intervalos reais - Professor Joaquim

Matemática
Prof.: Joaquim Rodrigues
1
INTERVALOS REAIS
Alguns subconjuntos de IR podem ser
representados de uma maneira bastante
simplificada. São os chamados intervalos
reais.
1. Intervalo aberto nas duas extremidades.
b
a
Que será ] a , b [ ou ainda ( a , b ) ou através de conjuntos { x ∈ IR / a < x < b } .
6. Intervalo aberto em a.
a
Que será ] a , + ∞ [ ou ainda ( a , + ∞ ) ou
através de conjuntos { x ∈ IR / x > a }
7. Intervalo fechado em b.
b
2. Intervalo fechado nas duas extremidades.
b
a
Que será [ a , b ] ou através de conjuntos
{ x ∈ IR / a ≤ x ≤ b }
Que será ] − ∞ , b ] ou ainda ( − ∞ , b ] ou
através de conjuntos { x ∈ IR / x ≤ b }
8. Intervalo aberto em b.
b
3. Intervalo fechado em a e aberto em b.
a
b
Que será [ a , b [ ou ainda [ a , b ) ou através de conjuntos { x ∈ IR / a ≤ x < b }
4. Intervalo aberto em a e fechado em b.
a
b
Que será ] a , b ] ou ainda ( a , b ] ou através de conjuntos { x ∈ IR / a < x ≤ b }
5. Intervalo fechado em a.
a
Que será [ a , + ∞ [ ou ainda [ a , + ∞ ) ou
através de conjuntos { x ∈ IR / x ≥ a }
Que será ] − ∞ , b [ ou ainda ( − ∞ , b ) ou
através de conjuntos { x ∈ IR / x < b }
QUESTÕES
Questão 01
Sendo A = [ 0 , 3 ] e B = [1, 5 ) , determine:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A − B
d) B − A
Questão 02 (UFV)
Sejam os conjuntos A = { x ∈ IR / 1 < x < 5 } e
B = { x ∈ IR / 2 ≤ x ≤ 6 }. Então A ∩ B é:
a) { 2 , 3 , 4 }
b) { x ∈ IR / 2 ≤ x ≤ 5 }
c) { x ∈ IR / 2 < x < 5 }
d) { x ∈ IR / 2 < x ≤ 5 }
e) { x ∈ IR / 2 ≤ x < 5 }
Matemática
Prof.: Joaquim Rodrigues
Questão 03 (FGV – SP)
Sejam os intervalos A = ] − ∞ , 1 ], B = ] 0 , 2 ]
e [ − 1, 1 ] . O intervalo C ∪ (A ∩ B) é:
a) ] − 1, 1 ]
b) [ − 1, 1 ]
c) [ 0 , 1 ]
d) ] 0 , 1 ]
Questão 04 (PUC – MG)
Sendo IR o conjunto dos números reais e
sendo os conjuntos A = { x ∈ IR / − 5 < x ≤ 4 } e
B = { x ∈ IR / − 3 < x < 7 } , o conjunto A − B é:
a) { x ∈ IR / − 5 < x ≤ −3 }
b) { x ∈ IR / − 3 ≤ x ≤ 4 }
c) { x ∈ IR / − 5 < x < −3 }
d) { x ∈ IR / 4 < x ≤ 7 }
Questão 05 (Mack – SP)
Sejam os conjuntos A = { x ∈ IR / 0 ≤ x ≤ 3 } ,
B = { x ∈ IR / x ≤ 3 } e C = { x ∈ IR / − 2 ≤ x ≤ 3 }
O conjunto (B − A) ∩ C é igual a:
a) ∅
b) { x ∈ IR / x < 0 }
c) { x ∈ IR / x > −2 }
d) { x ∈ IR / − 2 ≤ x < 0 }
e) { x ∈ IR / − 2 < x ≤ 3 }
Questão 06 (PUC – RS)
M = ( − ∞ , 3 ) , N = [ − 1, + ∞ ) e P = − 2 , 10
são intervalos. Então P − (M ∩ N) é igual a:
a) [ − 2 , 1 )
b) [ − 2 , 3 )
[
c)
d)
e)
[ − 2,
)
)
10
( − ∞, − 1] ∪ ( 3, + ∞ )
[ − 2, − 1 ) ∪ [3 ,
10
)
Questão 07 (FASA / 2003)
Dados A = ] − 2 , 4 ] , B = [ 1, 4 ] e C = ] 0 , 2 ] , é
correto afirmar que C AB ∪ C é:
a)
b)
c)
d)
] − 2, 2 ]
[ − 2, 2 ]
] − 2, 0 [ ∪ ] 0 , 2 ]
] − 2, 4 ]
2
Questão 08 (Fatec – SP)
Sejam os conjuntos A = { x ∈ IR / 0 < x < 2 } e
B = { x ∈ IR / − 3 ≤ x ≤ 1}. Nessas condições
( A ∪ B) − ( A ∩ B) é:
a) [ − 3 , 0 ] ∪ ]1, 2 [
b) [ − 3 , 0 [ ∪ [ 1, 2 [
c) ] − ∞ , − 3 [ ∪ [ 2 , + ∞ [
d) ] 0 , 1 ]
e) [ − 3 , 2 [
Questão 09 (UFMG)
Considere os conjuntos:
5
2


A =  x ∈ IR / x >  , B =  x ∈ IR / x <  e
8
3


5
3

C =  x ∈ IR / ≤ x ≤  . Podemos afirmar
8
4

que (A ∪ C) ∩ B é igual a:
3

a)  x ∈ IR / x ≤ 
4

5
2

b)  x ∈ IR / ≤ x < 
8
3

5

c)  x ∈ IR / x ≥ 
8

5
3

d)  x ∈ IR / ≤ x < 
8
4

Questão 10 (UEBA)
Sejam os conjuntos A = { x ∈ IR / − 1 < x < 2 }
e B = { x ∈ IR / 0 ≤ x < 3 }.. A ∩ B é igual a:
a) [ 0 , 2 [
b) ] 0 , 2 [
c) [ − 1, 3 ]
d) [ − 1, 3 [
e) ] − 1, 3 ]
Questão 11 (PUC – MG)
Sejam os conjuntos A = { x ∈ IR / − 4 ≤ x ≤ 3 }
e B = { x ∈ IR / − 2 ≤ x < 5 } . A − B é igual a:
a) { x ∈ IR / − 4 ≤ x < −2 }
b) { x ∈ IR / − 4 ≤ x ≤ −2 }
c) { x ∈ IR / 3 < x < 5 }
d) { x ∈ IR / 3 ≤ x ≤ 5 }
e) { x ∈ IR / − 2 ≤ x < 5 }
Matemática
Questão 12 (FAFEOD / 1999)
Sendo Z o conjunto dos números inteiros,
considere os conjuntos A e B tais que:
• A ∪ B = Z ∩ [ − 3, 4 ]
• A ∩ B = Z ∩ [ 1, 3 ]
A soma dos números que constituem o conjunto dado por (A − B) ∪ (B − A) é igual a:
a) −4
b) −2
c) 4
d) 0
Questão 13 (PUC – MG / 1998)
Considere os conjuntos:
A = { x ∈ IR / x < 0 ou x > 4 }
B = { x ∈ IN / 0 < x < 12 }
O número de elementos de A ∩ B é:
a) 7
b) 8
c) 9
d) 11
e) 13
Questão 14 (UFSC – Aberta)
Considere os conjuntos:
A = { x ∈ Z / 1 < x ≤ 17 },
B = { x ∈ IN / x é ímpar } e
C = { x ∈ IR / 9 ≤ x ≤ 18 } .
Calcule a soma dos elementos de
(A ∩ B) − C.
Questão 15 (Fuvest – SP)
O número x não pertence ao intervalo aberto
de extremos −1 e 2. Sabe-se que x < 0 ou
x > 3. Pode-se concluir que:
a) x ≤ −1 ou x > 3
b) x ≥ 2 ou x < 0
c) x ≥ 2 ou x ≤ −1
d) x > 3
e) n.d.a
Questão 16 (PAES – UNIMONTES / 2004)
Dados os conjuntos:
A = { x ∈ IN / x = 3n , n ∈ IN } e
18


B =  x ∈ IN − {0} /
= n , n ∈ IN 
x


Tem-se que A ∩ B é igual ao conjunto:
a) [ 3 , 18 ]
b) vazio
c) { x ∈ IN / 3 ≤ x ≤ 18 }
d) {3, 6, 9, 18}
Prof.: Joaquim Rodrigues
3
Questão 17 (FATEC – SP)
Sejam os conjuntos A = { x ∈ IR / 0 < x < 2 } e
B = { x ∈ IR / − 3 ≤ x ≤ 1}. Nestas condições, o
conjunto (A ∪ B) − (A ∩ B) é:
a) [ − 3 , 0 ] ∪ ]1, 2 [ (X)
b) [ − 3 , 0 [ ∪ [ 1, 2 [
c) ] − ∞ , − 3 [ ∪ [ 2 , + ∞ [
d) ] 0 , 1 ]
Questão 18 (Osec – SP)
Sejam A e B os seguintes subconjuntos:
A = { x ∈ IR / 2 ≤ x ≤ 5 } e B = { x ∈ IR / x > 4 } .
Então, podemos afirmar que:
a) A − B ⊂ B
b) A − B ⊂ A
c) B − A ⊂ A
d) A − B = { x ∈ IR / 2 < x < 4 }
e) B − A = { x ∈ IR / x ≥ 5 }
Questão 19 (PUC – RS)
Sejam a, b e c números reais, com a < b < c.
O conjunto ] a , c [ − ] b , c [ é igual a:
a) { x ∈ IR / a < x < b }
b) { x ∈ IR / a < x ≤ b }
c) { x ∈ IR / a < x ≤ c }
d) { x ∈ IR / b ≤ x < c }
e) { x ∈ IR / b < x ≤ c }
Questão 20 (UFMG)
O conjunto X é constituído dos elementos 0
e 2 e o conjunto Y é o intervalo fechado
[1, 2 ] = { y ∈ IR / 1 ≤ y ≤ 2 }. O conjunto X + Y,
definido por X + Y = {( x + y ) / x ∈ X e y ∈ Y } ,
é igual a:
a) [ 1, 2 ]
b) [ 1, 2 ] ∪ {0}
c) [ 1, 4 ]
d) [ 1, 2 ] ∪ [ 3 , 4 ]
Matemática
Prof.: Joaquim Rodrigues
4
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Traçando dois eixos, OX ao qual
chamaremos eixo das abscissas e OY que
chamaremos eixo das ordenadas, de forma
que ambos se interceptem perpendicularmente em O, o plano sobre o qual construímos esses eixos fica dividido em quatro
quadrantes:
y
2º quadrante
(−, +)
1º quadrante
(+, +)
O
3º quadrante
(−, −)
x
4º quadrante
(+, −)
Todos os pontos do plano poderão
ser identificados por dois valores ordenados
que chamaremos de par ordenado e representaremos por (x, y). Assim, para todo ponto do plano temos um par ordenado, e para
todo par ordenado temos um ponto correspondente no plano. Em outras palavras, par
ordenado é o conjunto de dois elementos
considerados numa certa ordem.
A igualdade entre dois pares ordenados será definida por (a, b) = (c, d), se, e
somente se, a = c e b = d. Observe que de
acordo com essa definição, temos por
exemplo que (−2, 3) ≠ (3, −2).
EXERCÍCIOS
Questão 01
Determinar o quadrante ao qual pertence
cada um dos pontos:
a) A(−3, 1)
b) B(2, −5)
c) C(2, 2)
d) D(−4, −5)
e) E(5, −2)
f) F(−6, −1)
g) G(−2, 5)
h) H(2, 5)
i) I (−3, −3)
j) J(2, 4)
Questão 02
a) A ( 2 − 1, 4 − π)
b) B ( 3 − 2 ,
c) C (2 − π ,
5 − 2)
2 − 2)
d) D ( 3 − 1, 3 − π)
Questão 03
Marque V (verdadeiro) ou F (falso):
a) (2, 5) = {2, 5}
b) {2, 3} = {3, 2}
c) (0, 1) = (1, 0)
d) (−1, 4) ∈ 3º quadrante
e) (2, 0) ∈ ao eixo y
f) (−3, −2) ∈ 4º quadrante
Questão 04
Determine x e y para que os pares ordenados sejam iguais:
a) (x, 3) = (−2, y)
b) (x + 1, 3) = (2, y − 1)
c) (3, 5x − 3y) = (2x + y, 2)
Questão 05
Considere o ponto P(5x − 8, x + 2). Para que
valores reais de x o ponto P pertence ao 2º
quadrante?
Questão 06
Considere o ponto P( x 2 − 9 , 5) . Para que
valores reais de x, o ponto P pertence ao eixo das ordenadas?
Questão 07
Determine os valores reais de x para que o
ponto P(3 , x 2 − 5 x + 4) pertença ao eixo das
abscissas?
Questão 08
Determine os números reais a e b de modo
que (3a − 2b , a + b) = (10 , 11) .
Questão 09
Seja (5a − 1, 2a + 1) = (2b + 4 , a − 2b + 7) . A
que quadrante pertence o ponto P(a, b)?