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ANEXO C Método matemático utilizado para análise de decantação e flotação para
determinar os fatores críticos de projeto.
Através de Massarani (1997) e Perry & Chilton (1980), desenvolveu-se o método
matemático apresentado nesta seção.
Neste tipo de operação (decantação e flotação) atuam três tipos de forças: Força de
empuxo, força de atrito do fluido e força peso ou empuxo, conforme a Figura 57.
Figura 57 Esquema representando tipos e formas das partículas e as forças atuantes em
sistemas de decantação para a fluidodinâmica das partículas.
Considerando uma partícula qualquer, temos na Figura 58, a soma das forças atuantes
que é proporcional à massa da partícula (m) multiplicada pela aceleração ascensional da
partícula (a), na representação das forças atuantes, desmembrando em equações individuais de
cada uma das forças representada na Figura 65, temos que: (ρp) é a densidade efetiva da
partícula; (Vp) é o volume da partícula; (ρL) densidade efetiva do fluido; (Ø(Re)) é o
coeficiente de atrito; (AT) é a área transversal da partícula; (ν) é velocidade ascensional da
partícula.
Figura 58 Representação esquemática das forças atuantes em uma partícula qualquer em um
sistema de decantação.
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Em um sistema de decantação podemos ter dois tipos de regimes atuantes: Regime
Transiente (RT) e Regime Permanente (RP). O primeiro ocorre quando a aceleração da
partícula varia com o tempo (a = v/θ), no segundo quando a aceleração da partícula é
constante (a = 0), assim temos a velocidade terminal da partícula (ν∞), conforme a Figura 59.
Figura 59 Gráfico esquemático representando os dois tipos de regimes que atuam em sistema
de decantação.
Considerando os regimes acima mencionados, e o sistema de equações representadas
na Figura 59, temos a equação substituindo todas as unidades de cada uma das equações,
fazendo uma só, temos:
(ρp - ρL).Vp.a - Fµ = mp.a
A Figura 60 demonstra os tipos de forças que podem atuar na fluidodinâmica da
partícula e suas respectivas acelerações. Quando a força atuante for centrifugo a aceleração (a
= ω2. r); quando a força atuante for gravitacional a aceleração (a = g) e a componente dv/dθ é
igual à zero para RP e v = ν∞, devido à aceleração ser nula. O regime transiente não é
considerado por se tratar de um tempo muito pequeno (normalmente de partículas muito
grandes) e pode ser desprezado, para decantação natural.
Figura 60 Desenho esquemático para o desenvolvimento matemático para determinar a
velocidade terminal na fluidodinâmica de uma partícula.
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Como o coeficiente de atrito (Ø(Re)) depende de Reynold e Re = (D.v.ρL)/v , assim
(Ø(Re)) depende da forma da partícula e das propriedades do fluido (regime). Neste caso, a
forma da partícula depende da esfericidade da partícula, e a equação para determinar a
esfericidade da partícula esta representada na equação 01.
(01)
Onde a e b são parâmetros da forma da partícula.
Um exemplo para determinar a forma de uma partícula esférica é demonstrado na
Figura 61.
Figura 61 Exemplo para determinar a forma de uma partícula esférica.
A equação 02 da velocidade terminal em RP pode ter quatro regimes: Regime viscoso
– Lei de Stokes (10-4 < Re < 1,9); Regime Intermediário (1,9 < Re ≤ 500) e Regime
Hidráulico (500 < Re ≤ 200.000); Para Re > 200.000
(02)
Para determinar a equação geral para qualquer geometria da partícula em RP,
considerando os quatro regimes em que o fluido pode ser enquadrado, temos as equações 02 e
03:
(03)
Substituindo 03 na equação 02 da velocidade terminal, temos a equação geral 04
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(04)
Equação geral da velocidade terminal para qualquer geometria e regime onde B e n
estão representados na Tabela 9, para os quatro regimes do fluido.
Tabela 9 Valores de B e n para os quatro regimes do fluido
Regime
B
n
12
1
Intermediário
9,25
0,6
Hidráulico
0,22
0
Re > 200.000
0,11
0
Viscoso
Critério para identificar o regime de decantação
Quando a velocidade de decantação é desconhecida é difícil reconhecer o regime de
decantação e Re não pode ser calculado diretamente, então para calcular o tipo de regime de
decantação calcula-se o número K, através da equação 05 abaixo:
(05)
Onde D é o diâmetro da partícula e µ é a viscosidade do fluido.
Para identificar o tipo de regime quando os valores de K estão descritos na Tabela 10.
Tabela 10 Tabela de valores para identificar o regime de decantação
Regime
Valores de K
Regime viscoso
< 3,3
Regime intermediário
3,3 a 44
Regime hidráulico
44 a 2360
Re > 200.000
> 2360
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Além do regime a velocidade terminal também está influenciada pela concentração,
para tanto na literatura constam diversos modelos. Entre esses se tem o Métodos de Steinour,
Robinson e Hawksley.
Os métodos de Steinour: o primeiro método de Steinour consiste em substituir a
densidade do fluido (ρL) pela densidade da suspensão (ρLm), gerando a equação 06.
(06)
Para este método o critério para determinar o regime de decantação (K) substitui-se a
porosidade da partícula (ε) pela porosidade da suspensão ψ(ε), gerando a equação 07.
(07)
Onde,
O segundo método de Steimour consiste em corrigir a velocidade terminal (
equação 06, para sedimentação livre multiplicando por um fator
) da
, gerando a equação 08.
(08)
Onde:
O método de Robinson consiste em usar a própria lei de Stokes, substituindo a
densidade do fluido (ρL) pela densidade da suspensão (ρLm) e a viscosidade do fluido (µ) plea
viscosidade da suspensão (µ m), conforme a equação 09.
(09)
Onde a viscosidade (µ m) é obtida pela equação de Einstein
, no qual
a constante depende da forma da partícula (k) e a concentração da partícula em volume (Cv) é
1-ε.
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Esta equação (09) e válida para Cv ≤ 0,02. Portanto para Cv>0,02 utiliza-se a equação
de Vand (equação 10)
(10)
Onde q depende da forma da partícula.
O método de Hawksley utiliza também a viscosidade da suspensão (µ m) na equação de
Stokes, porém multiplica o resultado por ε (equação 11)
(11)
Assim a velocidade terminal está em função de B, n, ρP, ρL, VP, AT, µ, K, bem como
da influência da forma, da parede, da concentração de sólidos, da temperatura e do tempo de
residência.
Com base no comportamento da velocidade terminal surgem dois tipos de
sedimentação ou decantação a livre e a retardada.
Na sedimentação livre as partículas sedimentam-se afastadas das paredes e entre elas,
no qual uma partícula não interfere na decantação da outra, sendo que nos casos de maior
concentração o número de colisões entre as partículas não devem ser exageradas para que
possa ser considerada livre.
Na sedimentação retardada a velocidade de decantação das partículas sofrem
interferência de vários fatores entre esses as paredes do decantador, a proximidade entre as
partículas e a concentração das partículas.
Entretanto, podem-se fazer as seguintes considerações para um sistema de
sedimentação:
• Quanto maior a restrição ao escoamento da partícula maior é a resistência, ou seja, a
densidade do meio e a viscosidade neste caso são incrementadas;
• Grandes concentrações de sólidos decantados na suspensão provocam o escoamento
de fluido em sentido contrário ao das partículas durante a decantação.
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Outra forma de análise para o processo de separação por decantação é levando em
conta a natureza e características da sedimentação resultando em decantação linear e não
linear.
A decantação linear ocorre livremente sem interferência externa ou de outras
variáveis, ou seja, a velocidade de decantação é constante, conforme Figura 62.
Figura 62 Representação esquemática da sedimentação linear.
Na decantação não-linear a velocidade de decantação varia com o tempo, conforme a
Figura 63.
Figura 63 Representação esquemática da sedimentação não-linear.
Neste caso, conforme esquema da Figura 64 pode-se observar vários níveis de
separação onde: a proveta a) representa o inicio da decantação e sua concentração é uniforme
(Co); a proveta b) representa o processo de decantação num tempo ∆θ podendo aparecer
cinco fases distintas; as provetas c), d) e e) representam a evolução das cinco fases de
decantação com o tempo. A é zona do liquido clarificado, B zona da suspensão com a mesma
concentração inicial Co, C zona de transição, D zona de suspensão espessada na zona de
compressão e E é a zona do sólido grosseiro.
Figura 64 Esquema da decantação de suspensões concentradas.
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ANEXO D Informações cedidas pela Companhia de Saneamento do Estado do
Paraná (SANEPAR).
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