Raizes Clássicas da Mecânica Quântica Prof. Dr. Arnaldo Dal Pino Jr. 2010 Parte 1 A Física no Final do Século XIX Parte 2 A Mecânica Clássica ou Analítica Parte 3 A Física dos Anos 1920 e Schrödinger Física do Século XIX • Mecânica Analítica • Termodinâmica • Equações de Maxwell Determinismo O Demônio de Laplace (1749 -1827) Inteligência superior de posse de todas as variáveis que determinam o estado do universo em um instante t, ele pode prever seu estado no instante t´>t. (1814) Pierre Simon, Marquês de Laplace (1817) (23/3/1749 – 5/3/1827) Filho de trabalhador rural •Mecânica Celeste (1799-1825) 5 vol. •Equação de Laplace/Harmônicos Esféricos •Transformada de Laplace •Mencionou a possível existência de buracos negros e colapso gravitacional!! •Teoria das Probabilidades Pierre Simon, Marquês de Laplace (1817) (23/3/1749 – 5/3/1827) •Laplace implorou que Napoleão lhe desse o posto de ministro do interior. A carreira política de Laplace durou pouco menos de seis semanas. •Embora Laplace tenha sido removido do cargo, ele foi elevado ao senado e, no terceiro volume do Mécanique céleste, ele prefixou uma nota dizendo que de todas as verdades ali contidas, a mais preciosa para o autor era a declaração que ele então fez de sua devoção ao pacificador da Europa. Em cópias vendidas após a restauração Bourbon, ela foi retirada. •Em 1814, ficou evidente que o império estava caindo; Laplace se apressou a oferecer seus serviços aos Bourbons e, quando a restauração ocorreu, foi recompensado com o título de marquis (marquês). Imperador Napoleão I De 18/05/1804 a 06/04/1814 Física do Século XIX •1ª fase da Revolução Industrial – máquina a vapor •2ª fase da Revolução Industrial – eletricidade "O gênio consiste em um por cento de inspiração e noventa e nove por cento de transpiração." J. Watt "Glasgow Guilg 1736 -1819 Hammermen" Thomas Edison (1847-1931) Pelé das patentes!! William Thomson (Lord Kelvin) 1824-1907 ―On the Absolute Thermometric Scale‖ (1848) ... need for a scale where by “infinite cold” was the scale null´s point. • ―Heavier than air machines are impossible”. (1895). William Thomson (Lord Kelvin) 1824-1907 • ―There is nothing new to be discovered in Physics now. All that remains is more and more precise measurement”. (British Association for the Development of Science1900). Alguns meses depois... • The beauty and clearness of the dynamical theory, which asserts heat and light to be modes of motion, is at present obscured by two clouds. I. The first came into existence with the ondulatory theory of light, and was dealt with by Fresnel and Dr. Thomas Young; it involved the question, how could the earth move through an elastic solid, such as essentially is the luminiferous ether? II. The second is the Maxwell–Boltzmann doctrine regarding the partition of energy. • Lord Kelvin, Nineteenth Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light, Philosophical Magazine, Sixth Series, 2, 1–40 Soluções 1. Teoria da Relatividade. 2. Mecânica Quântica: a mais revolucionária das teorias. Teoria Quântica Einstein (1879-1955) P_B_D_ H_S Radiação de Corpo Negro black body is an idealized object that absorbs all electromagnetic radiation that falls on it. No electromagnetic radiation passes through it and none is reflected. Because no light (visible electromagnetic radiation) is reflected or transmitted, the object appears black when it is cold. A black body emits a temperature-dependent spectrum of light. This thermal radiation from a black body is termed black-body radiation Radiação de Corpo Negro Max Planck (1858 –1947) Fundador da teoria quântica e Prêmio Nobel de 1918. Planck assinou the ―manifesto of the 93 intellectuals‖ –polêmico panfleto de propaganda de guerra. Rape of Belgium - 1ª Guerra Mundial Planck discordava do sufrágio universal. Ele achava que a ascensão da democracia é que permitiu a ditadura nazista. Radiation de Corpo Negro Durante a 2ª Guerra Mundial, Planck tentou convencer Hitler a libertar cientistas judeus. Seu filho, Erwin, foi executado por ser acusado de traição por planejar o assassinato de Hitler. Planck´s derivation of the energy density of black body radiation • To calculate de # of modes of oscillation of E.M. radiation in a cavity, consider a 1-D box of side L. In equilibrium, only standing waves are possible and these will have nodes at the ends x=0 and x=L. Thus, nx c , nx 1,2,3... or nx. 2 2.L L Since c= speed of the propagation of waves. There will be 2 modes for each triade of integers (nx,ny,nz) because there are 2 independent polarizations possible. To find the # of modes with frequency between and +d, look at the figure Each box has side = c/2L In 3D, there is one point per cube of volume (c/2L)3, and only positive integers (nx,ny,nz) are acceptable. Thus, the # of triplets of positive triplets is equivalent to the volume of one octant of the space divided by (c/2L)3. 2.1/ 8.4. . 2 g( ).d d 3 c 2.L Density of states g() 8..V 2 g( ).d 3 . .d c or g().d 8..V 4 d Classical Physics: each mode of oscillation represents a harmonic oscillator with ½.k.T each potential and kinetic energy on average (equipartition of energy), we get Rayleigh – Jeans law. Energy/Volume= 8. 2 u .d 3 .kT . . .d c Ultraviolet Catastrophe Divergence of this relation at high frequency or low wavelength was known as the ―ultraviolet catastrophe‖. Catástrofe do Ultravioleta A nova idéia de Planck foi: • Assumir que as energias permitidas eram quantizadas, i.e., as frequências dos osciladores só podiam ter energia: en = n h , n=0,1,2,3...onde h era uma nova constante, hoje conhecida como constante de Planck. • A energia média por oscilador era calculada a partir da distribuição de Boltzmann. en k.T e e .e n n en k.T e n.h. k.T nh. ..e n e n n Lembremos que o denominador é chamado de função de partição O numerador é h.. n.h. k.T Z , x x n.h. k.T Z e 1 h. k.T 1e n h. kT . Assim, a energia média do oscilador vale: e h. h. k.T e 1 A energia por unidade de volume da radiação na cavidade é: 8..hc u (T).d 5 8. h. 3 u (T).d 3 h. .d ou c k.T e 1 1 h.c .k.T e .d 1 A energia total por unidade de volume da radiação é a integral sobre todas as freqüências ´s: 8. h. 0 u (T).d 0 c3 kh..T e 1 3 8..kT . 4 d aT . 3 15.hc . 4 Esta é a Lei de Stefan-Boltzmann Josef Stefan (experiment-1879) : o fluxo emitido a partir de uma cavidade em equilíbrio térmico é proporcional à quarta potência da temperatura. L.Boltzmann (teoria -1884) deduziu esta relação de 4ª potência a partir da teoria termodinâmica. Até o trabalho de Planck, não havia procedimento teórico para determinar a constante de proporcionalidade. Ludwig Eduard Boltzmann (1844-1906) Desordem Bipolar. Ele fazia piada de suas crises de humor: Ele nasceu durante a noite entre Mardi Gras and Ash Wednesday. Boltzmann enforcou-se durante um ataque de depressão (1906) Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) Germany. On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum. Max Planck. Annalen der Physik 4 (1901): 553. Hierzu ist es notwendig, UN nicht als eine stetige, unbeschränkt teilbare, sondern als eine discrete, aus einer ganzen Zahl von endlichen gleichen Teilen zusammengesetzte Grösse aufzufassen. É necessário interpretar UN (a energia total do corpo negro) não como uma quantidade contínua, infinitamente divisível, mas como discreta e composta de um número inteiro de quantidades indivisíveis e iguais. Enquanto estava em Berlim, Planck desenvolveu seus trabalhos mais brilhantes. Em 1900, ele desenvolveu sua fórmula da radiação de corpo negro. Um ano depois, ele escreveu: The whole procedure was an act of despair because a theoretical interpretation had to be found at any price, no matter how high that might be. Nobel Prize in Physics 1918 Presentation Speech by Dr. A. G. Ekstrand, President of the Royal Swedish Academy of Sciences ―... the so-called Planck constant, proved, as it turned out, to be of still greater significance, perhaps, than the first. The product hu, where u is the frequency of vibration of a radiation, is actually the smallest amount of heat which can be radiated at the vibration frequency u. This theoretical conclusion stands in very sharp opposition to our earlier concept of the radiation phenomenon. Experience had to provide powerful confirmation, therefore, before Planck's radiation theory could be accepted. In the meantime this theory has had unheard-of success….‖ Planck descartou a física clássica e introduziu os ―quanta‖ de energia. Planck explica como, apesar de ter inventado a teoria, ele próprio não a entendia: I tried immediately to weld the elementary quantum of action somehow in the framework of classical theory, but in the face of all such attempts this constant showed itself to be obdurate … My futile attempts to put the elementary quantum of action into the classical theory continued for a number of years and they cost me a great deal of effort. Efeito Fotoelétrico 1905 – 26 y.o. Nobel - 1921 Efeito Fotoelétrico Experimentos de Heinrich Hertz em 1887. Cientista alemão, Hertz nasceu em1857, é mais conhecido por ter sido o primeiro a produzir e captar ondas de rádio previstas por Maxwell. Ele fez observações notáveis enquanto trabalhava com spark-gap generator, que era um dispositivo primitivo para geração de ondas de rádio. 1857 – 1894 Efeito Fotoelétrico Hertz também percebeu que as ondas de rádio poderiam ser transmitidas e refletidas através de diversos meios -> Radar. Sem entender a importância de suas descobertas, ele disse: "It's of no use whatsoever[...] this is just an experiment that proves Maestro Maxwell was right - we just have these mysterious electromagnetic waves that we cannot see with the naked eye. But they are there." Perguntado sobre as ramificações de suas descobertas, ele insistiu: "Nothing, I guess." 1857 – 1894 Descrição Matemática A energia cinética máxima, Kmax, de um elétron ejetado é: •onde h é a constante de Planck, f é a freqüência do fóton incidente, and φ é a função trabalho. • j é a energia mínima necessária para remover um elétron dasuperfície de um determinado metal. •A função trabalho pode ser escrita na forma: onde f0 é chamado limiar. Logo, a máxima energia cinética de um elétron ejetado é: Em 1915, Robert Andrews Millikan mostrou que a predição de Einstein estava correta. Efeito sobre a questão onda-partícula •O efeito fotoelétrico reforçou a idéia da natureza dual da luz. •Luz possui simultaneamente características de ambos; onda e partícula. Ela manifesta as características de cada uma de acordo com as circunstâncias. •Isto é impossível de se entender em termos da física clássica. Applications of the photoelectric effect Photodiodes and phototransistors: solar cells Image sensors: digital video cameras Major Problem in spaceships: Spacecraft exposed to sunlight develop a positive charge. This can get up to the tens of volts. As other parts of the spacecraft in shadow develop a negative charge (up to several kilovolts) from nearby plasma, and the imbalance can discharge through delicate electrical components. The more success the quantum theory has, the sillier it looks. (Albert Einstein to Heinrich Zangger on Quantum Theory, May 20, 1912) About fifteen years ago [1899] nobody had yet doubted that a correct account of the electrical, optical, and thermal properties of matter was possible on the basis of GalileoNewtonian mechanics applied to molecular motion and of Maxwell's theory of the electromagnetic field. (Albert Einstein, 1915). During the years following, it was shown that light was everywhere produced and absorbed in such energy quanta. (Albert Einstein, 1954) Ondas de Matéria: De Broglie - 1923 Louis-Victor-Pierre-Raymond, 7th duc de Broglie História -> Matemática e Física. 1892 –1987 Na 1ª Guerra Mundial (1914), prestou serviços ao exército em rádio comunicações. Sua tese (1924), Recherches sur la théorie des quanta, incluia a dualidade partícula-onda baseada nos trabalhos de Einstein e Planck. A banca, insatisfeita com o material, passou a tese para Einstein avaliar. Ele endossou a teoria da dualidade. No final de sua carreira, de Broglie trabalhou no desenvolvimento de uma interpretação alternativa (em oposição à probablística) para a mecânica quântica. Esta interpretação é conhecida atualmente teoria de Broglie–Bohm, pois foi refinada por David Bohm nos anos1950. 1917 -1992 Ondas de Matéria: De Broglie -1923 Idéia: para a matéria, bem como radiação, nós devemos introduzir simultaneamente os conceitos de corpúsculo e de onda. Deve ser possível estabelecer um certo paralelismo entre o movimento de um corpúsculo e a propagação das ondas associadas. (Louis de Broglie) Experiments on interference made with particle rays have given brilliant proof that the wave character of the phenomena of motion as assumed by the theory does, really, correspond to the facts. (Albert Einstein, 1954) In 1954 Einstein wrote to a friend ―All these fifty years of conscious brooding have brought me no nearer to the answer to the question, 'What are light quanta?' Nowadays every Tom, Dick and Harry thinks he knows it, but he is mistaken.” (Albert Einstein, 1954) “Determination of the stable motion of electrons in the atom introduces integers, and up to this point the only phenomena involving integers in physics were those of interference and of normal modes of vibration. This fact suggested to me the idea that electrons too could not be considered simply as particles, but that frequency (wave properties) must be assigned to them also.” (Louis de Broglie, 1929, Nobel Prize Speech) A Velha Mecânica Quântica Modelo atômico (átomo de hidrogênio) de Bohr (1913). Grande quantidade de dados espectrais dos átomos. A Velha Mecânica Quântica O modelo de Bohr estabelece que um átomo tem níveis de energia discretos. Quando o átomo emite um fóton, ele perde energia, saltando do nível Ei para o Ej , e emite radiação de frequência f= (Ei-Ej )/h Princípios Básicos O sistema obedece a mecânica clássica exceto que nem todo movimento é permitido. Somente aqueles que obedecem a regra de quantização: Nobel em 1922 pi e qi são os momentos e coordenadas do sistema. ni ´s, os números quânticos, são inteiros e a intergral é tomada sobre um período. h= Constante de Planck (the quantum of action) . •Bohr foi mentor de Heisenberg que aprendeu dinamarques para se comunicar melhor com Bohr. •Bohr fugiu para a Suécia durante a ocupação nazista na Dinamarca. •Ele passou os 2 últimos anos da guerra nos USA associado com o Projeto Atômico. •He defendia a completa abertura do conhecimento entre as nações. (segredos atômicos-United Nations-1950). 1885-1962 •Bohr visitou o Presidente Roosevelt para convencê-lo que o Projeto Manhattan deveria ser compartilhado com os Russos. •Roosevelt sugeriu que Bohr fosse à GrãBretanha e tentasse coseguir o apoio inglês. •Winston Churchill : respondeu em carta: “It seems to me Bohr ought to be confined or at any rate made to see that he is very near the edge of mortal crimes” 1885-1962 Princípio da Correspondência (1920) • Sistemas macroscópicos (molas, capacitores, etc) são descritos adequadamente pelas teorias clássicas. • A ―nova teoria‖ (teoria quântica) deve descrever com sucesso objetos microscópicos (átomos, elétrons, etc.). • Deve existir um limite no qual a mecânica quântica se reduz à mecânica clássica. • O princípio da correspondência de Bohr exige que a física clássica e a quântica dêem a mesma resposta quando o sistema se torna ―suficientemente grande‖. Parte 2 A Mecânica Clássica ou Analítica Mecânica Clássica ou Analítica Sir Isaac Newton 1642 -1727 Jean le Rond D´Alembert 1717 - 1783 Joseph-Louis Lagrange (1736 –1813), born Giuseppe Lodovico (Luigi) Lagrangia Willian Rowan Hamilton 1805-1865 Mecânica Lagrangiana Simplificada Mecânica Lagrangiana == Mecânica Newtoniana. Seu método simplifica muitos problemas complicados, por exemplo, ondas em meios contínuos e mecânica orbital. •Nascido Giuseppe Lodovico Lagrangia em Turim de pais italianos. •Tinha ancestrais franceses por parte de mãe. three-body problem Lagrange Toda noite ele definia uma tarefa para o dia seguinte. Quando completava uma parte do trabalho, ele imediatamente escrevia uma breve análise. Ele sempre escrevia seus trabalhos em uma única seqüência sem qualquer erro ou correção. "a system of alternative therapy based on this which seeks to educate people in self-awareness and effective communication, and to change their patterns of mental and emotional behaviour". (1970´s) Richard Bandler John Grinder Neuro-linguistic programming Equação de Lagrange T (q, q, t) Energia Potential U(q) Energia Cinética L(q, q, t) T(q, q, t) U(q) d L(q, q,t) L(q, q, t) 0 dt q q q = coordenada generalizada q = velocidade generalizada L(q, q,t) q p = momento generalizado FORMULAÇÃO DE LAGRANGE PASSO A PASSO Escreva: • Equações de transformação: r r (q, q, t) r r (q, q, t) • Energia cinética: T (q, q, t) • Energia potential: U(q) • Lagrangeana: L(q, q, t) T(q, q, t) U(q) • Equação de Lagrange : d L(q, q,t) L(q, q, t) 0 dt q q Conjunto de equações diferenciais de 2ª ordem. Uma equação para cada grau de liberdade. Example: free fall Generalized momentum •Euler-Lagrange Equation: d L(q, q,t) L(q, q, t) 0 dt q q Joseph Kittinger starting his record-breaking skydive 23,290 m in November, 1959 2ª Lei de Newton Mecânica Hamiltoniana Simplificada Reformulação da mecânica clássica (1833) -> Irlandês W.R. Hamilton. Newton ->Lagrange -> Hamilton Prodígio: persa, árabe, sanscrito, ... Aos 18 anos -> melhor matemático do mundo. 1805-1865 Formulação Hamiltoniana Passo a Passo As equações de Hamilton são prodigiosas em vista de sua simplicidade e simetria. A procura por grandezas que se conservam (constantes de movimento) desempenha um papel crucial na compreensão da natureza das soluções. Hamiltoniana para o problema de força central Princípio de Hamilton t1 t0 Podemos usar este princípio (ao invés da leis de Newton) como Princípio Fundamental da Mecânica! •Formulação de Lagrange = liberdade para escolher coordenadas. •Formulação de Hamilton = liberdade para escolher coordenadas e momentos. •Critério para as mudanças de variáveis = Princípio de Hamilton Transformação Canônica Uma Transformação Canônica é uma mudança de coordinadas (q,p,t) → (Q,P,t) que preserva a forma do Princípio de Hamilton (equações). Transformação Canonica do Tipo 2: Exemplo Seja: G2 g(q, t).P G2 (g(q, t).P) g(q, t) Q P P •Esta função geratriz, ou geradora, cria um novo conjunto de coordenadas generalizadas, Q, que é uma função das coordenadas velhas (q) e do tempo. •Transformações permitidas pela formulação de Lagrange são casos particulares de transformação canônica. Situação Ideal •Aprendemos que dada a função geradora G, podemos calcular a transformação canônica (q,p) -> (Q,P). •Ainda não sabemos, escolher entre as infinitas transformações canônicas, qual é mais útil. • Situação ideal momentos = constantes de movimento!! K P Q K Q P Sei que as equações de Hamilton devem ser válidas nas novas coordenadas K P Q K Q P •Se a Hamiltoniana não depende de uma certa coordenada, Q1, seu momento conjugado P1 será constante do movimento. •Q1 é chamada de variável cíclica ou ignorável. Equação de Hamilton–Jacobi Equação de Hamilton–Jacobi é uma reformulação da mecânica clássica e, é equivalente as outras reformulações. Newton, Lagrange and Hamilton. K 0 1804 —1851 K P Q K Q P Nasceu de família judia, estudou na universidade de Berlim onde obteve o título de doutor em filosofia em 1825. Hamilton–Jacobi Equation A EHJ é particularmente importante para identificar grandezas que se conservam, sendo útil mesmo quando não é possível resolver completamente o problema. HJE é a única formulação da mecânica na qual o movimento de uma partícula pode ser representado como uma onda. Neste sentido, EHJ satisfaz a procura por uma analogia entre a propagação da luz e o movimento de uma partícula. The wave equation followed by mechanical systems is similar to, but not identical with, Schrödinger's equation, Jacobi escolheu uma geratriz S= K identicamente nula. G2 (q, P, t) que torna a nova Hamiltoniana Jacobi : e se a Transf. Canônica torna-se: K 0 Jacobi : Se a transf. Canônica fornecesse: K 0 G2 (q, P,t) S(q, P,t) A possibilidade de separação das variáveis em S depende tanto da Hamiltoniana quanto da escolha das generalized coordinates. Parte 1: A Física do final do século XIX. Parte 2: A Mecânica Clássica ou Analítica Parte 3: A Física dos Anos 1920 e Schrödinger Estamos quase lá!! The Old Quantum Theory Bohr's model states that an atom has a discrete set of energy levels. When the atom emits a photon, it loses energy, changing from energy level Ei to level Ej , so the photon has energy Ei-Ej and hence frequency f= (Ei-Ej )/h Basic Principles Motion in an atomic system is quantized. System obeys classical mechanics except that not every motion is allowed, only those motions which obey the old quantum condition: pi and qi are the momenta and coordinates of the system. The quantum numbers ni are integers and the integral is taken over one period of the motion. h= Planck's constant (the quantum of action) . Correspondence Principle. Applications Example: One dimensional potential At any energy E, the value of the momentum p is found from the conservation equation: which is integrated over all values of q between the classical turning points, the places where the momentum vanishes. The integral is easiest for a particle in a box of length L, where the quantum condition is: which gives the allowed momenta: and the energy levels: In this case, the old quantum theory delivers the correct energy levels. It also gives the correct energies for the hydrogen atom, although it does not explain the intensity of the lines. Failure of the Old Quantum Theory Unfortunately, it fails badly to predict the spectra of diatomic molecules. Heisenberg Bohr, Heisenberg and Pauli Nobel 1932 • Heisenberg (1925): ―On the quantum-theoretical reinterpretation of kinematical and mechanical relations‖ • Heisenberg traduziu os movimentos clássicos em quânticos aplicando o princípio da correspondência. • Grandezas familiares comportavam-se de modo estranho; multiplicação dependia da ordem dos termos!! (comutadores!! desvios expressos em termos de h!) Schrödinger sofria de tuberculose e foi internado diversas vezes durante os anos 1920. Foi numa destas estadas que descobriu a equãção de onda. Schrödinger decidiu em1933 que não poderia vier em um país onde a perseguição a judeus se tornara política nacional. O reitor da Universidade de Oxford visitou a Alemanha em 1933 para oferecer emprego na Inglaterra para jovens cientistas judeus. •Ele procurou Schrödinger para oferecer emprego a um de seus assistentes e foi surpreendido pelo interesse dele em sair da Alemanha. •Schrödinger exigia a contratação de Arthur March, como seu assistante. The request for March stemmed from Schrödinger's unconventional relationships with women. • Embora vivesse bem com a esposa (Anny), ele tinha muitas amantes. Todas elas com o conhecimento de sua esposa, que também mantinha seu próprio amante Hermann Weyl. • Hilde = esposa de March. • Os cientistas que abandonaram a Alemanha passaram uma temporada na Itália. (meados de 1933) •Lá, Hilde engravidou de Schrödinger. •Em 4 de Novembro de 1933, Schrödinger, sua esposa e Hilde March chegaram em Oxford. Invitation for Princeton: the fact that he wished to live at Princeton with Anny and Hilde both sharing the upbringing of his child was not found acceptable. The fact that Schrödinger openly had two wives, even if one of them was married to another man, was not well received in Oxford As questões filosóficas geradas pelo gato de Schrödinger são debatidas até hoje e permanecem como seu legado mais conhecido na ―ciência popular‖. Enquanto a Equação de Schrödinger é seu legado mais relevante do ponto de vista científico. Equação de Schrödinger descreve como um estado quântico de um sistema físico evolui com o tempo. É tão central para a Mecânica Quântica quanto as Leis de Newton são para a mecânica clássica. Túmulo de Erwin Schrödinger's Schrödinger's equation can be mathematically transformed into Heisenberg's matrix mechanics, and into Feynman's path integral formulation. The Schrödinger equation describes time in a way that is inconvenient for relativistic theories, a problem which is not as severe in Heisenberg's formulation and completely absent in the path integral. For a general quantum system : where •i is the imaginary unit • is the wave function, which is the probability amplitude for different configurations of the system • is the reduced Planck constant (often normalized to 1 in natural units) • is the Hamiltonian operator. Como Schrodinger chegou em sua Equação? A partir da formulação Hamiltoniana da Mecânica Clássica. Schrödinger reconheceu e enfatizou a importância do seguinte par de relações: Princípio de Hamilton Princípio de Fermat na Ótica geométrica Eq. de Hamilton-Jacobi mecânica clássica Princípio de Huygen’s propagação de ondas ―Quantization as a Problem of Proper Values (Part II)‖ (Schrodinger 1926) Idéias Relevantes Mecânica Hamiltoniana ←→ ↓ (Schrödinger) Mecânica ondulatória Ótica Geométrica ↓ (classical wave theory) ←→ Ótica Física Analogia entre a formulação Hamiltoniana da Mecânica Clássica com a ótica. p2 E. V 2.m Interpretação de Copenhagen • Um sistema é completamente descrito por uma função de onda ψ, que representa o conhecimento do observador sobre o sistema. (Heisenberg) • A descrição da natureza é probabilística. A probabilidade de um evento é relacionado ao quadrado da amplitude da função de onda. (Born rule, due to Max Born) • O Princípio da Incerteza de Heisenberg determina que não é possível conhecer os valores de todas as propriedades do sistema ao mesmo tempo. Aquelas propriedades que não são conhecidas com precisão devem ser descritas por probabilidades. Interpretação de Copenhagen • Princípio da Complementaridade : matéria exibe uma dualidade onda-partícula. Um experimento pode mostrar propriedades de partículas ou de ondas, mas não ambas simultaneamente.(Niels Bohr) • Instrumentos de medida são essencialmente clássicos e medem propriedades clássicas. (posição e momentum) • The Princípio da Correspondência de Bohr e Heisenberg: A descrição quântica de sistemas macroscópicos deve tender para a descrição clássica. Interpretação de Copenhagen: Consequências 1. Schrödinger's Cat A cat is put in a box with a radioactive substance and a radiation detector. The half-life of the substance is the period of time in which there is a 50% chance that a particle will be emitted (and detected). The detector is activated for that period of time. If a particle is detected, a poisonous gas will be released and the cat killed. Schrödinger set this up as what he called a "ridiculous case" in which "The psi-function of the entire system would express this by having in it the living and dead cat mixed or smeared out in equal parts." The Copenhagen Interpretation: The wave function reflects our knowledge of the system. The wave function simply means that there is a 50-50 chance that the cat is alive or dead. Interpretação de Copenhagen: Conseqüências 2. Wigner's Friend Wigner puts his friend in with the cat. The external observer believes the system is in the state . His friend however is convinced that cat is alive, i.e. for him, the cat is in the state . How can Wigner and his friend see different wave functions? The Copenhagen Interpretation: Wigner's friend highlights the subjective nature of probability. Each observer (Wigner and his friend) has different information and therefore different wave functions. The distinction between the "objective" nature of reality and the subjective nature of probability has led to a great deal of controversy. Interpretação de Copenhagen: Consequências 3. Double Slit Diffraction Light passes through double slits and onto a screen resulting in a diffraction pattern. Is light a particle or a wave? The Copenhagen Interpretation: Light is neither. A particular experiment can demonstrate particle (photon) or wave properties, but not both at the same time (Bohr's Complementary Principle). The same experiment can in theory be performed with any physical system: electrons, protons, atoms, molecules, viruses, bacteria, cats, humans, elephants, planets, etc. quantum mechanics considers all matter as possessing both particle and wave behaviors. The greater systems (like viruses, bacteria, cats, etc.) are considered as "classical" ones but only as an approximation. 4. EPR (Einstein–Podolsky–Rosen) paradox: intended to show that quantum physics could not be a complete theory. Entangled "particles" are emitted in a single event. Conservation laws ensure that the measured spin of one particle must be the opposite of the measured spin of the other, so that if the spin of one particle is measured, the spin of the other particle is now instantaneously known. The most discomforting aspect of this paradox is that the effect is instantaneous so that something that happens in one galaxy could cause an instantaneous change in another galaxy. But, according to Einstein's theory of special relativity, no information-bearing signal or entity can travel at or faster than the speed of light, which is finite. Thus, it seems as if the Copenhagen interpretation is inconsistent with special relativity. 4. EPR (Einstein–Podolsky–Rosen) paradox The Copenhagen Interpretation: Assuming wave functions are not real, wave function collapse is interpreted subjectively. The moment one observer measures the spin of one particle, he knows the spin of the other. However another observer cannot benefit until the results of that measurement have been relayed to him, at less than or equal to the speed of light. Copenhagenists claim that interpretations of quantum mechanics where the wave function is regarded as real have problems with EPR-type effects, since they imply that the laws of physics allow for influences to propagate at speeds greater than the speed of light. However, proponents of Many worlds and the Transactional interpretationmaintain that their theories are fatally non-local. The claim that EPR effects violate the principle that information cannot travel faster than the speed of light can be avoided by noting that they cannot be used for signaling because neither observer can control, or predetermine, what he observes, and therefore cannot manipulate what the other observer measures. Relativistic difficulties about establishing which measurement occurred first also undermine the idea that one observer is causing what the other is measuring. Criticisms Many physicists and philosophers have objected to the Copenhagen interpretation, both on the grounds that it is non-deterministic and that it includes an undefined measurement process that converts probability functions into non-probabilistic measurements. Einstein's comments "I, at any rate, am convinced that He (God) does not throw dice." and "Do you really think the moon isn't there if you aren't looking at it?" exemplify this. Bohr, in response, said "Einstein, don't tell God what to do". The Copenhagen rules clearly work, so they have to be accepted Interpretation of quantum mechanics is a statement which attempts to explain how quantum mechanics informs our understanding of nature. Although quantum mechanics has received thorough experimental testing, many of these experiments are open to different interpretations. There exist a number of contending schools of thought, differing over whether quantum mechanics can be understood to be deterministic, which elements of quantum mechanics can be considered "real", and other matters. This question is of special interest to philosophers of physics, as physicists continue to show a strong interest in the subject. They usually consider an interpretation of quantum mechanics as an interpretation of the mathematical formalism of quantum mechanics, specifying the physical meaning of the mathematical entities of the theory. Interpretation of quantum mechanics The Copenhagen interpretation Many worlds Consistent histories Ensemble interpretation, or statistical interpretation de Broglie–Bohm theory Relational quantum mechanics Transactional interpretation Stochastic mechanics Objective collapse theories The decoherence approach von Neumann Interpretation: consciousness causes the collapse Variations Subjective reduction research Participatory anthropic principle Many minds Quantum logic Modal interpretations of quantum theory Incomplete measurements “Pensar é o esporte mais radical que existe: pratique-o.” Arnaldo Dal Pino Jr. Obrigado