q - Unicamp

Aula-2
O campo elétrico
Curso de Física Geral F-328
1º semestre, 2013
F328 – 1S20123
1
O Campo Elétrico
Pelo princípio da superposição, vimos que a força que um
conjunto de cargas puntiformes q1, q2,...., qn exerce sobre uma carga
de prova q0 é dada por:




F0 = F01 + F02 + ... + F0 n ,
n

1 q0 qi
r̂0i ,
que pela lei de Coulomb se escreve como F0 = ∑
2
i=1 4πε 0 r0i

 
r0i
r0 − ri
onde r̂0i =  ≡  
| r0i | | r0 − ri |
 
r0 − ri
qi
•

ri
•

r0
q0

 F0
=
Assim, podemos definir um grandeza E ≡
q0
O
n
∑
i =1
1 qi
rˆ ,
2 0i
4πε 0 r0i
que só depende da distribuição das cargas q1, q2,...., qn e das suas
distâncias ao ponto onde q0 se encontra.
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O Campo Elétrico
O campo elétrico devido a uma distribuição discreta de cargas
q1, q2,..., qn em um dado ponto r0 é dado por:

n
 F0
1 qi
E≡
=∑
r̂
2 0i
q0 i=1 4πε 0 r0i
Para medir o campo devido à distribuição de cargas, devemos
medir a força exercida por esse conjunto de cargas sobre uma carga
de prova q0 e dividir pelo próprio valor de q0. Para que não haja
influência da carga de prova sobre a distribuição de cargas, devemos
a carga q0 deve ser a menor possível.
Ou seja:


F0
E ≡ lim
q0 →0 q
0
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Campo Elétrico vs Campo Gravitacional
Podemos fazer uma analogia entre o campo gravitacional e o
campo elétrico.
Força Gravitacional

Mm
FG = G 2 r̂
r
Força Eletrostática
Numa distribuição fixa de
cargas (veja figura abaixo)

Qq
FE = k 2 r̂
r

F2

F1
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
Fn
No caso da Terra, ou seja
uma distribuição fixa de
massa, teremos:
q


⎛ GM Terra ⎞

FG = P = m ⎜ 2
r̂ ⎟ = mg
⎝ RTerra ⎠
⎛ 4 q ⎞


i
FE = q ⎜ ∑ k
r̂i ⎟ = qE
⎜⎝ i=1 r ⎟⎠
i
q1
q2
qn
Campo
Gravitacional

g
Campo
Elétrico

E
4
Linhas de Força
As linhas de força são linhas a partir das quais pode-se visualizar a
configuração do campo elétrico de uma dada distribuição de cargas no
espaço. Elas são traçadas de forma que:
a) A tangente a cada ponto da linha é a direção do campo elétrico;
b) O número de linhas por
unidade de área de uma supefície
perpendicular à direção das
linhas é proporcional ao módulo
do campo;
c) As linhas saem das cargas
positivas e chegam nas cargas
negativas.
Duas linhas de campo nunca
se cruzam.
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Linhas de Força
Duas cargas iguais
Cargas +2q e -q
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Um dipolo elétrico
Dada uma distribuição de cargas, o campo
elétrico criado pela distribuição em
qualquer ponto do espaço é dado pelo
princípio da superposição :
  

E = E1 + E 2 +...+ E n ,
onde Ei é o campo criado por cada
parte individual da distribuição.
http://www.falstad.com/emstatic/index.html
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Alguns Campos Elétricos Importantes
Carga puntiforme

1 q
E=
rˆ
2
4πε 0 r
Dipolo elétrico
Ao longo da linha que une as
cargas e para z >> d :
1 p ,
E = E( + ) − E( − ) ≈
2πε 0 z 3
onde p é o módulo do momento
de dipolo elétrico dado por:


p ≡ qd
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Distribuição Contínua de Cargas
ẑ

dq(r ′)
 
r − r′

r

r′
  
dE (r , r ′)
ŷ
x̂
 
E (r ) =

1 dq(r ′)  
  2 uˆ (r , r ′)
′
4
πε
|
r
−
r
|
0
(V , S ou L )
∫
onde
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P
  
dE (r , r ′)
 
r − r′
 
uˆ (r , r ′) ≡  
| r − r′|
8
Distribuição Contínua de Cargas
dq
dq
densidade linear: λ =
dl
ou : dq = λ dl
dq
dq
densidade superficial: σ =
dA
ou : dq = σ dA
dq
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dq
densidade volumétrica: ρ =
dV
ou : dq = ρ dV
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Distribuição Contínua de Cargas
Campo devido a um anel uniformemente carregado com
carga q:
Ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel e que
passa pelo seu centro o campo é dado por:

E=
qx
xˆ
2
2 3/ 2
4πε 0 ( x + a )
Note que em pontos bem longe do
anel (x >> a):

E≈
q
4πε 0 x
2
xˆ

dE
(campo semelhante ao de uma carga puntiforme)
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Distribuição Contínua de Cargas
Campo devido a uma haste isolante em
forma de arco circular uniformemente
carregada com carga -Q
No centro do arco circular de raio r o campo é
dado por:
 0,83Q
E≈
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4πε 0 r
2
xˆ
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Distribuição Contínua de Cargas
Campo devido a um disco de raio R uniformemente
carregado com densidade superficial de carga σ.
Ao longo do eixo perpendicular ao plano do disco e que passa
pelo seu centro o campo é dado por:
 σ ⎛x
⎞
x
E=
⎜⎜ − 2 2 1/ 2 ⎟⎟ xˆ
2ε 0 ⎝ |x| ( x + R ) ⎠
Note que se R >> x (ou plano infinito) :

dE
 σ x
E≈
xˆ
2ε 0 |x|
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Fio infinito com densidade de carga linear
Contribuição dE devida ao elemento de carga dq (=λdz):
1 dq
1
λdz
dE =
=
4πε 0 r 2 4πε 0 z 2 + x 2
z
+
dz
+
As componentes dEz cancelam-se por simetria e + z
+
dE x = dE cosθ
+∞
+
E x = ∫ dE x = ∫ dE cosθ =
+
−∞
+
∞
λ ∞ dz
+
= 2∫ dE cosθ =
cosθ
2
2
∫
2
πε
z
+
x
0 0
0
+
+
dz = x sec2 θ dθ
z
Faz-se: tgθ = ∴
x
r
x
θ
P
dEz
dE x
x 
dE
x 2 + z 2 = x 2 (1+ tg 2θ ) = x 2 sec 2 θ
Substituindo estas duas relações no integrando acima, tem-se:
λ π /2
λ
λ
π /2
E=
cos
θ
d
θ
=
[
sen
θ
]
=
0
2πε 0 x ∫0
2πε 0 x
2πε 0 x
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Movimento de uma carga num campo elétrico
2


d r
F = m 2 = qE
dt
Experiência de Millikan:
http://www.youtube.com/watch?v=UFiPWv03f6g
O peso de uma gotícula carregada
pode ser equilibrado pela ação de
um campo elétrico. A condição de
equilíbrio é:
4
π R 3 ρ g = qE
3
q = ne, onde n = ±1,±2,...
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e = 1,6 ×10−19 C
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Movimento de uma carga num campo elétrico
Impressora de jato de tinta
Mantém-se o campo elétrico
fixo e varia-se a carga da gota
de tinta.
1 2 1 QE 2
y − y0 = a t =
t
2
2 m
L = v0 t
Eliminando-se t nas duas
equações, obtém-se a deflexão
vertical da gota em x=L:
QEL2
y − y0=
2mv02
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Dipolo num campo elétrico uniforme
Torque
τ = Fd sin θ = qEd sin θ = pE sin θ
  
τ = p× E
Energia potencial
θ
U (θ ) − U (θ 0 ) = W = ∫τ dθ = − pE (cosθ − cosθ 0 )
θ0
Se escolhermos θ0 =
π
2
:
 
U = −p⋅E
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Dipolo num campo elétrico
Forno de micro-ondas
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Lista de exercícios – Capítulo 22
Os exercícios sobre Carga Elétrica estão na página da disciplina :
(http://www.ifi.unicamp.br).
Consultar: Graduação à Disciplinas à F 328-Física Geral III
Aulas gravadas:
http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi)
ou
UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
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