Cap 29

Campos Magnéticos Produzidos por Correntes
o9-29 mostra quatro arranjos nos quais fios longos, paraigualmente espaçados conduzem correntes iguais para dentro
fora do papeL Coloque os arranjos na ordem do módulo da
que está submetido o fio central, começando pelo maior-
()
(b)
(c)
(d)
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
239
A Fig. 29-32 mostra quatro amperianas circulares (a, b, c, ti) e,
em seção reta, quadro condutores circulares longos (regiões sombreadas), todos concêntricos. Três dos condutores são cilindros ocos;
o condutor central é um cilindro maciço. As correntes nos condutores são, do raio menor para o raio maior, 4 A para fora do papel, 9 A
para dentro do papel, 5 A para fora do papel e 3 A para <:!entrodo
papeL Coloque as amperianas na ordem do módulo de p B . ás ao
longo da curva, começando pelo maior.
9
Fig. 29-29 Pergunta 6.
a -I-I-f--I-I"-F..rb
- A Fig. 29-30 mostra quatro amperianas circulares (a, b, c, ti) con.±J;ri.= com um fio cuja corrente é dirigida para fora do papeL A
te é uniforme ao longo da seção reta do fio (região sombreáColoque as amperianas na ordem do valor absoluto de !li B . ás
ngo da curva, começando pelo maior.
d
Fig. 29-32 Pergunta 9.
A Fig. 29-33 mostra, em função da distância radial
o módulo
a
10
b
B do campo magnético do lado de dentro e do lado de fora de quatro
fios (a, b, c, ti), cada um dos quais conduz uma corrente uniforme-
d
Fig. 29-30 Pergunta 7.
Fig. 29-31 mostra quatro correntes iguais i e cinco amperianas
. c, d, e) envolvendo essas correntes. Coloque as amperianas na
do valor de p B . ds ao longo das curvas nas direções indicomeçando pelo maior valor positivo.
A
T,
mente distribuída ao longo da seção reta. Os trechos em que os gráficos correspondentes a dois fios se superpõem estão indicados por
linhas duplas. Coloque os fios na ordem (a) do raio, (b) do módulo
do campo magnético na superfície e (c) da corrente, começando pelo
maior valor. (d) O módulo da densidade de corrente do fio a é maior, menor ou igual ao do fio c?
r+~------I·-------I------I-,J-I----I __
B
~~----+------~
C><:=: --
~-+-~
Fig. 29-33 Pergunta 10.
Fig. 29-31 Pergunta 8.
Problemas
-- o número
de pontos Indica a dificulClade do problema.
- 29-2 Cálculo do Campo Magnético Produzido por uma
te
topógrafo está usando uma bússola magnética 6, I m abaixo
linha de transmissão que conduz uma corrente constante de
a) Qual é o campo magnético produzido pela linha de trans- na posição da bússola? (b) Este campo tem uma influência
5:!::=ticativa na leitura da bússola? A componente horizontal do
_ magnético da Terra no local é 20 J1-T.
-
condutor retilíneo percorrido por uma corrente i = 5,0 A se
~ em dois arcos semicirculares, como mostra a Fig. 29-34.
Fig. 29-34 Problema 2.
Qual é o campo magnético no centro C da espira circular resultante?
-3
Em um certo local das Filipinas, o campo magnético da Terra de
39 J1-T é horizontal e aponta exatamente para o norte. Suponha que
o campo total é zero 8,0 em acima de um fio longo, retilineo, horizontal que conduz uma corrente constante. Determine (a) o módulo
da corrente; (b) a direção da corrente.
°4 Na Fig. 29-35, dois arcos semicirculares têm raios R2 = 7,80 em
e RI = 3,15 em, conduzem uma corrente i = 0,281 A e têm o mesmo centro de curvatura C. Deterrnine (a) o módulo e (b) o sentido
(para dentro ou para fora do papel) do campo magnético no ponto
°9 Na Fig. 29-39, dois fios retilíneos longos são perpendiculares
plano do papel e estão separados por uma distância di = 0,75
fio 1 conduz uma corrente de 6,5 A para dentro do papel. De
ne (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do
da corrente no fio 2 para que o campo magnético seja zero no
P, situado a uma distância ~ = 1,50 em do fio 2.
C.
Fiol.~
-t
di
Fio2
c
Fig. 29-35 Problema 4.
'-s Na Fig. 29-36, dois arcos circulares têm raios
10,7 em, subtendem um ângulo
a = 13,5 em e b =
e = 74,0°, conduzem
uma corrente
i = 0,411 A e têm o mesmo centro de curvatura P. Determine (a) o
módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) do campo magnético no ponto P.
.:
Fig. 29-39 Problema 9.
Na Fig. 29-40, o ponto P está a uma distância perpendi
2,00 em de um fio retilíneo muito longo que conduz uma
te. O campo magnético B no ponto P é a soma das contribuições elementos de corrente i ds ao longo de todo o fio. Determine
tância s entre o ponto P e o elemento (a) que mais contribui
campo B; (b) responsável por com 10% da maior contribui °10
=
P.
I
IR
I
I
Fig. 29-40 Problema to.
Fio
p
Fig.29-36 Problema 5.
06 Na Fig, 29-37, um fio é formado por uma sernicircunferência de
raio R = 9,26 em e dois segmentos retilíneos (radiais) de comprimento L = 13,1 em cada um. A corrente no fio é i = 34,8 mA.
Determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do
papel) do campo magnético no centro de curvatura C da semicircunferência.
i.
fi;>\.
I-- L-l
C
ooi 1 A Fig. 29-11 mostra um próton que se move com veloci
= (- 200 rnls) j em direção a um fio retilineo longo que conan:z:::::=.
corrente i = 350 mA. No instante mostrado, a distância entre
ton e o fio é d = 2,89 cm. Na notação de vetores unitários.
força magnética a que o próton está submetido?
x
i.
I-- L-l
Fig. 29-41 Problema 11.
Fig. 29-37 Problema 6.
°7 Dois fios retilineos longos são paralelos e estão separados por uma
distância de 8,0 cm. As correntes nos fios são iguais e o campo
magnético em um ponto situado exatamente entre os dois fios tem
um módulo de 300 JLT. (a) As correntes têm o mesmo sentido ou
sentidos opostos? (c) Qual é o valor das correntes?
os
Na Fig. 29-38, dois fios retilíneos longos, separados por uma distância d = 16,0 em, conduzem correntes il = 3,61 mA e iz = 3,00il
dirigidas para fora do papel. (a) Em que ponto do eixo x o campo
magnético total é zero? (b) Se as duas correntes são multiplicadas
por dois, o ponto em que o campo magnético é zero se aproxima do
fio 1, se aproxima do fio 2 ou permanece onde está?
0°1\2 A Fig. 29-42a mostra, em seção reta, dois fios longos e
los, percorridos por correntes e separados por uma dis - .
razão i/i2 entre as correntes é 4,00; as direções das co
são conhecidas. A Fig. 29-42b mostra a componente B, do
magnético em função da posição sobre o eixo x à direita
(a) Para que valor de x> B, é máxima? (b) Se iz = 3 mA.
o valor deste máximo? Deterruine o sentido (para dentro ou ~:z.f:::&;2.
do papel) (c) de il; (d) de iz.
°
J
4
ç
.5-
2
x
f-L
O
OQ"
-4
x (em)
(a)
x
Fig. 29-38·Problema 8.
(b)
Fig. 29-42 Problema 12.
--13 A Fig. 29-43 mostra um fio que conduz uma corrente i = 3,00
A. Dois trechos retilíneos semi-infinitos, ambos tangentes à mesma
circunferência, são ligados por um arco circular que possui um ângulo central e e coincide com parte da circunferência. O arco e os
dois trechos retilíneos estão no mesmo plano. Se B = O, qual é o
valor de 8?
/-
Na Fig. 29-46, o ponto P está a urna distância perpendicular R
13,1 cm do ponto médio de um fio retilíneo de comprimento L =
18,0 em que conduz uma corrente i = 58,2 mA. (Observe que o fio
não é longo.) Qual é o módulo do campo magnético no ponto P,?
"17
=
»-i:
('}.~~~
,.
L:C~õ~--Arco de l~gaÇão
Fig. 29-43 Problema 13.
A Fig. 29-44 mostra, em seção reta, quatro fios finos paralelos,
retilineos e muito compridos, que conduzem corrente iguais nos
sentidos indicados. Inicialmente, os quatro fios estão a uma distância d = 15,0 em da origem <ia sistema de coordenadas, onde criam
um campo magnético total B. (a) Para que valor de x o fio 1 deve
ser deslocado sobre o eixo x para que o campo B sofra uma rotação
de 30° no sentido anti-horário? (b) Com o fio 1 na nova posição,
para que valor_de x o fio 3 deve ser deslocado sobre o eixo x para
que o campo B volte à orientação inicial?
"14
i
Plf
P2f
R
R
!
.,!
L
Fig. 29-46 Problemas 17 e 19.
"18 Na Fig. 29-47, duas espiras circulares concêntricas conduzindo correntes no mesmo sentido estão no mesmo plano. A espira 1
tem 1,50 em de raio e conduz uma corrente de 4,00 mA. A espira 2
tem 2,50 em,de raio e conduz uma corrente de 6,00 mA. O campo
magnético B no centro comum das duas espiras é medido enquanto se faz girar a espira 2 em torno de um diâmetro. Qual deve ser o
ângulo de rotação da espira 2 para que o módulo do campo B seja
100 nT?
y
Fig. 29-47 Problema 18.
--i9 Na Fig. 29-46, o ponto P2 está a urna distância
perpendicular R
25,1 em de uma das extremidades de um fio retilíneo de comprimento L = 13,6 em que conduz uma corrente i = 0,693 A. (Observe que o fio não é longo.) Qual é o módulo do campo magnético no
ponto P2?
=
Fig. 29-44 Problema 14.
"15 Na Fig. 29-45, quatro fios retilíneos longos são perpendiculares ao papel e suas seções retas formam um quadrado de lado a =
20 cm. As correntes são para fora da página nos fios 1 e 4 e para
dentro da página nos fios 2 e 3, e todos os fios conduzem urna corrente de 20 A. Na notação de vetares unitários, qual é o campo
magnético no centro do quadrado?
Uma corrente é estabelecida em uma espira constituída por uma
sernicircunferência de 4,00 em de raio, uma sernicircunferência
concêntrica de raio menor e dois segmentos retilíneos radiais, todos
no mesmo plano. A Fig. 29-48a mostra o arranjo, mas não está desenhada em escala. O módulo do campo magnético produzido no
centro de curvatura é 47,25 J-tT. Quando a sernicircunferência menor sofre uma rotação de 180° (Fig. 29-48b), o módulo do campo
magnético produzido no centro de curvatura diminui para 15,75 J-tT
e o sentido do campo se inverte. Qual é o raio da semicircunferência
menor?
--20
Fig. 29-45 Problemas 15, 30 e 3l.
(a)
-'6 A Eq. 29-4 fornece o modulo B do campo magnético criado por
um fio retilíneo infinitamente longo percorrido por corrente em um
ponto P situado a uma distância R perpendicular ao fio. Suponha
que o ponto P esteja na verdade a uma distância perpendicular R do
ponto médio de um fio de comprimento finito L percorrido por corrente. esse caso, o uso da Eq. 29-4 para calcular B envolve um certo
erro percentual. Qual deve ser a razão UR para que o erro percentuseja l,oo%? Em outras palavras, para que valor de li R a igualda-
(b)
Fig. 29-48 Problema 20.
\
Na Fig. 29-49, parte de um fio longo isolado que conduz uma
corrente i = 5,78 mA é encurvada para formar uma espira circular
de raio R = 1,89 em, Na notação de vetares unitários, determine o
campo magnético C no centro da espira (a) se a espira está no plano
do papel; (b) se a espira está perpendicular ao plano do papel, depois de sofrer uma rotação de 90° no sentido anti-horário.
--21
(B da Eq. 29- 4) - (B real) (100%) = 1,00%
(B real)
é
. feita?
Fig. 29-49 Problema 2l.
A Fig. 29-50a mostra dois fios. O fio 1 é formado por um arco
de circunferência de raio R e dois segmentos radiais e conduz uma
corrente i, = 2,0 A no sentido indicado. O fio 2 é longo eretilíneo,
conduz urna corrente i2 que pode ser ajustada e está a uma distância
R/2 do centro do arco. O campo magnético B produzido pelas duas
correntes é medido no centro de curvatura do arco. A Fig. 29-50b
mostra a componente de B na direção perpendicular ao plano do
papel em função da corrente ~. Determine o ângulo subtendido pelo
arco.
"22
---25 Na Fig. 29-53, a = 4,7 em e i = 13 A. Determine (a) o módulo
e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) do campo magnético no ponto P. (Observe que não se trata de fios longos.)
r---- -r---a
a
-j
p
------~
I
I
I
I
I
I
I
it
2fl
1
!
R
Fig. 29-53 Problema 25.
i.l
---26 A Fig. 29-54 mostra, em seção reta, dois fios retilíneos longos
encostados em um cilindro de plástico com 20,0 em de raio. O fio 1
conduz uma corrente i, = 60,0 mA para fora do papel e é mantido
fixo no lugar, do lado esquerdo do cilindro. O fio 2 conduz uma
corrente i2 = 40,0 mA para fora do papel e pode ser deslocado em
torno do cilindro. Qual deve ser o ângulo (positivo) fJ2 do fio 2 para
que, na origem, o módulo do campo magnético total seja 80,0 nT?
-1~r(1))
(a)
Fig. 29-50 Problema 22.
)'
···23 A Fig. 29-51 mostra uma seção reta de uma fita longa e fina de
largura w 5 4,91 em que está conduzindo uma corrente uniformemente
distribuída i 5 4,61 mA para dentro <!opapel. Na notação de vetares
unitários, qual é o campo magnético B em um ponto P no plano da fita
situado a uma distância d 5 2,16 em de uma das bordas? (Sugestão:
imagine a fita como um conjunto de fios paralelos.)
Fig. 29-54 Problema 26.
)'
Seção 29-3 Forças entre Dois Fios Paralelos Percorridos por
Correntes
Fig. 29-57 Problema 23.
··-24 A espira percorrida por corrente da Fig. 29-520 é constituída
por uma semicircunferência com 10,0 em de raio, uma semicircunferência menor com o mesmo centro e dois segmentos radiais, todos no mesmo plano. A semicircunferência menor sofre uma rotação de um ângulo fJ para fora do plano (Fig. 29-52b). A Fig. 29-52c
mostra o módulo do campo magnético no centro de curvatura em
função do ângulo fJ. Qual é o raio do semicírculo menor?
"
(a)
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~
lI!
1\\
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I
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O
n:/4
(J (rad)
x
z
Fig. 29-52 Problema 24.
(e)
y
__ .. __ .-._x
Fig. 29-55 Problema 27.
,
Na Fig. 29-56, cinco fios paralelos longos no plano xy
separados por uma distância d = 50,0 em, As correntes para den
do papel são i, = 2,00 A, i3 = 0,250 A, i4 = 4,00 A e is = 2,00 A:.
corrente para fora do papel é i2 = 4,00 A. Qual é o módulo da f
por unidade de comprimento que age sobre o fio 3?
··28
i\.
\
10
·27 A Fig. 29-55 mostra o fio 1 em seção reta; o fio é retilíneo e IOI!-go, conduz uma corrente de 4,00 mA para fora do papel e está a uma
distância di = 2,40 em de uma superfície. O fio 2, que é paralelo ao
fio 1 e também longo, está sobre a superfície a uma distância horizontal ~ = 5,00 em do fio 1 e conduz uma corrente de 6,80 mA
para dentro do papel. Qual é a componente x da força magnética por
unidade de comprimento que age sobre o fio 2?
n:/2
z
1~d+d+d+d
~i ~
5
C)- )'
Fig. 29-56 Problema 28 e 29.
""29
a Fig. 29-56, cinco fios paralelos longos no plano xy estão
separados por uma distância d = 8,00 em, têm 10,0 m de comprimento e conduzem correntes iguais de 3,00 A para fora do papeL
Usando a notação de vetores unitários, determine a força (a) sobre o
fio I; (b) sobre o fio 2; (c) sobre o fio 3; (d) sobre o fio 4; (e) sobre
o fio 5.
0030 Na Fig. 29-45, quatro fios retilíneos longos são perpendiculares ao papel e suas seções retas formam um quadrado de lado a =
8,50 cm. Todos os fios conduzem correntes de 15,0 A para fora do
papel. Na notação de vetores unitários, qual é a força magnética por
metro de fio que age sobre o fio I?
Seção 29-4 lei de Ampere
034 Oito fios são perpendiculares ao plano do papel nos pontos indicados na Fig. 29-59. O fio k (k = 1,2, ..., 8) conduz uma corrente ki,
onde i = 4,50 mA. Para os fios com k ímpar, a corrente é para fora
do papel; para os fios cOp1k par, a COrrenteé para dentro do papeL
Determine o valor de p B . ás ao longo da curva fechada mostrada
na figura, na direção indicada.
0031 Na Fig. 29-45, quatro fios retilíneos longos são perpendiculares ao papel e suas seções retas formam um quadrado de lado a =
13,5 cm. Todos os fios conduzem correntes de 7,50 A e as correntes
são para fora do papel nos fios 1 e 4 e para dentro do papel nos fios
2 e 3. Na notação de vetores unitários, qual é a força magnética por
melro defio que age sobre o fio 4?
""32 A Fig, 29-57a mostra, em seção reta, três fios percorridos por
corrente que são longos, retilíneos e paralelos. Os fios 1 e 2 são mantidos fixos sobre o eixo x, separados por uma distância d. O fio 1
conduz uma corrente de 0,750 A, mas o sentido da corrente é desconhecido. O fio 3, com uma corrente de 0,250 para fora dq papel,
pode ser deslocado ao longo do eixo x, o que modifica a força F; a que
está sujeito o fio 2. A componente y desta força é F2y e o valor por
unidade de comprimento do fio 2 é F2/~' A Fig. 29-57b mostra o
valor de F2/ L; em função da coordenada x do fio 3. O gráfico possui uma assíntota F2J~ = -0,627 J-LN/m para x.~ 00. Determine
(a) o valor e (b) o sentido (para dentro ou para fora do papel) da corrente no fio 2.
1,0
)
Ê
<,
Z
2
f-d
3
0,5
2:
.s
x
O
""
.<>'
""
,
Fig. 29-59 Problema 34.
°35 Os oito fios da Fig. 29-60 conduzem correntes iguais de 2,0 A
para dentro ou para fora do papeL Duas curvas estão indicadas para
a integral de linha p B . ás. Determine o valor da integral (a) para
a curva 1; (b) para a curva 2.
~~
I
~~
I
1\r-,
i"'-
-D,5
x (crn)
(a)
;....
1
2
Fig. 29-60 Problema 35.
o~
A Fig. 29-61 mostra duas curvas fechadas que envolvem duas
espiras que conduzem correntes i, = 5,0 A e i2 = 3,0 A. Determine
o valor da integral p B . ás (a) para a curva 1; (b) para a curva 2.
112
-
(b)
Fig. 29-57 Problema 32.
"."~3Na Fig. 29-58, um fio retilíneo longo conduz uma corrente i
= 30,0 A e uma espira retangular conduz uma corrente i2 = 20,0 A.
Suponha que a = 1,00 em, b = 8,00 em e L = 30,0 em, Na notação
de vetores unitários, qual é a força a que está submetida a espira?
j
°37 A Fig. 29-62 mostra uma seção reta de um fio cilíndrico longo
de raio a = 2,00 cm que conduz uma corrente uniforme de 170 A.
Determine o módulo do campo magnético produzido pela corrente
a uma distância do eixo do fio igual a (a) O; (b) 1,00 em; (c) 2,00 cm
(superfície do fio); (d) 4,00 em.
iJ
-
•
a
T
Fig. 29-61 Problema 36.
J
b
1
I-
Lx
i.z
L
·1
Fig. 29-58 Problema 33.
Fig.29-62 Problema 37.
"38 Na Fig. 29-63, um cano circular longo de raio externo R = 2,6
em conduz uma corrente (uniformemente
distribuída) i = 8,00 mA
para dentro do papel e seu centro está a uma distância de 3,ooR de
um fio paralelo ao cano. Determine (a) o valor e (b) o sentido (para
dentro ou para fora do papel) da corrente no fio para que o campo
magnético no ponto P tenha o mesmo módulo que o campo magnético no' centro do cano e o sentido oposto.
r
O solenóide tem 8000 espiras e conduz uma corrente de.!.
Quantas revoluções o elétron descreve no interior do solenói
tes de chegar à outra extremidade? (Em um solen6ide real.
o campo não é uniforme perto das extremidades, o número de
luções é ligeiramente menor que o valor calculado.)
Seção 29-6 Uma Bobina Percorrida por Corrente como u:m
Dipolo Magnético
°47 Qual é o módulo do momento dipolar magnético
descrito no Problema 41?
FiOO----
R
PO'---~
~
.-
jL do sol
°48 A Fig. 29-64a mostra um fio que conduz uma corrente ie f
uma bobina circular com apenas uma espira. Na Fig. 29
fio de mesmo comprimento forma uma bobina circular com
espiras de raio igual a metade do raio da espira da Fig. 29-64a..
Se B; e B; são os módulos dos campos magnéticos nos centros
duas bobinas, qual é o valor da razão BJBo? (b) Qual é o al
razão JLbl JLo entre os momentos dipolares das duas bobinas?
_
Fig. 29-63 Problema 38.
"39 A densidade de corrente
J no interior de um fio cilíndrico longo de raio a = 3,1 mm é paralela ao eixo central e seu módulo varia
linearmente com a distância radial r de acordo com a equação J =
Jor/a, onde Jo = 310 Alm2• Determine o módulo do campo magnético (a) para r = O; (b) para r = a12; (c) para r = a.
Seção 29-5 Solenóides e Toróides
Um solenóide com 95,0 em de comprimento tem um raio de 2,00
em e uma bobina com 1200 espiras; a corrente é 3,60 A. Calcule o
módulo do campo magnético no interior do solenóide.
°40
°41 Um solenóide de 200 espiras com 25 em de comprimento
e 10
em de diâmetro conduz uma corrente de 0,29 A. Calcule o módulo
do campo magnético jj interior do solenóide.
Um solenóide com 1,30 m de comprimento e 2,60 em de diâmetro conduz uma corrente de 18,0 A. O campo magnético no interior
do solenóide é 23,0 mT. Determine o comprimento do fio de que é
feito o solenóide.
°42
°43 Um toróide de seção reta quadrada, com 5,00 em de lado e raio
interno de 15,0 em, tem 500 espiras e conduz uma corrente de 0,800
A. Determine o campo magnético (a) a uma distância do centro igual
ao raio interno; (b) a uma distância do centro igual ao raio externo.
0°44 Um solenóide longo tem 100 espiras/cm e conduz uma corrente i. Um elétron se move no interior do solenóide em uma circunferência de 2,30 em de raio perpendicular ao eixo do solenóide. A velocidade do elétron é 0,0460c (c = velocidade da luz). Determine a
corrente i do solenóide.
Um solenóide longo com 10,0 espiras/cm e um raio de 7,00 em
conduz uma corrente de 20,0 mA. Uma corrente de 6,00 percorre
um condutor retilíneo situado no eixo central do solenóide. (a) A
que distância radial do eixo a direção do campo magnético resultante da um ângulo de 45° com a direção axial? (b) Qual é o módulo
do campo magnético neste local?
(a)
(b)
Fig. 29-64 Problema 48.
=
°49 Um estudante
fabrica um pequeno eletroímã enrolando
espiras de fio em um cilindro de madeira com um diâmetro d =
em. A bobina é ligada a uma pilha que produz uma corrente de A no fio. (a) Qual é o módulo do momento dipolar magnéti
eletroímã? (b) A que distância axial z ~ d o campo magn - .
eletroímã tem um módulo de 5,0 JLT (aproximadamente
um do campo magnético da Terra)?
=
A Fig. 29-65 mostra um dispositivo conhecido como bobi
Helrnholtz, formado por duas bobinas circulares coaxiais de
= 25,0 em, com 200 espiras, separadas por uma distância s =
duas bobinas conduzem correntes iguais i = 12,2 mA no
sentido. Determine o módulo do campo magnético no ponto P
tuado sobre o eixo das bobinas, a meio caminho entre elas.
°50
)'
I--+-~'I--~r---x
f--s--J
0°45
Fig. 29-65 Problemas
50 e 80.
OOSl Na Fig. 29-66, uma corrente i = 56,2 mA circula em uma
formada por dois segmentos radiais e duas semicircunfe
raios a = 5,72 em e b = 9,36 em com um centro comum P.
mine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora da
na) do campo magnético no ponto P e (c) o m6dulo e (d) o
do momento magnético da espira.
A
Um elétron é introduzido em uma das extremidades
de um
solenóide. Ao penetrar no campo magnético uniforme que existe no
interior do solenóide, a velocidade do elétron é 800 mls e o vetar
velocidade faz um ângulo de 30° com o eixo central do solenóide.
0°46
Problemas Adicionais
Na Fig. 29-69, uma corrente i = 10 A circula em um condutor
longo formado por dois trechos retilineos e uma sernicircunferência
de raio R = 5,0 mm e centro no ponto a. O ponto b fica a meio caminho entre os trechos retilíneos e tão afastado da sernicircunferência
que os dois trechos retos podem ser considerados fios infinitos.
Determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora do
papel) do campo magnético no ponto a. Determine também (c) o
módulo e (d) o sentido do campo magnético no ponto b.
55
Fig.29-66 Problema 51.
Na Fig. 29-67, um fio conduz uma corrente de 6,0 A ao longo
do circuito fechado abcdefgha, que percorre 8 das 12 arestas de um
cubo com 10 cm de lado. (a) Considerando o circuito uma combinação de três espiras quadradas (bcfgb, abgha e cdefc), determine o
momento magnético total do circuito na notação de vetores unitários. (b) Determine o módulo do campo magnético total no ponto de
coordenadas (O; 5,0 m; O).
i
··52
)'
g
Fig. 29-69 Problema 55.
56 Na Fig. 29-70a, o fio I é formado por um arco de circunferência
e dois segmentos radiais e conduz uma corrente il = 0,50 A no sentido indicado. O fio 2, mostrado em seção reta, é longo, retilíneo e
perpendicular ao plano do papel. A distância entre o fio 2 e o centro
do arco é igual ao raio R do arco e o fio conduz uma corrente i2 que
pode s~r ajustada. As duas correntes criam um campo magnético
total B no centro do arco. A Fig. 29-70b mostra o quadrado do
módulo do campo, B2, em função do quadrado da corrente, ii. Qual
é o ângulo subtendido pelo arco?
,
d.
Fig. 29-67 Problema 52.
Uma espira circular com 12em de raio conduz uma corrente de
15 A. Uma bobina plana com 0,82 em de raio, 50 espiras e percorrida por uma corrente de i,3 A é concêntrica com a espira. O plano
da espira é perpendicular ao plano da bobina. Suponha que o campo
magnético da espira é uniforme na região em que se encontra a bobina. Determine (a) o módulo do campo magnético produzido pela
espira no centro comum da espira e da bobina; (b) o torque exercido
pela espira sobre a bobina.
"53
··54 Na Fig. 29-68a, duas espiras circulares, com diferentes correntes mas o mesmo raio de 4,0 em, têm os centros sobre o eixo y. Estão separadas inicialmente por uma distância L = 3,0 em, com a
espira 2 posicionada na origem do eixo. As correntes nas duas espiras
produzem um campo magnético na origem, cuja componente y é ByEsta componente é medida enquanto a espira 2 é deslocada no sentido positivo do eixo y. A Fig. 29-68b mostra o valor de B, em função da coordenada y da espira 2. A curva tem uma assíntota B, =
,20 p,T para y ---'? 00. Determine (a) a corrente il na espira i; (b) a
corrente iz na espira 2.
2m}
ICP
y
•..f-.
o
1:,
10
•..=o""'
5
~
~.
~
,~
~
~
I
2
O
(a)
Fig. 29-70 Problema 56.
57 Dois fios muito longos conduzem a mesma corrente i. Ambos
possuem um arco de 90° da mesma circunferência de raio R, na configuração mostrada na Fig. 29-71. Mostre que o campo magnético
no centro da circunferência é igual ao campo em um ponto situado
a uma distância R abaixo de um fio retilíneo muito longo conduzindo uma corrente i para a esquerda.
;Y\r-_"-,!,,i __
I
20
i='
o
Fig.29-71 Problema 57.
2=o'"'
Na Fig. 29-72, dois fios longos retilíneos (mostrados em seção
reta) conduzem correntes il = 30,0 mA e i2 = 40,0 mA dirigidas
para fora do papel. Os fios estão à mesma distância da origem, onde
criam_umcampo magnético B. Qual deve ser o novo valor de il para
que B sofra uma rotação de 20,0° no sentido horário?
58
-40
)' (em)
(b)
(a)
Fig. 29-68 Problema 54.
y
----~----t_--------x
Fig. 29-72 Problema 58.
A Fig. 29-73 mostra, em seção reta, dois fios retilíneos muito
longos que conduzem uma corrente de 4,00 A para fora do papel.
As distâncias mostradas na figura são di = 6,00 m e d2 = 4,00 m.
Determine o módulo do campo magnético no ponto P, que fica sobre a mediatriz do segmento de reta que liga os dois fios.
59
62 Dois fios longos retilíneos percorridos por corrente estão apoiados na superfície de um cilindro longo de plástico de raio R = 20,0
em, paralelamente ao eixo do cilindro. A Fig. 29-7a mostra, em seção reta, o cilindro e o fio I, mas não o fio 2. Com o fio 2 mantido
fixo no lugar, O fio I é deslocado sobre o cilindro, do ângulo ()I =
00 até o ângulo 81 = 1800, passando pelo primeiro e segundo
quadrantes do sistema de coordenadas x)'. O campo magnético B no
centro do cilindro é medido em função de 81, A Fig. 29-76b mostra
a componente B, de B, e a Fig. 29-76c mostra a componente By,
ambas em função de 81, (a) Qual é o ângulo 82 que define a posição
do fio 2? Determine (b) o valor e (c) o sentido (para dentro ou para
fora do papel) da corrente no fio 1. Determine também (d) o valor e
(e) a corrente no fio 2.
lir-----~------~p
'
d
(a)
--.
j
6
Fig.29-73 Problema 59.
4
60 A Fig. 29-74 mostra uma espira percorrida por uma corrente i =
2,00 A. A espira é formada por uma semicircunferência de 4,00 m
de raio, dois quartos de circunferência de 2,00 m de raio cada um e
três segmentos retilíneos. Qual é o módulo do campo magnético no
centro comum dos arcos de circunferência?
'/
<,
4
/'
I
i\
J
/
\
/
V
/
\
/
/
v
./
(b)
Fig. 29-76 Problema 62.
63 Um fio longo tem um raio maior que 4,0 mm e conduz uma corrente uniformemente distribuída em sua seção reta. O módulo do
campo magnético produzido por esta corrente é 0,28 mT em um
ponto situado a 4,0 mm do eixo do fio e 0,20 rnT em um ponto situado a 10 mm do eixo do fio. Qual é o raio do fio?
Fig. 29-74 Problema 60.
A Fig. 29-75 mostra uma seção reta de um condutor cilíndrico longo de raio r = 4,00 em que contém um furo cilíndrico de raio b =
1,50 em. Os eixos centrais do cilindro e do furo são paralelos e estão
separados por uma distância d = 2,00 em; uma corrente i = 5,25 A
está distribuída uniformemente na região sombreada. (a) Determine
o módulo do campo magnético no centro do furo. (b) Discuta os casos especiais b = O ed = O. (c) Use a lei de Ampêre para mostrar que
o campo magnético no interior do furo é uniforme.
61
A Fig. 29-77a mostra um elemento de comprimento ds = 1,00
p,m em um fio retilíneo muito longo percorrido por uma corrente. A
corrente no elemento cria um campo magnético elementar dB no
espaço em volta. A Fig. 29-77b mostra o módulo dB do campo para
pontos situados a 2,5 em de distância do elemento em função do
ângulo 8 entre o fio e uma reta que liga o elemento ao ponto. Qual é
o módulo do campo magnético produzido pelo fio inteiro em um
ponto situado a 2,5 em de distância do fio?
64
---/
/
I
I
I
60
I/I,
Y
~40
/1
/1
~ 20 /
I
I
tr/2
e (rad)
(b)
(a)
Fig. 29-75 Problema 61.
Fig. 29-77 Problema 64.
I
"\.
J
",.--1
""
O módulo do campo magnético a 88,0 em do eixo de um fio
rerilíneo longo é 7,30 JLT. Determine a corrente no fio.
p
)'
65
.e-,
L
X
Três fios longos são paralelos ao eixo z e conduzem uma corrente de 10 A no sentido positivo do eixo z. Os pontos de interseção
do fios com o plano xy formam um triângulo eqüilátero com 50 em
de lado, como mostra a Fig. 29-78. Um quarto fio (fio b) passa pelo
ponto médio da base do triângulo e é paralelo aos outros três fios.
Se a força magnética no fio a é zero, determine (a) o valor e (b) o
sentido (+ Z ou - z) da corrente no fio b.
66
I
\
/
,
,
,
I
\
I
,
I
II
'\
"-
/
'\
/
1//
-,
"-,,2
.'
li
'.
Fig. 29-80 Problema 70.
Um fio nu de cobre calibre 10 (2,6 mm de diâmetro) pode conduzir uma corrente de 50 A sem superaquecer. Para esta corrente, qual
é o módulo do campo magnético na superfície do fio?
71
B
\
I
'\
Em uma cerca região existe uma densidade de corrente uniforme
de 15 A/m2 no sentido positivo do eixo z. Determine o valor de 1>
. ás quando a integral de linha é calculada ao longo de três segmentos de reta, de (4d, O, O) para (4d, 3d, O), de (4d, 3d, O) para (O,
O, O) e de (O, O, O) para (4d, O, O), com d = 20 em.
,
I
/
/ '\,
72
~a
I
I
/
/
/
,y
\\
é-----_.-----e
L
Um fio longo vertical conduz uma corrente desconhecida. Um
cilindro longo de espessura desprezível, coaxial com o fio, conduz
uma corrente de 30 mA para cima. A superfície do cilindro tem um
raio de 3,0 mm. Se o módulo do campo magnético em um ponto situado a 5,0 mm de distância do fio é 1,0 JLT, determine (a) o valor e
(b) o sentido da corrente no fio.
73
x
b
Fig. 29-78 Problema 66.
67 Um condutor longo, oco, cilíndrico
(raio interno 2,0 mm, raio
externo 4,0 mm) é percorrido por uma corrente de 24 A distribuída
uniformemente
na seção reta. Um fio longo e fino coaxial com o
cilindro conduz uma corrente de 24 A no sentido oposto. Detennine o módulo do campo magnético (a) a 1,0 mm; (b) a 3,0 mm; (c) a
5,0 mm de distância do eixo central do fio e do cilindro.
Dois fios longos estão no plano xy e conduzem correntes no sentido positivo do eixo x. O fio 1 está em y = 10,0 em e conduz uma
corrente de 6,00 A; o fio 2 está em y = 5,00 em e conduz uma corrente de 10,2 A. (a) Na notação de vetares unitários, qual é_o campo
magnético B na origem? (b) Para que valor de y o campo B é zero]
68
(c) Se a corrente no fio 1 é invertida, para que valor de y o campo
é zero?
B
A Fig. 29-79 mostra dois fios. O fio de baixo conduz uma corrente i, = 0,40 A e contém um arco de circunferência com 5,0 em de
raio e centro no ponto P, que subtende um ângulo de 180 O fio de
cima conduz uma corrente i2 = 2i, e contém um arco de circunferência com 4,0 em de raio e centro também no ponto P, que subtende
um ângulo de t20°. Determine (a) o módulo e (b) a direção do campo magnético B para os sentidos das correntes indicados na figura.
Determine também (c) o módulo e (d) a direção de
se ó sentido
da corrente i, for invertido.
69
0
•
Três longos fios estão no plano xy, são paralelos ao eixo x e guardam entre si uma distância de 10 cm. Os dois fios externos conduzem uma corrente de 5,0 A no sentido positivo do eixo x. Detennine o módulo da força que age sobre um trecho de 3,0 m de um dos
fios externos se a corrente no fio central é 3,2 A (a) no sentido positivo do eixo x; (b) no sentido negativo do eixo x.
74
A Fig. 29-81 mostra um segmento de fio de comprimento 6.s =
3,0 em, com centro na origem, percorrido por uma corrente i = 2,0
A no sentido positivo do eixo y (como parte de umcircuito completo). Para calcular o módulo do campo magnético B produzido pelo
segmento em um ponto situado a vários metros da origem, podemos usar a lei de Biot-Savart na forma B = (JLoI4n)i 6.s (sen (J)/r,
já que r e (J podem ser considerados constantes para todo o segmento. Calcule B (na notação de vetares unitários) para pontos situados nas seguintes coordenadas: (a) (O; O; 5,0 m); (b) (O; 6,0 rn; O);
(c) (7,0 m; 7,0 m; O); (d) (-3,0 m; -4,0 m; O).
7S
z
B
.---y
x
~
~?
Fig. 29-81 Problema 75.
76 Na Fig. 29-82, uma espira conduz uma corrente i = 200 mA. A
espira é formada por dois segmentos radiais e dois arcos de circunferência concêntricos de raios 2,00 m e 4,00 m. O ângulo (J é n/4
rad. Determine (a) o módulo e (b) o sentido (para dentro ou para fora
do papel) do campo magnético no centro de curvatura P.
Fig. 29-79 Problema 69.
70 A Fig. 29-80 mostra, em seção reta, dois fios longos paralelos
separados por uma distância d = 10,0 em; os dois fios conduzem
uma corrente de 100 A, que tem o sentido para fora do papel no fio
I. O ponto P está sobre a mediatriz do segmento de reta que liga os
dois fios. Na notação de vetares unitários, determine o campo magnético no ponto P se o sentido da corrente 2 for (a) para fora do papel;
1» para dentro do papel.
Fig. 29-82 Problema 76.
Um fio longo está sobre o eixo x e conduz uma corrente de 30 A
no sentido positivo do eixo x. Um segundo fio longo é perpendicular ao plano xy, passa pelo ponto (O; 4,0 m; O) e conduz uma corrente de 40 A no sentido positivo do eixo z. Determine o módulo do
campo magnético produzido pelos fios no ponto (O; 2,0 m; O).
77
78 Um fio cilíndrico com 8,00 mm de raio conduz uma corrente de
25,0 A, uniformemente distribuída em sua seção reta. A que distância do eixo existe um ponto no interior do fio onde o módulo do
campo magnético é O, lOO mT?
79 Um fio longo que conduz uma corrente de 100 A é perpendicular
às linhas de campo magnético de um campo magnético uniforme cujo
módulo é 5,0 mT. A que distância do fio o campo magnético é zero?
Na Fig. 29-65, um arranjo conhecido como bobina de Helrnholtz
é formado por duas bobinas coaxiais circulares de raio R, com N
espiras, separadas por uma distância s. As duas bobinas conduzem
uma corrente ino mesmo sentido. (a) Mostre que a primeira derivada do modulo do campo magnético das bobinas, dB/dx, é zero no
ponto médio P para qualquer valor de s. Por que é razoável esperar
que isto aconteça, tendo em vista a simetria da situação? (b) Mostre
que a derivada segunda, d'Bldx', também se anula no ponto P para
s R. Isto explica a uniformidade de B nas proximidades do ponto
P para esta distância entra as bobinas.
80
A Fig. 29-84 é um desenho esquemático de um canhão eletromagnético. O projétil P é colocado entre dois trilhos de seção reta
circular; uma fonte faz passar uma corrente nos trilhos e no projétil,
que é feito de material condutor (não é necessário usar um fusível).
(a) Seja w a distância entre os trilhos, R o raio dos trilhos e i a corrente. Mostre que o projétil é submetido a uma força para a direita,
paralela aos trilhos, cujo módulo é dado aproximadamente
por
86
i2/-Lo
w
F=-(n--
21'
+ R
R
(b) Se o projétil se encontra inicialmente em repouso na extremidade esquerda dos trilhos, determine a velocidade v com a qual ele é
lançado da extremidade direita. Suponha que i = 450 kA, w = 12
mm, R = 6,7 em, L = 4,0 m e a massa do projétil é 10 g.
Fonte
=
Uma espira quadrada de lado a conduz uma corrente i. Mostre
que no centro da espira o módulo do campo elétrico produzido pela
corrente é
Figo
81
B
=
2.J2/-LOi.
1'a
82 Mostre que o módulo do campo magnético produzido
no centro
de uma espira retangular de comprimento L e largura W, percorrida
por uma corrente i, é dado por
_ 2/-Lol (L 2 + W2)
B - -;LW
87 Um fio longo retilíneo conduz uma corrente de 50 A. Um elétron
está se movendo com uma velocidade de 1,0 X lO7 rnls a 5,0 em de
distância do fio. Determine o módulo da força magnética que age
sobre o elétron se a velocidade do elétron é (a) na direção do fio; (b)
paralela ao fio no sentido da corrente; (c) perpendicular às direções
dos itens (a) e (b).
)'
1/2
83 Uma espira quadrada de lado a conduz uma corrente i. Mostre
que o módulo do campo magnético em um ponto sobre o eixo perpendicular ao plano da espira passando pelo centro e situado a uma
distância x do centro é dado por
B x
()
4 /-Lota.
=
?T(4x2
p
-+~------------ __
x
f---R---!
2
+ a2)( 4x2 + 2a2)
Mostre que este resultado é compatível
ma8!.
29-84 Problema 86.
1/2·
com o resultado
Figo
do Proble-
29-85 Problema
88.
84
Dois fios, ambos de comprimento L, foram entortados para formar uma espira quadrada e uma espira circular e conduzem uma
corrente i. Mostre que a espira quadrada produz um campo magnético maior no centro do quadrado que a espira circular no centro da
circunferência.
A Fig. 29-85 mostra, em seção reta, dois fios longos paralelos
separados por uma distância d = 18,6 em. A corrente nos fios é 4,23
A, para fora do papel no fio 1 e para dentro do papel no fio 2. Na
unidade de vetares unitários, qual é o campo magnético no ponto P,
situado a uma distância R = 34,2 em da reta que liga os dois fios?
85 Na notação de vetares unitários, qual é o campo magnético
no
ponto P da Fig. 29-83 se i = lO A e a = 8,0 em? (Observe que os
fios não são longos.)
A Fig. 29-86 mostra uma seção reta de uma placa condutora infinita que conduz uma corrente A por unidade de largura, dirigida para
fora do papel. (a) Use a lei de Biot-Savart e a simetria da situação
para mostrar que, para todos os pontos P acima da placa e para todos os pontos P' abaixo da placa, o campo magnético B é paralelo
à placa e tem o sentido indicado na figura. (b) Use a lei de Ampére
para mostrar que B = JLoAl2 em todos os pontos P e P '.
Fig.
29-83 Problema 85.
88
89
Figo
29-86 Problemas
89 e 95.
Mostre que, se a espessura de um toróide é muito menor que o
raio de curvatura, a Eq. 29-24 para o campo no interior de um toróide
se reduz à Eq. 29-23 para o campo no interior de um solenóide.
Explique por que este resultado é razoável.
90
possíveis. (f) Suponha que a = 2,0 em, b = 1,8 em, c = 0,40 em e
i = 120 A e plote a função B(r) na faixa O < r < 3 em.
A Fig. 29-87 mostra uma seção reta de um condutor cilíndrico
oco, de raios a e b, que conduz uma corrente i uniformemente disibuída. (a) Mostre que o módulo do campo magnético B(r) a uma
- tância r do eixo do cilindro, para b < r < a, é dado por
91
B
=
11
,-0
27T(a2
i
-
r2 -
b2)
b?
r
Mostre que para r = a esta equação fornece o campo magnético
na uperfície de um fio longo retilíneo percorrido por uma corrente
i: para r = b, fornece o valor zero para o campo magnético; para b
= O, fornece o campo magnético no interior de um fio maciço de
raio a percorrido por uma corrente i. (c) Suponha que a = 2,0 em, b
= 1,8 em e i = 100 A e faça um gráfico de B(r) para O < r < 6 em.
'b)
Fig. 29-88 Problema 92.
93 Mostre que um campo magnético uniforme B não pode diminuir
bruscamente para zero (como pode parecer pela falta de linhas de campo à direita do ~nto a na Fig. 28-89) quando nos deslocamos perpendicularmente a B, ao longo, por exemplo, da seta horizontal da figura.
(Sugestão: aplique a lei de Ampêre à amperiana retangular indicada
pelas retas tracejadas.) Nos ímãs reais, o campo B sempre tende a
zero gradualmente quando nos afastamos da região entre os pólos.
Modifique as linhas de campo da figura para torná-Ias mais realistas.
Fig. 29-87 Problema 91.
92 A Fig. 29-88 mostra uma seção reta de um cabo coaxial longo de
raios a, b e c. Correntes i de mesmo valor e sentidos opostos estão
uniformemente distribuídas nos dois condutores. Escreva expressões
para o modulo do campo magnético B(r) em função da distância
radial r (a) para r < c; (b) para c < r < b; (c) para b < r < a; (d)
para r > a. (e) Teste estas expressões para todos os casos especiais
Fig. 29-89 Problema 93.