SBBD - SBES 2007

WAAMD 2007
III Workshop em Algoritmos e Aplicações de Mineração de Dados
Uma análise de algoritmos para extração de regras de
associação usando Análise Formal de Conceitos
Renato Vimieiro1 e Newton José Vieira1
1
Departamento de Ciência da Computação
Universidade Federal de Minas Gerais
{vimieiro,nvieira}@dcc.ufmg.br
Abstract. This paper aims at presenting a performance evaluation of four representative algorithms based on FCA for extracting association rules. The
situations where each algorithm is less or more adequate will be discussed here.
Resumo. Este artigo apresenta uma avaliação de desempenho de quatro algoritmos representativos baseados em AFC para extração de regras de associação.
As situações em que cada algoritmo é mais, ou menos, adequado são discutidas
aqui.
1. Introdução
Este trabalho apresenta uma avaliação de desempenho de quatro algoritmos representativos baseados em Análise Formal de Conceitos (AFC) para extração de regras de associação. A extração de regras de associação é um importante problema da área de mineração
de dados que trata da descoberta de relacionamentos significativos, de natureza probabilística, entre itens de grandes bases de dados [Agrawal and Srikant 1994]. Já a AFC, é
um arcabouço formal, baseado na teoria de reticulados [Davey and Priestley 2001], para
a análise de dados [Ganter and Wille 1999]. A aplicação de AFC na extração de regras
de associação é, de certa forma, natural, visto que, ao organizar os itens de dados em um
reticulado, a AFC obtém uma malha de relacionamentos que pode servir de base para a
mineração de associações significativas.
Os quatro algoritmos avaliados são: AClose, Titanic, Frequent Next Neighbours
(FNN) e Galicia. O AClose, proposto por Pasquier et al. [Pasquier et al. 1999], baseiase no tradicional algoritmo para extração de regras de associação Apriori de Agrawal e
Srikant [Agrawal and Srikant 1994]. O Titanic [Stumme et al. 2002], também tem inspiração no Apriori, porém o método difere do AClose por construir explicitamente reticulados
conceituais. O FNN, proposto por Carpineto e Romano [Carpineto and Romano 2004],
utiliza reticulados como guias para a extração de regras. O quarto algoritmo, Galicia,
proposto por Valtchev et al. [Valtchev et al. 2002], é um método incremental que também
usa reticulados, mas como forma de encontrar conjuntos de itens freqüentes.
Os algoritmos foram implementados e submetidos a bases de dados sintéticas. As
bases de dados foram geradas para avaliar a influência do tamanho (número de tuplas) e
da densidade no tempo de execução dos algoritmos.
Os experimentos realizados revelam comportamentos característicos para cada
classe de algoritmo. Aqueles baseados no Apriori mostraram-se mais sensíveis a variações na densidade das bases de dados. À medida que a densidade aumenta, os tempos de
execução dos algoritmos também aumentam. Já para os algoritmos que usam diretamente
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Tabela 1. Exemplo de contexto formal
Animais
peixe
sapo
homem
macaco
coruja
tubarão
aquático terrestre branquias pulmões pêlo pena mamífero razão
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
o reticulado, esse comportamento não foi observado; o aumento da densidade não resultou no aumento do tempo de execução. Contudo, eles mostraram-se sensíveis ao aumento
do tamanho da base de dados. O aumento do tamanho da base resultou no aumento do
tempo de execução desses algoritmos. Neste trabalho, as situações em que cada algoritmo
adequa-se melhor serão discutidas.
O trabalho está organizado da seguinte forma: a próxima seção apresenta conceitos básicos sobre AFC. A Seção 3 apresenta algumas definições sobre regras de associação
e mostra como a AFC pode ser usada para extração das mesmas. A Seção 4 apresenta os
resultados das comparações dos algoritmos. Finalmente, a Seção 5 apresenta as conclusões e limites do trabalho e indica pesquisas futuras.
2. Análise formal de conceitos
A AFC é um método proposto para a análise de dados estruturados como conceitos formais, entidades matemáticas que formalizam, simplificadamente, a concepção abstrata de
conceito como manifestação do pensamento humano. Ela baseia-se na teoria de reticulados para construir hierarquias de conceitos, fundamentando-se em três entidades básicas:
contextos formais, conceitos formais e reticulados conceituais.
Contextos formais são triplas (G, M, I) em que G é um conjunto de objetos, M
é um conjunto de atributos e I é uma relação binária, I ⊆ G × M , chamada relação de
incidência. A relação I indica se um objeto g ∈ G possui um atributo m ∈ M (gIm ou
(g, m) ∈ I). Normalmente, contextos formais são representados por tabelas cujas linhas
representam objetos, colunas representam atributos e as interseções entre linhas e colunas
indicam se objetos possuem ou não determinados atributos. A Tabela 1 apresenta um
exemplo de contexto formal. Nela, os objetos são animais, os atributos são características
dos animais e a relação de incidência indica, para cada animal, as características que
ele possui. Por exemplo, o fato de que o animal homem possui a característica razão
é indicado pelo sinal × na interseção entre a linha representando o homem e a coluna
representando a razão.
Seja (G, M, I) um contexto formal e sejam A ⊆ G e B ⊆ M conjuntos de objetos
e de atributos, respectivamente. Definem-se as seguintes funções, chamadas operadores
de derivação:
A↑ = {m ∈ M | ∀g ∈ A gIm},
B ↓ = {g ∈ G | ∀m ∈ B gIm}
A função ↑, aplicada a um conjunto de objetos A, retorna o conjunto dos atributos comuns
aos objetos de A. Similarmente, a função ↓, aplicada a um conjunto de atributos B, retorna
o conjunto de objetos que possui os atributos de B em comum. Assim, para o exemplo
da Tabela 1, tem-se: {sapo, macaco}↑ = {terrestre, pulmões} e {terrestre, pulmões}↓ =
{sapo, homem, macaco, coruja}. As funções ↑ e ↓ recebem a mesma notação (·)0 , por
motivo de conveniência, como é comum em textos sobre AFC.
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Figura 1. Diagrama de linha do contexto formal da Tabela 1.
A partir de contextos formais, pode-se extrair conceitos formais. Um conceito formal é constituído por um conjunto de objetos denominado extensão, e por um conjunto
de atributos denominado intensão. Todo objeto da extensão possui todos os atributos da
intensão e todo atributo da intensão é comum a todos os objetos da extensão. Ou seja, um
conceito formal é um par (A, B), em que A ⊆ G e B ⊆ M , tal que A0 = B e B 0 = A;
A é a extensão e B a intensão do conceito. O par ({homem, macaco}, {terrestre, pulmões, pêlo, mamífero}) é um exemplo de conceito formal obtido do contexto formal da
Tabela 1.
Os conceitos formais podem ser ordenados criando-se um reticulado conceitual.
Os conceitos são ordenados pela inclusão de conjuntos sobre as extensões e pela ordem
inversa de inclusão sobre as intensões. Sejam (A1 , B1 ), (A2 , B2 ) dois conceitos formais.
Então (A1 , B1 ) ≤ (A2 , B2 ) se, e somente se, A1 ⊆ A2 e B2 ⊆ B1 [Ganter and Wille
1999].
Um reticulado conceitual pode ser representado graficamente através de um diagrama de linhas. Os conceitos formais são representados no diagrama através de círculos,
sendo sua extensão desenhada abaixo e sua intensão acima do círculo. A relação de ordem estabelecida entre os conceitos formais é explicitada apenas para conceitos formais
vizinhos imediatos, por meio de uma linha conectando os círculos que os representam. A
Figura 1 apresenta o diagrama de linhas dos conceitos do contexto formal da Tabela 1. A
extensão e intensão dos conceitos formais são exibidas de forma reduzida. Nesse caso,
um objeto g é desenhado somente na extensão do menor conceito formal (A, B) tal que
g ∈ A. Similarmente, um atributo m é desenhado na intensão do maior conceito formal
(A, B) tal que m ∈ B.
O reticulado conceitual torna explicítos os relacionamentos entre atributos, fornecendo uma base para extração de regras em geral e, em particular, de regras de associação.
Exemplificando, dos conceitos formais com rótulo pêlo e mamífero, e terrestre e pulmões
no reticulado conceitual da Figura 1, pode-se extrair a seguinte regra, dentre outras: para
50% dos animais, se um animal tem o atributo terrestre, então ele tem pêlo. Observe
que nem todo animal terrestre possui pêlo; a coruja, por exemplo, é terrestre e não possui pêlos. Regras desse tipo ilustram regras de associação que são definidas na próxima
seção.
3. Regras de associação e AFC
Regras de associação são relacionamentos entre atributos, válidos para grupos de objetos
em uma base de dados. Considerando uma base de dados representada por um contexto
formal, pode-se enunciar formalmente regras de associação como quadrúplas (A, B, s, c)
em que A é um conjunto de atributos, chamado de antecedente da regra, B é um conjunto
de atributos, chamado de conseqüente da regra, s ∈ [0, 1] é o suporte e c ∈ [0, 1] é
a confiança da regra. O suporte de uma regra de associação revela a probabilidade dos
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objetos da base de dados possuírem os atributos envolvidos na regra. Já a confiança
revela a proporção de objetos que possuem os atributos do antecedente e do conseqüente.
Normalmente, a regra (A, B, s, c) é exibida por meio da notação A → B(s,c) . Sejam
(G, M, I) um contexto formal e A → B(s,c) uma regra de associação em que A, B ⊆ M .
O suporte s e a confiança c da regra são obtidos assim:
s=
|(A ∪ B)0 |
,
|G|
c=
|(A ∪ B)0 |
|A0 |
É comum, ao extrair regras de associação de uma base de dados, definir o suporte
mínimo e a confiança mínima das regras a serem extraídas. Esses parâmetros funcionam
como uma espécie de filtro e o usuário é quem os define.
O problema da extração de regras de associação é dividido em duas etapas: (1)
descobrir conjuntos de atributos freqüentes, daqui para frente denominados conjuntos de
itens freqüentes, como na literatura relativa a regras de associação, e (2) extrair regras com
confiança mínima a partir de cada conjunto de itens freqüente. Os algoritmos baseados
em AFC são úteis principalmente na primeira etapa.
A primeira etapa da extração de regras de associação consiste em descobrir, em
um contexto formal (G, M, I), o conjunto CIF = {X ⊆ M |s(X) ≥ supmin}. A função
s : ℘(M ) → [0, 1] dá o suporte de cada conjunto de atributos; ou seja, s(X) = |X 0 |/|G|.
O parâmetro supmin é o suporte mínimo. Este problema é computacionalmente caro,
já que o espaço de soluções é o conjunto de todos os subconjuntos de atributos de M .
Felizmente, o espaço de busca pode ser reduzido, pois, segundo Agrawal et al. [Agrawal
and Srikant 1994], os conjuntos de itens freqüentes podem ser obtidos dos conjuntos de
itens freqüentes máximos.
Um conceito formal (X, Y ) é freqüente, se s(Y ) ≥ supmin. Como o suporte de
um conjunto de atributos é dado em função do número de objetos que possuem os atributos do conjunto, o suporte de Y é |X|/|G|. Portanto, (X, Y ) é freqüente, se |X|/|G| ≥
supmin. O conjunto de conceitos formais freqüentes é definido por: CCF = {(X, Y ) ∈
B(G, M, I)|s(Y ) ≥ supmin} em que B(G, M, I) é o reticulado conceitual em questão.
Definido o conjunto dos conceitos formais freqüentes, pode-se definir o conjunto
dos conceitos formais freqüentes mínimos, como:
CCF M = {(X, Y ) ∈ CCF | ∀(X1 , Y1 ) ∈ CCF [(X1 , Y1 ) ≤ (X, Y ) → (X1 , Y1 ) = (X, Y )]}.
Este conjunto é importante, pois dá origem ao conjunto das máximas intensões devido à
relação de ordem definida sobre os conceitos formais. O conjunto das máximas intensões
é, por sua vez, importante, pois ele é igual à família dos conjuntos de itens freqüentes
máximos [Pasquier et al. 1999].
Como o conjunto das intensões máximas é igual à família dos conjuntos de itens
freqüentes máximos, o reticulado conceitual pode ser usado para a identificação de conjuntos de itens freqüentes.
4. Comparando os algoritmos
Nesta seção, será discutido o uso de quatro algoritmos baseados em AFC para extração
de regras: AClose, Titanic, Frequent Next Neighbours e Galicia.
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O AClose, proposto por Pasquier et al. [Pasquier et al. 1999], foi o primeiro algoritmo baseado em AFC para extração de regras de associação. Ele foi inspirado no
Apriori [Agrawal and Srikant 1994]. O AClose identifica itens freqüentes através de conceitos freqüentes. Ele encontra os conceitos freqüentes gradualmente, usando a idéia de
geradores. Esses geradores são os menores conjuntos de atributos que dão origem a uma
intensão através da aplicação da composição dos operadores de derivação (·)00 . Por exemplo, o conjunto de atributos {aquático} na Tabela 1 é um gerador para a intensão do conceito formal ({peixe, sapo, tubarão}, {aquático, branquias}). Durante a i-ésima etapa,
o AClose avalia os geradores com i atributos e determina suas intensões. Ele armazena
apenas as intensões freqüentes. Para descobrir os geradores de tamanho i + 1, o AClose
usa apenas as intensões freqüentes. O algoritmo repete esse ciclo (encontrar intensões e
geradores de tamanho i + 1) até que não haja mais geradores a serem avaliados.
O Titanic foi proposto por Stumme et al. [Stumme et al. 2002] e também foi inspirado no Apriori, porém sua abordagem é distinta. Ele constrói um reticulado iceberg, que
é um reticulado conceitual dos conceitos freqüentes, para encontrar os conjuntos de itens
freqüentes. A construção do reticulado iceberg baseia-se nas idéias de geradores usados
pelo Apriori e AClose. No entanto, ao invés de aplicar os operadores de derivação para obter uma intensão, o Titanic usa uma função de peso cuja aplicação é computacionalmente
mais barata que a aplicação dos operadores de derivação. Outra diferença apresentada
pelo Titanic é que ele particiona o conjunto de geradores em classes de equivalência nas
quais todos os elementos de uma classe dão origem a uma mesma intensão. Isso evita que
dois geradores sejam avaliados para a computação de uma mesma intensão.
O Frequent Next Neighbours(FNN), proposto por Carpineto e Romano [Carpineto
and Romano 2004], assemelha-se ao Titanic, por construir um reticulado conceitual de
conceitos freqüentes. A construção do reticulado conceitual, entretanto, é feita através
de uma adaptação do algoritmo de Bordat [Bordat 1986]. O algoritmo encontra os conceitos formais por níveis, sendo que, em cada nível, apenas os conceitos freqüentes são
armazenados e usados para encontrar os conceitos freqüentes do próximo nível. Tendo encontrado o reticulado conceitual dos conceitos freqüentes, o algoritmo executa uma busca
em largura no reticulado conceitual à procura das regras de associação, iniciando pelo
maior conceito do reticulado. As regras são geradas considerando-se apenas um conceito
e seus vizinhos imediatos.
O Galicia foi proposto por Valtchev et al. [Valtchev et al. 2002]. Assim como o
Titanic e o FNN, o Galicia constrói um reticulado conceitual para identificar os conjuntos
de itens freqüentes. Contudo, ele constrói o reticulado de forma incremental. Inicialmente, considera-se um contexto formal sem objetos, mas com o conjunto de atributos
definido. O conjunto de atributos de cada objeto, por si só, é uma intensão de um conceito formal. Assim, a cada iteração, o algoritmo simula a inclusão de um novo objeto
ao contexto e verifica as modificações necessárias para que a estrutura do reticulado seja
preservada. Ao contrário dos demais, o Galicia armazena todos os conceitos formais,
mesmo os não-freqüentes, pois, após sucessivas inclusões de objetos, alguns conceitos
freqüentes podem tornar-se não-freqüentes e vice-versa.
Os algoritmos foram escritos em Java e executados em uma máquina virtual Java,
versão 1.4.2 para Windows XP, em um computador Pentium 3 com 440MB de memória principal. Não houve qualquer providência para eliminar os overheads desse sistema
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Tabela 2. Contextos formais usadas para avaliar os algoritmos.
ID
Contexto
# Objetos # Atributos
|I|
Média de atributos/objeto Densidade (%)
1 M15T3I4D1K
1000
15
3747
3
24,98
2 M15T5I4D1K
1000
15
4935
5
32,90
3 M15T6I4D1K
1000
15
5497
6
36,65
4 M15T8I4D1K
1000
15
6788
8
45,25
5 M10T5I4D10K 10000
10
52899
5
52,90
6 M7T3I2D50K
50000
7
152259
3
43,50
7
T5I4D0.1K
100
10
545
5
54,50
8
T5I4D0.5K
500
10
2676
5
53,52
9
T5I4D1K
1000
10
5286
5
52,86
específico (como, por exemplo, o relativo a coleta de lixo) em nenhum dos quatro algoritmos. No entanto, o fato de que foram escritos na mesma linguagem e executados na
mesma plataforma contribui positivamente para que a avaliação relativa dos algoritmos
seja significativa.
Os testes foram feitos usando bases de dados sintéticas. As bases foram geradas
variando-se a densidade dos contextos1 entre 20% e 70% e o número de objetos entre 100
e 1000, além de outras duas bases com 10K e 50K objetos.
A Tabela 2 apresenta as características das bases usadas nos testes. As bases de
2 a 4 na Tabela 2 foram geradas para representar bases com diferentes densidades. As
bases sintéticas 5 e 6 foram geradas para verificar o comportamento dos algoritmos com
bases grandes (com muitos objetos). Já as bases de 7 a 9 foram geradas para avaliar o
comportamento do Galicia com bases de diferentes tamanhos.
Uma ressalva em relação à comparação dos algoritmos é que o Galicia não foi
analisado com os mesmos contextos que os demais. Por ser incremetal, quando o número
de objetos no contexto é grande, o desempenho do Galicia é extremamente ineficiente
comparado aos demais. Esse problema já era esperado e fora apontado por Valtchev et
al. ao introduzir o algoritmo [Valtchev et al. 2002]; segundo os autores, o algoritmo é
indicado apenas quando ocorrem pequenas modificações na base de dados. Assim, optouse por avaliar o algoritmo apenas para verificar seu comportamento com contextos com
de diferentes tamanhos e densidades.
Os tempos de execução dos algoritmos variando-se a densidade dos contextos são
apresentados na Figura 2. O teste, nesse caso, foi feito mantendo-se o suporte mínimo
em 2% e confiança mínima em 50%. Constata-se, analisando-se a figura, que os algoritmos baseados no Apriori tiveram o desempenho degradado à medida que a densidade dos
contextos aumentou. No entanto, esse comportamento não foi observado com o FNN que
manteve seu tempo de execução praticamente constante com a variação de densidade. A
degradação do desempenho dos algoritmos Titanic e AClose e a manutenção do tempo de
execução do FNN são explicadas por dois motivos: o Apriori é indicado para bases de dados esparsas, logo, o aumento da densidade prejudica seu desempenho. Como o Titanic e
o AClose baseiam-se no Apriori, seus desempenhos também degradam-se com o aumento
da densidade. O segundo motivo é que o pior caso para a construção de reticulados ocorre
quando o contexto é equivalente a (G, G, 6=) que possui densidade por volta de 75%.
As Figuras 3 e 4 exibem os testes para os contextos 5 e 6. Mais uma vez, fixou-se
a confiança das regras em 50% e variou-se o suporte. Os tempos de execução do FNN,
que até então mostravam-se superiores aos dos outros, não mantiveram os bons resultados
1A
densidade de um contexto (G, M, I) é a razão |I|/|G| × |M |.
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Figura 2.
Desempenho
dos algoritmos variando-se
a densidade.
Figura 3.
Desempenho
dos algoritmos variando-se
o suporte para o contexto
5.
Figura 4.
Desempenho
dos algoritmos variando-se
o suporte para o contexto
6.
e foram consideravelmente altos. O fato do FNN ter aumentado seu tempo de execução
para contextos com muitos objetos é explicado pela construção do reticulado. O custo
de aplicação dos operadores de derivação é considerável quando o número de objetos é
alto. Como o AClose não constrói o reticulado e o Titanic evita o uso dos operadores de
derivação para construí-lo, eles tiveram tempos de execução superiores ao FNN.
Figura 5. Desempenho do Galicia variando-se o número de objetos.
Figura 6. Desempenho do Galicia
variando-se a densidade.
Como mencionado, o Galicia foi avaliado separadamente para verificar seu comportamento diante de contextos com diferentes quantidades de objetos e diferentes densidades. Dessa forma, os testes do Galicia serviram como uma simulação para a inclusão
de novos objetos à base em situações que podem ocorrer no cotidiano. Os tempos de
execução são mostrados nas Figuras 5 e 6.
A Figura 5 mostra o resultado dos teste em que simulou-se a inclusão de diferentes
quantidades de objetos. Como era esperado, o tempo de execução do algoritmo aumenta
proporcionalmente com o aumento do número de objetos a serem incluídos.
A Figura 6 exibe o resultado dos testes em que variou-se a densidade dos contextos. Analisando-se a figura, observa-se que o tempo de execução aumentou com o
aumento da densidade do contexto, ocorrendo um pico no tempo de execução quando a
densidade do contexto ficou próximo a 55%. No entanto, a partir desse ponto, o tempo de
execução começou a decrescer com o aumento da densidade. Um fato que, em princípio,
é estranho, ocorre devido a características do algoritmo. A cada passo, o algoritmo inclui
um objeto ao reticulado, executando as operações necessárias para preservar a estrutura
do reticulado. À medida que a densidade do contexto aumenta, a probabilidade de ocorrência de objetos semelhantes, ou até mesmo idênticos, no contexto também aumenta. A
inclusão de objetos requer menos operações para atualizar o reticulado. Portanto, o tempo
de execução do Galicia para contextos mais densos tende a ser menor.
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5. Conclusão
A avaliação dos algoritmos baseados em AFC para extração de regras de associação mostrou que eles são uma boa alternativa para extração de regras. Os algoritmos mostraram-se
adequados a situações distintas. Em resumo, os algoritmos que usam diretamente reticulados para extração de regras mostraram-se mais eficazes para contextos com alta densidade. Enquanto os algoritmos baseados no Apriori mostraram-se mais eficazes para
contextos esparsos com muitos objetos. Existe, ainda, a situação em que o algoritmo é
adequado para pequenas atualizações, como o Galicia.
Este trabalho tenta suprir deficiências constatadas na literatura no que diz respeito
à definição de critérios para escolha de bases de dados para comparação de métodos baseados em AFC para extração de regras de associação. No entanto, este trabalho ainda
apresenta deficiências que deverão ser sanadas em trabalhos futuros.
O primeiro ponto a ser considerado é a escolha da linguagem de programação
para implementação dos algoritmos. Em trabalhos futuros, deve-se considerar implementações ótimas (ou as melhores possíveis) dos métodos. Assim, deve-se fazer análises de
estruturas de dados eficientes para implementação dos algoritmos. Esse ponto é crucial
já que a maioria dos autores, ao apresentarem seus algoritmos, não discutem aspectos de
implementação. O segundo ponto é a escolha de bases de dados mais realistas. As bases
de dados têm grande influência no desempenho dos algoritmos. Dessa forma, a escolha
de bases de dados que retratem com maior confiança situações reais é extremamente importante. O terceiro e último ponto diz respeito à comparação dos algoritmos baseados
em AFC com algoritmos tradicionais para extração de regras de associação.
Esses pontos serão considerados em trabalhos futuros e, portanto, será possível
fazer análises mais conclusivas sobre a adequação de cada método a cada situação real.
Referências
Agrawal, R. and Srikant, R. (1994). Fast algorithms for mining association rules. In
Proceedings of the 20th Very Large Data Bases Conference, pages 487–499.
Bordat, J. P. (1986). Calcul pratique du treillis de Galois d’une correspondance. Mathématiques et Sciences Humaines, (96):31–47.
Carpineto, C. and Romano, G. (2004). Concept Data Analysis: Theory and Applications.
John Wiley & Sons, England.
Davey, B. A. and Priestley, H. A. (2001). Introduction to Lattices and Order. Cambridge
Mathematical Textbooks, England, 2nd edition.
Ganter, B. and Wille, R. (1999). Formal Concept Analysis: Mathematical Foundations.
Springer-Verlag.
Pasquier, N., Bastide, Y., Taouil, R., and Lakhal, L. (1999). Efficient mining of association
rules using closed itemset lattices. Information Systems, 24(1):25–46.
Stumme, G., Taouil, R., Bastide, Y., Pasquier, N., and Lakhal, L. (2002). Computing
iceberg concept lattices with TITANIC. Data Knowledge Engineering, 42(2):189–222.
Valtchev, P., Missaoui, R., Godin, R., and Meridji, M. (2002). Generating frequent itemsets incrementally: two novel approaches based on Galois lattice theory. Journal of
Experimental and Theoretical Artificial Intelligence, 14(2–3):115–142.
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