1. - Liceu Albert Sabin

MATEMÁTICA
Revisão I – Aula 1
• Professor
Marcelo Gonzalez Badin
PA
(a, b, c) ⇒ 2b = a + c
PG
(a, b, c) ⇒ b2 = a.c
(a – r , a, a + r)
( a , a, a.q)
q
an = a1 + (n – 1).r
an = a1.qn – 1
(a1, a2, a3, a4, a5, a6)
(a1, a2, a3, a4, a5, a6)
a1 + a6 = a2 + a5 = a3 + a4
a1.a6 = a2.a5 = a3.a4
(a1 + an ) ⋅ n
Sn =
2
Para q ≠ 1,
a1 (q n − 1)
Sn =
q −1
Se n→∞ e –1 < q < 1
a1
S∞ =
1− q
Logaritmos
C.E.: a > 0
a≠1
b>0
logab = x
ax
=b
loga1 = 0
logaac = c
a
log a b
=b
logab = x ⇔ ax = b
logab = x
base
e ≈ 2, 718
logaritmo de b na base a
• log x = log10 x (logaritmo decimal)
logaritmando • ln x = loge x (logaritmo natural ou neperiano)
Propriedades:
I. loga(b.c) = logab + logac
b
II.log a   = logab – logac
c
III. logabα = αlogab
log c b
IV.logab =
log c a
Cuidado !!!
Não há propriedades para
somas no logaritmando
loga(b + c) NÃO É logab + logac
loga(b – c) NÃO É logab – logac
loga(b + c) NÃO É logab.logac
A notação f (x)
f (x)= 2x – 1
f (5) = ?
2.5 – 1
5
Entrada
Transformação
9
Saída
x=5 ⇔
f (5)= 9 ⇔
(5, 9) ⇔ a imagem de 5 é 9
y=9
f
5
9
Quando não estiverem explícitos o domínio e o contradomínio de uma função,
admitiremos que o contradomínio é IR e o domínio é IR, excluídos os valores
de x para os quais o cálculo da função não é possível.
CD = IR
D = o maior possível em IR
Função do 1º grau (Função Afim)
f (x) = ax + b (a ≠ 0)
y = mx + n
ax + by + c = 0
O gráfico é uma reta.
II ) a < 0 (reta decrescente)
I ) a > 0 (reta crescente)
x
x
raiz de f (x)
raiz de f (x)
Função do 2º grau
f (x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0
a > 0 (“boca” para cima)
x
raízes
x
x
raiz dupla
∆>0
∆<0
∆=0
a < 0 (“boca” para baixo)
raízes
raiz dupla
x
∆>0
x
x
∆=0
∆<0
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
y
Vértice
x1 + x2
xv =
2
c
yv = f ( xv )
f (xv) = yv
x1
xv
xv = −
∆
yv = −
4a
Se a > 0
O vértice é ponto de MÍNIMO
x2 x
vértice
xv = x para o qual y é mín.
yv = valor mínimo de y
y
f (xv) = yv
vértice
Se a < 0
O vértice é ponto de MÁXIMO
xv = x para o qual y é máx.
yv = valor máximo de y
x1
c
xv
x2
x
b
2a
Se um evento A pode ocorrer de m maneiras distintas e se, para
cada uma dessas m maneiras, um outro evento B pode ocorrer
de n modos diferentes, então o número de maneiras de ocorrer
o evento A seguido do evento B é igual a m.n
n!
An,p =
Ordem importa
Pn = n!
Pn(α,β,γ) =
(n − p)!
Escolha ordenada
n!
α!β!γ!
Regra do produto usando fatoriais
ARRANJO
Regra do Produto
Ordem não importa
Escolha não ordenada
C n,p
COMBINAÇÃO
Regra do Produto e divide o resultado
pelo fatorial do número de “casinhas”
n!
n
=
= 
p!(n − p)!  p 
n(A)
P(A) =
n(S)
P = Número de casos favoráveis
Número de casos possíveis
Complementares P(A) + P(A) = 1
União (ou)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Se A e B são mutuamente exclusivos,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A ∩ B)
⇒
P(A ∩ B) = P(A).P(B/A)
P(A)
Se A e B são independentes, P(B/A) = P(B)
A e B independentes ⇒ P(A ∩ B) = P(A).P(B)
P(B/A) =
Apostila de Revisão – Página 521
Sendo a, b, q e r naturais, temos:
a
b
r<b
r
q
a = bq + r
Quando r = 0, dizemos que b divide a (b é divisor de a)
a é múltiplo de b
Sistema de numeração decimal (base 10)
Nosso sistema de numeração é chamado decimal. Podemos
escrever todos os números utilizando os 10 algarismos (dígitos):
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
2583 = 2.1000 + 5.100 + 8.10 + 3 abcd = 1000a + 100b +10c + d
xy = 10x + y
xyz = 100x + 10y + z
abcd = 10abc + d
abcd = 100ab + cd
abcd = 1000a + bcd
xy x vezes y
Considere o número de 2 algarismos xy
Notação: xy
1.
N a+b
8
6
P a−b
2 15
Nas divisões acima, N = ab e P = ba são números naturais formados pelos algarismos a e b.
O valor de N – P é:
a) 25
P a − b ⇒ P = 15(a – b) + 2
N
a
+
b
⇒
N
=
6(a
+
b)
+
8
b) 27
2 15
8
6
c) 31
10b + a = 15a – 15b + 2
10a
+
b
=
6a
+
6b
+
8
d) 43
25b – 14a = 2
e) 45
4a – 5b = 8 (x 5)
20a – 25b = 40
25b – 14a = 2
6a = 42
a=7
4.7 – 5b = 8
Portanto, N = 74 e P = 47
– 5b = – 20
b=4
Assim, N – P = 27
2.(Fuvest-2005) O menor número inteiro positivo que devemos adicionar a 987 para que a
soma seja o quadrado de um número inteiro positivo é
a) 37
312 = 961
b) 36
Sejam x e a inteiros positivos
c) 35
322 = 1024
2
Devemos ter 987 + x = a
d) 34
e) 33
987 + x = 1024
x = 37
3.(UFSCar-2009) No dia do aniversário dos seus dois filhos gêmeos, Jairo e Lúcia foram
almoçar em um restaurante com as crianças e o terceiro filho caçula do casal, nascido há
mais de 12 meses. O restaurante cobrou R$ 49,50 pelo casal, e R$ 4,55 por cada ano
completo de idade das três crianças. Se o total da conta foi de R$ 95,00, a idade do filho
caçula do casal, em anos, é igual a
A) 5.
Seja x a idade, em anos completos, de cada um dos filhos gêmeos e
B) 4.
seja y a idade, em anos completos, do filho caçula.
C) 3.
É claro que x e y são números inteiros positivos, com x > y
D) 2.
E) 1.
Do texto, montamos a equação:
49,50 + 4,55 .(2x + y) = 95,00
4,55.(2x + y) = 45,50
2x + y = 10
Sendo assim, a idade do caçula é 2 anos
Evidentemente y é par
y x
2
4
4
3 (não convém, pois x > y)
4.(Fuvest) Na figura estão representados geometricamente os números reais 0, x, y e 1.
x = 0,2 y = 0,7
Qual a posição do número xy?
xy = 0,2.0,7 = 0,14
a) À esquerda de 0
b) Entre O e x
0 < y < 1 (multiplica por x)
c) Entre x e y
d) Entre y e 1
0 < xy < x
e) À direita de 1
5.(Unifesp-2009) Dia 20 de julho de 2008 caiu num domingo. Três mil dias após essa data,
cairá
A) numa quinta-feira.
3000 7
B) numa sexta-feira.
4
428
C) num sábado.
D) num domingo.
E) numa segunda-feira.
domingo + 4 = quinta
Juros compostos
Variação
Fator
aumento de 25%
aumento de 3%
aumento de 140%
1,25
1,03
2,4
0,65
0,92
redução de 35%
redução de 8%
3 aumentos de 10% (1,1)3
2 reduções de 20%
(0,8)2
Aumento de 20%, seguido de redução de 30%
e novo aumento de 10%
F = 1,2 .0,7.1,1 = 0,924
F < 1⇒ redução = 1 – 0,924 = 0,076 = 7,6%
Aumento de 40%, seguido de redução de 10%
e novo aumento de 5%
F = 1,4 .0,9.1,05 =1,323
F > 1⇒ aumento = 1,323 – 1= 0,323 = 32,3%
2 aumentos consecutivos de 30%
F = 1,3 .1,3 =(1,3)2 = 1,69
F > 1⇒ aumento = 1,69 – 1= 0,69 = 69%
6. (Unicamp-2011) Um determinado cidadão recebe um salário bruto de R$ 2.500,00 por
mês, e gasta cerca de R$ 1.800,00 por mês com escola, supermercado, plano de saúde, etc.
Uma pesquisa recente mostrou que uma pessoa com esse perfil tem seu salário bruto
tributado em 13,3% e paga 31,5% de tributos sobre o valor dos produtos e serviços que
consome. Nesse caso, o percentual total do salário mensal gasto com tributos é de cerca de
a) 40 %.
Impostos:
b) 36 %.
13,3% de 2500 = 0,133.2500 = 332,50
c) 41 %.
+
31,5% de 1800 = 0,315.1800 = 567
d) 45 %.
899,50
899,50
899,50 em 2500 =
= 0,3558
2500
7.(Fuvest) Sobre o preço de um carro importado incide um imposto de importação de 30%.
Em função disso, o seu preço para o importador é de R$ 19.500,00. Supondo que tal
imposto passe de 30% para 60%, qual será, em reais, o novo preço do carro, para o
importador?
x = preço do carro sem imposto
a) R$ 22.500,00
1,3x = 19500
b) R$ 24.000,00
c) R$ 25.350,00
x = 15000
d) R$ 31.200,00
\1,6x = 24000
e) R$ 39.000,00
8. (Fuvest) Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço de venda de uma
mercadoria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela
mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro seria:
a) 40%
V = preço de venda
b) 45%
C = preço de custo
c) 50%
d) 55%
0,8V = 1,2C
e) 60%
F > 1⇒ aumento = 1,5 – 1= 0,5 = 50%
1,2
C
V=
0,8
V = 1,5C
9.(Fuvest-2011) Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. Caso se queira
adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda sem juros, o valor de cada parcela
deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 125,00, respectivamente. Com base nessas
informações, conclui-se que o valor de n é igual a
Dívida = nx
a) 13 n = número original de parcelas
b) 14
x = valor de cada parcela (R$)
c) 15
d) 16 nx = (n – 3).(x + 60) ⇒ nx = nx + 60n – 3x – 180 ⇒ 3x = 60n – 180 (/ 3)
e) 17
nx = (n – 5).(x + 125) ⇒ nx = nx + 125n – 5x – 625 ⇒ 5x = 125n – 625 (/ 5)
x = 20n – 60
x = 25n – 125
25n – 125 = 20n – 60
5n = 65
n = 13
10. (Fuvest) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao
número de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de
irmãs. Qual é o total de filhos e filhas do casal?
a) 3
x = número de meninos ♂
x–1=y ⇒x=y+1
b) 4
y = número de meninas ♀
x = 2(y – 1)
c) 5
x – 1 irmãos
d) 6
y + 1 = 2y – 2
Cada menino tem
e) 7
y irmãs
y=3 ⇒ x=4
x irmãos
\x +y=7
Cada menina tem
y – 1 irmãs
11.(Unifesp-2004) Imagine uma fila de 50 portas fechadas e outra de 50 estudantes, portas e
estudantes numerados conforme a posição em sua fila. Do primeiro ao qüinquagésimo e em
ordem crescente, o estudante que ocupa a n-ésima posição na fila deverá fechar ou abrir as
portas de números n, 2n, 3n, ... (ou seja, múltiplos de n) conforme estejam abertas ou
fechadas, respectivamente, não tocando nas demais. Assim, como todas as portas estão
inicialmente fechadas, o primeiro estudante tocará em todas, abrindo-as. O segundo
estudante tocará apenas nas portas de números 2, 4, 6, ..., fechando-as, pois vai encontrálas abertas. O terceiro estudante tocará apenas nas portas de números 3 (fechando-a), 6
(abrindo-a), 9 (fechando-a) e assim por diante. Se A significa “aberta” e F “fechada”, após
o qüinquagésimo estudante ter realizado sua tarefa, as portas de números 4, 17 e 39
ficarão, respectivamente,
a) F, A e A A porta k (1≤ k ≤ 50) será tocada pelos estudantes cuja posição seja dada por
b) F, A e F um divisor positivo de k. Assim, temos:
c) F, F e A
• A porta 4 será tocada pelos estudantes das posições 1, 2 e 4, e portanto
d) A, F e A
ficará aberta (A)
e) A, F e F
• A porta 17 será tocada pelos estudantes das posições 1, e 17, e portanto
ficará fechada (F)
• A porta 39 será tocada pelos estudantes das posições 1, 3, 13 e 39, e portanto
ficará fechada (F)
Observe que somente as portas cujos números são quadrados perfeitos ficarão abertas!
Justificativa: quadrados perfeitos possuem um número ímpar de divisores
12.(Fuvest) Um senhor feudal construiu um fosso, circundado por muros, em volta de seu
castelo, conforme a planta abaixo, com uma ponte para atravessá-lo. Em um certo dia,
ele deu uma volta completa no muro externo, atravessou a ponte e deu uma volta
completa no muro interno. Esse trajeto foi completado em 5320 passos. No dia
seguinte, ele deu duas voltas completas no muro externo, atravessou a ponte e deu uma
volta completa no muro interno, completando esse novo trajeto em 8120 passos. Pode-se
concluir que a largura L do fosso, em passos, é:
a) 36
L
L
m = perímetro do muro interno (em passos)
b) 40 L
L
M = perímetro do muro externo (em passos)
c) 44
M = m + 8L
d) 48
e) 50
Temos:
L
L
M + L + m = 5320 ⇒ 2m + 9L = 5320 (x –3)
L
L
2M + L + m = 8120 ⇒ 3m + 17L = 8120 (x 2)
– 6m – 27L = – 15960
6m + 34L = 16240
7L = 280
L = 40
13. (UERJ-2010) Um conjunto de 100 copos descartáveis, dispostos em um suporte, serão
usados em uma festa.
Considere, agora, as seguintes informações:
– sempre se tenta retirar apenas 1 copo de cada vez desse suporte;
– quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 2 saem juntos, 1 deles é desperdiçado;
– quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 3 saem juntos, 2 deles são desperdiçados;
– quando se tenta retirar 1 copo, nunca saem 4 ou mais de 4 juntos;
– foram retirados todos os copos desse suporte, havendo desperdício de 35% deles.
– a razão entre o número de vezes em que foram retirados exatamente 2 copos juntos e o
número de vezes em que foram retirados exatamente 3 juntos foi de 3/2 .
O número de vezes em que apenas 1 copo foi retirado do suporte é igual a:
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
13. (UERJ-2010)
x = nº de vezes em que foi retirado exatamente 1 copo
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
y = nº de vezes em que foram retirados exatamente 2 copos
z = nº de vezes em que foram retirados exatamente 3 copos
100 copos descartáveis
1,5z + 2z = 35
x + 2y + 3z = 100
3,5z = 35
desperdício de 35% deles
z = 10 ⇒ y = 15
y + 2z = 35
x + 2.15 + 3.10 = 100
a razão entre o número de vezes em que
foram retirados exatamente 2 copos juntos e
x = 40
o número de vezes em que foram retirados
exatamente 3 juntos foi de 3/2
y/z = 3/2 ⇒ y = 1,5z
14. (UFRN) A matriz a seguir é 7 x 7 e foi formada com o número 1 em cada posição da
primeira linha, um 0 e um 2, alternadamente, nas posições da segunda linha, dois 0 e
um 3, também alternadamente, nas posições da terceira linha, e assim sucessivamente.
1

0
0

0
0

0
0

1 1 1 1 1 1

2 0 2 0 2 0
0 3 0 0 3 0

0 0 4 0 0 0
0 0 0 5 0 0

0 0 0 0 6 0
0 0 0 0 0 7 
Os elementos diferentes de zero na coluna n são
os divisores naturais de n
Assim, na centésima coluna, os elementos diferentes de zero
são os divisores naturais de 100
100 = 22.52
Nº de div. nat. = (2 + 1).(2 + 1) = 3.3 = 9
Numa matriz 100 x 100, construída com o mesmo critério, a quantidade de
números diferentes de zero na centésima coluna é:
1
a) 8
100 2 2
b) 9
50 2 4
c) 10
25 5 5, 10, 20
d) 11
5 5 25, 50, 100
1
15.(Fuvest-2007) Alguns problemas de saúde, como bócio endêmico e retardo mental,
são causados pela ingestão de quantidades insuficientes de iodo. Uma maneira simples de
suprir o organismo desse elemento químico é consumir o sal de cozinha que contenha de
20 a 60mg de iodo por quilograma do produto. No entanto, em algumas regiões do País,
o problema persiste, pois o sal utilizado ou não foi produzido para consumo humano, ou
não apresenta a quantidade mínima de iodo recomendada. A fonte de iodo utilizada na
indústria do sal é o iodato de potássio, KIO3 , cujo custo é de R$ 20,00/kg. Considerando
que o iodo representa aproximadamente 60% da massa de KIO3 e que 1kg do sal de
cozinha é comercializado ao preço médio de R$1,00, a presença da quantidade máxima
de iodo permitida por lei (60 miligramas de iodo por quilograma de sal) representa, no
preço, a porcentagem de
a) 0,10% Se 1kg de KIO3 custa R$ 20,00 e, dessa massa, 60% correspondem a iodo,
b) 0,20% então 600g de iodo custam R$ 20,00.
c) 1,20%
Assim, o custo de 60g de iodo é R$ 2,00 e o custo de 60mg é R$ 0,002
d) 2,0%
Como 1kg de sal é vendido por R$ 1,00, o iodo representa, no máximo,
e) 12%
0,002 = 0,002 = 0,2%
1,00
16.(Unicamp-2011) Quarenta pessoas em excursão pernoitam em um hotel. Somados, os
homens despendem R$ 2.400,00. O grupo de mulheres gasta a mesma quantia, embora
cada uma tenha pago R$ 64,00 a menos que cada homem. Denotando por x o número de
homens do grupo, uma expressão que modela esse problema e permite encontrar
tal valor é
Sejam:
a) 2400x = (2400 − 64x)(40 − x).
x = nº de homens
b) 2400x = (2400 + 64x)(40 − x).
y = gasto de cada homem
c) 2400(40 − x) = (2400 – 64x)x.
2400
(I)
⇒
y
=
x.y
=
2400
d) 2400(40 − x) = (2400 + 64x)x.
x
Do texto:
40 – x = nº de mulheres
y – 64 = gasto de cada mulher
(40 – x).(y – 64) = 2400 ( II )
Substituindo ( I ) em ( II ):
 2400

(40 − x) ⋅ 
− 64  = 2400
 x

 2400 − 64x 
(40 − x) ⋅ 
 = 2400 (multiplica por x)
x


(40 – x)(2400 – 64x) = 2400x
17. (Vunesp 2008)
Um grupo de x estudantes se juntou para comprar um computador portátil (notebook) que
custa R$ 3.250,00. Alguns dias depois, mais três pessoas se juntaram ao grupo, formando
um novo grupo com x + 3 pessoas. Ao fazer a divisão do valor do computador pelo número
de pessoas que estão compondo o novo grupo, verificou-se que cada pessoa pagaria
R$ 75,00 a menos do que o inicialmente programado para cada um no primeiro grupo.
O número x de pessoas que formavam o primeiro grupo é:
A) 9. Sejam:
Novo grupo:
B) 10. x = nº inicial de estudantes
x + 3 = nº de pagantes
C) 11. y = cota individual
y – 75 = nova cota individual
D) 12.
3250
E) 13. x.y = 3250 ⇒ y =
(I)
(x + 3).(y – 75 ) = 3250 ( II )
x
Substituindo ( I ) em ( II ):
 3250

(x + 3) ⋅ 
− 75  = 3250
 x

x = – 13 (não convém)
x2 + 3x – 130 = 0
S=–3
P = – 130
9750
3250 − 75x +
− 225 = 3250 (multiplica por x)
x
2
–75x –225x + 9750 = 0 (divide por –75 )
x = 10
18. (Fuvest 2007)
Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, devendo cada
um contribuir com R$135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola
antes da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos
estudantes restantes teria de pagar R$27,00 a mais. No entanto, o diretor, para
ajudar, colaborou com R$630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa?
a) R$136,00 n = nº de estudantes restantes
Assim, cada aluno
b) R$138,00 7.135 = n.27
participante pagou
c) R$140,00 n = 35
d) R$142,00
135 + 27 – 18 = 144
Com
a
colaboração
de
R$630,00,
e) R$144,00
cada aluno “ganhou” 630 = 18
35
29.(GV-E-10) Sejam x e y a soma e o produto, respectivamente, dos dígitos de um
número natural. Por exemplo, se o número é 142, então x = 7 e y = 8. Sabendo-se que
N é um número natural de dois dígitos tal que N = x + y, o dígito da unidade de N é
A) 2.
Seja N = du a representação decimal dos algarismos de N, em que d (d ≠ 0)
B) 3.
representa o algarismo das dezenas e u o algarismo das unidades.
C) 6.
Como N = x + y, temos:
D) 8. Do enunciado:
E) 9.
x=d+u
du = d + u + d·u
y = d·u
10d + u = d + u + d·u
9d = d·u
u=9
(d ≠ 0)