ciclotron_desafio

Vamos admitir que a partícula se desprende da placa de baixo e o campo magnético externo
tem sentido para dentro do plano (esta escolha arbitrária não altera o resultado).
Então, após a primeira semicircunferência completa, o deslocamento horizontal é para a
esquerda e tem valor 2R, sendo R o raio desta primeira semicircunferência. Em relação à
segunda semicircunferência, este deslocamento é 4R para direita. Em relação à terceira, o
deslocamento é 6R para a esquerda, para a quarta, 8R para a direita e assim por diante, até
que a partícula deixe o sistema. Como isto acontece na mesma placa de onde se originou, o
número destes deslocamentos para esquerda será igual ao número destes deslocamentos para
a direita.
A soma de todos os deslocamentos para a direita subtraída da soma de todos os
deslocamentos para a esquerda nos leva à metade do comprimento das placas. Os
deslocamentos para a direita estão em P.A, onde o primeiro termo é 4R e a razão 4R. Os
deslocamentos para a esquerda também estão em P.A, onde o primeiro termo é 2R e a razão
4R. Assim, podemos escrever:
= 4 + 4 + 4( − 1) − 2 + 2 + 4( − 1) → = 4
2
2
2
Agora, precisamos determinar n e R, em função dos dados fornecidos.
=
Onde v é a velocidade final na primeira travessia entre as placas.
2
1
= → = 2
Então R é
1 2
= Como n é o número de termos de cada uma das P.A.s, a frequência f com que ocorrem as
inversões pode ser (estamos admitindo que a mudança de polaridade ocorra apenas com o
propósito de sempre acelerar a partícula e, por este motivo, no momento em que a partícula
deixa o sistema, a inversão não aconteça)
=
2 − 1
2( + )
Onde é tempo gasto na travessia e é o tempo gasto para percorrer cada
semicircunferência. O período do movimento decorrente da entrada perpendicular de
partícula carregada em campo magnético uniforme é
=
2
E independe do raio da trajetória (e da velocidade). Assim,
= Sendo o campo elétrico uniforme, a força elétrica é constante, o que provoca aceleração
constante. Como a variação de velocidade em todas as travessias é a mesma (v) já que as
velocidades são proporcionais aos raios, desta forma, também é constante e pode ser dado
por:
= .
→
"#$"$%&'(
2
= )*********+ = !
!
Substituindo estes tempos na relação da frequência, e isolando n, chegamos a
=
21 − ,
1
2
+ !- .
E, finalmente, substituindo R e n encontrados na relação de ,
=
2 2
1 − ,
1
2
+ !- .