FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

Engenharia Multimédia / Informática
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FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Definição
Uma função é uma correspondência unívoca de A (conjunto de partida) para B (conjunto de
chegada), ou seja, designa-se por função qualquer regra que a cada elemento do conjunto A faz
corresponder um, e um só, elemento de B.
f:
A

B
x

f(x)
Domínio da função (D): valores de A para os quais a função tem significado.
Contradomínio da função (D’): conjunto das imagens dos elementos de D
Para funções reais de variável real os conjuntos A e B correspondem ao conjunto dos números reais
(|R).
Df = {x ∈ |R: f(x) ∈ |R}
D’f = {y ∈ |R: y = f(x), x ∈ Df}
x – variável independente (x ∈ D)
y – variável dependente (y ∈ D’)
Representação de funções
Analítica
y = f(x)
Ex:
y = x2 + 1
y = x / (x2 – 1)
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Gráfica
Tabela
x
y
0
0
1
2
2
4
Função injectiva
Uma aplicação f definida de A para B diz-se injectiva se a elementos distintos de A, a função faz
corresponder imagens distintas, ou seja:
∀ x 1, x 2 ∈ A
x 1 ≠ x 2 ⇒ f(x 1) ≠ f(x 2 )
o que é equivalente a ter:
∀ x 1, x 2 ∈ A
f(x 1) = f(x 2 ) ⇒ x 1 = x 2
Função sobrejectiva
Uma aplicação f definida de A para B diz-se sobrejectiva, se todo o elemento do conjunto de
chegada B é imagem de algum elemento do conjunto de partida A, ou seja:
∀ y∈ B
∃ x ∈ A : f(x) = y
o que é equivalente a dizer que o contradomínio da função coincide com o conjunto de chegada.
Função bijectiva
Uma aplicação diz-se bijectiva se for injectiva e sobrejectiva.
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Função inversa
x = f-1(y)
y
•
f
•
-1
D
C
f-1[f(x)] = x = f[f-1(x)]
Exemplos:
f-1(x)[0, 4] = √x
f(x)[0, 2] = x2
Composição de funções
f
f(x)
g
x
g◦f
-
g(f(x))
Composição de funções é associativa:
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h = f ◦ g ◦ h
-
Composição de funções não é comutativa
f◦g≠g◦f
Funções limitadas
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Limitada inferiormente
∃m∈R : ∀x∈D f(x) ≥ m
Limitada superiormente
∃M∈R : ∀x∈D f(x) ≤ M
Limitada
∃m∈R ∃M∈R : ∀x∈D m ≤ f(x) ≤ M
Máximos e Mínimos
m – ínfimo do contradomínio de f
se m ∈ C ⇒ m = min f(x)
M – supremo do contradomínio de f
se M ∈ C ⇒ M = max f(x)
Funções monótonas
I⊂D
i)
f(x) é crescente em I se:
∀x1, x2 ∈ I : x2 > x1 ⇒ f(x2) > f(x1)
ii)
f(x) é não-decrescente se:
∀x1, x2 ∈ I : x2 > x1 ⇒ f(x2) ≥ f(x1)
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iii)
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f(x) é decrescente se:
∀x1, x2 ∈ I : x2 > x1 ⇒ f(x2) < f(x1)
iv)
f(x) é não-crescente se:
∀x1, x2 ∈ I : x2 > x1 ⇒ f(x2) ≤ f(x1)
Funções par e ímpar
Par
f(x) = f(-x)
Ímpar
f(x) = - f(-x)
Funções periódicas
∀x ∈ D , f(x + nT) = f(x)
com n = 1, 2, 3, .....
T – período da função
Tipos importantes de funções
a) Funções polinomiais
f(x) = anxn + an-1xn-1 + .... + a2x2 + a1x + a0
n – grau do polinómio
a0, a1, ..., an – nos reais (constantes)
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i) Funções lineares
f(x) = ax + b
Domínio: |R
ii) Funções quadráticas
f(x) = ax2 + bx + c
Domínio: |R
iii) Potência
f(x) = xn
Domínio:|R
n par
n ímpar
b) Funções racionais
f(x) =
P ( x)
Q ( x)
P(x) e Q(x) – funções polinomiais
Ex:
f(x) =
1
x
Domínio: |R \ {0}
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c) Funções irracionais
Função inclui potência racional não inteira
Ex:
f(x) = √x
Domínio: |R+
d) Funções transcendentes
i) Função exponencial
a<1
f(x) = ax
a>1
Domínio: |R
ii) Função logarítmica
a>1
f(x) = loga(x)
Domínio: |R+
a<1
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iii) Funções trigonométricas
Seno
f(x) = sen(x)
Domínio: |R
Periódica: sen(x+2nπ) = sen(x)
Ímpar: sen(x) = -sen(-x)
Cosseno
f(x) = cos(x)
Domínio: |R
Periódica: cos(x+2nπ) = cos(x)
Par: cos(x) = cos(-x)
Tangente
f(x) = tg(x)
Domínio: |R \ {±(2n+1) π/2}
Periódica: tg(x+nπ) = tg(x)
Ímpar: tg(x) = -tg(-x)
Cotangente
f(x) = cotg(x)
Domínio: |R \ {±nπ}
Periódica: cotg(x+nπ) = cotg(x)
Ímpar: cotg(x) = -cotg(-x)
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iv)
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Funções trigonométricas inversas
Arco Seno
f(x) = arcsen(x)
Domínio: [-1, 1]
Arco Cosseno
f(x) = arccos(x)
Domínio: [-1, 1]
Arco Tangente
f(x) = arctg(x)
Domínio: |R
Arco Cotangente
f(x) = arccotg(x)
Domínio: |R
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