Aula 4 de Exercicios

Aula 4 de Exercícios
.
Exercício 1:
Uma carga q está uniformemente distribuída no segmento de reta de x = 0 a x = L sobre o
eixo x, com densidade linear = q=L: Qual o campo elétrico gerado por este segmento de
reta num ponto P sobre o eixo dos x, em x = x0 :
O ponto P está a uma distância
x = xo ; xo m L ) r = xo
x
O campo do ponto P está a uma distância do elemento de carga está dirigido ao longo do
eixo x e tem módulo.
kdq
k dx
2 =
(xo x)
(x0 x)2
Z Ex
Z L
dx
1
=
dEx =
k
2 = k
x0 x
(x x0 )
Ex(0)
0
1
1
L
= k f
g=k f
g
x: L x0
x: (x0 L)
dEx =
Como
L
0
= q=L
Ex =
kq
;
x0 (x0 L)
se L l lx0 =) Ex '
k'
x20
Exercício 2:
!
Calcule o campo elétrico E num ponto r sobre a mediatriz de um segmento de reta de
comprimento L carregado com carga total q:
O elemento de carga dq provoca um campo elétrico d2 em P.
!
!
dEx = jdEjsen
dEy = jdEjcos
!
!
!
dE =
dEx i + dEy j
!
k dx
k dq
= p
jdEj =
2
2
r
x2 + y 2
!
!
!
!
d E = jdEjsen i + jdEj cos j
sen = p
!
dE =
k dx
x
p
:p
2
2
2
2
( x +y )
x + y2
"
!
dE = k
E(x)
E (x=
1
2
)=0
cos = p
!
k dx
! B
i +@ p
x2 + y 2
#
! !
j i +
(x2 + y 2 )3=2
!
dE = k
(x2
"Z
y
x2 +y 2
0
xdx
!
dE = k
Z
x
x2 +y 2
2:
y
p
x2
k dx
y
p
: 2
( x2 + y 2 )2 x + y 2
I1 =
xdx
!
i +y
3=2
(x2 + y 2 )
xdx
(x2
+
Z
1=2
1u
2
y 2 )3=2
1=2
1
2
!
j
1=2
#
dx
!
j
2
2
3=2
(x + y )
=
Z
du 1
1
: 3=2 =
2 u
2
Z
u
u = x2 + y 2 =) du = 2xdx
=
!
C!
A j
ydx
xdx
!
!
i + 2
j
2
3=2
2
3=2
+y )
(x + y )
integrais:
Z
+
y2
1
1
= :2u
2
1=2
= x2 + y 2
1=2
3=2
du
I1 =
Z
1=2
1=2
::: = x2 + y 2
1=2
I2 =
I2 = [:::]
1=2
1=2
=
y2
Z
1=2
1=2
=
dx
(x2
+
y 2 )3=2
=
(1=2)
q
1=2
= (L=2)2 + y 2
y2
(1=2)2 + y 2
!
E (y) = k y
y2
1=2
x
p
x2 + y 2
( 1=2)
L
= q
2
2
(1=2)2 +y 2 )
2
(1=2) + y
y (
L
q
!
k
q
E (y) =
y
y2
( L=2)2 + y 2
(1=2)2 + y 2
L
(1=2)2 + y 2
!
j
!
j
Dá para ver pela simetria da distribuição de cargas que cada elemento de carga que esteja à
direita da origem, há um outro que está à esquerda e que provoca uma componente paralela
!
de campo elétrico d E que é igual e oposta à do campo do primeiro elemento. Então, se
somarmos as componentes paralelas de todos os elementos de carga, estas componentes terão
soma nula. Portanto, somente a componente de campo perpendicular ao segmento de reta
contribui para o campo total.
qdo
y
y
!
k L!
L =) E (y) = 2 j
y
!
2k !
L =) E (y) =
j
y
!
* campo E sobre o eixo de um anel de cargas
!
* campo E sobre o eixo de um disco uniformemente carregado.
Exercício 3:
Considere um anel uniforme de cargas, com o raio a e carga total Q. Calcule o campo elétrico
num ponto P sobre o eixo do anel a uma distância x do centro anel.
!
Tomemos um elemento de carga dq que provoca o campo d E num ponto P sobre o eixo x
!
!
!
d E = dEx i + dE1 j
Z
! !
dE = E =
dE? : componente perpendicular ao eixo x
Z
!
dEx i +
Z
!
dE1 j
Pela simetria da distribuição de carga, vemos que a soma das componentes perpendiculares
ao eixo deve ser nula, pois a soma de todos os elementos de carga com os elementos de carga
diametralmente opostos, anulam-se.
Z
dE? = 0
Assim, resta apenas a componente de campo axial.
dEx =
kdq
: cos
r2
cos =
r=
p
dEx =
x
r
x 2 + a2 ) r = x 2 + a2
1=2
kdq x
kdqx
kdqx
: = 3 =
2
r r
r
(x2 + a2 )3=2
O campo do anel é:
Z
dEx = Ex =
Z
kxdq
+ a2 )3=2
x não se altera, vamos integrar sobre os elementos de carga e remover todos os termos
constantes.
Ex =
(x2
kx
(x2 + a2 )3=2
Z
dq
Z
Ex =
kxQ
(x2 +
a2 )3=2
dq = Q
!
=) E =
kxQ
(x2 +
a2 )3=2
!
i
Exercício 4:
Considere um disco uniformemente carregado, com o raio R e carga total Q. Calcule o campo
elétrico sobre o eixo do disco.
Podemos aqui fazer uma analogia com o caso anterior e considerar o disco como se fosse
um conjunto de anéis concêntricos. Devido a simetria do problema o campo elétrico sobre o
eixo do disco será paralelo ao eixo. Consideremos um anel de carga de raio a, um elemento
de disco de espessura da
A área do anel é
dA = 2 ada
a área do disco total é
A = R2
Q=
R2
O campo do anel de cargas é dado por
!
E =
kxQ
(x2
+
a2 )3=2
!
i
um elemento de disco
dEx =
kxdq
(x2 + a2 )3=2
dq = dA = 2 ada
2 k adax
dEx =
(x2 + a2 )3=2
O campo total provocado pelo disco pode ser encontrado
Ex =
Z
Z
dEx =
R
o
2 k xada
=2 k x
(x2
+
a2 )3=2
=
Z
du 1
1
: 3=2 =
2 u
2
Z
R
ada
(x2
o
+ a2 )1=2
resolvendo a integral
Z
ada
(x2
+
a2 )3=2
Z
u
3=2
du =
u = x2 + a2 =) du = 2ada
Z
::: =
1u
2
Z
Z
o
R
::: =
"
1=2
=
1
2
1=2
u
ada
(x2
+
1
p
2
x + R2
1
pp
Ex = 2 k x
1
x
Ex = 2 k
1
!
E =2 k
p
=
a2 )3=2
x 2 + a2
=
x2
p
p
1=2
1
+ a2
x2
#
=
1
x
p
x2
1
+ R2
1
x2 + R 2
x
x2 + R 2
x
!
i
x2 + R 2
muito afastados do disco x
R podemos achar uma aproximação para a expressão (1)
conhecendo-se o desenvolvimento do binômio.
(1+ 2)n
1
p
1 + n 2; 2
1
Podemos escrever:
x
x
p
=q
x2 + R 2
x2 1 +
R2
x2
2=
= q
x
x
1+
R2
x2
=q
1
=
1+
R2
x2
R2
x
=) p
'1+
2
2
x
x + R2
R2
1+ 2
x
x
'1
x2 + R 2
n=
1=2
1 R2
2 x2
de modo que, quando estivermos muito afastados do disco R=x
p
1=2
1e
R2
2x2
substituindo agora os resultados
!
E =2 k
1
1+
R2 !
i
2x2
! 2 k R2 !
E =
i
2x2
mas Q =
R2 , logo
! kQ !
E = 2 i
x
ou seja, quando estamos muito afastados do disco, o campo elétrico gerado pelo disco parece
àquele gerado por uma carga puntiforme Q.
Exercício 5:
Se o campo elétrico gerado por um disco num ponto P localizado no eixo do disco é dado
por
!
E =2 k
x
!
i
2
+R
então, encontre o valor do campo num ponto P muito afastado do disco
1
p
x2
Solução:
2
conhecendo-se a expansão:
! 2 l 4
E =
1
4 "o
com "
1 condição que ocorre se x
"=
1+
R
x
2
!
!
1=2
3
5
1 + n"
R, ou seja, para pontos muito afastados
R
x
1
2
1; então n =
1
2
!
E =
1
2
=1+
2"o
1
R
x
1+
=1
R2
2x2
R2
eb
2x2
R2
eb
4"ox2
!
E =
mas como Q =
R
x
1+
(1 + ")n
2
R2 =)
R2
kQ
= 2 eb
2
4 "ox
x
ou seja, quando estamos muito afastados do disco, o campo elétrico gerado pelo disco parece
aquele gerado por uma carga puntiforme Q. Por outro lado, para pontos muito próximos do
centro do disco, isto é, R
x, temos
!
E =
!
E =
Exercício 6:
2"o
f1
R
x
1+
b=
E
2"o
1
2
!
1
2
gb
e
eb
A que distância, ao longo do eixo central de um disco de plástico de raio R, uniformemente
carregado, o módulo do campo elétrico é igual à metade do seu valor no centro da superfície
do disco?
Solução:
Um ponto no eixo de um disco carregado uniformemente a uma distância z acima do centro
do disco é
E=2 k
E=2
1
1
4 "o
E (z) =
x2
1
2"o
1
x
+ R2
x2
z2
x
+ R2
z
+ R2
A magnitude do campo elétrico no centro z = 0 =) Ec =
Queremos encontrar z que satisfaz
2"o
1
1
z2
E(z)
Ec
p
=
z2
2"o
1
2
z
1
=
=
2
2 2"o
4"o
+R
z
1
z
1
= =) p
=
2
2
2
+R
2
2
z +R
z2
1
= =) 4z 2 = z 2 + R2 =) 3z 2 = R2
2
2
z +R
4
R
=) z = p
3
Exercício 7:
Duas barras …nas de plástico, uma de carga +q e a outra de carga -q, formam um círculo de
raio R num plano xy. Um eixo x passa pelos pontos que unem as duas barras e a carga em
cada uma delas está uniformemente distribuída. Qual o módulo, direção e sentido do campo
!
elétrico E criado no centro do círculo?
Solução:
dq = ds
ds = Rd =) dq = Rd
! kdq
d E = 2 rb
R
dEy = jdEj cos
dEy =
E=
como
Z
k Rd
k cos d
=
2
R
R
k
dEy =
R
Z
=2
cos d = :
0
q=
R
o campo pode ser escrito como
!
k q
E = 2: b
j
R
Levando-se em conta os 4 quadrantes obtemos
no sentido dos y’s positivos.
! 4kq b
E = 2j
R
k
R
R R