Aula 6-Logica dos Conjuntos

Disciplina: Matemática Computacional
Crédito do material: profa. Diana de Barros Teles
Prof. Fernando Zaidan
AULA 6
LÓGICA DOS CONJUNTOS
Intuitivamente, conjunto é a coleção de objetos, que em geral, tem alguma propriedade em
comum.
NOTAÇÃO: Letras maiúsculas para conjunto
Letras minúsculas para elementos do conjunto
Para denotar pertinência usaremos o símbolo ∈ (pertence) ou  (não pertence)
Exemplo 1:
Se A = {violeta, verde, castanho} então, verde ∈ A e azul  A.
Os elementos de um conjunto não precisam ser ordenados, {a,b,c,d,e} = { c,e,a,d,b}.
Dois conjuntos são iguais se (se e somente se) contém os mesmos elementos.
Uma notação lógica:
A = B significa (∀x )[( x ∈ A → x ∈ B ) ∧( x ∈ B → x ∈ A ]
 Conjunto finito - é conjunto que conseguimos identificar todos os elementos.
Exemplo: Conjunto dos dias de semana.
Q = { segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado, domingo}
 Conjunto infinito – é o conjunto que não conseguimos identificar todos os elementos.
Exemplo:Conjunto dos inteiros positivos pares.
 *+ = {2,4,6,8,...}
Temos diversas maneiras para tentar descrever um conjunto:
 Listar seus elementos – S = {2,4,6,8,...}
 Usar recorrência para descrever como gerar seus elementos – 1.2∈ S
2.Se n ∈ S, então (n + 2)∈ S
 Descrever uma propriedade P que caracteriza seus elementos – S= { x / x é um inteiro
positivo par}
1
A notação para um conjunto cujos elementos são caracterizados por uma propriedade
Pé
S = { x / P(x)} e significa (∀x )[( x ∈ S → P (x) ) ∧( P ( x ) → x ∈S ]
Exemplo 2:
Suponha que um conjunto A é dado por A = { x /(∃y )( y ∈{0 ,1, 2}e
Logo, A = {0,1,2}
x = y 3}
Descrevendo outros conjuntos:
e
(∀y )( y ∈{2 ,3, 4 ,5} → x > y}
a. A = { x / x ∈ 
b. B = { x /(∃y )(∃z )( y ∈{1, 2}e z ∈{2 ,3} e x = y + z}
R : A = {x / x∈ N e x > 5}
R : B = { 3, 4, 5}
RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
Para A = {2, 3, 5,12} e B = {2, 3, 4, 5, 9, 12}, todo elemento de A é elemento de B. Quando
isso acontece dizemos que A é subconjunto de B. Escreve-se A ⊆ B.
Se A ⊆ B e A ≠ B (existe pelo menos um elemento de B que não pertence a A), então
podemos dizer que A⊂ B (A está contido em B ).
Exemplo 3:
Sejam os conjuntos : A = { x / x ∈ N e x ≥ 5} , B = {10,12, 16, 20} , C = { x / (∃ y)(y∈ N e x
= 2y)}
Quais das proposições a seguir são verdadeiras?
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
B⊆ C
B⊂ A
A⊆ C
26 ∈ C
{11, 12, 13} ⊆ A
{11, 12, 13}⊂ C
{12} ∈ B
g.
h.
i.
j.
k.
{12} ⊆ B
{x / x ∈ N e x < 20}  B
5⊆ A
{} ⊆ B
A
R: a, b, d, e, h, i, l
CONJUNTOS DE CONJUNTOS
Para um conjunto S, podemos formar um novo conjunto cujos elementos são os subconjuntos
de S. Esse novo conjunto é chamado de conjunto das partes de S e é denotado por (S).
Exemplo 4:
2
Para S = {0, 1} , (S) = {, {0}, {1}, {0,1} }. Note que os elementos do conjunto das partes de
um conjunto são conjuntos. Para qualquer conjunto S, (S) sempre tem pelo menos,  e S
como elementos.
Observe que S tem 2 elementos, e (S) tem 4 elementos. Podemos encontrar o número de
elementos de um conjunto das partes de S usando 2n, onde n é o número de elementos de
S.
OPERAÇÕES BINÁRIAS E UNÁRIAS
Quando subtraímos dois elementos de um conjunto encontramos um terceiro elemento, esta
operação é conhecida como binária.
A negação age em um inteiro, portanto é uma operação unária.
Para realizarmos uma subtração, por exemplo, precisamos de dois elementos, x e y, onde x –
y gera uma única resposta. Estes dois elementos x e y formam um par ordenado. Ordenado
porque, dados 5 e 7, 5 – 7 é diferente de 7 – 5, portanto a ordem dos elementos é importante.
NOTAÇÃO: Um par ordenado é denotado por (x, y), onde x é a primeira componente e y é a
segunda.
Em conjuntos {1, 2} e {2, 1} são iguais, mas os pares ordenados (1, 2) e (2, 1) são diferentes.
O símbolo ° marca, simplesmente, o lugar; em qualquer discussão específica, que será
substituído pelo símbolo apropriado para a operação, como o símbolo da subtração, adição e
multiplicação, por exemplo.
Logo, operações binárias ° é uma operação em um conjunto S se, para todo par ordenado
(x, y) de elementos de S, x ° y existe, é único e pertence a S.
As operações lógicas de conjunção, disjunção, condicional e equivalência são operações
binárias no conjunto das fbfs proposicionais.
ATENÇÂO: Um candidato ao posto de ° pode deixar de ser uma operação binária em um conjunto
S se qualquer uma entre três coisas acontecer:
1. Se existirem x e y pertencentes a S para os quais x ° y não existe.
2. Se existirem elementos x e y pertencentes a S para os quais x ° y tem mais de um resultado.
3. Se existirem elementos x e y pertencentes a S para os quais x ° y não pertence a S.
A divisão não é uma operação binária.
3
Exemplo 5:
A subtração não é uma operação binária em N, pois N não é bem definida ( não é
fechada),para a operação. Por exemplo: 10 – 1 = 9 os três elementos pertencem a N, mas 1 –
10 = -9 , e este não pertence a N.
OPERAÇÕES EM CONJUNTOS
Dado S, podemos definir algumas operações binárias ou unárias no conjunto(S). S nesse
caso é chamado de conjunto universo. Exemplo: S = ℤ.
Uma operação binária em (S) tem que agir em dois subconjuntos arbitrários de S para
produzir um subconjunto de S.
Exemplo 6:
 Seja S o conjunto de todos os estudantes da Silicon U. Então os elementos de (S)
são conjuntos de estudantes.
 Seja A o conjunto de estudantes de ciências da computação e seja B o conjunto de
estudantes de administração. Ambos A e B pertencem a (S).
 Um novo conjunto pode ser definido, consistindo em todos os alunos que são alunos de
ciências da computação ou de administração (ou ambos), esse conjunto é a união de
A e B.
 Outro conjunto pode ser definido pelos alunos que estudam ao mesmo tempo nos dois
cursos. Esse conjunto (que pode ser vazio) é chamado de interseção de A e B.
1. A união de conjuntos pode ser definida como: Sejam A,B∈(S). A união de A e B
denotada por A∪B , é {x / x ∈ A ou x ∈ B}.
2. A interseção de conjuntos pode ser definida A∩ B, é {x / x ∈ A e x ∈ B}.
Exemplo 7:
Sejam A = {1,3,5,7,9} e B = {3,5,6,10,11}. Podemos considerar A e B como elementos de
(ℕ).
Então A∪B = {1,3,5,6,7,9,10,11} e A∩B = {3,5}. Ambos, A∪B e A∩B são elementos de (ℕ).
Podemos usar diagramas de Venn para visualizar as operações binárias de união (∪) e
interseção (∩).
4
Diagramas de Venn: ( John Venn, 1834-1923)
São úteis na verificação de propriedades de operações entre conjuntos, mas não devem ser
considerados instrumentos de prova matemática rigorosa.
S
A∪ B
S
A∩B
Agora definiremos uma operação unária em (S).
3. Complemento de um conjunto: para um conjunto A ∈ (S), o complemento de A, A’ é [x
/ x ∈ S e x ∉ A}
No diagrama de Venn, teremos:
S
A’
Exemplo 8:
Uma pesquisa do tipo,”carros usados” E (Mercedes Bens OU Volkswagen) E NÃO
Caminhões.
Está pedindo ao programa de busca que retorne um conjunto de páginas (ou, mais
precisamente, um conjunto de links para essas páginas).
Se
U = conjunto de páginas contendo carros usados
M = conjunto de páginas contendo carros da Mercedes Bens
V = conjunto de páginas contendo carros da Volkswagen
5
C = conjunto de páginas contendo caminhões
Então:
U ∩ ( M ∪ V ) ∩ C’
Que representa o conjunto de páginas na rede contendo o resultado desejado na pesquisa.
4. Diferença entre conjuntos: é uma operação binária, onde A – B = {x / x ∈ A e x ∉ B} ou
ainda
A – B = {x / x ∈ A e x ∈ B’} ou como A – B = A ∩ B’
No diagrama de Venn temos:
Exemplo 9: Sejam os conjuntos abaixo subconjuntos de S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}:
A = {1, 2, 3, 5, 10}
B = {2, 4, 7, 8, 9}
C = {5, 8, 10}
Encontre:
a. A ∪ B
b. A – C
R: { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10}
R: {1, 2, 3}
c. B’ ∩ (A ∪ C)
R: {1, 3, 5, 10} Lembre-se B’ = {1, 3, 5, 6, 10}
ATENÇÃO:
 O Cálculo Proposicional e a Álgebra dos conjuntos possuem estruturas
semelhantes.
 Toda fórmula do Cálculo Proposicional determina uma operação correspondente
entre conjuntos:
 Negação (~) corresponde à complementação ( ‘ )
 Conjunção ( ∧) corresponde à interseção (⋂)
 Disjunção ( V ) corresponde à união ( ⋃ )
 As variáveis proposicionais podem servir como variáveis simbolizando conjunto
na nova expressão:
Exemplo: ((p V q) ∧~p) corresponde a ( (p ⋃ q) ⋂ p’
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IDENTIDADES ENVOLVENDO CONJUNTOS
Existem muitas igualdades envolvendo as operações de união, interseção, diferença e
complementação que são verdadeiras para todos os subconjuntos de um conjunto S. Desta
forma as identidades básicas foram listadas na tabela abaixo.
Identidades Básicas Envolvendo Conjuntos
1a. A ∪ B = B ∪ A
1b. A ∩ B = B ∩ A
Comutativa
2a. (A ∪ B)∪ C = A∪ (B ∪ C)
2b. (A ∩ B)∩ C = A ∩(B ∩ C)
Associativa
3a.A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
3b. A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
Distributiva
4a. A ∪  = A
4b. A ∩ S = A
Existência de elemento neutro
5a. A ∪ A’ = S
5b. A ∩ A’ = 
Propriedade do complemento
Exemplo 10: Usando as identidades básicas, vamos provar que
[A∪(B ∩ C)]∩([A’∪(B ∩ C)]∩ (B ∩ C)’) = 
[A∪(B ∩ C)]∩([A’∪(B ∩ C)]∩ (B ∩ C)’)
([A∪(B ∩ C)]∩[A’∪(B ∩ C)])∩ (B ∩ C)’
(2b)
([(B ∩ C)∪A]∩[( B ∩ C )∪A’])∩ (B ∩ C)’
(1a duas vezes)
[(B ∩ C)∪(A ∩ A’)]∩ (B ∩ C)’
(3a)
[(B ∩ C)∪]∩ (B ∩ C)’
(B ∩ C) ∩ (B ∩ C)’

(5b)
(4a)
(5b)
Exemplo 11: Agora mostre a identidade:
[C ∩ (A ∪ B)]∪ [(A∪B) ∩ C’] = (A∪ B)
[(A ∪ B) ∩ C]∪ [(A∪B) ∩ C’]
(1b)
(A ∪ B) ∩ (C ∪ C’)
(3b)
(A ∪ B) ∩ S
(5a)
A∪B
(4b)
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ENUMERABILIDADE
 Para se provar a enumerabilidade de conjuntos precisamos apenas exibir o modo de contar seus
elementos.
 Exemplo: N = conjuntos de inteiros não negativos
 N = { 0, 1, 2, 3, 4...}
 Portanto o conjunto N é enumerável.
Conjuntos finitos não enumeráveis:
 Exemplo: Vamos mostrar que o conjunto de todos os números reais entre “0 e 1” não é enumerável.
Se descrevermos os elementos deste conjunto de forma decimal, teremos:
R= { d1, d2, d3,...dn}
Dado o número 0,24999999... , você conseguiria dizer qual é o proximo número da sequencia?
Comparando os números decimais acima mencionados e os número inteiros, veremos que os
números decimais são conjuntos não-enumeráveis.
CONJUNTOS CONTÁVEIS E NÃO-CONTÁVEIS
 Em um conjunto finito S, sempre podemos designar um elemento como sendo o primeiro,
s1,um outro número, s2, e assim por diante. Se existem k elementos, então esses podem ser
listados.
Exemplo: s1, s2, s3, .....sk ( o número de elementos em um conjunto finito é a cardinalidade do
conjunto)
 Um conjunto infinito , podemos ainda ser capazes de selecionar um primeiro elemento, s1,um
outro número, s2, e assim por diante, de modo que a lista fique
Exemplo: s1, s2, s3, ...
( todo elemento do conjunto aparecerá na lista alguma hora. Tal conjunto
infinito é dito enumerável)
 Tanto conjuntos finitos e enumeráveis são conjuntos contáveis, pois podemos contar, ou
enumerar seus elementos ( significa que podemos dizer quem é o primeiro elemento, o
segundo, e assim por diante).
 Existem conjuntos infinitos que são não-contáveis ( ou não-enumerávies). São conjuntos
tão grandes que não há maneira de se contar os elementos e obter todo o conjunto nesse
processo.
Alguns exemplos de enumeráveis infinitos: Os conjuntos ℕ ou ℤ
E não-enumerável: o conjunto dos números reais entre 0 e 1.
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