CIRCUITOS LINEARES DE CORRENTE CONTÍNUA

Associação de resistências em série
Numa ligação de resitências em série, a corrente que flui no circuito é a
mesma e pode-se obter uma resistência equivalente do conjunto.
R1
R2
R3
U2
U3
Rn
I
U1
CIRCUITOS LINEARES DE CORRENTE
CONTÍNUA
Req
Un
I
U
U
U  U 1  U 2  U 3  ...  U n  U  I ( R1  R2  R3  ...  Rn )
U
 R1  R2  R3  ...  Rn
I
Req  R1  R2  R3  ...  Rn
Analise de Circuitos 2014
1
Analise de Circuitos 2014
Associação de resistências em paralelo
Transformações estrela-triângulo e vice-versa
Os terminais das resistências encontram-se conectados entre si. Por
isso mesmo deve-se cumprir a condição de que todas as resistências
tenham a mesma tensão.
A resistência medida entre dois terminais, tanto da ligação estrela
como da ligação triângulo, deve ser a mesma. Assim:
U AB
b
Para os terminais b e c:
Req
A
I
I1
I2
I3
R1
I
B
R ab
Ra
U AB (G1  G 2  G3  ...  G n )
Rn
Rb
U
Rc  Rb 
R bc
Rbc ( R ab  R ca )
Rab  Rbc  R ca
I  I1  I 2  I 3  ...  I n 
R2
R3
2
Para os terminais c e a:
Rc
Rca
c
a
In
G eq  G1  G 2  G3  ...  G n
Rca ( R ab  R bc )
R ab  Rbc  R ca
Para os terminais a e b:
R a  Rb 
Analise de Circuitos 2014
Ra  Rc 
3
Rab ( Rbc  Rca )
Rab  Rbc  Rca
Analise de Circuitos 2014
4
1
Transformações estrela-triângulo e vice-versa
Na transformação de triângulo para estrela, pode-se escrever:
Ra 
R ab Rca
R ab  R bc  R ca
Rb 
Exemplo: Calcular as correntes do circuito dado aplicando o
método de transformação.
R ca Rbc
Rc 
R ab  R bc  R ca
Rbc R ab
R ab  R bc  R ca
R a Rb  R a R c  R b Rc
Rc
Rbc 
Analise de Circuitos 2014
a
1º passo: Transformando o triângulo
constituído pelas resistências
R2 , R3 e R5, obtemos :
R R  R a Rc  Rb R c
Rca  a b
Rb
R a Rb  Ra Rc  Rb Rc
Ra
I5
J = 1A; R1 = 1; R2 = 1; R3 = 1;
R4 = 4; R5 = 1, R6 = 2.
Na transformação de estrela para triângulo, obtém-se:
R ab 
Transformações estrela-triângulo e vice-versa
5
Análise de Circuitos de Corrente Contínua
R 25 
R2 R5
 0,33  ;
R 2  R3  R 5
R35 
R3 R5
 0,33  .
R 2  R3  R5
R 23 

R5
R2 c
R2 R3
 0,33  ;
R 2  R 3  R5
R1
d
I3
I2
J
R3

R6
R4
I1

I6
I4

b
Analise de Circuitos 2014
6
Transformações estrela-triângulo e vice-versa
Transformações estrela-triângulo e vice-versa
J
2º passo: Depois da transformação pode-se representar o circuito
do seguinte modo:
R 25
R 35
a
3º passo: Com o circuito simplificado


d
pode-se proceder ao cálculo do
R 23
mesmo:
c
R1
I1
I4

I1  J
R 25 p
R 25 p  R1
R6
R4

Rp 
 0 ,65 A ;
I 6  I 25  I 4  0, 23 A ;
Pc arg a  R1 I 12  R2 I 22  R3 I 32  R4 I 42  R5 I 52  R6 I 62  0, 649  0, 65W
PFonte  U ab J  I1 R1 J  0 ,65W
R356  R35  R 6  2,33  ; R 234  R 23  R 4  4,33  ;
I6
b
Fazendo o equilíbrio de potências, obtém-se:
R 356 R 234
 1,51 ; R 25 p  R p  R 25  1,84  ;
R 356  R 234
I 25  J  I 1  0 ,35 A ;
I 4  I 25
U ad  I 25 R 25  I 6 R35  0,19 V ;
R356
 0,12 A ;
R 356  R 234
I5 
U ad
 0,19 A ;
R5
I 2  J  I 1  I 5  0,16 A ; I 3  I 2  I 4  0 ,04 A .
Analise de Circuitos 2014
7
Analise de Circuitos 2014
8
2
Associação de geradores
Associação de geradores de tensao
Neste caso pode-se obter uma fonte equivalente na qual a f.e.m.
está em série com a resistência interna equivalente.
Existem dois tipos principais de associação de geradores: a
associação em série e em paralelo.
A
E eq
Req I
B
Associação em série
Os geradores são ligados de forma que sejam atravessados pela
mesma corrente.
A
E1
E2
R1
E3
R2
R3
I
E eq  E1  E 2  E 3
No caso geral quando temos várias fontes em série, podemos
escrever:
B
E eq 
Analise de Circuitos 2014
Os terminais ou pólos do mesmo nome do gerador encontram-se
conectados entre si. Por isso mesmo deve-se cumprir a condição de
que todos os geradores tenham a mesma f.e.m.. De outro modo os
geradores com menor f.e.m. funcionariam como cargas.
A
I
E2
R2
E3
R3
Req   Ri
i
Analise de Circuitos 2014
10
Associação de geradores
Associação em paralelo
R1
E
9
Associação de geradores
E1
Req  R1  R 2  R3
Tal como no caso da ligação em série, pode-se obter uma fonte
equivalente na qual a f.e.m. está em série com a resistência interna
equivalente.
E eq
A
Req I
B
I  I1  I 2  I 3
I1
E eq  
I2
B
G eq  G1  G 2  G3
Admitindo a corrente total seja nula :
I3
Analise de Circuitos 2014
E1 G1  E 2 G 2  E 3 G3
G1  G 2  G3
Seja :
11
E eq  U BA
G eq   G n
E1  E 2  E 3  E  U BA  E
Analise de Circuitos 2014
12
3
Metodo das leis de Kirchoff
Métodos de cálculo de corcuitos complexos
Metodo das leis de Kirchoff
As leis de Kirchoff são usadas nos problemas de circuitos
eléctricos para
calcular a corrente nos respectivos ramos.
Consideremos que r seja o número total de ramos num circuito, rc o
número de ramos contendo fontes de corrente e N o número de nós.
Supondo conhecidas as correntes nos ramos com fontes de
correntes, então o número de equações de Kirchoff é obtido como se
segue:
Para que as equações sejam independentes, as equações da 1ª lei
de Kirchoff devem ser tantas, quantos são os nós menos uma, ou N
-1. As que traduzem a 2ª lei de Kirchoff devem ser tantas quantos
são os ramos sem fontes de corrente, menos o número de
equações da 1ª lei de Kirchoff:
N eq  ( r  rc )  ( N  1)  r  rc  N  1
R1
R2
E2
A
título
de
exemplo,

consideremos o circuito dado.
E1
Assinala-se no esquema com uma seta, o sentido positivo da
Corrente em cada ramo;
13
Analise de Circuitos 2014
Metodo das leis de Kirchoff
O circuito dado tem 2 nós, identificados
pelas letras a, e b.
Metodo das leis de Kirchoff
R2
a
E2
E1 = 12 V; E2 = 12 V; R1 = 4 ; R2 = 5 ; R3 = 5 ; R4 = 5 
A solução será: I1 = 1,09 A; I2 = 0,44 A; I3 = 1,53 A
E1
R3
R4
Fazendo o equilíbrio de potências:
De acordo com a 1ª lei de Kirchoff
devem ser escrita 1 equação, que
Fica:
I1  I 2  I 3  0

b
PFonte  E1 I 1  E 2 I 2  12 (1, 09  0, 44 )  18 ,36 W
De acordo com a 2ª lei de Kirchoff devem ser escritas 2 equações
das malhas indicadas a tracejado:
R1 I1  R 3 I 3  E1
14
Considerando os seguintes dados:
R1

O número de ramos é 3
e não temos nenhuma
fonte de corrente.
R4

Fixa-se o sentido positivo de circulação em cada malha;
Analise de Circuitos 2014
R3
Pc arg a  R1 I 12  R3 I 32  ( R2  R4 ) I 22  4 x1,09 2  5 x1,53 2  10 x 0 , 44 2  18 ,39W
( R2  R4 ) I 2  R3 I 3  E 2
Analise de Circuitos 2014
15
Analise de Circuitos 2014
16
4
Método de sobreposição
Método de sobreposição
A aplicação do método de sobreposição é para circuitos com
elementos lineares e consiste em obter a influência de cada fonte
presente no circuito de forma isolada, para depois se fazer a
sobreposição das soluções obtidas parcialmente.
Devemos indicar os sentidos das correntes no circuito inicial.
R1
Exemplo: Considerando o circuito dado, calcular todas as
correntes usando o método de sobreposição:
R2
E1
R3
I3
I1
E1 = 2 V; E2 = 4 V; R1 = 4 ;
R2 = 5 ; R3 = 10 .
R1
E1
R2
I2
Considerar o circuito com apenas uma das fontes de tensão de cada
vez e calcular as respectivas correntes.
E2
R3
Analise de Circuitos 2014
E2
17
Método de sobreposição
Analise de Circuitos 2014
18
Método de sobreposição
Correntes da fonte 1:
R1
Finalmente calculamos as correntes totais:
R2
E
I1 
Req
I 2
E1
2
R2
5
 0,27 A ; I 3  I1
 0,27 .  0,09
7,33
R2  R3
15
I 2  I1  I 3  0,18 A
I1 
R3
I3
I1
R .R
50
Req  R1  3 2  4 
 7,33 
R3  R2
15
R1
E1
Correntes da fonte 2:
R1
R2
E
I 2  2
Req
I 2
I1
R3
I 3
E2
I1
R eq
R2
R3
I3
E2
I2
I1  I1  I1  0,09 A
I 2  I 2  I 2  0,33 A
I 3  I 3  I 3  0,24 A
R .R
40
 R2  3 1  5 
 7,86 
R3  R1
14
R1
4
4
 0,51 A ; I 3  I 2
 0,51.  0,15
7,86
R1  R 3
14
I 1  I 2  I 3  0,36 A
I 2 
Analise de Circuitos 2014
19
Analise de Circuitos 2014
20
5
Método das tensões nos nós ou método de
análise nodal
No método de análise nodal escolhe-se como incógnitas as tensões
nos nós e as equações são obtidas por aplicação da lei dos nós. A
aplicação deste método pode ser sistematizada do seguinte modo:
1º passo: Identificar os nós que servem de incógnitas – Liga-se um
dos nós do circuito à terra, este nó passa a ser o nó de referência e
com tensão absoluta nula. Assim o número de nós com potenciais
desconhecidos passa a ser N-1, sendo N o número de nós.
Analise de Circuitos 2014
E1  32 V ;
E 2  32 V
R1  2 
a

R5  5 
E1
R3
I2
I5
c
4º passo: Obter as correntes nos ramos por aplicação da lei de Ohm.
Analise de Circuitos 2014
22
Método das tensões nos nós ou método de
análise nodal
I1  I 3  I 5  0 ;
I 2  I5  I4  0 ;
U ac  I1 R1  E1
U ac   a   c   a
I 3   a G3
I 4   b G4
I 2 R2  U bc  E 2
U bc   b   c   b
I 1  ( E1   a )G1
I 5  ( a   b )G5
I 2  ( E 2   b )G 2
As equações ficam então:
E2
R4
I3

R2

I1
R2  1 
R3  5 
b
3 passo: Estabelecer as N-1-T equações de nó, em função das
tensões absolutas dos nós e resolver este sistema de equações.
c  0 ;
Exemplo: Calcular as correntes do circuito dado usando análise
Nodal.
R5
2º passo: Existindo fontes de tensão ideiais, determinar o número
destas fontes e designar por T;
21
Método das tensões nos nós ou método de
análise nodal
R1
Método das tensões nos nós ou mesmo de
análise nodal
I4
 ( E1   a )G1   a G 3  ( a   b )G5  0

( E 2   b )G 2  ( a   b ) G5   b G 4  0

  a (G1  G 3  G 5 )   b G5  E1G1

   a G 5   b (G 2  G 4  G 5 )  E 2 G 2
R4  2 
Analise de Circuitos 2014
23
G1 
1
R1
 0 ,5 S ; G 4 
G2 
1
R2
 1 S ; G5 
1
R5
G3 
1
R3
 0, 2 S
1
R4
 0 ,5 S
 0, 2 S
 0,9 a  0, 2 b  16

  0, 2 a  1,7 b  32
Analise de Circuitos 2014
24
6
Método das tensões nos nós ou método de
análise nodal
Tal como foi visto na aplicação do método das leis de
Kirchoff, para que as equações sejam independentes, as
equações que traduzem a 2ª lei de Kirchoff devem ser
tantas quantos são os ramos sem fontes de corrente,
menos o número de equações da 1ª lei de Kirchoff:
Resolvendo o sistema de equações, obtemos:
 a  22 ,55 V

 b  21, 48 V
As correntes resultam em:
Método das correntes nas malhas (malhas
independentes)
 I1  4 ,735 A
 I  10 ,52 A
 2
 I 3  4 ,51 A
 I  10 ,74 A
 4
 I 5  0, 214 A
N eq  ( r  rc )  ( N  1)  r  rc  N  1
Fazendo o balanço de potências obtemos:
Sendo r o número de ramos do circuito, rc o número de
ramos com fontes de corrente e N o número de nós.
PF  E1 I1  E 2 I 2  488 ,16 W


2
2
2
2
2
 Pc  R1 I1  R 2 I 2  R3 I 3  R 4 I 4  R 5 I 5  488 ,13 W
Analise de Circuitos 2014
25
Exemplo: Calcular as correntes do circuito dado aplicando o
método de análise de malhas.

R1
R2
R3


J
As malhas identificadas estão
assinaladas no circuito pelas setas a
azul. Assim temos as malhas A e B e
as respectivas equações estão
escritas no sistema abaixo.

R1
R2
R3


J
R4
E1

R4
E1
 I A ( R1  R2  R3 )  I B R3  JR 2  0

  I A R3  I B ( R3  R4 )  JR 4  E1

N eq  6  1  4  1  2
O número de equações de malhas independentes é então
de 2, o que significa que devemos identificar duas malhas
independentes.
Analise de Circuitos 2014
26
Métodos das malhas independentes
Métodos das malhas independentes
E1 = 100 V; J = 6 A; R1 = 2,5 ; R2 =
10 ; R3 = 40 ; R4 = 20 .
O circuito tem 6 ramos, 4 nós e um
ramo com fonte de corrente, isto é, r =
6, N = 4 e rc=1. Assim:
Analise de Circuitos 2014
27
 52 ,5 I A  40 I B  60

  40 I A  60 I B  220
IA  8 A

I B  9 A
 5, 25 I A  4 I B  6

  4 I A  6 I B  22
Analise de Circuitos 2014
28
7
Métodos das malhas independentes
 I1  I A  8 A
 I  I 9A
B

 I 2  I A J  2 A

I3  IB  I A  1 A
 I 4  I B  J  3 A
Teorema de Thevenin
a

R1
I1
R3
R2

Qualquer circuito eléctrico em relação a dois terminais,
pode ser substituído por uma fonte de tensão real.
I2

I3
R
E1 4
I
J
I4
Caixa-preta

b
RTh
U ab  I 2 R 2  I 4 R 4  80 V ; U ba  U ab   80 V
a
R C arg a
E Th
 PC arg a  R1 I 12  R2 I 22  R3 I 32  R 4 I 42  420 W

PFonte  U ba J  EI  420 W

Analise de Circuitos 2014
b
29
Analise de Circuitos 2014
Teorema de Thevenin
30
Teorema de Thevenin
Considerando o circuito dado, determinar a corrente I usando o
método de Thevenin.
Procedimento para obter o circuito equivalente de Thevenin:
R1
1. Dividir o circuito nas partes da fonte e da carga, conectadas a
um par de terminais;
2. Considerar o circuito da fonte isolado do circuito da carga e
determinar a sua tensão de circuito aberto Uth;
3. Considerar o circuito da fonte isolado do circuito da carga e
curto-circuitando as fontes de tensão e abrindo as fontes de
corrente, determinar a resistência de Thevenin Rth;
4. Considerar o circuito de Thevenin conectado ao circuito da
carga e determinar as variáveis de interesse.
E1 = 24 V; E2 = 6 V; R1 = 8 ; R2
= 5 ; R3 = 4 ; R = 10 .
31
R3
E2
I
R
E th  U ab , mv
a
R1
E1
R2
R3
U ab , mv  I 3 mv R3   E 2
E2
U ab , mv
I 3 mv
b
Analise de Circuitos 2014
E1
R2
I 3 mv 
E1
24

2A
R1  R3 12
Analise de Circuitos 2014
32
8
Teorema de Thevenin
U ab , mv  I 3 mv R3  E 2  2 * 4  6  2 V ;
Teorema de Norton
E th  2 V
Qualquer circuito eléctrico em relação a dois terminais,
pode ser substituído por uma fonte de corrente real.
a
R1
R2
R th  Rab  R 2 
R3
R1 R3
8*4
 5
 7 ,67 
R1  R3
12
Caixa-preta
a
b
a
JN
R th
E th
I
R
RN
R C arg a
E th
2
I 

 0 ,113 A
R th  R 7 ,67  10
b
b
Analise de Circuitos 2014
33
34
Teorema de Norton
Teorema de Norton
Considerando o circuito dado, determinar a corrente e a tensão
na resistência R3 usando o método de Norton.
Procedimento para obter o circuito equivalente de Norton
1. Dividir o circuito nas partes da fonte e da carga, conectadas a
um par de terminais;
2. Considerar o circuito da fonte isolado do circuito da carga e
determinar a sua corrente de curto-circuito;
3. Considerar o circuito da fonte isolado do circuito da carga e
curto-circuitando as fontes de tensão e abrindo as fontes de
corrente, determinar a resistência de Norton RN;
4. Considerar o circuito de Norton conectado ao circuito da carga
e determinar as variáveis de interesse.
Analise de Circuitos 2014
Analise de Circuitos 2014
35
E1 = 2 V; E2 = 4 V; R1
= 4 ; R2 = 5 ; R3 =
10 .
R1
E1
Analise de Circuitos 2014
R2
E2
R3
36
9
Teorema de Norton
Teorema de Norton
a
J N  I 1cc  I 2 cc 
a
R1
E1 E 2

 1,3 A
R1 R 2
R2
E1
E2
I3
I cc  J N
I 2 cc
I 1cc
I3  J N
RN
 0 , 236 A
R N  R3
JN
R3
RN
b
b
U ab  I 3 R3  2,36 V
R N  Rab 
R1 R2
 2, 22 
R1  R2
R1
a
R2
b
Analise de Circuitos 2014
37
Analise de Circuitos 2014
Máxima transferência de potência
Máxima transferência de potência
Uma rede pode ser considerada como contendo dois elementos, a
fonte e a carga. A fonte pode ser substituída por um circuito
equivalente de Thevenin ou um circuito de Norton. Assim para uma
rede puramente resistiva, a representação da fonte equivalente de
Thevenin e considerando uma carga RL, será:
A potência na carga é dada por:
P  I L2 R L ;
IL 
RTh
a
IL
b
Analise de Circuitos 2014
39
Atendendo que a corrente na carga é:
E th
; Pode-se escrever a expressão da potência
Rth  R L
como se segue:
 E th
P  
 Rth  R L
RL
E Th
38
2

 R L Derivando esta expressão em ordem a RL,
pode-se determinar as condições de

potência máxima na carga.
Analise de Circuitos 2014
40
10
Máxima transferência de potência
dP
d

dR L dR L
 E th

 Rth  R L
2

Rth  R L
 R L  E th2
 Rth  R L 3

De onde se obtém, que para a potência
máxima na carga:
dP
0
dR L
R L  R th ;
A potência máxima na carga será então dada por:
Pmax 
Eth2
4 Rth
Analise de Circuitos 2014
41
11