geométrica e harmônica.
Média geométrica
Definição: Dados os números reais positivos x1, x2, ..., xn,
a média geométrica desse conjunto, será dada por:
M G=
n
x1 ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ ... ⋅ x n
A média geométrica é muito utilizada em geometria, matemática financeira e PG.
Num triângulo retângulo, a altura é a média geométrica das projeções
Média harmônica
Definição: Dados os números reais não nulos x1, x2, ..., xn,
a média harmônica desse conjunto, se existir, será dada por:
1
n
MH =
=
1 1
1
1
1 1
1
1
+ + + ... +
+ + + ... +
x1 x 2 x 3
xn
x1 x 2 x 3
xn
n
A média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos
A média harmônica é muito utilizada em física.
Uma bike viaja metade do percurso com velocidade de 30 km/h e durante a 2ª metade
sua velocidade foi de 20 km/h. Qual a velocidade média do veículo no percurso?
12
2a km
60
2a
2a
∆s
= 2a ⋅
=
=
= 24 km/h
V
=
a km
a km
3a
2a
+
a
a
5a
∆t
a
30 =
t1
a
t1 =
30
a
20 =
t2
a
t2 =
20
30
+
20
60
A velocidade média é a
média harmônica das velocidades.
Calcule as médias aritmética, geométrica e harmônica
dos elementos do conjunto {3, 6, 10}
Média Aritmética: Média Geométrica: Média Harmônica:
x=
3 + 6 + 10
3
19
x=
3
MG =
3
3 ⋅ 6 ⋅10
MG = 3 180
3
=
MH =
1 1 1
1 1 1
+ +
+ +
3 6 10 3 6 10
3
3
30
= 3⋅
MH =
10 + 5 + 3
18
30
1
MH = 5
A média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos
MA ≥ MG ≥ MH
Medidas de Tendência Central
São parâmetros representativos da população estudada.
Estudaremos: média, mediana e moda. 4
∑ 2k
Média Aritmética
= 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.4
k =1
Dados os números reais x1, x2, ..., xn, a média aritmética será o número,
n
denotado x , calculado por:
x1 + x 2 + x 3 + ... + x n
x=
n
x=
∑x
i =1
x
∑
x=
i
i
n
n
Obs.: Em uma distribuição de frequências em que os valores x1, x2, ..., xn
forem observados com frequências f1, f2, ..., fn, respectivamente,
n
a média aritmética será dada por:
x1 ⋅ f1 + x 2 ⋅ f 2 + x 3 ⋅ f 3 + ... + x n ⋅ f n
x=
f1 + f 2 + f 3 + ... + f n
x=
∑ x ⋅f
i
i =1
n
∑f
i =1
i
x ⋅f
∑
x=
∑f
i
i
i
i
Obs.: Se aparecer apenas média, devemos entender média aritmética.
Mediana
Chama-se mediana o elemento central de uma amostra ordenada.
Exemplos: a) 2, 3, 2, 5, 7, 6, 4
Md = 4
2, 2, 3, 4, 5, 6, 7
b) 1, 2, 3, 2, 5, 7, 6, 4
1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Md = 3 + 4 = 3,5
2
Se o número de elementos do conjunto for par, a mediana
será obtida pela média aritmética dos dois valores centrais.
Número ímpar de termos: 7 = 3,5 ⇒ Md = 4º termo
2
Número par de termos: 8 = 4 ⇒ Md = 4º termo + 5º termo
2
2
Moda
A moda, também chamada norma, de um conjunto, é o valor (ou valores)
que apresenta(m) a maior frequência.
Observações:
I. A média aritmética é muito afetada por valores extremos e, por isso, sua
representatividade em relação ao conjunto estudado deve ser analisada com critério.
II. A mediana, ao contrário da média, não é afetada por valores extremos, sendo,
por isso, adotada em pesquisas onde valores extremos têm pouco significado para
o conjunto analisado.
III. A moda não deve ser aplicada a um conjunto com poucos elementos,
pois, nesse caso, não será representativa
Medidas de Tendência Central
Média (Média Aritmética) x
x1 + x 2 + x 3 + ... + x n
x=
n
x
∑
x=
i
n
Obs: Em uma distribuição de frequências em que os valores x1, x2, ..., xn
forem observados com frequências f1, f2, ..., fn, respectivamente, temos:
x1 ⋅ f1 + x 2 ⋅ f 2 + x 3 ⋅ f 3 + ... + x n ⋅ f n
x=
f1 + f 2 + f 3 + f n
x ⋅f
∑
x=
∑f
i
i
i
Mediana Md
Chama-se mediana o elemento central de uma amostra ordenada.
Moda Mo
A moda, também chamada norma, de um conjunto, é o valor (ou valores)
que apresenta(m) a maior frequência.
1. Nas amostras a seguir, calcule: média, mediana e moda
a) 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4
x
2
3
4
f
3
3
5
∑ 11
x = 2 .3 + 3.3 + 4.5
11
35
x=
11
Md = 3
Mo = 4
Número ímpar de termos:
11
= 5,5 ⇒ Md = 6º termo
2
b) 11,11, 11, 11, 11, 18, 21, 21, 21, 33, 33, 33
x
11
18
21
33
f
5
1
3
3
∑ 12
Md =
x = 11.5 + 18.1 + 21.3 + 33.3
12
235
x=
12
18 + 21 39
= 19,5
2 = 2
Mo = 11
Número par de termos:
6º termo + 7º termo
12
= 6 ⇒ Md =
2
2
2. O gráfico abaixo mostra a distribuição de uma prova de Matemática
Nº de alunos
10
a) Quantos alunos fizeram essa prova?
9
6
2
3
4
5
7
Nota
Nota
3
4
5
7
8
10
36
6
f
6
2
10
9
6
3
∑ 36
Md =
5+7
2
Md = 6
Mo = 5
8
3
b) Determine a média, a mediana
e a moda das notas dessa prova.
10
x = 3 .6 + 4.2 + 5.10 + 7.9 + 8.6 + 10 .3
36
217
x=
36
x ≈ 6, 02
Número par de termos:
36
18º termo + 19º termo
= 18 ⇒ Md =
2
2
3. (ENEM-2009*) Depois de jogar um dado em forma de cubo e de faces numeradas
de 1 a 6, por 10 vezes consecutivas e anotar o número obtido em cada jogada, construíse a seguinte tabela de distribuição de frequências.
NÚMERO
FREQUÊNCIA
OBTIDO
1
4
2
1
4
2
5
2
6
1
∑
10
A média, mediana e moda dessa distribuição
de frequências são, respectivamente
a) 3, 2 e 1
d) 5, 4 e 2
b) 3, 3 e 1
e) 6, 2 e 4
c) 3, 4 e 2
2+4
Mo = 1
Md =
2
Número par de termos:
Md = 3
10
5º termo + 6º termo
= 5 ⇒ Md =
2
2
4. (ENEM-2009*) No quadro seguinte, são informados os turnos em que foram eleitos
os prefeitos das capitais de todos os estados brasileiros em 2004.
Na região Norte, a freqüência relativa de eleição dos prefeitos
no 2º turno foi, aproximadamente,
(A) 42,86% (B) 44,44% (C) 50,00% (D) 57,14% (E) 57,69%
1º turno:Boa Vista, Macapá, Palmas, Rio Branco
2º turno: Belém, Manaus, Porto Velho
FR 2º turno = 3 em 7 = 3/7 = 0,42857…
Região Norte: Acre, Amapá, Amazonas, Pará, Rondônia, Roraima e Tocantins
5. (FGV-SP) A tabela a seguir apresenta a distribuição de frequências dos salários
de um grupo de 50 empregados de uma empresa, num certo mês.
Salário do
Número de O salário médio desses empregados
nesse mês, foi de:
Mês (reais)
empregados
a) R$ 2637,00
1
20
1000 1500 2000
b) R$ 2520,00
c) R$ 2500,00
2
18
2000 2500 3000
d) R$ 2420,00
e) R$ 2400,00
3000 3500 4000
3
9
Os dados estão agrupado em classes
4000 4500 5000
4
3
Histograma
Página 472 – Exercício 8
50
1500.20 + 2500.18 + 3500.9 + 4500.3 Para calcular a média, vamos determinar
=
o representante de cada classe
50
120000
1000
2000 = [1000, 2000[
Número
da classe
x
x=
50
x = 2400
6. (UEL) A média aritmética de um conjunto de 22 números é 50,5. Retirando-se os
números 21 e 48 desse conjunto, a média aritmética dos 20 números restantes será:
a) 51,2
x = soma dos 22 números
b) 51,4
x
c) 52,1
= 50,5 ⇒ x = 1111
d) 52,4
22
e) 52,2
Nova média:
1111 – 21 – 48 1042 = 52,1
=
20
20
7. Num concurso há 500 mulheres e 100 homens. Na prova de Matemática, a média
foi 4,0. Considerando-se apenas as mulheres, a média cai para 3,8. A média dos
homens na prova de Matemática, foi:
a) 4,2
3,8. 500 + h.100
M:
500

x
=
4,
0
= 4,0
b) 5,0
600
H: 100 x = 3,8
c) 5,2
M
1900 + 100h = 2400 (divide por 100)
:
600
∑
d) 6,0
xH = h
19 + h = 24
e) 6,2
h=5
Medidas de Dispersão
Medidas de dispersão: são os parâmetros que refletem a
concentração dos valores observados em torno dos valores centrais.
Amplitude A
É a diferença entre os valores extremos de um conjunto ordenado de números.
Desvio D
É obtido pela diferença entre um valor qualquer e a média aritmética
do conjunto, ou seja: D= x i − x
Desvio Médio Absoluto DM
É a média aritmética dos valores absolutos dos desvios, ou seja:
x
∑
DM =
−x
i
n
Obs.: Em uma distribuição de frequências em que os valores x1, x2, ..., xn
forem observados com frequências f1, f2, ..., fn, respectivamente, temos:
x − x ⋅f
∑
DM =
∑f
i
i
i
Medidas de Dispersão
2
Variância V σ
É a média dos quadrados dos desvios, ou seja:
V=
∑ ( xi − x )
2
n
2
Desvio Padrão S σ
x
−
x
(
)
∑ i
É a raiz quadrada da variância, isto é: DP = V DP =
n
Média quadrática dos desvios
O desvio padrão é dado na mesma unidade dos elementos da amostra,
enquanto a unidade da variância é essa unidade elevada ao quadrado.
O desvio padrão de uma amostra é: σ =
∑ ( xi − x )
2
n −1
Obs.: Em uma distribuição de frequências em que os valores x1, x2, ..., xn
forem observados com frequências f1, f2, ..., fn, respectivamente, temos:
V=
∑ ( xi − x )
∑ fi
2
⋅ fi
∑ ( x i − x ) ⋅ fi
2
DP =
∑f
i
Medidas de Dispersão
Calculadora:
σ n Desvio padrão de uma população
σ n −1 Desvio padrão de uma amostra
Coeficiente de variação
O desvio-padrão por si só não nos diz muita coisa. Assim, um desvio-padrão
de duas unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cuja
média é 200; no entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito.
Além disso, o fato de o desvio-padrão ser expresso na mesma unidade dos
dados limita o seu emprego, quando desejamos comparar duas ou mais séries
de valores relativamente à sua dispersão.
Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a
dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor médio,
medida essa denominada coeficiente de variação de Pearson:
S
CV =
x
Quanto menor a dispersão, maior a regularidade
8. (ENEM-2010) Marco e Paulo foram classificados em um concurso. Para classificação no
concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em
caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a
seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e
Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos.
Dados dos candidatos no concurso
Da tabela, o candidato com
pontuação mais regular é
Marco, pois obteve o menor
desvio padrão.
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é
a) Marco, pois a média e a mediana são iguais.
b) Marco, pois obteve menor desvio padrão.
c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português.
d) Paulo, pois obteve maior mediana.
e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
As médias são iguais
Quanto menor o desvio, maior a regularidade
MATEMÁTICA
Noções de Estatística
Exercícios resolvidos
Professor
Marcelo Gonsalez Badin
(ENEM-2009*) Nos últimos anos, o aumento da população, aliado ao crescente
consumo de água, tem gerado inúmeras preocupações, incluindo o uso desta na
produção de alimentos. O gráfico mostra a quantidade de litros de água necessária
para a produção de 1 kg de alguns alimentos.
Com base no gráfico, para a produção de
100 kg de milho, 100 kg de trigo, 100 kg
de arroz, 100 kg de carne de porco e
600 kg de carne de boi, a quantidade
média necessária de água, por quilograma
de alimento produzido,
é aproximadamente igual a
(A) 415 litros por quilograma.
(B) 11.200 litros por quilograma.
(C) 27.000 litros por quilograma.
(D) 2.240.000 litros por quilograma.
(E) 2.700.000 litros por quilograma.
1.1000 + 1.1500 + 1.2500 + 1.5000 + 6.17000
x=
1+1+1+1+6
112000
x=
= 11200
10
(ENEM-2009*) Cinco equipes A, B, C, D e E disputaram uma prova de gincana na
qual as pontuações recebidas podiam ser 0, 1, 2 ou 3. A média das cinco equipes foi de
2 pontos. As notas das equipes foram colocadas no gráfico a seguir, entretanto,
esqueceram de representar as notas da equipe D e da equipe E;
Mesmo sem aparecer as notas das equipes D e E, pode-se concluir que os valores
da moda e da mediana são, respectivamente,
As equipes A, B e C fizeram
(A) 1,5 e 2,0.
2 pontos.
(B) 2,0 e 1,5.
(C) 2,0 e 2,0.
Assim, a moda é 2
(D) 2,0 e 3,0.
A mediana também é 2,
(E) 3,0 e 2,0.
pois independente da
pontuação de D e E, o
elemento central do
conjunto ordenado de
pontos será 2.
(PUC-SP) O histograma abaixo apresenta a distribuição de frequências das faixas
salariais numa pequena empresa.
Faixa salarial Número de
em reais
empregados
0
500
1000
1500
250
750
1250
1750
500
14
1000
4
1500
2
2000
2
Com os dados disponíveis, pode-se
2250
2
2000
2500
concluir que a média desses salários
é, aproximadamente:
24
Total
a) R$ 420,00
b) R$ 536,00
250⋅14 + 750⋅4 +1250⋅2 + 1750⋅2 + 2250⋅2
c) R$ 562,00 x =
24
d) R$ 640,00
17000  708
e) R$ 708,00 x =
24
(Fuvest) Numa população, a razão do número de mulheres para o de homens é de 11
para 10. A idade média das mulheres é de 34 anos e a idade média dos homens é de 32.
Então a idade média da população é, de aproximadamente:
O nº de mulheres é maior que o de homens!
a) 32,90
b) 32,95
M
11
34⋅11 + 32⋅10 = 694  33,05
=
Média
=
c) 33,00
H
10
21
11 + 10
d) 33,05
x M = 34
e) 33,10
x H = 32
(Fuvest) Uma prova continha cinco questões, cada uma valendo 2 pontos. Em sua
correção, foram atribuídas a cada questão apenas as notas 0 ou 2, caso a resposta
estivesse, respectivamente, errada ou certa. A soma dos pontos obtidos em cada questão
forneceu a nota da prova de cada aluno. Ao final da correção, produziu-se a seguinte
tabela, contendo a porcentagem de acertos em cada questão:
Questão
1
2
3
4
5
% de acerto 30% 10% 60% 80% 40%
Logo, a média das notas da prova foi:
a) 3,8
Nota de quem acertou 100% = 10
b) 4,0
% média de acertos:
c) 4,2
d) 4,4
30 + 10 + 60 + 80 + 40
220
x
=
=
= 44
e) 4,6
5
5
Nota média = 44% de 10 = 4,4
(IBEMEC-2005) Chama-se mediana de um conjunto de 50 dados ordenados em ordem
crescente o número x dado pela média aritmética entre os 25º e o 26º dado. Observe no
gráfico a seguir uma representação para as notas de 50 alunos do primeiro semestre de
Ciências Econômicas numa determinada prova.
6 +6
Nota f
Md =
2
1 2
Md = 6
2 4
3 2 24
4 6
5 10
6 8
7 6
8 4
A mediana das notas dos 50 alunos de
9 2
Ciências Econômicas nesta prova é igual a
10 6
a) 3
Número par de termos:
b) 4
∑ 50
25º termo + 26º termo
50
c) 5
= 25 ⇒ Md =
2
2
d) 6
e) 7
(FGV-2005) A média das alturas dos 6 jogadores em quadra de um time de vôlei é 1,92m. Após
substituir 3 jogadores por outros, a média das alturas do time passou para 1,90m.
Nessas condições, a média, em metros, das alturas dos jogadores que saíram supera a dos que
entraram em x = soma das alturas (em metros) dos jogadores que iniciaram o jogo
a) 0,03
x
b) 0,04
= 1,92  x = 11,52
6
c) 0,06
y = soma das alturas (em metros) dos jogadores após as substituições
d) 0,09
e) 0,12
y
= 1,90  y = 11,40
6
A diferença da soma das alturas dos que saíram para os que entraram é
x – y = 11,52 – 11,40 = 0,12
A média, em metros, das alturas dos jogadores
que saíram supera a dos que entraram em
0,12
= 0,04
3
(ENEM-2009) Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio
de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a
pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam,
no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos, seguida
pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e
última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas
pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe
A) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.
B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
D) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno.
E) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9.
Excluindo o zero do aluno que faltou, ordenando as notas da equipe Gama, temos:
6; 6,5; 6,5; 7; 7; 8; 8; 10; 10
Com essa notas e considerando dez notas, a maior mediana possível seria
Gama teria essa mediana se o aluno que faltou tivesse
7+8
Md =
= 7,5 comparecido e tido nota maior ou igual a 8
2
Ainda assim, Gama teria a menor mediana e permaneceria na terceira posição
(ENEM-2009) Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra
branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em
alguns meses dos anos 2007 e 2008.
Ordenando as 7 cotações:
73,10
81,60
82,00
83,00
84,00
84,60
85,30
De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra
branco nesse período era igual a
Número ímpar de termos:
A) R$ 73,10.
7 = 3,5 ⇒ Md = 4º termo
B) R$ 81,50.
2
C) R$ 82,00.
D) R$ 83,00.
E) R$ 85,30.
(ENEM-2009) Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é
a 5.ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10.ª, e ambas se destacam na economia mundial. No
entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é
adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003-2007.
Média de investimentos do Brasil na França:
367+357+354+539+280
1897
=
= 379,4
5
5
Média de investimentos da França no Brasil:
825+485+1458+744+1214 4726
=
= 945,2
5
5
945,2 – 379,4 = 565,8
Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos
da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor
A) inferior a 300 milhões de dólares.
B) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares.
C) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares.
D) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares.
E) superior a 600 milhões de dólares.
(Unicamp) A média aritmética das idades de um grupo de 120 pessoas é de 40 anos.
Se a média aritmética das idades das mulheres é de 35 anos e a dos homens é de 50
anos, qual o número de pessoas de cada sexo, no grupo?
x = 40
x M = 35
x H = 50
m = nº de mulheres
h = nº de homens
m + h = 120 (x –7 )
35⋅m + 50⋅h
= 40 (x120)
120
35m + 50h = 40⋅120 (:5)
7m + 10h = 8⋅120
7m + 10h = 960
– 7m – 7h = – 840
7m + 10h = 960
80 mulheres e 40 homens
+
3h = 120
h = 40 Þ m = 80
(Unicamp) Para um conjunto X = {x1, x2, x3, x4}, a média aritmética de X é
x1 + x 2 + x 3 + x 4
definida por x =
e a variância de X é definida por:
4
1
2
2
=
V
x1 − x ) + ... + ( x 4 − x )  Dado o conjunto X = {2; 5; 8; 9}, pede-se
(

4
a) calcular a média aritmética de X.
b) calcular a variância de X.
c) quais elementos de X pertencem ao intervalo  x − V, x + V 
2
5
9
+
+
8
x
−
x
2
x
−
x
+
x i
( i )
a) x =
= 24
4
4
2 –4
16
x=6
5 –1
1
30
2
4
8
b) V =
4
9
9 3
V = 7,5
∑ 0
30
c) x − V =−
6
7,5 ≈ 3,26
Os elementos de X que
pertencem ao intervalo são: 5 e 8
x + V =+
6
7,5 ≈ 8,74
22. (ENEM-2012) Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de
consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de
uma safra dos talhões de sua propriedade. Os talhões têm a mesma área de 30.000 m2 e o valor
obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre
a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (10.000 m2).
A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)2 é 90/60 = 1,5
a) 20,25
O desvio padrão (DP) é a raiz quadrada da variância (VAR)
b) 4,50
c) 0,71
2
VAR
=
(DP)
30000 m2 = 3 hectares
d) 0,50
e) 0,25
90 kg
1,5 sacas
Dado: DP =
=
= 0,5 saca/hectare
3 hectares
1 talhão
Como VAR = (DP)2, temos
VAR = (0,5 saca/hectare)2 = 0,25 (saca/hectare)2
23. As notas de biologia de um aluno nos 4 bimestres são: 2, 4, 8 e 10. Determine:
2
a) a média
x
−
x
x
−
x
Nota x i − x i
( i )
b) o desvio médio
2 –4
4
16
c) a variância
4 –2
2
4
d) o desvio padrão
2
2
4
8
4
16
10 4
4
10
+
+
8
2
+
24
a) x =
=
12
∑ 0
40
4
4
x=6
40 d) S = 10
12
2
b) DM =
c) S =
4
4
DM = 3
S = 3,16
S2 = 10
x
∑
DM =
i
−x
n
S2 =
∑ ( xi − x )
S = S2
n
2
(ENEM-2010) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no
último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a
coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.
Z= 0
45
X = 20 = 2,25
2+2
=2
Y=
2
Z<Y<X
∑ 0.5+1.3+2.4+3.3+4.2+5.2+7.1=45
20
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a
mediana e a moda desta distribuição, então
A) X = Y < Z.
Número par de termos:
B) Z < X = Y.
10º termo + 11º termo
20
C) Y < Z < X.
= 10 ⇒ Md =
2
2
D) Z < X < Y.
E) Z < Y < X.
(ENEM-2010) O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos
artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006.
Gols f
4 1
5 2
6+7
6 6
= 6,5
Md =
2
7 2
8 2
9 2
10 1
11 1
13 1
∑ 18
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades
de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo?
A) 6 gols
Número par de termos:
B) 6,5 gols
18
9º termo + 10º termo
= 9 ⇒ Md =
C) 7 gols
2
2
D) 7,3 gols
E) 8,5 gols
(Puccamp) A tabela a seguir mostra os resultados de uma pesquisa sobre a faixa
salarial dos funcionários de uma empresa que usam bicicletas para ir ao trabalho.
Faixa salarial Número de
em reais
funcionários
400
380
350
450
450
500 550
260
550
600 650
200
650
700 750
800
850
180
900
60
750
850
Total
350
950
120
1200
450 = [350,450[
O salário médio desses trabalhadores é:
(a) R$ 400,00 Para calcular a média, vamos
(b) R$ 425,00 determinar o representante de
(c) R$ 480,00 cada faixa salarial.
(d) R$ 521,00
(e) R$ 565,00
x=
400.380 + 500.260 + 600.200 + 700.180 + 800.120 + 900.60
1200
x=
678000
1200
x = 565
(Enem 2010 – 2ª aplicação) Em uma corrida de regularidade, a equipe campeã é aquela
em que o tempo dos participantes mais se aproxima do tempo fornecido pelos
organizadores em cada etapa. Um campeonato foi organizado em 5 etapas, e o tempo
médio de prova indicado pelos organizadores foi de 45 minutos por prova. No quadro,
estão representados os dados estatísticos das cinco equipes mais bem classificadas.
Médias iguais
Utilizando os dados estatísticos do quadro, a campeã foi a equipe
a) I Segundo o enunciado, a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participantes mais
b) II se aproxima do tempo fornecido pelos organizadores que foi de 45 minutos.
c) III Ganhará a prova aquela equipe que tiver o tempo mais regular.
d) IV Quanto menor o desvio, maior a regularidade
e) V
A equipe III foi a campeã.
Numa empresa foi feita uma pesquisa sobre a idade dos funcionários. Colhidos os
dados, constatou-se que a média das idades dessas pessoas é de 34,5 anos. Foram
entrevistados 70 homens e X mulheres. Sabendo que a média das idades dos homens é
33 anos e a média das idades das mulheres é 38 anos, o valor de X é:
a) 30 x = 34,5
33⋅70 + 38⋅x
= 34,5
b) 40
70
+
x
x H = 33
c) 50
2310 + 38x = 34,5⋅(70 + x)
d) 60 x = 38
M
e) 70
2310 + 38x = 2415 + 34,5x
3,5x = 105
x = 30
A média aritmética de 100 números é igual a 40,19. Retirando-se um desses números, a
média aritmética dos 99 números restantes passará a ser 40,5. O número retirado é:
a) 9
x = soma dos 100 números
b) 9,5
x
c) 10
= 40,19 ⇒ x = 4019
d) 10,5 100
e) 11
a = número retirado
Nova média = 40,5
4019 – a = 40,5
99
4019 – a = 4009,5
a = 9,5
(ENEM-2010) Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento,
conforme gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados.
Considerando-se que até 2009 o
desmatamento cresceu 10,5% em relação
aos dados de 2004, o desmatamento
médio por estado em 2009 está entre
A) 100 km2 e 900 km2.
B) 1000 km2 e 2700 km2.
C) 2800 km2 e 3200 km2.
D) 3300 km2 e 4000 km2.
E) 4100 km2 e 5800 km2.
Desmatamento médio por estado em 2004
x = 4 + 136 + 326 + 549 +766 + 797 + 3463 + 7293 + 10416 = 23750  2638,9 km2
9
9
Com um aumento de 10,5%, o desmatamento médio por estado em 2009 é
1,105.2638,9  2916 km2