matemática básica

MATEMÁTICA BÁSICA
Para Administradores
Resumo
Revisão de alguns conteúdos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio por meio de
Resumos, Exercícios Teóricos e Exercícios Aplicados
Jorge Gimenez
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Sumário
Conjuntos .......................................................................................................................................................................... 1
1-
Introdução: Conjuntos .......................................................................................................................................... 1
2 - Conjunto, Elemento e Pertinência ........................................................................................................................... 1
3 – Igualdade de Conjuntos .......................................................................................................................................... 1
4 – Conjuntos vazio, unitário e universo....................................................................................................................... 2
5 – Subconjuntos........................................................................................................................................................... 2
6 – Operadores.............................................................................................................................................................. 3
7 - Conjuntos numéricos ............................................................................................................................................... 4
8 – Exercícios Teóricos: Conjuntos ................................................................................................................................ 4
9 – Exercícios Aplicados: Conjuntos .............................................................................................................................. 5
10 – Intervalos............................................................................................................................................................... 8
Equações ........................................................................................................................................................................... 9
11 – Introdução: Equações............................................................................................................................................ 9
12 – Equações do 1º Grau ........................................................................................................................................... 10
13 – Equações do 2º Grau ........................................................................................................................................... 10
14 - Equações Modulares ............................................................................................................................................ 11
15 – Inequações modulares ........................................................................................................................................ 12
16 – Exercícios Teóricos: Equações ............................................................................................................................. 12
17 – Exercícios Aplicados: Equações ........................................................................................................................... 15
18 – Sistemas Lineares ................................................................................................................................................ 16
19 – Exercícios Aplicados: Sistemas Lineares.............................................................................................................. 17
Funções ........................................................................................................................................................................... 19
20 – Introdução: Funções............................................................................................................................................ 19
21 - Funções Sobrejetora, Injetora, Bijetora e Funções Compostas ........................................................................... 20
22 – Exercícios Teóricos: Funções Compostas ............................................................................................................ 21
23 – Função Afim ........................................................................................................................................................ 23
24 – Exercícios Aplicados: Função Afim ...................................................................................................................... 23
25 –Função Quadrática ............................................................................................................................................... 24
26 – Exercícios Aplicados: Função Quadrática ............................................................................................................ 26
27 – Funções Exponenciais ......................................................................................................................................... 28
28 – Exercícios Aplicados: Funções Exponenciais ....................................................................................................... 29
29 – Funções Logarítmicas .......................................................................................................................................... 30
Apêndice ......................................................................................................................................................................... 32
Bibliografia ...................................................................................................................................................................... 32
Conjuntos
1- Introdução: Conjuntos
A noção de conjuntos é a mais simples e fundamental da Matemática, uma vez que a partir
dela podem ser expressos todos os conceitos matemáticos.
Um conjunto é uma coleção (agrupamento, classe) qualquer de objetos. Por exemplo:
a) Conjuntos de vogais: A = {a, e, i, o, u}
b) Conjuntos dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
c) Conjunto dos naipes das cartas de um baralho: C = {paus, ouros, copas, espadas}
2 - Conjunto, Elemento e Pertinência
Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição, isto é, são consideradas
noções primitivas:
a) Conjunto
b) Elemento
c) Pertinência entre elemento e conjunto
Tomando o conjunto B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} mencionado na introdução podemos fazer a
seguinte afirmação: cada número primo é elemento do conjunto B, isto é, pertence ao
conjunto.
Em geral, indicamos um conjunto com uma letra maiúscula (A, B, C, ...) e um elemento com
uma letra minúscula (a, b, c, ...).
Sejam A um conjunto e k um elemento. Se k pertence ao conjunto A, escrevemos: k ∈ A.
Para indicar que k não é elemento do conjunto A: k ∉ A
3 – Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e,
reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em símbolos:
A = B ⟺ ∀k k ∈ A ⟺ k ∈ B
Por exemplo, se A = {números naturais pares} e B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}, então A =
B. Se A não é igual a B, então A é diferente de B e escrevemos A ≠ B.
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4 – Conjuntos vazio, unitário e universo
Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum e podemos representar
das seguintes formas { } ou ∅. Obtemos um conjunto vazio quando descrevemos um
conjunto por meio de uma propriedade P logicamente falsa.
Exemplos:
a)
b)
x∣x≠x = x ∣ xéímparemúltiplode2 = Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento
Exemplos:
a) Conjuntos dos divisores de 1, inteiros e positivos: {1}
b) Conjunto das soluções da equação 3x + 1 = 10: {3}
Chama-se conjunto universo aquele que é formado por todos os elementos com os quais
estamos trabalhando num determinado assunto. Fixando o universo U, todos os elementos
pertencem a U e todos os conjuntos são partes de U. Por exemplo, no estudo dos divisores
e múltiplos de um número, o universo U pode ser o conjunto dos números inteiros.
5 – Subconjuntos
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se,
e somente se, todo elemento de A pertence
também a B. Com a notação A ⊂ B indicamos que
“A é subconjunto de B” ou “A está contido em B”
ou “A é parte de B”. O símbolo ⊂ é denominado
sinal de inclusão.
Propriedades da Inclusão:
{}⊂A
A ⊂ A (reflexiva)
(A ⊂B e B ⊂ A) ⇒ A = B (anti-simétrica)
(A ⊂B e B ⊂ C) ⇒ C (transitiva)
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6 – Operadores
União de conjuntos
A ∪ B = x|x ∈ Aoux ∈ B
Propriedades da união:
A ∪ A = A (idempotente)
a, b, c, d
A ∪ ∅ = A (elemento neutro)
A ∪ B = B ∪ A (comutativa)
A ∪ B ∪ C = A ∪ B ∪ C (associativa)
Interseção de conjuntos
Exemplo:
a, b ∪ a, b, c, d =
a ∪ c, d = a, c, d
∅∪∅=∅
A ∩ B = x|x ∈ Aex ∈ B
Propriedades da interseção:
Exemplo:
* ∩ * = * (idempotente)
+, ,, -, . = +, ,
* ∩ ∅ = * (elemento neutro)
/ ∩ 0 = 0 ∩ / (comutativa)
/ ∩ 0 ∩ 1 = / ∩ 0 ∩ 1 (associativa)
+, , ∩
+ ∩ -, . = ∅
∅∩∅=∅
Obs.: quando / ∩ 0 = ∅, A e B são denominados conjuntos disjuntos.
Outras propriedades:
/∪
/∩
/∪
/∩
/∩0
/∪0
0∩1
0∪1
=/
=/
= / ∪ 0 ∩ / ∪ 1
= / ∩ 0 ∪ / ∩ 1
Diferença de conjuntos
/ − 0 = 3|3 ∈ /43 ∉ 0
Exemplo:
a)
5, 6, 7 − 6, 7, 8, 4 = 5
b)
5, 6, 7 − 6, 7 = 5
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c)
5, 6 − 5, 6, 7, 8, 4 = ∅
Complementar de B em A
1/ 0 = A - B
Exemplo: dados A = { 1, 2, 3} e B = {2, 3}, o complementar de B em A é a diferença A B.
Representação: 1/ 0 = A - B = {1}. Já o complementar de A em B é a diferença B A. Representação: 10 / = B - A= ∅.
7 - Conjuntos numéricos
Conjunto dos naturais → ℕ= ;, <, =, >, …
Conjunto dos inteiros → ℤ = … , −=, <, ;, <, =, …
Conjunto dos racionais (ℚ → conjunto dos pares ordenados , em
5
6
que 5 ∈ ℤ e 6 ∈ ℤ .
∗
Conjunto dos reais (ℝ)→ conjunto formado por todos os números com representação
decimal, ou seja, as decimais exatas ou periódicas (que são números racionais) e as
decimais não exatas e não periódicas (que são os números irracionais).
Conjunto dos complexos (ℂ)→ Todo número complexo é da forma E = 5 + 6G, em que 5 ∈
ℝ é a parte real, 6 ∈ ℝ é a parte imaginária e G = √−< é a unidade imaginária.
8 – Exercícios Teóricos: Conjuntos
1) Dados três conjuntos A, B e C, não vazios, com
afirmar que
a) B = C
b) A ⊂ (B ∩ C)
c) B ⊂ C
d) A = (B ∩ C)
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A ⊂B
e
A ⊂ C,
então, é sempre CORRETO
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2) O diagrama que representa o conjunto ( A ∩ B ) − C  ∪ ( C ∩ B ) − A  é
a)
b)
c)
d)
3) Dados os conjuntos numéricos A, B, C e D, a região sombreada do diagrama corresponde
a
a) C ∩ D.
b) C ∪ D.
c) (A ∩ B) ∪ (C ∩ D).
d) (A ∪ B) ∩ (C ∩ D).
9 – Exercícios Aplicados: Conjuntos
4) Uma determinada empresa de biscoitos realizou uma pesquisa sobre a preferência de seus
consumidores em relação a seus três produtos: biscoitos cream cracker, wafer e recheados.
Os resultados indicaram que:
- 65 pessoas compram cream crackers.
- 85 pessoas compram wafers.
- 170 pessoas compram biscoitos recheados.
- 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados.
- 50 pessoas compram cream crackers e recheados.
- 30 pessoas compram cream crackers e wafers.
- 60 pessoas compram wafers e recheados.
- 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa.
Determine quantas pessoas responderam a essa pesquisa.
a) 200 b) 250 c) 320 d) 370 e) 530
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5) Numa cidade existem três shoppings: “X”, “Y” e “Z”. Foi feita uma entrevista com as
pessoas para saber sobre o hábito delas frequentarem esses shoppings e obteve-se o
seguinte resultado, disposto na tabela abaixo:
Shopping
Pessoas
X
220
Y
226
Z
226
XeY
120
XeZ
130
YeZ
110
X, Y e Z
70
Nenhum dos três
100
Quantas pessoas entrevistadas não frequentam o shopping “X”?
a) 552. b) 276. c) 262. d) 130. e) 100.
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6) Na aplicação de uma avaliação com três questões A, B e C, em uma escola, obteve-se os
seguintes resultados:
Questão
Número de alunos que acertou
A
40
B
35
AeB
15
AeC
10
BeC
10
A, B e C
5
30% dos alunos acertaram apenas a questão C,
24 alunos
erraram todas as questões.
Com base nesses dados, o número de alunos que acertaram a questão C é
a) 30. b) 36. c) 51. d) 54.
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7) Foi aplicado um teste contendo três questões para um grupo de 80 alunos. O gráfico abaixo
representa a porcentagem de acerto dos alunos por questão.
Suponha que 52 alunos acertaram pelo menos duas questões e 8 alunos não acertaram
nenhuma. O número de alunos que acertaram as três questões é:
a) 44 b) 40 c) 12 d) 20 e) 30
10 – Intervalos
Sendo I e J números reias e I < J, temos os seguintes intervalos:
LI, JM =
MI, JL =
MI, JM =
LI, JL =
N
N
N
N
∈ ℝ|I < N
∈ ℝ|I ≤ N
∈ ℝ|I ≤ N
∈ ℝ|I < N
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<J
≤J
<J
≤J
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Equações
11 – Introdução: Equações
Na matemática, uma equação é uma igualdade envolvendo uma ou mais variáveis (valores
desconhecidos).
São exemplos de equações as seguintes igualdades:
Nesses exemplos, as letras e são as incógnitas de suas equações. A incógnita de uma
equação é o número desconhecido que se quer descobrir.
A equação
pode ser interpretada como uma pergunta: "qual o número
que somado com 8 dá 15?". Não é necessário nenhum método ou fórmula para encontrar o
valor de nesse caso: basta pensar um pouco para se chegar ao resultado
.
Resolver uma equação é encontrar todos os valores possíveis para a incógnita que tornem a
igualdade verdadeira. Uma solução da equação também é chamada raiz da equação.
Algumas equações matemáticas descrevem, na verdade, identidades matemáticas, isto é,
afirmações que são verdadeiras para todos os valores de ,2 como nos exemplos:
Entretanto, uma equação pode ter apenas alguns valores para os quais ela se torna
verdadeira. Nesse caso, ela deve ser resolvida para se encontrar os valores possíveis para as
incógnitas. Por exemplo, considere a equação:
Ela é satisfeita para exatamente dois valores de , a saber,
e
.
Em geral, os matemáticos reservam a palavra equação exclusivamente para igualdades
que não são identidades. A distinção entre esses dois conceitos pode ser bastante sutil. Por
exemplo:
é uma identidade, mas:
é uma equação cujas soluções são
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e
.
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Em geral, é possível perceber se se trata de uma identidade ou de uma equação pelo contexto
em que a igualdade se encontra. Em alguns casos, na identidade, o sinal de igualdade (=) é
trocado pelo sinal .
12 – Equações do 1º Grau
1) Resolver: 18x = 65 + 43
18N = 65 + 43 ⟹ 18N = 108 ⟹ N = 108X18 ∴ N = 6
2) Resolver: 23x = 14 - 17x + 16
23N = 14 − 17N + 16 ⟹ 23N + 17N = 30 ⟹ 40N = 30 ∴ N = 30X40 = 3X4
3) Resolver: 10y - 5 - 5y = 6y - 6 -20
10[ − 5 − 5[ = 6[ − 6 − 20 ⟹ 5[ − 6[ = −26 + 5 ⟹ −[ = −21
∴ [ = 21
13 – Equações do 2º Grau
A fórmula de Bhaskara é principalmente usada para resolver equações quadráticas
IN² + JN + ] = 0
b̀∆> 0 ℎághIijIíkligminmonIi → −J ± √J − 4I]
2I
⇔
−J
∆= 0 ℎághIijIíklimrhImi → N =
à
2I
∆< 0 oãtℎájIíklijlImi
_
q
chamamos de discriminante: ∆= J q − 4I]
Através da Fórmula de Bhaskara podemos deduzir uma expressão para a soma e o produto
das raízes da equação do 2º grau. Assim:
Soma: Nu + Nq = −JXI e Produto: Nu Nq = ]⁄I
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1) Achar as raízes da equação: x2 - x - 20 = 0
Então:
∆= J q − 4I] ⟹ ∆= −1
N=
q
− 4 1 −20 ∴ ∆= 81
−J ± √∆
− −1 ± √81
1±9
⟹N=
⟹N=
∴ Nu = 5lNq = −4
2I
2 1
2
x = −4,5
Observação: repare que utilizando o método de soma e produto obtermos o mesmo
resultado.
Soma: Nu + Nq = −JXI ⟹ 5 − 4 = − −1 X1 ⟹ 1 = 1
Produto: Nu Nq = ]⁄I ⟹ 5 −4 = −20X1 ⟹ −20 = −20
14 - Equações Modulares
Lembremos da propriedade do módulo dos números reais, para k > 0:
|N| = y ⇔ N = ythN = −y
e, utilizando essa propriedade, vamos resolver algumas equações modulares abaixo:
1) Resolver |2N − 1| = 3.
Então:
x = −1,2 .
2N − 1 = 3 ⟹ N = 2
|2N − 1| = 3 ⟹ z
th
2N − 1 = −3 ⟹ N = −1
2) Resolver |3N − 1| = |2N + 3|.
Lembrando da propriedade
|I| = |J| ⇔ I = JthI = −J
temos:
3N − 1 = 2N + 3 ⟹ N = 4
th
|3N − 1| = |2N + 3| = {
3N − 1 = −2N − 3 ⟹ N = −2X5
x = |−2X5 , 4}.
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3) Resolver |N + 1| = 3N + 2.
Devemos ter inicialmente:
3N + 2 ≥ 0 ⟹ N ≥ −2X3
para que seja possível a igualdade.
Supondo N ≥ −2X3 , temos:
N + 1 = 3N + 2 ⟹ N = −1X2
th
|N + 1| = 3N + 2 ⟹ {
N + 1 = −3N − 2 ⟹ N = −3X4 oãt]to•é€
x = •−1X2‚.
15 – Inequações modulares
Lembramos das propriedades de módulo dos números reais, para k > 0:
a) |N| < y ⇔ −y < N < y
b) |N| > y ⇔ N < −ythN > y
e, utilizando essas propriedades, podemos resolver algumas inequações modulares.
1) Resolver em ℝ:|2N + 1| < 3.
Então:
|2N + 1| < 3 ⟹ −3 < 2N + 1 < 3 ⟹ −2 < N < 1
x = N ∈ ℝ ∣ −2 < N < 1 .
2) Resolver em ℝ:|4N − 3| > 5.
Então:
|4N − 3| > 5 ⟹ 4N − 3 < −5th4N − 3 > 5 ⟹ „N < −1X2 thN > 2…
x = •N ∈ ℝ ∣ N < −1X2 thN > 2‚.
16 – Exercícios Teóricos: Equações
8) Resolva a equação: x² + 4x + x² + 2x = 2x² + 12
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9) Resolva a equação: x2 - 8x + 7 = 0
10) Resolva a equação: x2 - 8x + 7 = 0
10) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:
a) 5x2 - 3x - 2 = 0
b) 3x2 + 55 = 0
c) x2 - 10x + 25 = 0
11) Resolva, em ℝ, a equação |=3 − >| + |3 + =| = †.
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12) Resolva, em ℝ, a equação |x + 2| = 3.
13) Resolva, em ℝ, a equação |x q − 4x + 5| = 2
14) Resolva, em ℝ, a inequação 2x − 7 + |x + 1| ≥ 0
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15) Resolva, em ℝ, a inequação |2x − 6| − |x| ≤ 4 − x
17 – Exercícios Aplicados: Equações
16) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são
esses?
17) O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do
coeficiente c.
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18) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você
vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número?
18 – Sistemas Lineares
Em Matemática, um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é
um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito,
de variáveis. Por exemplo,
3x + 2y − z = 1
{2x − 2y + 4z = −2
y
−x + X2 − z = 0
é um sistema de três equações com três variáveis (x, y e z). Uma solução para um sistema
linear é uma atribuição de números às variáveis que satisfaz simultaneamente todas as
equações do sistema. Uma solução para o sistema acima é dada por
já que esses valores tornam válidas as três equações do sistema em questão. A palavra
"sistema" indica que as equações devem ser consideradas em conjunto, e não de forma
individual.
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19 – Exercícios Aplicados: Sistemas Lineares
19) Para atender uma encomenda de fantasias, certa costureira comprou 3 m do tecido A e
2 m do tecido B, pagando R$ 25,50; depois, pagou R$ 46,50 na compra de 5 m do tecido A e
4 m do tecido B. Finalmente, para retocar a costura, comprou mais 1 m de cada um desses
tecidos. Sabendo-se que, pela mão de obra, essa costureira cobrou a mesma quantia gasta
na compra dos tecidos, pode-se afirmar que o valor a ser pago pela encomenda, em reais,
foi:
a) 144,00 b) 151,00 c) 165,00 d) 172,00
20) Carlinhos possui certa quantidade de bolinhas de gude e algumas latinhas onde guardálas. Ao colocar 4 bolinhas em cada lata, sobraram 2 bolinhas, mas quando colocou 5
bolinhas em cada lata, a última ficou com apenas 2 bolinhas. Podemos afirmar que todas as
latas ficariam com o mesmo número de bolinhas se ele tivesse:
a) 36 bolinhas b) 42 bolinhas c) 49 bolinhas d) 55 bolinhas e) 63 bolinhas
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21) Em uma vídeo locadora, o acervo de filmes foi dividido, quanto ao preço, em três
categorias: Série Ouro (SO), Série Prata (SP) e Série Bronze (SB). Marcelo estava fazendo sua
ficha de inscrição, quando viu Paulo alugar dois filmes SO, dois filmes SP e um filme SB e
pagar R$ 13,50 pela locação dos filmes. Viu também Marcos alugar quatro filmes SO, dois
filmes SP e um filme SB e pagar R$ 20,50 pela locação. Marcelo alugou três filmes SO, um
filme SP e dois filmes SB e pagou R$ 16,00 pela locação dos filmes. Então, nesta locadora, o
preço da locação de três filmes, um de cada categoria, é igual a:
a) R$ 7,50. b) R$ 8,00. c) R$ 8,50. d) R$ 9,00. e) R$ 10,00.
22) Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e
restaram convidados na razão de 2 homens para cada mulher. Um pouco mais tarde, 55
homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de 3 mulheres para cada
homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era igual a
a) 100 b) 105 c) 115 d) 130 e) 135
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23) Dois garfos iguais, cinco colheres iguais e oito facas iguais pesam juntos 991 g. Um
desses garfos, duas dessas colheres e três dessas facas pesam juntos 391 g. Portanto, um
desses garfos, uma dessas colheres e uma dessas facas pesam juntos:
a) 117 g. b) 155 g. c) 182 g. d) 202 g. e) 209 g.
Funções
20 – Introdução: Funções
Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio
da função e o conjunto B, contradomínio da função. Para cada
N ∈ ‰, o elemento [ ∈ Š chama-se imagem de N pela função f
ou o valor assumido pela função f no ponto N ∈ ‰ e o
representamos por f(x). Assim, y = f(X).
O conjunto de todos os y assim obtidos é chamado conjunto imagem de f (Im(f)).
As vezes é preciso explicitar qual é o domínio da função. Nesse sentido, numa função real f,
o domínio D é maior subconjunto de ℝ tal que a fórmula y = f(x) defina uma função f ‹ ⟶
ℝ. Vejamos alguns exemplos:
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a) O domínio da função definida pela fórmula y = 3x + 1 é ℝ, pois, qualquer que seja o
valor real de x, o número 3x + 1 também é real. Logo, D(f) = ℝ.
b) O domínio da função definida por f(x) = <X3 é ℝ − ; , pois para todo y real diferente
de zero (não existe divisão por zero), o número <X3 é real. Logo, D(f) = ℝ − ; = ℝ∗
c) Vamos explicitar o domínio da função f(x) = √• − 3 + <X
.
√3 − >
• √• − 3 só é possível se • − 3 ≥ ; ⟹ 3 ≤ •.
• Como está no denominador, √3 − > só é possível se 3 − > > ; ou seja, 3 > >.
Assim, D(f) = 3 ∈ ℝ ∣ 3 ≤ •43 > > = >, •L =L>, •L
21 - Funções Sobrejetora, Injetora, Bijetora e Funções Compostas
Uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, para todo y pertencente a B existe
um elemento x pertencente a A tal que f(x) = y. Notemos que f: ‰ → Š é sobrejetora se, e
somente se, Im(f) = B.
Uma função f de A em B é injetora se, e somente se, quaisquer que sejam Nu e Nq de A, se
Nu ≠ Nq , então se Ž Nu ≠ Ž Nq . Notemos que a definição proposta é equivalente a: uma
função f de A em B é injetora se, e somente se, quais que sejam Nu e Nq de A, se se Ž Nu =
Ž Nq , então Nu = Nq .
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Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora e injetora.
Seja f uma função de um conjunto A em um conjunto B e seja g uma função de B em um
conjunto C. Chama-se função composta de g e f à função h de A em C em que a imagem de
cada x é obtida pelo seguinte procedimento:
1) Aplica-se a x a função f, obtendo-se f(x);
2) Aplica-se a f(x) a função g, obtendo-se g(f(x)).
Indica-se h(x) = g(f(x)) para todo x ∈ A.
22 – Exercícios Teóricos: Funções Compostas
24) Sejam as funções reais f e g, definidas por f(x) = x² + 4x – 5 e g(x) = 2x – 3.
a) Obtenha as leis que definem f(g(x)) e g(f(x)).
b) Calcule f(g(2)) e g(f(2)).
c) Determine os valores do domínio da função f(g(x)) que produzem imagem 16.
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25) Dadas as funções reais definidas por f(x) = 3x + 2 e g(x) = 2x + a, determine o valor de a
de modo que se tenha
f(g(x)) = g(f(x)).
26) Se f(x) = 3x – 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale:
a) -2 b) 0 c) 1 d) 3
e) 5
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23 – Função Afim
O gráfico da função afim é uma reta.
O coeficiente a é denominado coeficiente angular ou declividade da reta.
O coeficiente b é denominado coeficiente linear.
Ž N = IN + J I ≠ 0
6
A(0,b); B(− 5,0)
Função crescente quando I > 0 e função decrescente quando I < 0.
24 – Exercícios Aplicados: Função Afim
27) O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o
reservatório B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. No gráfico, estão
representados, no eixo y, os volumes, em litros, da água contida em cada um dos
reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no eixo x.
Determine o tempo
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x0 ,
em horas, indicado no gráfico.
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28) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as
quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do
preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas.
Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam,
respectivamente, representadas pelas equações:
QO = –20 + 4P
QD = 46 – 2P
em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do
produto.
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de
equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?
a) 5 b) 11 c) 13 d) 23 e) 33
25 –Função Quadrática
O gráfico da função quadrática é uma parábola
Figura 1
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Ž N = IN² + JN + ] I ≠ 0
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Os zeros ou raízes da função são os valores de N reias tais que Ž N = 0. Assim,
resumidamente, temos:
IN² + JN + ] = 0
b̀∆> 0 ℎághIijIíkligminmonIi → −J ± √J − 4I]
2I
⇔
−J
∆= 0 ℎághIijIíklimrhImi → N =
à
2I
∆< 0 oãtℎájIíklijlImi
_
q
Concavidade e máximo (mínimo)
Se I > 0, a concavidade é voltada para cima e a parábola apresenta um valor mínimo.
Se I < 0, a concavidade é voltada para baixo e a parábola apresenta um valor máximo.
Vértice da parábola
••
−J −∆
,
‘
2I 4I
Na figura 1, podemos relacionar as raízes ‰ N’ , [’ e Š N“ , [“ devido ao eixo de simetria
da seguinte forma:
Observação:
N’ + N“ −J
=
2
2I
a) O sinal do coeficiente I pode ser determinado pela concavidade. Assim:
5 > ;5 < ;
b) O sinal do coeficiente J pode ser determinado pela posição da parábola ao
cortar o eixo das ordenadas. Assim:
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6 < ;6 > ;
c) O sinal do coeficiente 7 pode ser determinado pela ordena do ponto que
corta o eixo das ordenadas. Assim:
7 < ;7 > ;
26 – Exercícios Aplicados: Função Quadrática
29) Uma indústria produz mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante
da venda deste produto é V(x) = 3x2 − 12x e o custo mensal da produção é dado por
C(x) = 5x2 − 40x − 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença entre o valor resultante das
vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa indústria deve
vender para obter lucro máximo é igual a
a) 4 lotes. b) 5 lotes. c) 6 lotes. d) 7 lotes. e) 8 lotes.
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30) A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões: capa
dura e capa de papelão. A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por x
reais e a versão capa de papelão por y reais, serão vendidos, no total, 130x + 70y − ( x 2 + y 2 )
exemplares das duas versões. Por uma questão de estratégia, o gerente de vendas decidiu
que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão.
a) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros
vendida seja a maior possível?
b) Nas condições do item (a), quantos exemplares a editora estima vender no total?
31) Um corpo arremessado tem sua trajetória representada pelo gráfico de uma parábola,
conforme a figura a seguir.
Nessa trajetória, a altura máxima, em metros,
atingida pelo corpo foi de
a) 0,52m. b) 0,64m. c) 0,58m. d) 0,62m.
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27 – Funções Exponenciais
Definição: sejaI ∈ ℝ, I > 0lI ≠ 1. Chamamos de Função Exponencial a função definida
por:
Ž: ” → ” tal que Ž N = I •
Gráfico:
Função crescente (5 > <)
Função decrescente (; < 5 < <)
a) A curva representativa está toda acima do eixo das abscissas, uma vez que
[ = I • > 0∀N ∈ ℝ.
b) Corta o eixo das ordenadas no ponto (0,1).
c) Se I > 0 é uma função crescente e se 0 < I < 1 é uma função
decrescente.
Teorema:
a) Sendo I ∈ ℝ, I > 1, Nu lNq ∈ ℝ, temos: I– > 1 se, e somente se, J > 0.
b) Sendo I ∈ ℝ, I > 1, Nu lNq ∈ ℝ, temos: I •— > I •˜ , se e somente se, Nu >
Nq
c)
Sendo I ∈ ℝ, 0 < I < 1, Nu lNq ∈ ℝ, temos: I •— > I •˜ , se e somente
se, Nu < Nq
Equações exponenciais:
Método da redução a uma base comum:
I– = I™ ⇔ J = ] 0 < I ≠ 1
Inequações exponenciais:
Método da redução a uma base comum:
Se J e ] são números reais, então: para I > 1 tem-se I– > I™ ⇔ J > ] e para
0 < I < 1 tem-se I– > I™ ⇔ J < ].
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Lembrete (Potência):
I
š›
•
1
Iœ
Ÿ
œš›
= › › = I
I ž = √I•
I
I
Para as potência de expoente real são válidas as seguintes propriedades:
a) I– . I™ = I–¡™
b) ¢£
¢¤
= I–š™
c) I. J
¢ ™
™
= I™ . J ™
d) ¥ ¦ = ¤
–
–
e) I–
™
¢¤
= I–.™
28 – Exercícios Aplicados: Funções Exponenciais
32) A partir do momento em que é ativado, um vírus de computador atua da seguinte
forma:
- ao longo do primeiro minuto, ele destrói 40% da memória do computador infectado;
- ao longo do segundo minuto, ele destrói 40% do que havia restado da memória após o
primeiro minuto;
- e assim sucessivamente: a cada minuto, ele destrói 40% do que havia restado da memória
no minuto anterior.
Dessa forma, um dia após sua ativação, esse vírus terá destruído aproximadamente
a) 50% da memória do computador infectado.
b) 60% da memória do computador infectado.
c) 80% da memória do computador infectado.
d) 90% da memória do computador infectado.
e) 100% da memória do computador infectado.
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33) Um imóvel perde 36% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imóvel em
t anos pode ser obtido por meio da fórmula a seguir, na qual V0 corresponde ao seu valor
atual.
t
V( t ) = V0 × ( 0,64 ) 2
Admitindo que o valor de venda atual do imóvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor
de venda daqui a três anos.
29 – Funções Logarítmicas
Definição:
Dada a função exponencial ” → ”¡∗ tal que [ = I • , com0 < I ≠ 1 , podemos determinar
a sua função inversa, visto que, estas condições, a função exponencial é bijetora. A função
logarítmica é a função inversa da exponencial, isto é: [ = I • ⇔ N = §tr¢ [.
Gráfico:
a) A curva representativa está toda a direita do eixo das ordenadas N > 0 .
b) Corta o eixo das abscissas no ponto (1,0).
c) Se I > 0 é uma função crescente e se 0 < I < 1 é uma função
decrescente.
Equações logarítmicas
a) Se 0 < I ≠ 1, então §tr¢ Ž N = §tr¢ r N ⇔ Ž N = r N > 0.
b) Se 0 < I ≠ 1l¨ ∈ ℝ então §tr¢ Ž N = ¨ → Ž N = I© .
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Inequações logarítmicas
a) Se I > 0, então §tr¢ Ž N > §tr¢ r N ⇔ Ž N > r N > 0.
b) Se 0 < I < 1, então §tr¢ Ž N > §tr¢ r N ⇔ 0 < Ž N < r N .
Ž N > I« ilI > 1
c) §tr¢ Ž N > y ⇔ y ª
0 < Ž N < I« il0 < I < 1
0 < Ž N < I« ilI > 1
d) §tr¢ Ž N < y ⇔ y ª
Ž N > I« il0 < I < 1
Lembrete (Logaritmo):
I, J ∈ ℝ
Definição: §tr¢ J = N ⇔ I = Jtogl z0 < I ≠ 1
J>0
•
Consequência da definição:
Para 0 < I ≠ 1,J > 0, temos:
d) §tr¢ J = §tr¢ ] ⇔ J = ]
a) §tr¢ 1 = 0
b) §tr¢ I = 1
c)I¬-®¯– = J
Propriedade dos logaritmos:
a) Logaritmo do produto: Se 0 < I ≠ 1, J > 0, ] > 0, então §tr¢ J. ] = §tr¢ J +
§tr¢ ]
b) Logaritmo do quociente: Se 0 < I ≠ 1, J > 0, ] > 0, então §tr¢ ¥ ¦ = §tr¢ J −
™
–
§tr¢ ]
c) Cologaritmo: Se 0 < I ≠ 1, J > 0, então ]tlog ± b = −log ± b = log ±
u
²
d) Logaritmo da potência Se 0 < a ≠ 1, b > 0eα ∈ ℝ então log ± b = α. log ± b
´
Mudança de base
Propriedade:
Consequências:
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log ± b =
log ± b =
log µ b
log µ a
1
1
log ±¶ b = log ± b
log ² a
β
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Apêndice
Listas de exercícios:
1)
2)
3)
Conjuntos: file:///C:/Users/Jorge%20Gimenez/Documents/Exerc%C3%ADciosConjuntosXX.pdf
Equações Modulares: file:///C:/Users/Jorge%20Gimenez/Documents/EquacoesModulares.pdf
Funções: file:///C:/Users/Jorge%20Gimenez/Documents/Fun%C3%A7%C3%A3o.pdf
Bibliografia
• Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1. 7ª
edição. São Paulo. Atual editora, 1993.
• Danta, Luiz Roberto. Matemática contexto e aplicações. 1ª edição. São Paulo. Edito
ática, 2000.
• https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o. Acessado em 15/07/2015.
• http://www.somatematica.com.br/soexercicios. Acessado em 15/07/2015
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