Aula 3 - Lei de Coulomb - professor Daniel Orquiza de Carvalho

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EletromagnetismoI
EletromagnetismoI
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Eletromagnetismo I - Eletrostática
Lei de Coulomb (Páginas 26 a 33 no Livro texto)
•  Revisão da Lei de Coulomb
•  Força entre cargas pontuais
•  Intensidade de Campo Elétrico
•  Princípio da Superposição
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Eletromagnetismo I - Eletrostática
Lei de Coulomb – revisão conceitual
•  Uma Carga Pontual é uma carga com volume infinitesimal (não ocupa
lugar no espaço) posicionada no espaço tridimensional.
•  A Lei de Coulomb estabelece que a força entre duas cargas pontuais Q1
e Q2 é:
1.  Ao longo da linha que une as duas cargas.
2.  Diretamente proporcional ao produto das cargas.
3.  Inversamente proporcional ao quadrado da distância R entre elas.
Q1Q2
F=k
2
R
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Lei de Coulomb – revisão conceitual
•  A constante de proporcionalidade ‘k’ é dada por:
1
9
k=
≈ 9 ×10 [ m / F ]
4πε 0
•  A permissividade do espaço livre ε0 é:
ε 0 = 8, 854 ×10 −12 [ F / m ]
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Lei de Coulomb – revisão
• 
Balança de Torção de Coulomb
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Lei de Coulomb – revisão
• 
Balança de Torção de Coulomb
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Lei de Coulomb – revisão
• 
Balança de Torção de Coulomb
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• 
Experimento da balança de Torção
b
θ
τ = −κθ
⇒F=
τ
b
braço
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Lei de Coulomb
•  A forma completa da L.C. exige levar em conta a direção e sentido do vetor
Força entre as duas cargas em um dado sistema de coordenadas.
•  Isso é feito utilizando o vetor unitário a12 que tem origem na carga 1 e que
aponta da direção da carga 2.
•  A Força que Q1 exerce em Q2 é:
!
F12 =
!
•  Vetor distância: R
12
1 Q1Q2
! 2 â12
4πε 0 R
12
!
r1
! !
= r2 − r1
Q2
!
r2
Origem
!
•  Vetor unitário: â = R
!12
12
R12
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Q1
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Exemplo
•  Calcular as forças produzidas por duas cargas pontuais de
mesmo sinal, localizadas nas posições r1 e r2 do espaço
cartesiano, onde:
r1 = (1nm, 2nm, 3nm), Q1 = 1 pC
r2 = (2nm, 2nm, 3nm) , Q2 = 1 pC
Q1
Qual é a força que Q2 aplica em Q1?
Resp: F21 = - 9 ax [kN]
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!
r1
Q2
!
r2
Origem
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Lei de Coulomb
!
F12 =
1 Q1Q2
! 2 â12
4πε 0 R
12
Q1
!
r1
Q2
!
r2
Origem
•  O que esta expressão implica?
1)  A força F12 é igual à força F21 mas em sentido oposto.
!
!
F12 = − F21
2)  Cargas de mesmo sinal se repelem e de sinais diferentes se atraem (os
sinais de Q1 e Q2 têm que ser levado em conta).
• 
Esta equação é válida para cargas pontuais e estáticas.
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Intensidade de Campo Elétrico
•  Se considerarmos uma carga de teste Qt posicionada próxima a uma
carga Q1, a força aplicada na carga de teste é:
!
F1t =
Q1
1 Q1Qt
! 2 â1t
4πε 0 R
1t
!
r1
Qt
!
rt
Origem
•  O Campo Elétrico E1 gerado por Q1 na posição rt é definido como a
força elétrica por unidade de carga de teste.
!
!
F1t
1
Q1
E1 =
=
! 2 â1t
Qt 4πε 0 R
1t
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[V/m]
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Intensidade de Campo Elétrico
•  Podemos generalizar, escrevendo o campo elétrico como:
!
! F
E=
Qt
[V/m]
•  Lembre-se que para uma carga que está presente numa região com Campo
Elétrico, se:
E
Qt > 0
E
Qt < 0
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!
F
!
F
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Intensidade de Campo Elétrico
•  Cargas positivas são fonte de Campo Elétrico e cargas negativas são
sumidouros de Campo Elétrico.
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Intensidade de Campo Elétrico
•  O campo elétrico gerado por uma carga pontual Q no ponto r' de um
dado sistema de coordenadas é:
! !
E(r ) =
! !
Q
Q ( r − r ')
! 2 âR =
! ! 3
4πε 0 r − r '
4πε 0 R
•  Adotaremos a seguinte convenção:
Q
à r’ = (x’, y’, z’) são as coordenadas da fonte de campo
à r = (x, y, z) são as coordenadas do ponto de cálculo
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!
r
!
r'
Origem
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Intensidade de Campo Elétrico
•  Existem diferentes formas de representar o campo elétrico (campo
vetorial).
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Intensidade de Campo Elétrico
•  Em coordenadas cartesianas, o campo elétrico gerado por uma carga
pontual Q no ponto (x, y, z) é:
!
Q ⎡⎣( x − x ') âx + ( y − y ') ây + ( z − z ') âz ⎤⎦
E(x, y, z) =
4πε 0 ⎡ x − x ' 2 + y − y ' 2 + z − z ' 2 ⎤3/2
) (
) (
)⎦
⎣(
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Princípio da superposição
•  O campo gerado na posição r devido a ‘n’ cargas Qm distintas situadas
nas posições rm é a superposição (soma) dos campos gerados por cada
uma das cargas no ponto r.
n
! !
E(r ) = ∑
Qm
! ! 2 âm
m=1 4 πε 0 r − rm
Q2
!
r2
Q1
!
r1
Pergunta?
• 
Como fica an em coordenadas cartesianas?
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!
r
Qn
!
rn
Origem
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Princípio da superposição
•  O campo gerado na posição r =(x, y ,z) devido a ‘m’ cargas Qm distintas
situadas nas posições rm = (xm , ym ,zm ) é a superposição (soma) dos
campos gerados por cada uma das cargas no ponto r.
•  Explicitamente, em coordenadas cartesianas, o campo total é:
n
! !
Qm ⎡⎣( x − xm ) âx + ( y − ym ) ây + ( z − zm ) âz ⎤⎦
E(r ) = ∑
2
2
2 ⎤3/2
4
πε
⎡
0
m=1
⎣( x − xm ) + ( y − ym ) + ( z − zm ) ⎦
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Exemplo
Considere duas cargas pontuais Q1=1nC e Q2 = 2nC situadas
nos pontos (1, 2, 0)m e (3, 1, 0)m, respectivamente.
Calcule o campo elétrico resultante no ponto P = (1, 1, 0)m.
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