Empacotamento de Esferas Allan de Oliveira - Imecc

Empacotamento de Esferas
MM 440 Curvas Algébricas
|
01 /2008
Allan de Oliveira Moura
,
IMECC-UNICAMP, Universidade Estadual de Campinas
13081-970, Campinas, SP
E-mail: [email protected].
30 de junho
Empacotamentos
Empacotamento Esférico: Um clássico problema é empacotar esferas de raios iguais não sobrepostas
no espaço Rn . Seja P os centros destas esferas e seja
d = d (P) = infu,v∈P,u6=v ku − vk
d é a distância mínima de empacotamento, o qual é igual ao maior diâmetro possível para esferas não
sobrepostas com centros em P .
A densidade de P é a parte de Rn coberta pelas esferas, mas precisamente,
∆ (P) = lim supr→∞
onde
S=
v (S ∩ Br )
,
v (Br )
x ∈ Rn ; ∃y ∈ P, kx − yk <
d
2
Br = {x ∈ Rn ; kxk < r}
e v (.) é o volume padrão em Rn .
Reticulados: Se P é um subgrupo aditivo de Rn , chamamos o empacotamento P de empacotamento de
reticulado(ou reticulado, neste caso usamos a letra L ao invés de P ). Supomos adicionalmente que o posto
de L é n caso contrário ∆ (L) = 0. Se L é um reticulado então qualquer escolha de uma base {e1 , · · · , en }
em L dene uma aplicação Zn → Rn sua matriz é chamada matriz geradora do reticulado.
As denição de ∆ (L) não depende da escolha da origem e também da substituição da bola Br por um
cubo.
O volume da região fundamental
(
F =
n
X
)
xi ei ; 0 ≤ xi ≤ 1
i=1
1
⊆ Rn
é igual ao valor absoluto do determinante da matriz geradora. Esse volume é chamado determinante do
reticulado e é denotado por det L. Denimos o discriminaste discr L de L como o determinante da matriz de
produtos internos(chamada de matriz de Gram) k(ei , ej )k , i, j = 1, · · · n. Observamos que
2
discr L = (det L)
e
∆ (L) =
n
volume de uma esfera
d (L) vn
= n
,
volume da região fundamental
2 det L
onde vn = π n/2 /Γ (n/2 + 1) é o volume da bola unitária em Rn .
Nosso interesse será o empacotamento tal que as esferas tenham raio máximo. Para a determinação deste
raio, observamos que xado k > 0, a intersecção do conjunto compacto {x ∈ Rn ; kxk < k} com o reticulado
L é um conjunto nito de onde segue que
d = d (L) = infu,v∈L,u6=v ku − vk = minv∈L−{0} kvk ,
ou seja, a distância mínima é determinada pelo vetor não nulo de norma mínima do reticulado.
Densidade de empacotamento:
∆ (n) = supP⊆Rn ∆ (P) .
Um problema natural de encontrar possíveis densidades de empacotamento em uma dada dimensão pode
ser composta de dois problemas:
A. Encontrar precisamente o valor de ∆ (n).
B. Encontrar um empacotamento P com ∆ (P) = ∆ (n).
Esse problemas estão completamente resolvidos nos casos n = 1 e n = 2.
Para n = 1, observamos que segmentos iguais cobrem a reta, e assim para esse empacotamento L1 temos
∆ (L1 ) = 1.
Para n = 2, o problema não é simples, mas
π
∆ (2) = √ ≈ 0, 90687.
2 3
E o reticulado L2 ⊆ R2 = C gerado por 1 e
√
1+ −3
2
é o reticulado que atinge ∆ (2).
Densidade de Reticulado: Para empacotamento de reticulados conhecemos um pouco mais. Seja
∆l (n) = supL⊆Rn ∆ (L) ,
claramente,
∆l (n) ≤ ∆ (n) .
Um reticulado é chamado unimodular se e somente se det L = 1. O reticulado dual
L⊥ = {x ∈ Rn | (x, l) ∈ Z para qualquer l ∈ L}
2
e ele é nesse caso também unimodular.
Exemplo 1: Construiremos famílias L ⊆ Rn e daremos os valores de d (L) e det (L).
Uma simples família é
Zn ⊆ Rn ,
para estes reticulados
d (Zn ) = 1, det (Zn ) = 1.
Exemplo 2: Consideraremos em Rn+1 o seguinte reticulado An de posto n:
An =
(n+1
X
)
ai .ei | ai ∈ Z,
X
ai = 0 ,
i=1
{ei } é a base canônica do Rn+1 .
Esses reticulados são gerados pelos vetores
α1 = e1 − e2 , α2 = e2 − e3 , ..., αn = en − en+1 ,
e obtemos
d (An ) =
√
2, det An =
√
n + 1.
Teoria dos números algébricos
Sejam K e L subcorpos dos números complexos C. Se L é um subcorpo de K , dizemos que o corpo K é
uma extensão de corpo L, o qual denotaremos por K/L.
Denição: Dizemos que e α é um inteiro algébrico se for raiz de um polinômio mônico com coecientes
em Z. O conjunto dos inteiros algébricos de K é um anel, chamado anel dos inteiros algébricos de K , e
denotado por OK .
Teorema: O anel OK é nitamente gerado Z-módulo.
Traço: Sejam Σ = {σ1 , ..., σn }o conjunto de mergulhos distintos de K sobre C. Para qualquer mergulho
σi tal que σi (K) não está em R o mergulho σi não coincide com σi , esses mergulhos aparecem no conjunto
Σ em pares (σi , σi ). Então se s é o número de mergulhos σi : K ,→ C com σi (K) ⊂ R (tal mergulhos
são chamados mergulhos reais) e t é o número de pares (σi , σi ) onde σi 6= σi (tal mergulhos são chamados
complexos) então s + 2t = n.
Vamos denir
n
T r (x) = T rK/Q (x) =
X
σi (x) .
i=1
T r (x) é chamado o (K/Q)-traço de x.
Observamos que a forma bilinear T r (x.y) é não-degenerada.
3
Discriminante: Seja K o corpo de números algébricos de grau n e seja {w1 , ..., wn }sua base fundamental.
O inteiro DK = det (T r (wi .wj )) é chamado o discriminante de K .
Teorema: Se n > 1, isto é K 6= Q, então |DK | > 1.
Seja s o número de mergulhos reais σi e t o número de pares conjugados (σj , σj ) de mergulhos complexos
de K . Seja A = Rs × Ct a R-álgebra comutativa de posto n = s + 2t, e seja σ o seguinte mergulho de anéis
→ Rs × Ct
σ : OK
7→ (σ1 (a) , ..., σs (a) ; σs+1 (a) , ..., σs+t (a)) .
σ:a
Teorema: |det σ (OK )| = 2−t |DK |.
p
√ Exemplo: hConstruiremos
o reticulado algébrico obtido
Ko
= Q 5 . O anel dos inteiros algébricos sobre
n de √
√ i
√ √
1+ 5
1+ 5
K é OK = Z
, e uma base integral para OK é 1, 2 . Os mergulhos canônicos são σ1 5 = 5
2
√ √
e σ2 = 5 = − 5 e a matriz geradora do reticulado é
M=
σ1
σ1 (1) √
1+ 5
2
σ2
σ2 (1) √
1+ 5
2
!
=
1
√
1+ 5
2
1
!
√
1− 5
2
e o discriminante é

√ T r (1.1)
T r 1. 1+2 5
√ √ √  = det
= det 
1+ 5
1+ 5
Tr
.1
T
r
. 1+2 5
2
2

DK
2
1
1
3
!
= 5.
√
√
O volume de do reticulado σ (OK ) é 5 e a distância mínima é 2. Assim a densidade de empacotamento
√
π
é 10 5 ≈ 0, 70246.
Até aqui, o ingrediente chave para a construção de reticulados algébricos tem sido a existência de uma
Z-base livre em K . Como sabemos que OK tem tal base, pois OK é um Z-módulo livre de posto n, podemos
mergulhá-lo em Rn para obter um reticulado algébrico. Porém, existem outros subconjuntos de OK que
também têm esta estrutura de Z-módulo livre de posto n. São os idéias de OK .
Códigos e empacotamentos
Entre códigos e empacotamentos existem um sistema bonito de analogias. De fato, podemos considerar um
[n, k, d]q -código C ⊆ Fnq como um conjunto de centros de uma empacotamento(de raio t = d−1
) na métrica
2
de Hamming. A distância mínima de um código corresponde ao diâmetro d (P) de um empacotamento.
Códigos lineares correspondem a reticulados. De fato, um código linear é um subconjunto em Fnq o qual é
fechado para adição e multiplicação por elementos de Fq , e reticulados é fechado sobre adição e multiplicação
por inteiros.
A densidade de um empacotamento corresponde a densidade de empacotamento na métrica de Hamming.
Note que a densidade de um reticulado é igual ao volume da bola de raio d dividido por det L.
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Referências
[1] J. H. Conway, N. J. A. Sloane,
[2] T. B. Carlos,
, 3rd ed. Springer ,1998.
Sphere Packings, Lattices and Groups
, IMECC-Tese de Doutorado, 2007.
Abordagem Algébrica e Geométrica de Reticulados
[3] F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane,
Holland, 1977.
[4] Tsfasman, M.A. and Vl dut, S.G,
[5] Zong, C.,
The Theory of Error-Correcting Codes
, Kluwer, 1991.
Algebraic-Geometric Codes
, Springer 1999.
Sphere Packings
5
, Amsterdam: North-