gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
LISTA DE EXERCÍCIOS – OPERAÇÕES COM COMPLEXOS - 2009 - GABARITO
1. Calcule as seguintes somas: (somam- se as partes reais e as partes imaginárias separadamente)
a) (2 + 5i) + (3 + 4i)
b) i + (2 - 5i)
= i + 2 – 5i = 2 – 4i
= (2 + 3) + (5i + 4i) = 5 + 9i
2. Calcule as diferenças: (subtraem-se as partes reais e as partes imaginárias separadamente)
a) (2 + 5i) - (3 + 4i)
b) (1 + i) - (1 - i)
= 2 + 5i – 3 – 4i = - 1 + i
= 1 + i – 1 + i = 2i
3. Calcule os seguintes produtos: (aplica-se a distributividade e a soma ou subtração)
a) (2 + 3i) (3 - 2i)
b) (1 + 3i) (1 + i)
= (2)(3) – (2)(2i) + (3i)(3) – (3i)(2i)
= (1)(1) + (1)(i) + (3i)(1) + (3i)(i)
= 6 – 4i + 9i – 6i2 = 6 + 5i + 6 = 12 + 5i
= 1 + i +3i + 3i2 = 1 + 4i – 3 = - 2 + 4i
4. Escreva os simétricos dos seguintes números complexos: (o número é multiplicado por -1)
a) 3 + 4i = - 3 – 4i
b) -3 + i = 3 - i
d) -2 + 5i = 2 – 5i
c) 1 - i = - 1 + i
5. Escreva os conjugados dos seguintes números complexos: (troca-se o sinal da parte imaginária)
a) 3 + 4i = 3 – 4i
b) 1 - i = 1 + i
6. Efetue as seguintes divisões de números complexos:
Solução. Elimina-se a parte imaginária do denominador com técnicas semelhantes às da racionalização.
Nesse caso multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
a)
 10  15i
2i
b)
 10  15i (2  i)  20  10i  30i  15i 2
a)



2i
(2  i )
(2) 2  (i) 2

 20  20i  15  35  20i

 7  4i
4 1
5
1  3i
1 i
1  3i (1  i) 1  i  3i  3i 2
b)



1  i (1  i)
(1) 2  (i) 2

1  2i  3 4  2i

2i
11
2
7. Calcule as potências: (Regra dos produtos notáveis: quadrado da soma)
a)
(1 + i)2
b) (-2 + i)2
= (1)2 + 2.(1)(i) + (i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i
= (-2)2 + 2.(-2)(i) + (i)2 = 4 – 4i – 1 = 3 – 4i
8. Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1).i, determine m de modo que z seja um imaginário puro.
Solução. Para que o complexo seja imaginário puro, a parte real deve ser nula (z = 0 + bi) e a parte
imaginária diferente de zero (bi ≠ 0). Temos:
m  2
m  3
2
i) m  5m  6  0  (m  2)( m  3)  0  
Unindo as duas condições, temos que: m = 2 ou m = 3.
m  1
m  1
2
ii) m  1  0  (m  1)( m  1)  0  
9. Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .
Solução. No exercício 7 foi calculado que (1 + i)12 = 2i. O número 12 = 2 x 6. Logo a potência pode ser
escrita como ((1 + i)2)6 = (2i)6 = (2)6.(i)6 e lembrando que (i)4 = 1, temos: (1 + i)12 = (64).(i)4.(i)2 = - 64.
OBS: Lembre que na multiplicação de potências de mesma base, conserva-se esta e somam-se os
expoentes. Essa propriedade foi utilizada em: (i)6 = (i)2+4 = (i)2.(i)4.
10. Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180
Solução. A propriedade acima será utilizada em todos os termos. Basta encontrar as potências múltiplas
de 4, pois i4 = 1.
a)126  4  31  r  2  126  4  31  2
31
7
1

 i126  i 126  i 31  i180  i 4 . i 2  31
 i 4 . i3  i 4
b)31  4  7  r  3  31  4  7  3
i4 . i2
c)180  4  45  r  0  80  4  45

   
   
    
45
Lembrando que: i2 = -1; i3 = -i e i4 = 1, temos:
i126  i 126  i 31  i80  1 . 1 
31
1
7
45
 1 . i   1  1  1  i  1  3  i
1 . 1
31
11. Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , calcule Im(z).w + Im(w).z .
Solução. Calculando as formas algébricas de “z” e “w”, temos:


z  5i  3i 2  2i 3  4i 27  5i  3(1)  2(i)  4. (i 4 ) 6 .i 3  5i  3  2i  4i  3  3i

 

w  2i  3i  2. (i )  3. (i ) .i  2  3i
12
15
4 3
4 3
3
Identificando as partes reais e imaginárias de cada número e efetuando a expressão pedida, temos:
a)
Re( z )  3
z  3  3i  
Im( z )  3
Re( w)  2
Im( w)  3
b) w  2  3i  
Im( z ).w  Im( w).z  3(2  3i)  3(3  3i )  6  9i  9  9i  3  18i
12. (UCMG) - O número complexo 2z, tal que 5z + z = 12 + 6i é:
Solução. Considerando z = a + bi e substituindo na equação mostrada, temos:
6a  12  a  2

5.(a  bi )  a  bi  12  6i  5a  5bi  a  bi  12  6i  6a  4bi  12  6i  
6 3
4b  6  b  4  2
OBS: Dois números complexos são iguais se suas partes reais e imaginárias são iguais.
Logo, z  2 
3
i  2 z  4  3i
2
13. (UCSal) - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real qual deve ser o valor de “a”?
Solução. O produto será real se somente a parte imaginária do resultado for nula. Multiplicando, temos:
(a  i).(3  2i)  3a  2ai  3i  2i 2  (3a  2)  (3  2a)i . As condições são (3a + 2) ≠ 0 e (3 – 2a) = 0.
2

(3a  2)  0  3a  2  a   3
3
Resolvendo vem: 
 Logo : a  .
2
(3  2a)  0  2a  3  a  3

2
14. (UFBA) - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b.
2
Solução. Efetuando (a.c): (4  3i).(4  3i)  16  12i  12i  (9i)  16  24i  (9)  7  24i
Adicionando o resultado a “b”: (7  24i )  (5  6i )  2  18i
15. (Mackenzie-SP) – Calcule o valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001.
Solução. Repare que a soma representa uma soma de 1001 termos de uma progressão geométrica com
razão “i”. Utilizando a fórmula e substituindo os valores, temos:
1  q n
S n  a1. 
 1 q
a1  i
 
 1  i 1001   1  [(i 4 ) 250 .i]   1  i 
  q  i
  i.
  i.
 S1001  i
i
1

i
1

i
1

i



 
 n  1001


16. Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
Solução. Inicialmente, veja que: (1 + i )2 = 12 + 2.1.i + i2 = 1 + 2i – 1 = 2i
Observe também que (1 + i)2n = [(1 + i)2]n = (2i)n. Substituindo, vem: (2i)n + (2i)n + 16i = 0.
Simplificando, fica: 2.(2i)n + 16i = 0, implicando que 2.(2i)n = -16i. Logo, (2i)n = -8i.
Desmembrando, temos: 2n.in = 23 . (-i)
Igualando as partes reais e imaginárias, vem: 2n = 23 e in = -i
Portanto, n = 3, uma vez que também i3 = i2.i = (-1).i = -i.
17. (UEFS-93.2) - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), calcule os valores de m e n.
Solução. Calculando o produto do 2º membro, temos:
a) (3 + i).(1 + 3i) = 3 + 9i + i + 3i2 = 3 + 10i – 3 = 10i
Igualando os números do 1º e 2º membro pelas partes reais e imaginárias, vem:
m  1  0  m  1
ni  10i  n  10
b) (m  1)  ni  10i  
18. A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a (-8 - 6i). Calcule z .
Solução. Seja z = a + bi. O conjugado será (a – bi). Montando a equação descrita, temos:
4a  8  a  2
(a  bi )  3(a  bi )  8  6i  4a  2bi  8  6i  
 2b  6  b  3
Logo : z  2  3i  z  2  3i
19. (FESP/UPE) - Seja z = 1+ i , onde i é a unidade imaginária. Calcule a potência z8.
Solução. Já foi calculado que z2 = (1 + i)2 = 2i. Logo, z8 = (z2)4 = (2i)4 = 24.i4 = 16.1 = 16.
20. (UCSal) - Sabendo que (1+i)2 = 2i, então calcule o valor da expressão y = (1+i)48 - (1+i)49.
Solução. Utilizando as potências de (1 + i) calculadas anteriormente, temos:
(1  i) 48  (1  i) 49  (1  i) 48 (1  1  i)  (1  i) 48 (i)  (1  i) 2  .(i)  (2i) 24 .(i)  2 24.i 4  .(i)  2 24 i
24
6