Matemática Financeira

Matemática
Financeira
2016.2
Sumário
CapítuloI.IntroduçãoàApostila...........................................................................................4
CapítuloII.FundamentosdaMatemáticaFinanceira.............................................................5
2.1.INTRODUÇÃO....................................................................................................................5
2.2.CAPITAL,NÚMERODEPERÍODOS,JURO,MONTANTE,TAXADEJUROSeFLUXODE
CAIXA........................................................................................................................................5
CapítuloIII.JurosSimples......................................................................................................8
EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOIII..................................................................................................10
CapítuloIV.JurosCompostos..............................................................................................13
4.1.JUROSCOMPOSTOS........................................................................................................13
4.2.JUROSCOMPOSTOSNAHP12C......................................................................................14
EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOIV..................................................................................................16
CapítuloV.TaxasEquivalentes............................................................................................20
5.1.TAXASEQUIVALENTESEMJUROSSIMPLES.....................................................................20
5.2.TAXASEQUIVALENTESEMJUROSCOMPOSTOS.............................................................21
EXERCÍCIOSDOCAOÍTULOV..................................................................................................22
CapítuloVI.DescontoSimples(DescontoComercial)...........................................................24
EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOVI..................................................................................................25
CapítuloVII.TaxaEfetivaeTaxaReal..................................................................................30
7.1.TAXAEFETIVA..................................................................................................................30
7.2.TAXAREAL.......................................................................................................................30
EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOVII.................................................................................................33
CapítuloVIII.SequênciadeCapitais.....................................................................................37
8.1.SEQUÊNCIASUNIFORMESPOSTECIPADAS–PMT´s........................................................37
8.2.SEQUÊNCIASUNIFORMESANTECIPADAS–PMT´s..........................................................40
8.3.SEQUÊNCIASUNIFORMESCOMPARCELASDIFERIDASOUPARCELASBALÃO................43
EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOVIII................................................................................................46
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CapítuloIX.EquivalênciadeCapitais...................................................................................50
9.1.VALORPRESENTEEVALORFUTURO...............................................................................50
9.2.EQUIVALÊNCIADECAPITAIS............................................................................................50
9.3.VALORPRESENTELÍQUIDODEUMCONJUNTODECAPITAIS(VPL/NPV)......................51
9.3.1.VALORPRESENTELÍQUIDODEUMCONJUNTODECAPITAIS(VPL/NPV)–HP12C....53
9.4.TAXAINTERNADERETORNO(TIR/IRR)..........................................................................55
9.4.1.TAXAINTERNADERETORNO(TIR/IRR)–HP12C.......................................................57
EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOIX..................................................................................................60
CapítuloX.SistemasdeAmortizações.................................................................................65
10.1.INTRODUÇÃOÀAMORTIZAÇÃO....................................................................................65
10.2.SISTEMADEAMORTIZAÇÃOCONSTANTE–SAC...........................................................65
10.3.TABELAPRICEOUSISTEMAFRANCÊS...........................................................................66
10.4.SISTEMAAMERICANO...................................................................................................68
EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOX...................................................................................................69
GABARITOS.........................................................................................................................73
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CapítuloI.IntroduçãoàApostila
Caroaluno,
Procurandoatendercadavezmaisasnecessidadesdosrecémuniversitários,aEquipeDáskalos
decidiusintetizarosprincipaisassuntosdeMatemáticaFinanceira.Oresultadofoiessaapostila,
aqualbuscadarintroduçãoteóricamaisresumidadoqueaencontradaemumlivro.Apesar
disso,estaapostilanãodispensaoutrasfontesdeestudotaiscomoaula,livro,etc.
Além da teoria, a apostila está repleta de exercícios baseados nos principais conteúdos e no
históricodeprovas.Algunsdestesexercíciosestãoresolvidoscomoexemplonaapostila.Outros,
porém,contémapenasgabarito.
Desejamos a você bons estudos, um ótimo início de faculdade e um excelente resultado nas
provas.
EquipedeMatemáticaFinanceiradoDáskalos
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CapítuloII.FundamentosdaMatemáticaFinanceira
2.1.INTRODUÇÃO
AMatemáticaFinanceiraestudacomoovalordodinheiromudacomotempo,comaplicações
financeiras(investimentos)ouparcelamentos.
Imaginequevocêpodeescolherentre:
•
ReceberR$100hoje.
•
ReceberR$100emumano.
Qualamelhorescolha?
Supondoumcenárioondesepodeaplicarodinheiroaumataxai=10%a.a.R$100hojeequivale
aR$110daquia1ano.Assim,dinheirohojesemprevalemaisdoquedinheiroamanhã.Quanto
mais?Tudodependedastaxasdejurosobtidas.
Dessemodo,abstraímosumdosprincipaisconceitosdamatemáticafinanceira:
ODINHEIROTEMVALORNOTEMPO.
Sabendo-sequeessaéabasedetodaaMatemáticaFinanceira,desenvolveremosaolongoda
apostila conceitos que envolvem, basicamente, valores monetários, taxas e o tempo. Tais
análisessãofundamentaistantoparapessoasfísicasquantoparaempresas,afimdeentendero
querealmenteestáportrásdequalqueroperaçãofinanceira.
2.2.TERMOSDAMATEMÁTICAFINANCEIRA
Capital (C): É o valor inicial que um agente possuí, seja como caixa livre – que pode ser
movimentadoaqualquermomento,oucomoinvestimento.Casooagentenãopossuacapital,
essepodeserobtidonomercado–emprestado.
NúmerodePeríodos(n):Éonúmerodeperíodos,quepodeserexpressoemdias,meses,anos,
ouqualqueroutramedidadetempo,presenteemdeterminadaoperaçãofinanceira.
Juro (J): Custo do empréstimo para o tomador (agente obteve dinheiro emprestado) e
remuneraçãoparaoemprestador(agentequeemprestouseucapital).
Montante(M):ÉovalorfinalqueotomadordeempréstimopagaaoemprestadoràM=C+J
TaxadeJuros(i):Doinglêsinterest,éaalíquotadojuroemdeterminadoperíodo,expressoem
porcentagem.Essataxaé,geralmente,aplicadasobredeterminadocapital.Matematicamente:
J=C.i
Fluxo de Caixa: É a representação de operações financeiras, podendo ser expresso
graficamente,tendonoeixo“X”otempo,oupormeiodeumatabela.
Ciente dos termos utilizados em matemática financeira, vejamos um exemplo resolvido que
permiteumavisualizaçãopráticadaaplicaçãodostermos:
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Exemploresolvido1:ConsiderequeumapessoaaplicaR$1.000emumfundodeinvestimentos
por 12 meses e, após este período, recebe R$ 1.100. Desenhe o fluxo de caixa, determine o
capital,montante,juroetaxadejuros.
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Solução:
Dessaforma,aTaxadeJuros(i)éde10%.Comochegamosaesseresultado?
$
!"$ = &. (, *+,+( = &
Dica:EmMatemáticaFinanceira,utilizamostermosparadenominarcadatipodeoperaçãoe
descrevercadacaracterísticadoitemsobreoqualtratamos.Porexemplo,paradenominaro
Capital, às vezes, utiliza-se o termo Valor Presente ou Valor Investido. Para denominar o
Montante,àsvezes,utiliza-seotermoValorFuturoouValorNominal.Outrossinônimospodem
aparecer.
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CapítuloIII.JurosSimples
Hádoistiposderegimesdecapitalização:osimpleseocomposto.Oregimedecapitalização
simpleséaqueleondeojurogeradoemcadaperíodoéconstanteeabasedecálculoésempre
ocapitalinicial.Jánoregimedecapitalizaçãocomposto,ojurogeradonoprimeiroperíodoé
consideradoparadeterminarojurodosegundoperíodo.Assim,háincidênciadejurosobreo
jurosgeradonoperíodoanterior.
Nesse capítulo trataremos do juros simples, os quais são calculados utilizando o regime de
capitalizaçãosimples.Dessaforma,comointroduzido,ojurosempreincidesobreovalorinicial
aplicadoouemprestado(capital),resultandoemJurosConstantes.Matematicamente:$ = &. (
Assim,casodeterminadocapitalsejaaplicadoaumadeterminadataxadejuro,omontanteserá
dadopor:
- = . + 0. 1
- = . + (.. 3). 1
5 = &(6 + (. 7)
Percebaquenademonstraçãoanterior,comojáintroduzido,onsignificaonúmerodeperíodos
peloqualodinheiroficouaplicado/emprestado.Notetambémqueonúmerodeperíodosestá
multiplicandoataxadejurosi.Ademais,Mrepresentaomontante,ouseja,ocapitalacrescido
dejuros.
Dessemodo,seumCapitalficaaplicadoaumataxadejuroside10%a.m.durante12meses,o
montanteseráocapitalmais120%dejurosobreocapital(10%a.m.x12meses).
Exemplo resolvido 1: Utilizando o conceito de juros simples, calcule o montante e o juros
recebidoemumaaplicaçãofinanceiradeR$10.000,00,durante3mesesaumataxade2%a.m.
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Solução:
Dados:. = 10.000
i = 2%
n = 3
Jurorecebidoemcadamês:J = .. 3 = 200
Jurorecebidonoperíodo:J = .. 3 1 = @AA
Montante:- = . 1 + 3. 1 = 6A. @AA
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EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOIII
1) UminvestidoraplicouR$200.000emdólaresamericanos.Apósalgumtempo,vendeu
osdólaresadquiridoseobteveR$240.000comessaoperaçãodecâmbio.Qualfoiataxa
dejuroobtidapeloinvestidornoperíodo?
2) UmcapitaldeR$15.000foiaplicadoataxade3%a.m.(JS)duranteumtrimestre.Qual
ovalordomontante?
3) Um investidor aplicou R$20.000 em um ações XPTO. O capital sofreu uma
desvalorizaçãode76%noperíodo.Qualéovalordomontante?
4) AnafezumaaplicaçãodeR$50.000ataxade12%a.a.emumfundodeinvestimentos.
Oprazodaaplicaçãofoide2trimestres.QualovalorresgatadoporAna?
5) Qual é a melhor alternativa: investir R$10.000 a uma taxa de 12% a.a. (juro simples)
durante4mesesouinvestiromesmovalorpelomesmoperíodoaumataxade12%a.a.
noregimedejurocomposto?(senecessário,videcapítuloquatro).
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6) CalculeosjurossimplesproduzidosporR$40.000,00,aplicadosàtaxade36%a.a.,
durante125dias(senecessário,videcapítulocinco).
7) Qualocapitalque,aplicadoajurossimplesde1,2%a.m.,rendeR$3.500,00dejuros
em75dias?
8) Seataxadeumaaplicaçãoéde150%aoano,quantosmesesserãonecessáriospara
dobrarumcapitalaplicadopormeiodecapitalizaçãosimples?
9) UmainvestidoraaplicouumcapitaldeR$1.200,00aumataxade2%aomêsdurante
14meses.Determineosjuroseomontantedessaaplicação:
10) Umcapitalaplicadoajurossimplesdurante2anos,sobtaxadejurosde5%aomês,
gerouummontantedeR$26.950,00.Determineovalordocapitalaplicado.
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11) UminvestidoraplicouaquantiadeR$500,00emumfundodeinvestimentoqueopera
noregimedejurossimples.Após6mesesoinvestidorverificouqueomontanteerade
R$560,00.Qualataxadejurosdessefundodeinvestimento?
12) Determinadaquantiafoiaplicadaajurossimplesde6%aomês,durante5mesese,em
seguida,omontantefoiaplicadodurantemais5meses,ajurossimplesde4%aomês.
No final dos 10 meses, o novo montante foi de R$ 234,00. Qual o valor da quantia
aplicadainicialmente?
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CapítuloIV.JurosCompostos
4.1.JUROSCOMPOSTOS
Osjuroscompostossãocalculadosutilizandooregimedecapitalizaçãocomposta,ondeojuro
doperíodoanterioragrega-seaomontantedoperíodoseguinte.Destaforma,ojurodoperíodo
ésemprecalculadosobreocapitaladicionadodetodososjurosqueincidiramsobreomesmo
capitalnosperíodosanteriores,deformaquetemosjurosincidindosobrejuros.
Podemosresumirtalmovimentodaseguintemaneira:
Exemplificandoemnúmeros,notequeovalordojurossealteraemcadaperíodo.
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4.2.JUROSCOMPOSTOSNAHP12C
Para facilitar o cálculo dos juros compostos utilizamos calculadoras financeiras. Por padrão,
utilizaremosaHP12Cparaexemplificarousodessasferramentas,umavezqueéacalculadora
maisutilizadapelosalunos.
Paraisso,deve-seaprenderautilizaçãodasteclasfinanceiras,asquaissãoutilizadasparaesse
tipodecálculo:
ComointroduzidonoCapítuloII,asteclasdestacadassignificamrespectivamente:
n=Númerodeperíodosaoqualserefereocálculo.
i=TaxadeJuroComposto,doinglêsinterest.
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PV=ValorPresenteouCapital,doinglêspresentvalue.
FV=Montante,ValorFuturoouValorNominal,doinglêsfuturevalue.
Exemplo1:UtilizandoaCalculadoraFinanceira,calculeomontanteeojurosrecebidoemuma
aplicação financeira de R$ 10.000,00, durante 3 meses, a uma taxa de 2% a.m. em juros
compostos.
Solução:
Cálculoatravésdafórmula:
Dados:. = 10.000;i = 2%;n = 3
- = . ∗ (1 + 3)C à- = 10000 ∗ (1 + 0,02)D 5 = 6A. @6E, AFàG = @6E, AF
CálculoatravésdaHP12C:
Dados:. = 10.000;i = 2%;n = 3
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EXERCÍCIOSDOCAPÍTULOIV
1) UmcapitalnovalordeR$30.000foiaplicadoataxadejurocompostode3%a.m.
durante20meses(JC).Qualomontantedoinvestimento?
2) JosephinvestiuR$500.000,00emumfundoderendafixaàtaxadejurocomposto
de2%aomês,por65dias.Entretanto,nomomentoderesgataroinvestimento,o
bancoefetuouacobrançadeumataxadeadministraçãode0,95%sobreovalor
aplicado, além de ter recolhido imposto de renda, equivalente a 27,5%, sobre o
rendimento.
a) Qualomontantedoinvestimento?
b) Qualovalorlíquidoresgatado?
3) Um capital aplicado a taxa de 1% a.m. (JC) durante 9 meses resultou em juro de
R$15.000.Qualovalordocapital?
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