Quarta Aula

Quarta Aula
Introdução à Astrofísica
Reinaldo R. de Carvalho ([email protected])
pdf das aulas estará em http://cosmobook.com.br/?page_id=440
Capítulo 4!
!
!
!
A Teoria da Relatividade Restrita!
- Transformações Galileanas!
- Transformações de Lorentz!
- Espaço e Tempo na Relatividade Restrita!
- Momento e Energia!
O Experimento de Michelson-Morley
Relatividade Especial
Após a descoberta das Leis de Maxwell, por volta de 1860, foi reconhecido que as equações
de Maxwell não obedeciam ao principio da relatividade newtoniana, ou seja que as equações
não eram invariantes segundo transformações de Galileu. Na época os cientistas não teriam
se importado com isso se não fosse o fato de que as equações de Maxwell previam a
existência de ondas eletromagnéticas com velocidade c (com verificação experimental).
Assim sendo no século XIX foi postulado que as ondas eletromagnéticas se propagavam em
um meio material (o “éter”). Desta forma vários experimentos foram realizados tentando
medir a velocidade da luz em relação ao “éter”.
!
Para entender o experimento consideremos o seguinte exercício (Exemplo 1-3 do livro Física
Moderna, Tipler & Llewellyn). Considere dois remadores que conseguem desenvolver uma
velocidade c em água parada. A água do rio está movendo-se com uma velocidade v. Como
na figura, o barco 1 vai vai do ponto A ao ponto B percorrendo uma distância L e volta ao
ponto A. O barco 2 vai do ponto A ao C e volta ao ponto A. Qual dos dois remadores ganha a
corrida ? (supondo que c > v)
B
v
v
L
c
(c2-v2)1/2
(c2-v2)1/2
c
v
A➔B
L
A
C
B➔A
O tempo de percurso para o barco 1 pode ser escrito como
!
Relatividade Especial
O barco 2 vai do ponto A ao C com velocidade c+v e retorna com velocidade c-v. O tempo
total é então:
!
O barco 1 vence a corrida!
!
Relatividade Especial
Para estudar o movimento das galáxias e fótons no Universo, precisaremos estabelecer um
sistema de coordenadas e sua métrica. Em geral um sistema de coordenadas significa
associar a todo e qualquer evento uma coordenada temporal e três coordenadas espaciais.
Neste capítulo, estudaremos tais conceitos dentro da perspectiva de relatividade especial.
A teoria da relatividade especial apareceu como idéia no final do século XIX e foi edificada
por Albert Einstein em 1905. Resistiu a inúmeros testes de verificação de sua validade e hoje
em dia é amplamente usada na Física. A RE requer que abandonemos nossos conceitos do
senso comum que nos diz que intervalos de tempo e de espaço são os mesmos para todo e
qualquer observador.
Primeiro postulado da Relatividade Especial : As leis da física podem ser escritas da mesma
forma em todos os sistemas de referencia inerciais.
!
Segundo postulado da Relatividade Especial : A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo
valor em todos os referenciais inerciais
Vamos investigar a transformação de Lorentz entre dois sistemas de referência em
movimento relativo. Os sistemas são S e .
Consideramos os eixos paralelos em todos os tempos, além do que os relógios são ajustados
de tal forma que as origens coincidem em t = = 0.
!
!
A transformação deve ser linear em coordenadas. Obviamente y = y’ e z = z’. Já que x = vt
deve corresponder a = 0, então
!
!
é uma constante que depende de v
eq. 2.1
Da mesma forma t’ deve ter a forma
!
!
eq. 2.2
!
!
Vamos supor que um pulso de luz é emitido em t = 0, a partir da origem. Isto ocorre também
em t’ = 0 na origem de S’. Seja r e r’ coordenadas perpendiculares a direção do movimento,
ou seja, r = (z2 + y2)1/2. Ja que a velocidade da luz, c, é uma constante, a distância viajada
pelo pulso será a mesma em ambos sistemas. Num tempo t, o pulso de luz terá alcançado a
superfície de uma esfera de raio ct no sistema S, e de raio ct’ no sistema S’. Assim:
Da mesma forma temos
′
ou
Uma vez que coordenadas perpendiculares (y,z) não são afetadas por movimento na direção
x, r e r’ devem ser iguais independente do tempo. Assim:
eq 2.3
Se substituirmos eq. 2.1 e eq. 2.2 na equação 2.3, obtemos
Esta condição é válida para todos os valores de x e t. Assim, os coeficientes devem ser:
7
Isto nos dá 3 equações para 3 variáveis γ, m e n
8
Mas as soluções devem valer também no limite Galileano quando v/c tende a 0. Assim,
tomamos a raiz positiva da equação acima.
Da equação (c) temos:
9
Da equação (a) temos:
Assim, as transformações de Lorentz para x’ e t’ são:
eq 2.4
eq 2.5
Assim, podemos escrever estas equações em termos do fator γ como:
eq 2.6
eq 2.7
10
Exemplo: Calcule o fator de Lorentz quando a velocidade relativa v é 10% da velocidade
de luz e 90% da velocidade da luz.
11
Estranhamente, as transformações de Lorentz eram conhecidas mesmo antes do advento da
Relatividade Especial! Elas eram conhecidas como as transformações que sob as quais as
equações de Maxwell eram invariantes, mas seu significado físico não era totalmente
entendido. Assim, as equações de Maxwell eram vistas como não relativísticas.
A Relatividade Especial
elimina o tempo absoluto; ao
invés disso temos uma
relatividade da simultaneidade
As transformações de Lorentz têm um número de implicações radicais e não-intuitivas que
discutiremos a seguir.
12
Contração do Comprimento
Considere uma vara de comprimento Lo em repouso no sistema
direção . Qual o comprimento da vara no sistema S ?
; a vara é orientada na
Sejam ∆ x = x2 - x1 , ∆ y = y2 - y1 , etc; as diferenças de coordenadas de dois eventos no
sistema S e similarmente no sistema . Se substituirmos estas coordenadas nas equações 2.6
e 2.7 e subtrairmos, obteremos
eq 2.8
eq 2.9
= Lo . Para determinar seu comprimento no sistema S, devemos observar os
Seja ∆
extremos no mesmo tempo no sistema S. Isto significa ∆ t = 0 da equação 2.8, e assim
Uma vez que v/c é sempre < 1 então γ é sempre > 1.
A vara é encurtada na direção de seu
movimento por 1/γ = (1 - v2/c2)1/2
Note que as dimensões perpendiculares à direção do movimento continuam inalteradas.
13
Dilatação do Tempo
O análogo da equação 2.9 dando ∆ t em termos de ∆
e ∆
é:
eq 2.10
Mostre que a partir da equação 2.9 podemos escrever a equação 2.10, usando a equação 2.8
Vamos considerar um relógio o qual é fixo no sistema referência . Dois eventos no sistema
são separados por
. Qual intervalo de tempo um observador no sistema S
mede para estes dois eventos ? Uma vez que o relógio é fixo em , ∆ = 0 e assim:
onde ∆ to é o intervalo de tempo no sistema de repouso.
Relógios se movendo com velocidade v em relação a um
sistema inercial S medem um intervalo de tempo maior
(mais lento), por 1/γ = (1-v2/c2)1/2 , em relação a um relógio
estacionário no sistema S.
14
Exemplo: Raios cósmicos colidem com núcleos de átomos na atmosfera terrestre
produzindo partículas chamadas muons. Muons são instáveis e decaem após 2.20 μs
como medido em um laboratório onde os muons estão em repouso. Isto é, o número
de muons em uma amostra deve decrescer com o tempo de acordo com a expressão
N(t) = No e-t/τ , onde No é o número de muons originalmente na amostra em t = 0. No
topo de uma montanha um medidor mediu 563 muons h-1 movendo-se a uma
velocidade u = 0.9952c. No nível do mar, 1907m abaixo do primeiro medidor outro
detector mediu 408 muons h-1.
!
Os muons levam (1907/0.9952c) = 6.39 μs para viajar da montanha ao nível do mar.
Assim, deveríamos esperar que
!
N = No e-t/τ = 563 e-(6.39/2.20) = 31 muons h-1
!
que é muito menor do que os 408 muons h-1 medido no nível do mar.
!
O problema com este cálculo é que o tempo de vida do muon é medido no referencial
em repouso do muon mas o relógio do experimentador tanto na montanha quanto no
nível do mar está se movendo em relação ao muon. Eles medem o tempo de vida do
muon como
!
!
!
Usando esta nova estimativa temos que N = No e-t/τ = 563 e-(6.39/22.5) = 424 muons h-1
em excelente acordo com as medidas ao nível do mar.
15
Paradoxo dos Gêmeos
Neste caso temos dois gêmeos, o primeiro viaja com velocidade constante até uma estrela
distante e volta à Terra, a uma velocidade igual a 0.8c, enquanto o segundo permanece na
Terra o tempo todo. O primeiro gêmeo quando retorna percebe que o segundo está mais
velho. Esta observação está em acordo com a RE, mas vai de encontro com nossa visão
intuitiva do mundo que nos cerca.
!
O paradoxo resulta da afirmação de que todo movimento é relativo. Sendo esse o caso cada
um dos gêmeos poderia ter a impressão de que foi o outro que viajou e portanto o outro que
retornou mais jovem, levando a uma contradição lógica.
!
A simetria dos movimentos é quebrada quando percebemos que o segundo gêmeo permanece
o tempo todo no mesmo referencial inercial, enquanto que o primeiro muda várias vezes de
referencial. Consideremos a figura abaixo:
linha de Universo de (2)
ct
linha de Universo de (1) na volta
linha de Universo de (1) na ida
x
16
A análise correta baseia-se no intervalo invariante. !
!
!
!
Consideremos que para o segundo gêmeo que ficou na Terra passaram-se 10 anos (5 anos de
ida e 5 anos de volta). No sistema do primeiro gêmeo então Δtʹ = Δt / 𝛾 = 3 anos. Então, do
ponto de vista do primeiro gêmeo Δx = 0 e Δt = 𝜏 = 3 anos (tempo próprio).
!
No entanto, do ponto de vista do gêmeo que ficou na Terra !
!
!
e como (Δx/c)2 é sempre positivo, ele sempre observa um tempo Δt > 𝜏. Então, do ponto de
vista do segundo gêmeo Δx = 0.8c Δt e portanto
!
(Δt)2 = (3 anos)2 + (0.8c Δt/c)2
!
ou seja Δt = 5 anos, ou 10 anos para a viagem completa.
!
17
Transformações de Velocidade
Na transformação Galileana a adição de velocidades é simples, no caso da transformação de
Lorentz as coisas são diferentes. Considere novamente dois sistemas, S e em configuração
padrão. Suponha que uma partícula em S tem velocidade u = (ux , uy , uz ). Qual é sua
velocidade em .. .
Assuma que a partícula move-se uniformemente, então podemos escrever sua velocidade nos
dois sistemas como:
eq 2.11
eq 2.12
Substituindo equações 2.8 e 2.10 em 2.12, temos
eq 2.13
eq 2.14
eq 2.15
18
Efeito Doppler Relativístico
Considere primeiro o efeito doppler clássico. Suponha que tenhamos uma fonte de luz
emitindo radiação com comprimento de onda λo . Considere um observador em S, relativo ao
qual a fonte está em movimento com velocidade radial ur .
!
Seja o tempo entre dois pulsos sucessivos no referencial onde a fonte está em repouso ∆ .
A distância que estes dois pulsos têm de viajar para alcançar S difere por ur ∆ . Já que os
pulsos viajam a velocidade c, eles chegam em S com uma diferença de tempo
S
ur
eq 2.16
19
Agora consideremos o efeito doppler relativístico. Já que está em movimento com respeito
a S, o intervalo de tempo entre os pulsos de acordo com S é γ∆ , devido a dilatação do
tempo. Assim:
eq 2.17
Se a velocidade é puramente radial, ur = v
eq 2.18
Contudo, existe um desvio doppler mesmo se ur = 0! Se ur = 0 (e.g. se
circular em torno de S) então
está em órbita
eq 2.19
Este é o efeito doppler transverso; é um efeito puramente relativístico devido a dilatação do
tempo em fontes que se movem.
20
Exemplo: No referencial em repouso o Quasar SDSS 1030+0524 produz uma
emissão de Hidrogênio no comprimento de onda λrep = 121.6 nm. Na Terra a
linha de emissão é observada com λobs = 885.2 nm.
!
O redshift do Quasar é então z = (λobs - λrep )/ λrep = 6.28
!
Usando a equação 2.18 temos:
!
!
!
!
!
!
!
!
!
!
Importante lembrar que estes objetos possuem grandes velocidades de recessão
mas não devido a movimento relativo, mas a expansão do Universo como
veremos no capítulo de Cosmologia.
!
!
21
Massa Relativística
Na mecânica Newtoniana,
eq 2.20
onde p = m v é o momentum linear, assumindo que a massa é constante.
Na mecânica relativística as coisas são um pouco mais complicadas! Vamos escrever a
segunda lei de Newton na forma F = dp/dt.
!
Considere uma colisão perfeitamente inelástica (ou seja, as partículas permanecem juntas!)
dos pontos de vista dos nossos sistemas S e
. Uma das partículas está em repouso no
sistema S e a outra tem velocidade u, antes que elas colidam. Após a colisão as partículas se
juntam e têm velocidade U.
!
Estamos livres para escolher nosso sistema inercial da maneira que quisermos, e assim por
simplicidade vamos assumir que seja o referencial do centro de massa do sistema.
22
No referencial do centro de massa do sistema, uma
partícula de massa M(0) está em repouso depois da
colisão; as duas partículas colidem com velocidades
iguais e opostas. Lembre que o sistema deve se mover
com velocidade U em relação a S. Da conservação de
massa no sistema S temos:
eq 2.21
A partir da conservação do momentum:
ou
eq 2.22
23
A partícula a esquerda tem velocidade U relativo ao sistema
.
por sua vez tem uma
velocidade U relativo a S. Adicionando estas duas velocidades encontramos a velocidade da
partícula, u em S.
Lembre que a lei de transformação de velocidades se escreve como:
eq 2.23
para um sistema
se movendo com velocidade v. Aqui, queremos ux em termos de .
Lembre que os sistemas são simétricos. Para um observador em
o sistema S esta se
movendo com velocidade -v. Assim, substituindo v por -v e trocando os índices:
eq 2.24
Aqui,
= v e v = U, enquanto que ux = u, assim
Resolvendo esta equação para U em termos de u, obtemos a seguinte equação quadrática:
24
a qual tem raízes
eq 2.25
No limite u
0, esta equação deve produzir um resultado finito, logo temos de tomar o
sinal negativo na solução.
!
Substituindo na equação 2.22 obtemos:
25
eq 2.26
Assim, massa não é independente da velocidade. Aqui, m(0) é a massa de repouso.
eq 2.27
26
A equação 2.27 implica que fótons possuem massa de repouso zero. Este é o motivo pelo
qual fótons movem-se a velocidade da luz; para qualquer partícula de massa de repouso nãonula m(u)
∞ quando u
c
Assumindo que u/c é pequeno, podemos expandir a equação 2.26:
eq 2.28
Multiplicando ambos os lados da equação por c2, obtemos:
eq 2.29
Note que o lado direito da equação se assemelha a uma constante mais a energia cinética,
assim a massa relativística contém em si a expressão para a energia cinética clássica. Na
verdade, a conservação da massa relativística leva a conservação de energia no limite
Newtoniano.
!
Vejamos este ponto em maior detalhe. Suponha que tenhamos duas partículas com massas de
repouso m0.1 e m0,2 que colidem; suas velocidades iniciais são vi,1 e vi,2 e suas velocidades
finais são vf,1 e vf,2 . Conservação da massa relativística requer que:
eq 2.30
27
No limite Newtoniano (v/c << 1 para todos os valores de v), podemos expandir os γ’s na
equação 2.30:
Multiplicando por c2 e subtraindo os termos constante de ambos os lados, obtemos:
eq 2.31
que é exatamente a expressão de conservação de energia.
Equação 2.29 sugere que vejamos E = mc2 como a energia total de uma partícula; que
consiste da energia cinética mais a energia de repouso moc2. Este último é um termo muito
grande! uma grama de massa de repouso é eqüivalente a 9 x 1020 kilotões. Podemos definir
então a energia cinética de uma partícula como:
eq 2.32
Para u/c << 1, esta equação se reduz a usual K = (1/2)mou2. Similarmente, o momentum
relativístico é:
28
Classicamente, energia e momentum são relacionados pelas equações E = (1/2)mv2 = p2/2m.
Qual é a relação relativística? !
Elevando ao quadrado a expressão para o momentum relativístico obtemos:
eq 2.33
29
Note que podemos ter partículas com massa de repouso zero (e.g. fótons) com energia e
momentum não-nulos; estas partículas obedecem a relação
E=pc
eq 2.34
Para obtermos momentum não-nulo, o momentum relativístico
deve convergir para um valor finito quando mo
0; isto requer que u
c quando mo
Assim, todas as partículas sem massa devem viajar a velocidade da luz, c.
0
A massa relativística do fóton é não-nula:
eq 2.35
Já que E = h ν,
eq 2.36
Já que a massa inercial relativística do fóton é não-nula, fótons são afetados por gravitação
(como enunciado no Princípio da Equivalência).
30
Redshift Gravitacional
Suponha que um fóton de freqüência υe é emitido na superfície de um corpo de massa M e
raio R. O fóton escapa para o infinito. Qual a freqüência do fóton como observado no infinito
?
!
Para escapar do campo gravitacional, o fóton deve realizar trabalho. O trabalho realizado por
unidade de massa é
Assim, a massa inercial do fóton é m = hυo /c2, a perda de energia é
Escrevendo a freqüência observada no infinito como υo . Então
eq 2.37
ou
31
É convencional definir o redshift por
Assim, o redshift gravitacional é:
eq 2.38
De maneira equivalente, uma vez que podemos interpretar átomos que emitem como
relógios, podemos também entender este redshift gravitacional como uma dilatação
gravitacional do tempo: relógios se atrasam em um campo gravitacional.
eq 2.39
Veja as referências Phys. Rev. Lett. 45, 2081–2084 (1980), Phys. Rev. Lett. 3, 439–441
(1959), sobre testes relativos a teoria da relatividade.
32
Espaço Tempo
Como vimos anteriormente:
Relatividade
Transformações de Lorentz
!
!
Eliminação do Tempo Absoluto e do Espaço
Absoluto
As coordenadas espaço e tempo são “misturadas” para diferentes observadores. Logo, não
faz mais sentido falar em espaço e tempo como entidades separadas, mas como uma só
entidade quadri-dimensional chamada espaçotempo. !
A quantidade fundamental neste espaçotempo é o evento. O evento é especificado por 4
quantidades, e.g. x,y,z,t. !
Considere um evento O, que tomamos como a origem do nosso sistema de coordenadas.
Emitimos um pulso de luz em O. O que veremos com o passar do tempo ? A frente de onda
irá expandir a uma velocidade c, logo após um tempo t irá alcançar uma distância ct da
origem O. Como o diagrama espaçotempo se parecerá ? (não podemos visualizar em 4D).
33
Futuro
Cone de Luz
Passado
Com uma dimensão suprimida, a frente de onda do pulso de luz parece um cone. Este é
chamado o cone de luz. Com o eixo vertical expresso em ct, o cone de luz faz um ângulo de
45o com os eixos espaciais e o eixo ct. !Podemos considerar também um certo tempo -t antes do evento O. Somente fótons a uma
distância ct de O podem alcançar O entre os tempos -t e O. Quando -t se aproxima de O, o
tamanho da frente de onda do pulso de luz que pode alcançar O colapsa.
Assim, a frente de onda colapsa a zero em O e
então re-expande simetricamente.
34
Assim, nós temos um cone de luz passado e um cone de luz futuro. Já que nada pode viajar a
uma velocidade maior do que c, o cone de luz divide o espaçotempo (como visto pelo
observador em O) em regiões acessíveis e inacessíveis, nem todas as direções são
equivalentes no diagrama espaçotempo.
O espaçotempo não é isotrópico.
Se enviamos um pulso de luz da origem de um sistema de coordenadas em t = 0 (assumindo
um espaço Euclidiano), sua distância radial a partir da origem é ct:
Se consideramos dois eventos que são conectados por um raio de luz, então:
Isto significa dizer que a distância percorrida por um raio de luz, c∆ t, é igual a distância
espacial entre dois eventos, [∆ x2 + ∆ y2 + ∆ z2]1/2 . Lembrando a transformação de Lorentz:
35
Usando estas expressões, podemos mostrar que:
Assim, o intervalo ∆ s2 ≡ c2∆ t2 - ∆ x2 - ∆ y2 - ∆ z2 entre dois eventos é inalterado por uma
transformação de Lorentz; isto é o invariante de Lorentz. Note que ∆ s2 é uma quantidade
escalar.
!
Isto é análogo à separação espacial entre dois pontos no espaço Euclidiano, ∆ r2 = ∆ x2 + ∆
y2 + ∆ z2, permanecendo inalterado por uma transformação de coordenadas.
36
Existe uma importante distinção: ∆ r2 é sempre positivo, o que não é verdadeiro para o intervalo ∆ s2 = c2∆ t2 - ∆ r2 , o qual pode ser positivo, negativo ou zero.
!
Como já vimos, para dois eventos separados por um raio de luz,
Por motivos óbvios, isto é chamado uma separação tipo luz. !
Se ∆ s2 > 0, isto significa que
ou
em qualquer referencial inercial (uma vez que ∆ s2 é um invariante de Lorentz). Isto significa
que é possível para um observador movendo-se com velocidade uniforme v < c, viajar de um
evento ao outro; no sistema de referência do observador ∆ r = 0 e a separação em tempo
entre os dois eventos é ∆ t = ∆ s / c. !
Assim, quando ∆ s > 0, ∆ s é igual a c vezes a diferença de tempo, ∆ t, entre os eventos,
como visto pelo observador num referencial inercial para o qual os eventos acontecem no
mesmo ponto. Logo, eventos para os quais ∆ s > 0, acontecem sobre linhas de Universo de
uma partícula material.
∆ s > 0 é denominado de separação tipo tempo
37
Se ∆ s2 < 0, isto significa que
o que, novamente, é verdadeiro em qualquer sistema inercial. É impossível para dois eventos
com ∆ s2 < 0 serem conectados por um raio de luz, ou se localizar na linha de Universo de
uma partícula material, uma vez que isso iria requer uma viagem superluminal. !
No entanto, existe ainda um significado físico neste caso:
o que implica que | ∆ s2 | é a separação espacial entre os eventos em um sistema inercial no
qual os eventos são simultâneos; um tal sistema sempre existe, como pode ser visto das
transformações de Lorentz.
Futuro Absoluto
Vetor tipo tempo
apontando o futuro
Vetor tipo espaço
Passado Absoluto
38
∆ s < 0 é denominado de separação tipo espaço
Este é conhecido como espaçotempo de Minkowski ou espaçotempo “plano”, já que a
geometria é Euclidiana.
!
Uma vez que ∆ s2 é um invariante, cones de luz em um referencial inercial são mapeados em
cones de luz em qualquer outro sistema inercial. Todos os observadores inerciais concordam
sobre o passado e o futuro de um evento.
Linha de Universo: locus de
sucessivos eventos em sua história
39
Em suma:
(∆ s)2 = c2(∆t)2 - (∆x)2
∆ s = 0, separação tipo luz
Eventos na superfície do cone de luz. Neste caso dois eventos
podem ser conectados pela linha de Universo de um pulso de luz
em qualquer sistema de referência.
∆ s > 0, separação tipo tempo
Os eventos em questão estão dentro do cone de luz um do outro. Neste caso existe um
sistema de referência no qual ∆x = 0 e ∆s = ± c∆t. Se dois eventos são separados por
um intervalo tipo tempo não existe nenhum sistema de referência onde eles são
simultâneos. Se ∆t = 0 então (∆s)2 não pode ser positivo. Neste caso o intervalo de
tempo é denominado intervalo de tempo próprio.
∆ s <0, separação tipo espaço
Neste caso os eventos estão fora do cone de luz um do outro. Existe um sistema de
referência onde ∆t = 0 e ∆s = ± i |∆x|. Não existe um sistema de referência onde os
eventos ocorram na mesma localização. Se ∆x = 0, (∆s)2 não pode ser negativo. Neste
caso tempo próprio não é definido.
40
Suponhamos que temos uma partícula em movimento (por conveniência o movimento é ao
longo do eixo-x). Se fizermos um gráfico de suas posições em função do tempo, construímos
o diagrama espaço tempo. Nas transformações de Lorentz, espaço e tempo são misturados.
Como relacionamos os diagramas de S e ?
Seja o eixo vertical dado em unidades de ct; então um raio de luz tem inclinação de 45o .
Como sempre sincronizamos os relógios em t =
= 0. Quais são os eixos c
e
neste
diagrama ?
A partir das transformações de Lorentz,
eq 2.40
eq 2.41
O eixo c
é a linha = 0; a partir da equação 2.40, isto significa
Assim o eixo c é a linha reta ct = (c/v) x com inclinação c/v >1. O eixo é a linha c = 0; a partir da equação 2.41, temos
Assim, o eixo
é a linha ct = (v/c) x com inclinação v/c <1.
41
Linhas de Universo de
pontos fixos em
Linhas de Simultaneidade em
Exemplo: Dois eventos ocorrem em (ct1,x1,y1,z1) = (3,7,0,0) e
(ct2,x2,y2,z2) = (5,5,0,0). Qual a separação medida no espaço-tempo ?
!
Δx = (5-7) = -2m and cΔt = (5-3) = 2m. Já que a separação no espaço-tempo
é (Δs)2 = (cΔt)2 - (Δx)2, neste caso segue que !
(Δs)2 = (2)2 − (2)2 = 0. O valor (Δs)2 = 0 descreve a situação em que dois
eventos podem ser ligados por um sinal luminoso. Esta separação é
denominada “tipo luz”.
42
Quadrivetores
Qualquer conjunto de quatro quantidades que seguem as transformações de Lorentz é
denominado um quadrivetor. Em um dado sistema de referência as três primeiras
componentes (espaciais) de um quadrivetor forma um trivetor ordinário; a quarta
componente é a componente temporal.
Se uma lei física pode ser expressa pode ser expressa como uma relação entre quadrivetores,
sua covariância relativística estará assegurada.
Anteriormente mostramos que a combinação x2 - c2t2 (em uma dimensão) é um invariante
relativístico; tem o mesmo valor em todos os referenciais inerciais. Uma invariante análogo
deve existir para qualquer quadrivetor. Se V1, V2, V3, V4 são componentes de um quadrivetor,
a quantidade V1 + V2 + V3 -V4 é um invariante. Sua raiz quadrada pode ser entendida com um
“comprimento” generalizado.
O invariante associado com o quadrivetor momentum-energia é:
eq 2.42
43
Se uma quantidade é invariante, seu valor pode ser calculado em qualquer sistema de
referência adequado. Num sistema de repouso de um corpo, p = 0 e E = m c2 . Logo o valor
do invariante deve ser -m2c2. Assim, temos a relação:
ou eqüivalentemente,
eq 2.43
O quadrivetor momentum-energia pode ser escrito como P = (E/c, p), onde o momentum é
definido pelo vetor (px , py , pz).
44
Exercícios
1 - Mostre que a equação de onda ∂2Ψ/∂x2-(1/c2)(∂2Ψ/∂t2) = 0 é invariante sob transformação
de Lorentz, mas não é invariante sob transformação de Galileo.
2 - No referencial S, dois elétrons se aproximam um do outro, cada um com velocidade v =
c/2. Qual a velocidade relativa dos dois elétrons ?
3- Um píon é criado numa colisão de partículas com uma velocidade tal que γ = 100, e é
observado viajar uma distância de 300m antes de decair espontaneamente. Por quanto tempo
o píon existe em seu referencial de repouso ?
4- No acelerador LEP no CERN, elétrons são acelerados a energias de cerca de 50 GeV. Por
quanto a velocidade dos elétrons desvia da velocidade da luz, c ?
5 - Uma partícula em repouso com massa M decai em duas partículas de massas iguais.
Calcule a velocidade das duas partículas que são criadas após o decaimento. De uma
resposta numérica para o caso de um méson rho (M = 770 MeV/c2) em dois píons carregados
(m = 140 MeV/c2).
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Exercícios
6 - Mostre que a massa de uma partícula é inalterada por transformação de Lorentz.
7 -Um astronauta numa nave espacial viaja até α-Centaurus, que está a uma
distância de 4 anos-luz medido a partir da Terra, a uma velocidade u/c = 0.8. a)
Quanto tempo demora a viagem a α-Centaurus medido por um relógio na Terra ?; b)
Quanto tempo demora a viagem a α-Centaurus medido pelo piloto da nave
espacial ?
8 - Considere o intervalo no espaçotempo dado pela equação (Δs)2 = (cΔt)2 - (Δx)2 - (Δy)2 - (Δz)2 !
Se (Δs)2 <0 o intervalo é tipo espaço, qual o significado físico de (-(Δs)2 )1/2 ?
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9 - O diagrama espaçotempo mostra 5 estrelas que
explodem como supernovas (SN) nos pontos A,B,C,D
e E. Estas supernovas são observadas por astrônomos
na Terra e também por cientistas a bordo de uma nave
que move-se rapidamente. As linhas de Universo da
Terra e da nave são mostradas na figura. Responda às
seguintes perguntas:
!
1 - em que ordem cronológica as 5 SNs ocorrem no
sistema de referência da Terra ?
2 - em que ordem cronológica as 5 SNs ocorrem no
sistema de referência da nave
3 - em que ordem cronológica os astrônomos na Terra
vêm as SNs ?
4 - em que ordem cronológica os cientistas na nave
vêm as supernovas ?
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Exercícios
10 - Como medido num sistema de referencia Sʹ, uma fonte de luz está em repouso e
irradia em todas as direções igualmente. Em particular, metade da luz é emitida
sobre um hemisfério (xʹ positivo). Nesta situação quão diferente será a forma do
feixe de luz como visto do referencia S, o qual mede a fonte de luz viajando na
direção de x positivo com uma velocidade relativística u ?
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