Lista 1

Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - Universidade de São Paulo
SME 0121 - Processos Estocásticos
Professor: Francisco A. Rodrigues
Primeira Lista de exercícios: Probabilidades
1 - São retiradas uma a uma, aleatoriamente, bolas de uma urna até obter-se a primeira bola branca. Mas a cada tentativa,
dobra-se a quantidade de bolas azuis colocadas na urna. Sabendo-se que a urna contém 4 bolas azuis e 6 brancas, calcular
a probabilidade de obter-se a primeira bola branca no máximo na terceira tentativa. Assuma que as retiradas são feitas com
reposição.
(Resp: 6/10 + (1-6/10)*6/14 + (1-6/10)(1-6/14)*6/22)
2 - (Problema de Monty Hall) Em um programa de auditório, o convidado deve escolher uma dentre três portas. Atrás
de uma das portas há um carro e atrás de cada uma das outras duas há um bode. O convidado ganhará o que estiver atrás
da porta; devemos supor neste problema que o convidado prefere ganhar o carro. O procedimento para escolha da porta é
o seguinte: o convidado escolhe inicialmente, em caráter provisório, uma das três portas. O apresentador do programa, que
sabe o que há atrás de cada porta, abre neste momento uma das outras duas portas, sempre revelando um dos dois bodes. O
convidado agora tem a opção de ficar com a primeira porta que ele escolheu ou trocar pela outra porta fechada. Que estratégia
deve o convidado adotar? Com uma boa estratégia, que probabilidade tem o convidado de ganhar o carro? (Ver solução no
site da disciplina.)
3 - Um caça-níquel tem dois discos que funcionam independentemente um do outro. Cada disco tem 10 figuras: 4 maçãs,
3 bananas, 2 peras e 1 laranja. Uma pessoa paga R$ 80,00 e aciona a máquina. Se aparecem 2 maçãs, ganha R$ 40,00; se
aparecem duas bananas, ganha R$ 80,00; ganha R$ 140,00 se aparecem duas peras; e ganha R$ 180,00 se aparecem duas
laranjas. Qual é o lucro esperado em uma única jogada?
(Resp:R$ 59 )
4 - Uma firma recebe 720 mensagens em seu fax em 8 horas de funcionamento. Qual é a probabilidade de que:
a) em 6 minutos cheguem ao menos 4 mensagens? (Resp: 0.97)
b) em 4 minutos não receba nenhuma mensagem? (Resp: 0.002)
5 - Uma moeda de dez centavos é lançada repetidamente até que uma cara aparece. Seja N o número de tentativas até que
a primeira cara ocorra. Então, uma moeda de 5 centavos é lançada N vezes. Seja X o número de vezes que a moeda de cinco
centavos sai como coroa. Determine Pr{X = 0} e Pr{X = 1}.
(Resp: 4/9)
6 - Em um jogo, dois dados são lançados e a soma de suas faces superiores são observadas. Se a soma resulta nos valores
2, 3 ou 12, o jogador perde imediatamente. Se a soma é 7 ou 11, o jogador vence. Por outro lado, se a soma é 4, 5, 6, 8, 9 ou
10, então outro lançamento é necessário. No caso da soma ser igual 4, por exemplo, o dado é lançado até que a soma igual a
4 reapareça ou até que a soma igual a 7 seja observada. Se a soma igual a 4 aparece primeiro, o jogador vence. Se aparece
a 7, ele perde. Considerando essa regra, qual é a probabilidade do jogador vencer? (Dica, ver seção 2 do capítulo 2 do livro
texto (Taylor e Karlin)).
7 - A entropia de Shannon é definida por:
H = − ∑ P(X = xi ) log2 [P(X = xi )]
i
onde lim p→0+ p log2 p = 0. H é uma medida da quantidade de informação em uma mensagem, ou seja, uma mensagem tem
certa quantidade de informação quanto maior for seu grau de incerteza ou imprevisibilidade. A teoria da informação afirma
que quanto menos informações sobre um sistema, maior será sua entropia. Assim, calcule a entropia para o lançamento de
uma moeda.
a) Considere p = P(“cara”) = 0,4.
b) Para que valores de p a entropia é máxima e mínima?
c) Calcule a entropia para o modelo uniforme discreto, isto é, P(X = xi ) = 1/N, i = 1, 2, . . . , N. Mostre que esse é o valor
máximo da entropia para uma distribuição de probabilidade. Qual seria o valor mínimo?
8 - Três jogadores lançam suas moedas simultaneamente. A probabilidade das suas moedas sairem como cada são PA , PB
e PC , respectivamente. Se um jogador obtém um resultado diferente dos demais, ele sai do jogo. Caso os resultados sejam
iguais, eles continuam jogando até que um deles saia. Qual é a probabilidade do jogador A sair do jogo?
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9 - Uma urna tem 10 bolas brancas e 40 pretas.
a) Qual é a probabilidade de que a sexta bola retirada com reposição seja a primeira branca?
b) Qual é a probabilidade de que de 16 bolas retiradas sem reposição, ocorram 3 brancas?
c) Qual é a probabilidade de que a 15a bola extraída com reposição seja a sexta branca?
d) Qual é a probabilidade de que em 30 bolas retiradas com reposição ocorram no máximo 2 brancas?
11 - Determine a função de distribuição acumulada F(x) = Pr{X ≤ x} das seguintes densidades: (a) uniforme com
parâmetros α e β , α < β , e (b) exponencial com parâmetro λ > 0.
12 - (a) Calcule a esperança e variância de uma distribuição de Poisson com parâmetro λ . (b) A forma mais simples da
lei dos eventos raros afirma que a distribuição binomial com parâmetros n e p converge para a distribuição de Poisson com
parâmetro λ se n → ∞ e p → 0, de forma que np permanece constante. Demonstre essa propriedade. (Dica, ver seção 3.4 do
livro texto (Taylor e Karlin)).
13 - Determine a esperança e variância das seguintes distribuições de probabilidade:
a) uniforme;
b) exponencial,
c) binomial;
d) geométrica;
e) Poisson
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