HM_21 - Unifal-MG

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Profa. Andréa Cardoso
UNIFAL-MG
MATEMÁTICA-LICENCIATURA
2015/1
Aula 21:

A Matemática Árabe e o
Nascimento da Álgebra
18/05/2015
2
Império árabe
Arábia situada numa região desértica entre o mar Vermelho e o Golfo
Pérsico (Capital Bagdá) - séculos VIII a XII
Conhecimento matemático dos árabes

 Obras matemáticas clássicas gregas;
Saber matemático
Teorias eternizadas pelo
caráter formal e sistemático
dos Elementos de Euclides.
Artes práticas e
mecânicas
Provinha do senso comum e
do saber prático.
 Conhecimento oriental (matemática prática e
recreativa de babilônicos e egípcios);
Conhecimento matemático dos árabes

 A partir do século IX, ocorre a produção de uma
nova Matemática.
 Investigação teórica das artes práticas e técnicas ,
assim como o pensamento científico influencia as
práticas.
Teorias
Práticas
A Álgebra árabe

 Produto de práticas compartilhas com diversas
civilizações no contexto do império árabe.
 Definida no contexto como
Álgebra como
“Classificação e resolução de equações”
Equação

 É uma afirmação que estabelece uma igualdade entre
duas expressões matemáticas, objetivando encontrar um
valor desconhecido, denominado incógnita.
 A palavra equação vem da mesma raiz latina que
produziu as palavras igual e igualdade.
 A essência da Ciência é o estabelecimento de correlações
entre fatos, conceitos e ideias, e utiliza as equações como
linguagem para expressar tais correlações.
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7
Equação

 Qualquer problema que possa ser solucionado
através de números, certamente será tratado, direta
ou indiretamente, por meio de equações.
Tipos de equações:
 algébricas,
 exponenciais,
 trigonométricas, ou
 diferenciais.
Equações Algébricas

 São aquelas em que a incógnita aparece apenas
submetida às operações aritméticas: adição,
subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira
e radiciação.
 Exemplos:
Algébricas
Não algébricas
𝑎𝑥 2 + 𝑏 = 0
𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2 = 𝑒 𝑥
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
cos 𝑥 + 𝑥 2 cos 3𝑥 = 5
𝜋
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 =
4
𝑥 3 + 8𝑥 = 64
𝑥 −2 = 4 + 𝑥 −3
𝑚𝑥 5 + 7𝑥 3 + 𝑘 = 8
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9
Equações Polinomiais

 Quando pode ser colocada da forma:
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 = 0
com 𝑛 ∈ 𝑁 e 𝑎𝑖 ∈ 𝑅
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10
Resolução de Equações Lineares

 Os egípcios não conheciam álgebra, mas conseguiam
resolver problemas que recaiam em equações do tipo
𝑎𝑥 = 𝑏
 Pela engenhosa técnica do número falso.
 Diversas civilizações utilizaram a técnica dos
egípcios.
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11
Problemas do Papiro de Rhind

Problemas práticos para determinar um número.
 Cálculo de área de terrenos,
 Número de ladrilhos para uma construção,
 Alimentação do gado,
 Quantidade de grãos de trigo armazenados,
 Preço do pão e da cerveja.
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12
A regra da Falsa Posição

 Nestes problemas o número procurado era sempre
representado pela mesma palavra:
 Exemplo: Um montão, sua metade, seus dois terços,
todos juntos são 26. Digam-me: Qual é a quantidade?
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13
A regra da Falsa Posição

 Inicialmente atribuíam a montão um valor falso.
 Se montão for 18 então
1
2
18 + ∙ 18 + ∙ 18 = 39
2
3
 Os valores 18 e 39 eram usados para montar uma
regra de três simples com os elementos do problema:
18 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑎𝑜
=
39
26
𝑚𝑜𝑛𝑡ã𝑜 = 12
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14
Regra da inversão hindu

 Do livro de Bhaskara:
“Lilavati e Vija-Ganita: Qual é o número que, multiplicado
por 5, aumenta depois 9, se divide por 6, se multiplica por si
mesmo, se acrescenta a 19 e, depois de extraída a raiz
quadrada, diminui 2, se divide por 4 e dá 2?“
(Bhaskara)
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15
Regra da inversão hindu

Texto
Operação
se divide por 4 e dá 2
diminui 2
depois de extraída a raiz quadrada
se acrescenta a 19
se multiplica por si mesmo
2∙4=8
8 + 2 = 10
102 = 100
100 − 19 = 81
se divide por 6
aumenta depois 9
81 = 9
6 ∙ 9 = 54
54 − 9 = 45
multiplicado por 5
45: 5 = 9
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16
Problema Hindu de Aritmética
do século VII

 Resolva pela regra da inversão:
Um colar se rompeu num embate amoroso.
Uma fileira de pérolas escapou.
A sexta parte dentre elas ao solo caiu.
A quinta parte na cama ficou.
Um terço pela jovem se salvou.
A décima parte o namorado recolheu.
E com seis pérolas o colar ficou.
Diga-me, leitor, quantas pérolas tinha o colar
dos namorados.
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17
Técnica Grega das proporções

 Primeiramente se constrói um segmento de reta x
dado por
a : b = c : x ou a : x = x : b
em que a, b, c são segmentos de reta dados.
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𝑥 2 = 𝑎𝑏
𝑎𝑥 = 𝑏𝑐
18
Contribuições dos gregos: Os Elementos

 Entidades iguais a uma terceira são iguais entre si.
 Se a iguais somam-se ou subtraem-se iguais, os
resultados permanecem iguais.
 A parte é menor que o todo.
 Iguais multiplicados ou divididos por iguais
continuam iguais.
Contribuição dos árabes

Equações
Al-jabr
Al-muqabala
Al-Khwarizmi
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Resolução de equações
lineares e quadráticas
O livro da Restauração e
do Balanceamento
Traduziu “Os Elementos”
para o árabe. (±800 d.C.)
20
Desenvolvimento da Álgebra Árabe

 A partir dos trabalhos de Al-Khwarizmi, a álgebra
tornou-se parte importante da matemática árabe.
 Considerada também Álgebra Geométrica, pois os
árabes demonstravam seus resultados algébricos por
processos geométricos.
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21
Classificação Árabe das Equações

 Al-Khowarizmi reduziu as equações lineares e
quadráticas em seis tipos:
1. Quadrados iguais a raízes.
2. Quadrados iguais a números.
𝑎𝑥 2 = 𝑏𝑥
𝑎𝑥 2 =c
3. Raízes iguais a números.
4. Quadrados e número iguais a raiz.
b𝑥 =c
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 𝑏𝑥
2 + 𝑏𝑥 =c
𝑎𝑥
5. Quadrados e raízes iguais a número.
6. Raízes e números iguais a quadrados.
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𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎𝑥 2
22
Resolução de Equações Quadráticas

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
 Em notação moderna, o método hindu de resolução
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏
𝑥=
2𝑎
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23
Raízes
(jidhr)
Quadrados
(mal)
𝑥
Al-jabr

𝑥2
Simbologia
atual
Qual é o quadrado que combinado com 10 de
suas raízes é igual a 39 unidades?
𝑥 2 + 10𝑥 = 39
A forma de resolver este tipo de equação é
tomar metade das raízes. As raízes diante de
nós são 10. Portanto tomai 5
que multiplicado por si mesmo dá 25
um total que você vai adicionar a 39
resultando em 64
Tendo tomado a raiz desta que é 8
10
=5
2
Subtrair metade das raízes deixando 3
52 = 25
25 + 39 = 64
64 = 8
𝑥 =8−5=3
A regra hindu para resolução de
Equações Quadráticas

 Bhaskara (~1150) imortalizou, na
Índia do século XII, o nome da
filha Lilaváti em um livro de
Álgebra e Geometria que continha
o método para resolução de
equações do segundo grau,
conforme ele mesmo relatou de
autoria do matemático hindu
Sridhara (~1025).
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25
Sridhara (Índia século XI)

 Desenvolveu um método para resolver qualquer
equação polinomial do segundo grau.
 Fundamentou-se na ideia de reduzir o grau da
equação, extraindo raízes quadradas.
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𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟑 = 𝟎
2 2 5
3 0
𝑥 − 𝑥+ =
2
2
2 2
5
3
2
𝑥 − 𝑥+ =0
2
2
5
3
2
𝑥 − 𝑥=−
2
2
5
5
2
𝑥 − 𝑥+ −
2
4
5
𝑥−
4
2
2
3
5
=− + −
2
4
−24 + 25
=
16

2
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
𝑎 2 𝑏
𝑐 0
𝑥 + 𝑥+ =
𝑎
𝑎
𝑎 𝑎
𝑏
𝑐
2
𝑥 + 𝑥+ =0
𝑎
𝑎
𝑏
𝑐
2
𝑥 + 𝑥=−
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
2
𝑥 + 𝑥+
𝑎
2𝑎
𝑏
𝑥+
2𝑎
2
2
𝑐
𝑏
=− +
𝑎
2𝑎
−4𝑎𝑐 + 𝑏 2
=
4𝑎2
5
1
𝑥− =±
4
16
𝑏
𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥+
=±
2𝑎
4𝑎2
5 1
𝑥= ±
4 4
𝑏
𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥=−
±
2𝑎
2𝑎
5±1
𝑥=
4
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝑥=
2𝑎
2
Implicações do método de Sridhara

 Equações podem ter mais do que uma solução, na
época positivas (é claro!).
 Em alguns casos, a aplicação do método conduzia a
uma coisa misteriosa.
 O método aplicado a algumas equações como
𝑥 2 + 2𝑥 + 5 = 0
 Produzia a raiz quadrada de um número negativo.
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28
Resolução de Equações Cúbicas

 A solução de uma equação
cúbica do tipo
𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
 Pode ser vista como a
interseção de duas cônicas.
÷ 𝑎𝑥
𝑥2
𝑏
𝑐
𝑑
+ 𝑥=− −
𝑎
𝑎 𝑎𝑥
parábola
hipérbole
Omar Khayyam
Império Persa, século XI

 Poeta, matemático e astrônomo;
 Participou da a reforma do calendário Persa, que
ficou mais realístico que o calendário Juliano
utilizado na Europa;
 Construiu numerosas tabelas astronômicas;
 Tratados de álgebra que foram difundidos na Europa
durante a Idade Média.
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30
Álgebra de Omar Khayyam

 Em seu livro de álgebra, Khayyám se refere a outros
trabalhos seus que, por infelicidade, estão hoje perdidos.
 Álgebra de natureza geométrica, resolveu equações
lineares e quadráticas por métodos que estão presentes na
Geometria de Euclides.
 Descobriu um método para resolução de equações
cúbicas, por meio da intersecção de uma parábola com
um círculo mas, pelo menos em parte, este método já
havia sido descrito por outros autores.
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Método de Khayyam para resolução de
Equações Cúbicas

 Resolução geométrica de
uma cúbica se dá pela
intersecção de duas
curvas cônicas,
construídas no mesmo
plano cartesiano.
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32
Referências

 GARBI, G. O romance das equações algébricas. 2003.
 GUELLI, O. Equação: o idioma da álgebra. Contando a
história da matemática. São Paulo: Ática, 2003.
 ROQUE, T.; CARVALHO, J.B.P. Tópicos de história da
matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
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