MatA - Portal do aluno RUMO

RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
Aula 1 – CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjunto nos dá ideia de grupo, coleção de certos
objetos e “coisas” que satisfazem certa classificação ou
regra. Para os números temos seis conjuntos básicos que
foram sendo introduzidos conforme a necessidade e
aplicação ao longo da história da matemática. Os conjuntos
numéricos são chamados de naturais, inteiros, racionais,
irracionais, reais e complexos. Mas antes de estudarmos
suas regras e aplicações vamos à sua linguagem, suas
definições e ideias importantes:
Chamamos o grupo de interesse de conjunto e os
objetos de elementos.
b) Representamos os elementos por letras
minúsculas (Ex: a, b, t...) e os conjuntos com
letras maiúsculas (Ex: A, T, Y...).
c) Para dizermos que um elemento PERTENCE (está
ou não dentro do conjunto) usamos o símbolo ,
caso não pertença ao conjunto, usamos este
símbolo
ou
. Dois conjuntos são iguais
quando possuem os mesmo elementos (dizemos
que o conjunto A é igual ao conjunto B,
matematicamente A=B).
d) O conjunto vazio é o que não possui elementos e
representamo-lo com o símbolo ou { }.
e) Conjunto universo é o que possui todos os
elementos de todos os conjuntos estudados.
f) Dizemos que um conjunto A é um
SUBCONJUNTO de outro B, se todos os
elementos em A também estiverem em B.
Dizemos então que A está contido em B
(matematicamente A C B) ou que B contém A (B
Ͻ A). Os símbolos que negam esta afirmação são
com um traço no meio, por exemplo: O conjunto
A não está contido em B (matematicamente A
B).
Os conjuntos acima são escritos como: A = {0,1,4,7,8} ;
B={0,3,4,5,6,8,10};C = {4,6,8,10,12,14}.
Entendido melhor a linguagem vamos às operações com
conjuntos. Para tal considere os seguintes conjuntos:
A = {0,2,4,6} e B = {1,2,3,4,5}
a)
= {x | x є A ou x є B} onde lemos: D união com F é
igual a os elemento x, tal que x pertença ao
conjunto A ou x pertença ao conjunto B.
a)
Vamos ver agora
conjunto. Há três formas:
a)
como
representamos
União de conjuntos (símbolo U): A união entre o
conjunto A e B será dada por um novo conjunto V
que terá todos os elementos de que tem em A e
que tem em B. Matematicamente A U B =
{0,1,2,3,4,5,6} = V. A regra geral para a operação de
união entre quaisquer dois conjuntos D e F é: D U F
b) Intersecção de conjuntos (símbolo ∩): A interseção
entre o conjunto A e B é dado por um novo
conjunto T, que irá ter os elementos que são iguais
entre os conjuntos A e B. Matematicamente A ᴖ B =
{2,4}. A regra geral para tal operação é dada como:
T = A ∩ B = { x | x є A e є B- onde lemos, o conjunto
A intersecção com B é igual os elementos x, tal que
x pertença ao conjunto A e pertença ao conjunto B.
um
Por extenso: colocamos os elementos
entre chaves e separamo-los com vírgulas.
Exemplos:
A = {0,1,4,8,10} -> conjunto FINITIO; B =
{2,4,6,...} -> conjunto INFINITO
b) Por extensão: representamos através de
uma regra ou propriedade do conjunto.
Exemplo: A = {x | x seja vogal } ou seja A =
{a,e,i,o,u}
c) Por diagrama de Veen: Forma-se uma
figura e os pontos internos à figura são os
elementos do conjunto, os externos não
são. Exemplo:
c)
Diferença de conjuntos (símbolo - ): Será a
diferença entre os conjuntos A e B um conjunto O
tal que este tenha os elementos que pertencem ao
conjunto A mais que não pertençam ao conjunto B.
Matematicamente A – B = {0,6}. A regra geral para
esta operação é: O = A – B = {x | x є A e x B} onde
lemos o conjunto A menos o conjunto B é igual a os
elementos x, tal que x pertença ao conjunto A e
não pertença ao conjunto B.
1
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
Uma fórmula muito interessante que pode ser utilizada
em problemas de conjuntos é:
n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
Onde a notação n() significa o número de elementos.
Exemplo: n(A) é o número de elementos do conjunto A.
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
Temos outra forma de representar os conjuntos dos
números que nos será útil quando analisarmos intervalos.
Essa forma se dá em retas onde representamos os
elementos dos conjuntos. Exemplo:
Reta dos Reais
Reta dos Inteiros
Reta dos Racionais
d) Produto cartesiano (símbolo x): Dados dois conjuntos A e
B o produto cartesiano representado por A x B será um no
conjunto formado por todos os pares ordenados (x;y), que
se obtém com x є A e y є B. Matematicamente temos A x
B={(x;y) | x є A e x є B}. Exemplo: O produto cartesiano dos
conjuntos
A
e
B
acima
é:
A
x
B
=
{(0;1),(0;2),(0;3),(0;4),(0;5),(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(4;1),(4
;2),(4;3),(4;4),(4;5), (6;1),(6;2),(6;3),(6;4);(6;5)}.
Essas são as principais operações sobre os conjuntos,
sendo esta última a que irá nos ajudar a definir
matematicamente funções e o plano cartesiano, onde
faremos os gráficos das funções. Mas, vamos agora estudar
como esta matemática pode nos ajudar quando usamos os
números como os conhecemos. Nós estudamos na revisão
como os conjuntos foram aparecendo, vamos agora definilos:
a) Conjuntos dos números naturais: IN = {0,1,2,3,4,5,...}
(É comum usarmos também o conjuntos dos naturais sem o
elemento 0 na seguinte forma IN* = {1,2,3,4,5,...}.)
b) Conjuntos dos números inteiros: Z = {...,-3,-2,1,0,1,2,3,...}
(É comum usarmos as representações dos conjuntos dos
inteiros sem o zero ou só os positivos ou só os negativos nas
formas Z*, Z- e Z+ respectivamente)
c) Conjunto dos números racionais: Q = {x | x = a/b, com a
Desta forma podemos representar intervalos
numéricos tanto abertos (número não faz parte do
intervalo), simbolizados por ᴑ e intervalos fechados
(número faz parte do intervalo), simbolizados por ●.
Podemos inclusive fazer operações com os intervalos. As
figuras a seguir mostram os símbolos utilizados, exemplos
de intervalos e suas representações:
Mas vamos agora praticar através de exercícios!
EXERCÍCIOS EM SALA:
є Z e b є Z*}
d) Conjunto dos números irracionais: I = ,x | x ≠ a/b, com a
є Z e b є Z*}
e) Conjunto dos números reais: R = {x | x є Q e x є I}
f) Conjunto dos números complexos:
C = {x | x = a+ib, com a e b є R}
2
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
EXERCÍCIOS PARA CASA:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Dados os conjuntos A = {0,1,2,3}, B = {0,1,3,5,7} e C
= {2,4,6,8}, determine:
a)A – B b) A U B c) (A∩C)U(C∩B)
d) B
– (A U C)
e) (A ∩ C)∩(C-B) f) (C-A)U(BC)∩B
g) AxB
h) BxC
i) (CxA)U(CxB)
j)(BxC)∩(AxC)
Represente na reta real os intervalos:
a)[2,10]
b) ]-2,8[
c) [-5,5* d) *0,∞+
e)
]-∞,1+
f) *4,8+U+-1,6]
g) ]-3,7* ∩ *-2,5]
h) ,x є IR | 2< x < 9} i) ,x є Q | 1.5 < x < 4.5}
Um número racional qualquer: a) tem sempre um
número finito de ordens (casas) decimais, b) tem
sempre um número infinito de casas decimais, c)
não pode expressar-se em forma decimal exata, d)
nunca se expressão na forma decimal exata, e)
nenhuma das anteriores.
Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y,
podemos dizer sempre que: a) x.y é racional, b) y.y
é irracional, c) x+y é racional, d) x – y é racional, e) x
+ 2y é irracional.
Em uma escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos
leem o jornal A, 21leem os jornais A e B, 106 leem
apenas um dos dois jornais e 66 não leem o jornal
B. O valor de n é: a) 279 b)141 c)158 d)129 e)199
O número x não pertence ao intervalo aberto de
extremos -1 e 2. Sabe-se que x < 0 ou x > 3. Pode-se
concluir então que: a) x≤-1 ou x >3 b) x ≥ 2 ou x < 0
c)x >2 ou x <-1 d) x<3 e) n.d.a.
A e B são conjuntos. O número de elementos de A é
7 e o de A U B é 9. Os valores mínimos e máximos
possíveis para o número de elementos do conjunto
B são respectivamente: a) 0 e 2 b) 0 e 9 c)2 e 9
Uma prova era constituída de dois problemas.
300alunosacertaram somente um dos problemas,
260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os
dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos
fizeram a prova.
2
Se A = ,x|x є Z, -3< x ≤ 1- e B = ,x|x є N, x <16},
então (A U B)-(A∩B) é o conjunto:
a){-2,-1,0,1,2,3} b){-2,-1,2,3} c){-3,-2,-1,0} d)
{0,1,2,3} e)n.d.a.
3
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
Aula 2 – FUNÇÕES
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
Devemos saber três elementos:
- Domínio: é o conjunto de partida. Representado por D(f)
Definição: Seja um conjunto R um subconjunto de um
produto cartesiano, dizemos que R é uma função de A em B
se todos os x є A tiverem um único y є B.
- Contra domínio: é o conjunto de chegada. Representado
por CD(f).
Ou seja, se ao fazermos um produto cartesiano entre A
e B e pegarmos um subconjunto R chamado de relação
binária, este conjunto R será função se, e somente se, todos
os elementos x que pertencem ao conjunto A tiverem um
único elemento y que pertencem ao conjunto B. Exemplo:
- Imagem: é o dos elementos de CD(f) que possuem
elemento x no D(f). Representado por Im(f).
Vamos ver isso através do diagrama de Veen e de
gráficos cartesianos:
Seja os conjuntos A = {1,2} e B = {1,2,3} o produto
cartesiano de A x B será:
A x B = {(1;1),(1;2),(1;43,(2;1),(2;2),(2;3)}
Vamos dizer que temos três relações binárias ou
subconjuntos do produto cartesiano A x B:
R1= {(1;1),(1;2),(2;3)}, R2 = {(1;1),(1;3)} e R3 =
{(1,1),(2,3)}
Classificamos as funções de acordo com certas regras,
vamos a elas:
Vamos praticar quais relações binárias serão funções
ou não:
- Uma função de A em B (f:A -> B) é sobrejetora quando o
contra domínio coincidir com a imagem. Ou seja, quando
CD(f) = Im(f). Reconhecimento:
a) Através do diagrama de Veen
b) Através de gráficos
4
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
- Uma função de A em B é injetora quando cada y є B for
imagem de um único x є A. Reconhecimento:
Entendido a classificação das funções vamos a algumas
funções com características importantes:
a) Diagrama de Veen
- A função PAR: Uma função (f: A -> R) é par se, e somente
se, f(x)=f(-x). Seu gráfico sempre será simétrico em relação
ao eixo dos y.
b) Gráficos
- A função ÍMPAR: Uma função (f: A -> R) é ímpar se, e
somente se, f(-x)= - f(x). Seu gráfico é sempre simétrico
em relação à origem.
- Uma função é dita bijetora quando for sobrejetora e
injetora ao mesmo tempo. Reconhecimento:
a) Diagrama de Veen
- Funções especiais são igualdades que se verificam com
determinadas funções. Exemplos:
f(a ± b) = f(a) ±f (b)
f(a ± b) = f(a).f(b)
(a) ±f (b)
f(a.b) = f(a).f(b)
f(a).f(b) =
(UFPR) A função f: R -> R é tal que, para todo x є R, f(2.x) = 3
. f(x); sabendo-se que f(8) = 45, calcule f(2).
b) Gráficos
- Função composta: Dadas duas funções f: A -> B e g: B -> C,
chama-se função composta das funções, g e f, a função
definida de A em C tal que: (g ◦ f) = g[f(x)].
5
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
- Função inversa: Se f: A -> B for bijetora, a função inversa de
-1
f é uma função definida de B em A e indicada por f : B -> A.
-1
Representação y = f (x).
Regra prática: troca-se x por y e y por x. Isola-se o y.
EXERCÍCIOS EM SALA:
6
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
EXERCÍCIOS PARA CASA:
01.01 (ULBRA) Sendo A = {1,2}, B= {3,4}
e C = {4,5}, o produto cartesiano A x (B
C) é:
a) {(1,4), (2,4)}; b){(1,4), (1,5)};
c){(1,3), (1,4), (2,3) (2,4)};
d) {(1,4), (1,5), (2,4) (2,5)}; e)
01.02 (PUC) O número de elementos
do conjuntos A é
e do conjunto B é
. Então o número de elementos de A x
B é:
a) + ; b)
+ ; c)
. ;
d) . n; e)
01.04 (UFRGS) Considerando A = { x
Z / -1 < x 10 e sendo R a relação em A
formada pelos pares (x,y) tais que y =2x 1, o domínio e a imagem dessa relação
correspondem, respectivamente, a:
a) {0,1,2,3} e {1,3,5,7}
b) {1,2,3,4} e {3,5,7,9}
c) {1,2,3,4} e {0,2,4,6,8}
d) {1,2,3,4,5} e {1,3,5,7,9}
e) {1,2,3,4,5} e {0,2,4,6,8}
01.05 (UNAERP) Quais dos seguintes
gráficos não representam uma função f:
IR IR?
01.07 (FAAP-SP) Durante um mês, o
número y de unidades produzidas de um
determinado bem é função do número x
de funcionários empregos de acordo com
a lei y=50√ . Sabendo que 121
funcionários estão empregados, o
acréscimo de produção, com a admissão
de 48 novos funcionários, é:
a) 550 b) 250 c) 100 d) 650 e)200
01.08 (PUC) Suponha-se que o número
f(x) de funcionários necessários para
distribuir, em um dia, contas de luz entre
x por cento de moradores, uma
determinada cidade, seja dado pela
função f(x) =
. Se o número de
funcionários para distribuir, em um dia,
as contas de luz foi 75, a porcentagem de
moradores que as receberam, foi:
a) 25 b) 30 c) 40 d) 45 e) 50
01.03 Os
diagramas
abaixo
representam relações binárias. Pede-se
para cada um:
a)Dizer se é função ou não;
b)Em caso afirmativo determinar o
domínio, o contradomínio e a imagem.
01.06 (UEL) Sejam os conjuntos A
={0,1,2,3,4} e B = {2,8,9} e relação R, de
A em B, definida por R = {(x,y)} A x B x
é divisor de y}. Nessas condições, R é o
conjunto:
a) {(0,2), (0,8), (0,9), (1,2), (1,8), (1,9),
(2,2), (2,8), (3,9),(4,8)}.
b) {(1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8),
(3,9),(4,8)}.
c) {(2,1), (2,2), (8,1), (8,2), (8,4), (9,1),
(9,3)}.
d) {(0,2), (0,8), (0,9), (2,2)}.
e) {(2,0), (2,2), (2,4)}.
01.09 (UNOPAR) O gráfico mostra que
a função y = f(x) representada é
crescente para os valores de x tais que:
a) x -2 e x < 4 b) 2 < x < 4
c) X 6 d) X > -4 e x < 2 e) 4 < x < 7
7
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
01.10 (PUC-MG) A função f,
representada no gráfico, está definida
em [-2, 2]. Se m=f (-3/2) +f (1/2), é
correto afirmar:
a) -2 m 0;
b) -2 m 1;
c) -2 m
;
d) 0 m 2;
e) 2 m
;
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
01.13 (UEL-PR) Considere a função de
IR em IR dada f(x) = + 3. Seu conjuntoimagem é:
d) ]- , - 3[; b) ]- , 5[; c) [3, + 5];
d)] 3, + ; e) ]5, +
[
01.14 (UFMA) Considerando a função
real f, definida por:
01.11 (VUNESP) Uma pessoa obesa,
pesando num certo momento 156kg,
recolhe-se a um SPA onde se anunciam
perdas de peso de até 2,5Kg por semana.
Suponhamos que isso realmente ocorra.
Nessas condições:
a) Encontre uma fórmula que expresse o
peso mínimo, P, que essa pessoa poderá
atingir após n semanas;
b) Calcule o número mínimo de semanas
completas que a pessoa deverá
permanecer no SPA para sair de lá com
menos de 120 kg de peso.
01.12 (UEL-PR) Seja a função de IR em
IR, definida por:
-x -1 se x - 1
f(x) = - + 1 se – 1 < x < 1
x -1 se 1
O conjunto imagem de f é o intervalo:
c) ]- , - 1]; b) ]- , 1]; c) [0, + [;
d)[ 1, + ; e) [ - 1, 1].
1 se x
√
f(x) = - 1 se √ < x < √ ,
01.16 (VUNESP) A poligonal ABDC da
figura adiante é o gráfico de uma função
f cujo domínio é o intervalo -1 x 7.
Sabe-se que AB é paralelo CD e BC é
paralelo ao eixo dos x. Nessas condições,
f(7) –f(4,5) é igual a:
a) 3/2; b) 5/3; c) 17/10; d) 9/5; e) 2
02.01 (PUCCAMP) Seja f a função de IR
em IR, dada pelo gráfico a seguir
2 se x √
, o valor da expressão A =
A=
( ⁄ )
( ⁄ )
( ⁄ )
( ⁄ )
é igual a:
a) 1 b) ½ c) 0 d) 2
e) 3
01.15 (F.CARLOS CHAGAS) Se g é a
função de IR em IR, cujo gráfico
representado a seguir, então a imagem
do intervalo fechado de x [5; 9] é:
a) (2; 6); b) [2; 6]; c) [3; 6]; d) (3; 6);
e) [2, 4].
É correto afirmar que:
a) f é sobrejetora e não injetora;
b) f é bijetora;
c) f(x) = f(-x) para todo real;
d) f(x) > 0 para todo real;
e) O conjunto imagem de f é ]- , - 2].
02.02 (UFSC) Considere a função f: IR
IR dada por f(x) = [2x + 5]. Determine a
somados números associados às
proposições corretas.
01) f é injetora;
02) O valor mínimo assumido por f é
zero;
04) O gráfico de f intercepta o eixo y no
ponto de coordenadas (0, 5);
08) O gráfico de f é uma reta;
16) f é uma função par.
8
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
02.03 (MACKENZIE) Dada a função real
definida por f(x) = √
de [ - 2, 2]
em [0, 2]. Considere:
I) f(x) é par
II) f(x) é injetora
III) O gráfico de f(x) é uma
semicircunferência. Dentre as afirmações
anteriores:
a) I, II e III são verdadeiras;
b) somente I e III são verdadeiras;
c) somente I e II são verdadeiras;
d) somente II e III são verdadeiras;
e) I , II e III são falsas.
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
02.07 (UFPR) Seja f um função tal que
f(1) =2 e f(x + 1) = f(x) – 1, para todo valor
real de x. Então f(100) é igual a:
a) -99; b) – 97; c) 96; d) 98; e) 100.
02.12 (UEL-PR) Seja f a função de IR em
IR|, definida por f(x) = . É correto
afirmar que:
a) função inversa de f é definida por
(x) = √ ;
b) f é sobrejetora e não injetora;
c) f é injetora e não sobrejetora;
d) f é bijetora;
e) f não é injetora e não é sobrejetora;
02.08 (FUVEST) Uma função f de variável
real satisfaz a condição f(x+1) = f(x) + f(1),
qualquer que seja o valor da variável X.
Sabendo-se que f(2) = 1, podemos
concluir que f(5) é igual a:
a) 1/2; b) 1; c) 5/2; d) 5; e) 10.
02.13 (UFSC) Dado f(0) = 2 e que, para
todo t, t 0, f(t) = 3f (t-1) +3, tem-se que
f(2) é igual a:
02.04 (UFGO) Se f: Z Z é tal que f(n +1)
= n -1, então o valor f( n-1) é:
a) n + 1 b) n c) n – 1 d) n – 2 e) n – 3
2.05 (UFPR) Seja f uma função definida
para todo número inteiro tal que f(4) = 1
e f(n + 1 ) = f(n) – 1. O valor de f(-100) é:
a) 101 b) 102 c) 103 d) 104 e) 105
02.06 (MACK-UP) A função f de IR em IR é
tal que, para todo x IR, f(3x) = 3. f(x). Se
f(9) = 45, então:
a) f(1) = 5 b) f(1) = 6 c) f(1) = 9 d) f(1) não
pode ser calculado; e) n.d.a
02.09 (PUC-SP) Uma função que verifica a
propriedade: “qualquer que seja x, f(-x) =
-f(x)” é:
a) f(x) = 2; b) f(x) = 2x; c) f(x) = ;
d) f(x) = ; e) f(x) = cos x.
02.14 (UFSC) Dada à função f: IR
,
definida por f(x) = + 1, determine a
soma dos números associadso às
afirmações verdadeiras:
02.10. (PUC-SP) Qual das funções a seguir 01) A função é sobrejetora;
é par?
02) A imagem da função é IR;
04) A função é bijetora;
a) f(x) =
b) f(x) =
c) f(x) = x
d) f(x) =
e) f(x) = x
02.11 (FUVEST-SP) Seja f uma função tal
que f(x + 3) = + 1 para todo x real.
Então f(x) é igual a:
a) - 2; b) 10 – 3x; c) -3 + 16x – 20
d) - 6x + 10 e) - 6x – 16
08) Para x = √ , temos f(x) = 6;
16) O gráfico da função é uma reta;
32) A função é par.
Ao terminar de estudar este capítulo
você deve saber definir uma função,
saber
identificá-la,
saber
seus
elementos, classificá-la, saber as
linguagens matemáticas para conjuntos
e funções, o que é uma função par,
ímpar, especial e composta!
9
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
Aula 3 – FUNÇÕES
Definição: Toda função f: R -> R, definida por f(x) = c,
com c є R é uma função constante. O gráfico é sempre uma
reta paralela ou coincidente com o eixo da abscissa (eixo x).
Exemplos:
f(x) = 2
f(x) = 0
f(x) = -5
A função de primeiro grau também é chamada por
equação do primeiro grau já que há um sinal de igualdade.
Mas como já estudamos anteriormente, temos situações
onde é importante a exclusão de certos números e fazemos
isto utilizando a notação de intervalos e desta forma a
equação se torna uma inequação, pois não temos mais o
sinal de igualdade. Desta forma define-se uma inequação do
primeiro grau como:
ax + b > 0
b≥0
ax + b < 0
ax + b ≤ 0
ax +
Resolver uma inequação significa determinar os valores
de x que satisfazem a desigualdade.
Iremos estudar agora duas funções muito importantes
funções de 1° e 2° grau, como serão suas definições, suas
características e sinais, suas aplicações e gráficos.
Definição: Uma função polinomial é chamada de
função do 1° grau ou função afim se for definida por y(x) =
f(x) = ax + b, com a e b reais e a ≠ 0. Onde “a” é chamado de
coeficiente angular e “b” de coeficiente linear. Vamos aos
possíveis gráficos e pontos importantes:
Vamos agora à função do 2° grau aonde iremos
recordar a famosa fórmula de Bhaskara!
Definição: Uma função polinomial f: R -> R é chamada de
função do 2° grau ou função quadrática quando é definida
2
por f(x) = y(x) = ax + bx + c, onde a, b e c є R e a ≠ 0.
2
Exemplo: f(x) = y(x) = 2x - 4x + 2.
O gráfico de uma função quadrática é representado
por uma curva chamada parábola, para construí-lo devemos
identificar a, b e c e colocar valor em x para obtermos y(x).
Com isso formamos os pontos no plano cartesiano. Observe:
Observações:
- O zero da função é dado pelo ponto –b/a;
- O gráfico intercepta o eixo y no ponto (0,b);
- A função é sempre injetora, pois qualquer reta horizontal
intercepta o gráfico em apenas um ponto;
- A função é sobrejetora pois Im(f)= CD(f) = R
- Como a função do 1° é sobre e injetora temos que é
bijetora.
Obs.: A parábola sempre intercepta o eixo y no ponto (0,c).
10
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
Os zeros da função são muito importantes para a
construção do gráfico além de serem sempre pontos de
interesse em problemas. O zero de uma função do segundo
grau é o valor de x que faz com que:
Exemplo:
2
f(x)=y(x)=ax +bx+c = 0
√
Para fazermos os problemas geralmente precisamos
desenhar o gráfico e saber certas características como se a
parábola está para cima ou para baixo, se é crescente ou
decrescente. Para isso analisamos os sinais de a e do nosso
∆ da seguinte maneira:
EXERCÍCIOS EM SALA:
Outro ponto importante é o vértice da parábola, que nos
dá o seu ponto máximo quando a < 0 e seu ponto mínimo
quando a > 0, sendo esses os maiores e menores valores
assumidos pela função, respectivamente. Além disto, o
vértice da parábola nos dá o inicio (ou término) do conjunto
imagem da função do segundo grau.
Assim como na função do primeiro grau temos
inequações do segundo grau, as equações se reduzem as
seguintes formas:
2
ax +bx+c ≥ 0
2
ax +bx+c > 0
2
ax +bx+c < 0
2
ax +bx+c ≤ 0
Para resolvermos essas inequações, estudaremos o
2
sinal da função y(x)= ax +bx+c, nos seguintes casos:
11
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
EXERCÍCIOS PARA CASA:
03.01 (F.M.SANTA CASA – SP) Se
é
a função inversa da função f, com IR
em IR, definida por f(x) = 3x – 2, então
(-1) é igual a:
a) -1 b) -
c) – d)
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
03.06 (UEL-PR) Sejam f e g funções de
IR em IR, dadas por f(x) = 4x – 3 e g(x)
= 2x+1. Se f(g(x)) = g(f(x)), então a
inversa de g é definida por:
03.11 (PUC-SP) Sejam as funções
dadas por: f(x) = 3x – 2 e g(x) = 2x + 3.
Se b= f(a), então g(b) vale:
a)
e) 5a – 2
b)
c)
d)
e)
a) 6a -1 b) 5a +1 c) 3a – 2 d) 6a – 6
e)
03.02 (UFSC) Dadas as funções f(x) =
e g(x) =
– 1, o valor de (g
√
f)(4) é:
03.07 (MACK-SP) Dadas às funções f,
g e h, definidas de IR em IR, onde f(x)
= 3x, g(x) =
- 2x + 1 e h(x) = x +2,
então h{f [g(2)]} é igual a:
a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5.
03.12 (UFSC) Considere as funções f,
g: IR IR tais que g(x) = 2x + 1 e g(f
(x)) = 2 + 2x + 1. Calcule f(7).
03.13 (UNIRIO) Considerando-se a
função f: IR
IR, x
y = 2x + 1.
Determine a lei que define a função
.
03.03 (UFMS) Dada à função real f(x)
= - 3, determine f(f(3)):
03.08 (UFPR) Para cada valor real de
x, sejam f(x) =
e g(x) = f(f (x)).
Calcule o valor de
03.04 (PUC-PR) Sejam f: IR IR e g: IR
IR duas funções dadas por f(x) =
- 1 e g(x) = x – 1. A diferença entre as
funções compostas (gof)(3) – (fog)(3)
é compostas (gof)(3) – (fog)(3) é igual
a:
a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5.
.
03.14 (F.CARLOS CHAGAS – SP) Dadas
às funções reais f(x) 1 -2x e g(x) = 3x +
k, o valor de k, de modo que f[g(x)] =
g [f(x)], é:
a) -3; b) -1; c) - ; d) ; e) n.d.a
03.09 Sejam f e g funções de IR em IR
definidas por: f(x) =
+ 1 e f(x) = 3x
+1 aonde IR é o conjunto dos
números reais. Então o valor de f
(g(1)) + g (f(1)) é:
a) 15 b) 16 c) 17 d) 24
03.15 Seja y= f(x) uma função definida
no intervalo [-5; 4] pelo gráfico dado.
Então, o valor de f(f (-3)) é:
a) -2 b) 0 c) -1 d) 1 e) 2
03.05(FGV-SP) Considere as funções:
f(x) = 2x + 1 e g(x) =
- 1. Então, as
raízes da equação f[g(x)] = 0 são:
c) racionais não inteiras;
03.10 (MACK-SP) Dada à função f e g
de IR em IR, sendo g(x) = 4x – 5 f(g (x))
= 13- 8x, então f(x) é:
d) inversas uma da outra;
f(x) = 2 – 3x; b) f(x) = 3 – 2x;
e) opostas.
c) f(x) = 2 + 3x; d) f(x) = -2 + 3x;
a) inteiras; b) negativas;
e) f(x) = 2x + 3;
03.16 (ACAFE-SC) Sendo f(x) = 2x + 1 e
g(x) =
- x o valor de f (g(-1)) (5) é:
a) -3 b) 0 c) 2 d) 8 e) 4
12
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
03.17 (UFMG) Para um número real
fixo a, a função f(x)= ax-2 é tal que f(f
(1)) = -3. O valor de a é:
04.01 (ITAJUBÁ-MG) O gráfico
abaixo pode representar qual das
expressões:
04.05 (PUC) Uma função do 1º grau é
tal que f(-1) = 5 e f(3) = -3. Então f(0)
é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
a) y = 2x – 3
a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1
b) y = -2x + 3
c) y = 1,5x + 3
d) 3y = -2x
e) y = -1,5x + 3
03.18 Estudando a viabilidade de uma
campanha de vacinação, os técnicos
da Secretaria da Saúde de um
município verificaram que o custo da
vacinação de x por cento da
população
local
era
de,
aproximadamente, y =
milhares
de
reais.
Nessa
expressão,
escrevendo-se x em função de y,
obtém-se x igual a:
a) 4/3 b) 300y/(400 – y)
04.06
(FGV-SP)
Uma
função
polimonial f do 1º grau é tal que f(3)=
6 e f(4) = 8. Portanto, o valor de f(10)
é:
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
04.02 (UFPI) A função real de variável
real, definida por f(x) = (3 – 2a) x + 2 é
crescente quando:
a) a > 0 b) a < 3/2
c) a = 3/2 d) a > 3/2
c) 300y/(400 + y) d) 400y/(300 – y)
04.07 (UFPA) A função linear y=Ax + B
passa pelo ponto (1,2) e interceptar o
eixo y no ponto de ordenada 3. Então
A -2B é igual a:
e) 400y/(300 + y)
a) - 12 b) – 10 c) -9 d) -7 e) 0
03.19 Seja f uma função real de
variável real, representada pelo
gráfico abaixo:
04.03 (UNIFOR –CE) Seja a função f,
de IR em IR, definida por f(x) = mx + t,
representada pelo gráfico abaixo,
nessas condições:
m=2t b) t = 2m c) m=t
d) m + t = 0 e) m – t = 4
04.08 (MACKENZIE-SP) Em N, o
produto das soluções da inequação 2x
– 3 3 é:
a) maior que 8 b) 6 c) 2 d) 1 e) 0
Determine a soma dos números
associados
à(s)
afirmativa(s)
VERDADEIRA(S):
f tem três zeros reais.
f é uma função crescente em seu
domínio.
04) a imagem de f é R
f é inversível em seu domínio.
16) o domínio de f é R
04.04. Seja a função f: IR IR, tal que
f(x) =ax + b. Se os pontos (0, -3) e
(2,0) pertencem ao gráfico de f, então
a+b é igual a:
b) 3 c)
d)
e) -1
04.09 (UNICAMP) Numa escola é
adotado o seguinte critério: a nota da
primeira prova é multiplicada por 1, a
nota da segunda prova é multiplicada
por 2 e da terceira por 3. Os
resultados, após somados, são
divididos por 6. Se a média obtida por
este critério for maior ou igual a 6,5 o
aluno é dispensado das atividades de
recuperação. Suponha que o aluno
tenha tirado 6,3 na primeira prova e
13
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
4,5 na segunda prova. Quanto
precisará tirar na terceira prova para
ser dispensado da recuperação?
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
04.13 (PUCCAMP-SP) Seja f a função
de IR em IR, definida por f(x) = ax + b,
com a, b IR e a 0. Se so pontos (1; 3) e (2; - 1) pertencem ao gráfico
de f, então f(x) 0 se, e somente se
a) x
0 b) x
e) x
5
c) x
0 d) x
04.10
(CESCEM-SP)
A
figura
representa a função y = ax + b. O
valor da função no ponto x = 1/3 é:
05.01. (UFAM-AM) Em relação ao
gráfico da função f(x) = + 7x – 10,
pode-se afirmar que:
a) 3,8 b) 3,6 c) 3,5 d) 1,8 e) 1,7
04.11 (UNIOESTE) Um vendedor tem
duas opções de emprego em
empresas do mesmo ramo. A
proposta da empresa A é um salário
fico de R$ 200,00 mais um adicional
de 3% sobre as vendas. A proposta da
empresa B é um salário fixo de R$
150,00, mais um adicional de 5%
sobre as vendas. Nessas condições, a
proposta da empresa B é mais
vantajosa que a proposta da empresa
A
se
as
vendas
mensais
ultrapassarem, em reais um valor V,
tal que V/100 é igual a?
04.12 (UFPE) Um provedor de acesso
à internet oferece dois planos para
seus assinantes: Plano A – Assinatura
mensal de R$ 8,00 mais R$ 0,03 para
cada minuto de conexão durante o
mês. Plano B – Assinatura mensal de
R$ 10,00 mais R$ 0,02 para cada
minuto de conexão durante o mês.
Acima de quantos minutos de
conexão por mês é mais econômico
optar pelo plano B?
b) Qual é a quilometragem máxima
que o carro consegue fazer com um
tanque, sabendo-se que o veículo
tem um rendimento de 9Km por litro?
04.14 (FGV-SP/EAESP) Uma fábrica de
camisas tem um custo mensal dado
por C = 5.000 + 15x, onde x é o
número de camisas produzidas por
mês. Casa camisa é vendida por R$
25,00. Atualmente, o livro mensal é
de R$ 2.000,00. Para dobrar esse
lucro, a fabrica deverá produzir e
vender mensalmente:
a)o dobro do que produz e vende.
a) Intercepta o eixo das abscissas em
P (5,0) e Q (-5,0).
b) Seu vértice é o ponto {
}.
c) É uma parábola de concavidade
voltada para cima.
d) O seu eixo de simetria é o eixo das
ordenadas.
e) Intercepta o eixo das ordenadas
em R (0, 10).
b) 100 unidades a mais que produz e
vende.
c) 200 unidades a mais do que produz
e vende.
d) 300 unidades a mais do que produz
e vende.
e) 50% a mais do que produz e vende.
05.02. Se o ponto (-2, 1) é o vértice
da parábola definida pela sentença y
=
+ kx + t, então k-t é igual a:
a)2 b)1 c)0 d) – 1 e) -2
04.15
(FATEC-SP)
Os
gráficos
cartesianos das funções f e g, de IR
em IR, interceptam-se num ponto do
1º quadrante. Se f(x) = x +7 e g(x) = 2x + k, onde k é constante, então k
satisfaz a condição:
a) k > 7 b) 1 < k < 7 c) 0 < k
d) -1 < k
0 e) -7 < k
05.03. (FATEC-SP) A distância do
vértice da parábola y = + 8x – 17
ao eixo das abscissas é:
a) 1 b) -4 c) 8 d) 17 e) 34
1
-1
05.04. (PUC-RS) A imagem da função
f:IR IR, definida por f(x) = - 1, é o
intervalo:
a) 160 b) 180 c) 200 d) 220 e) 240
04.16 Durante uma viagem de férias,
João observou que ao colocar 25
litros de gasolina no carro, o ponteiro
do marcador que indicava
do
a) [ - 1;
d) (-
) b) ( -1;
; -1 ) e) (-
) c) [ 0;
)
; -1]
tanque passou a marcar .
a) Qual a capacidade do tanque?
14
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
05.05 (PUC-SP) A função f:R R dada
por y = -2 + 10x - 12, admite como
conjunto imagem o conjunto:
c, representada a seguir, podemos
concluir:
a) {y
}
b) b < 0 e c < 0
c) b > 0 e c < 0
IR / y
b) {y
IR / y
}
c) {y
IR / y
}
d) {y
IR / y
}
e) {y
IR / y
0 }
d)
b)
= 4p e)
05.14. (UFMT-MT) Dispondo de 1.200
metros de tela, um fazendeiro
pretende cercar uma área retangular
e dividi-la por meio de uma cerca
paralela a um dos lados. Qual a área
máxima em hectares, que poderá ser
delimitada?
d) b > 0 e c > 0
e) b > 0 e c = 0
05.06. (UFPA) O gráfico da função
quadrática y = + px + q tem uma só
intercecção com o eixo dos x. Então,
os valores de p e q obedecem à
relação:
a) q =
a) b < 0 e c > 0
= c) q = -
05.11. (UFBA) em um reservatório de
água, o nível y varia com o tempo t,
em horas a partir da meia-noite,
conforme a função y = -1,3 + 7,8t –
4,2. O instante em que o reservatório
está mais cheio é:
a) 1h 18min.
= - 4p
b) 1h 30min.
d) 6h
04) o menor valor que f(x) assume é
4.
e) 7h 48min.
08) o domínio da função f é IR.
16) a imagem da função f é
(-
c) interceptam-se num único ponto
de ordenada igual a 2;
d) interceptam-se em dois pontos
distintos situados no 1º quadrante;
e) cortam o eixo das abscissas em
valores positivos.
05.08. A única função cujo gráfico
pode ser a parábola representada na
figura é:
a) y =
+ 6x + 9 b) y =
c) y = + 3x -10 d) y =
y = - 7x + 10
+2
d) 2
e) 0
b) 2
05.12(ACAFE-SC) Os fisiologistas
afirmam que, para um indivíduo sadio
e em repouso, o número N de
batimentos cardíacos, por minuto,
varia em função da temperatura
ambiente e (em Graus Celsius),
segundo a função N(t) = 0,1
- 4t +
90. O número mínimo de batimentos
por minuto e a temperatura em que
ocorrem, respectivamente, são:
a) 50 e 40
d) 60 e 30
b) 50 e 20
e) 80 e 40
c) 80 e 20
05.16. (UNIFEI-MG) Considere a figura
abaixo, em que os lados do retângulo
medem 10 e 3x metros, e determine
para a área hachurada.
a) a função de x que fornece a área;
b) o valor de x para que a área seja
máxima;
c) o valor da área máxima.
- 6x + 9
+7x + 10 e)
05.09(FGV-SP) Seja a função f(x) =
o valor de f(m+n) – f(m-n) é:
a) 2
,0).
32) o sinal da função f é negativo nos
intervalos (- , -2) e (2, + ).
a) cortam o eixo das ordenadas num
mesmo ponto;
b) não tem ponto em comum;
01) o sinal da função no intervalo (0,
+ ) é positivo.
02) a função f é decrescente nos
intervalos (- , -2) e (2, + ).
c) 3h
05.07. Sejam duas funções de R em R
dadas por f(x) =
- 2x + 3 e g(x) =
2
- 4x + 4. É verdade que seus
gráficos:
05.15. (UNIOESTES) Observando o
gráfico da função f: IR
IR,
quadrática representado abaixo, é
correto afirmar que:
c) 4mn
05.10. (CESGRANRIO-RJ) Sendo
e
os zeros da função f(x) = a + bx +
05.13. (FURB-SC) O gráfico abaixo
representa uma função quadrática:
Y= a + bx + c. Os valores de a, b e c,
respectivamente são:
a) -1, -2 e -1 b) 1, -2 e 1 c) -1, -2 e 1
d) – 1, 2 e -1 e) 1, 2 e 1
15
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
Aula 4 – FUNÇÕES
Nós aprendemos nos capítulos anteriores o que é uma
função, seus elementos, classificação e suas formas mais
simples como função constante, funções pares e ímpares,
função do 1° e do 2° grau. Nestas duas últimas vimos que às
vezes podemos ter desigualdades e assim temos as chamadas
inequações para resolver. Para isso achamos os pontos de
zero, as raízes da equação, e analisamos o sinal da função em
intervalos que nos interessa. Exemplo:
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
dos números reais) de y em correspondência. Para facilitar
a tabela abaixo nos mostra as restrições que temos no
domínio para as funções mais utilizadas:
Exemplos de análise do domínio de funções:
Iremos agora analisar inequações do tipo produto
(produto de funções) e quociente (divisão de funções):
- As inequações do tipo produto são na forma: f(x).g(x) < 0,
f(x).g(x) > 0, f(x).g(x) ≤ 0, f(x).g(x) ≥ 0. Como na multiplicação
as regras dos sinais são: +.+ = +, -.- = + e +.- = -.+ = -, temos
que analisar os sinais de cada função separadamente e fazer a
multiplicação através dos sinais. Exemplo
EXERCÍCIOS EM SALA:
- As inequações do tipo quociente são na forma: f(x)/g(x) ≥ 0,
f(x)/g(x) ≤ 0, f(x)/g(x) < 0, f(x)/g(x) > 0. Como as regras dos
sinais na divisão são os mesmos que na multiplicação temos
que analisar separadamente os sinais de cada função e fazer a
análise dos sinais. Exemplo:
Quando estudamos os elementos das funções vimos que
cada um tinham sua importância. Exemplos:
- A imagem é o conjunto dos resultados da nossa função e nos
dá os pontos y nos gráficos dado o x;
- O contra domínio é o conjunto que terá os elementos
relacionados com o domínio e formam o eixo y no gráfico;
- O domínio da função é o conjunto dos números que
possuem resultados matematicamente possíveis. Por
exemplo: A função f(x) = 1/x possui o domínio {
R – {0}}
(lê-se: para todo x pertencente ao conjunto dos números reais
menos o zero). Isso ocorre, pois divisão por zero não é
definido matematicamente!
Iremos estudar agora o domínio de determinadas funções
devido à sua importância na análise das funções e na
resolução de exercícios.
Obter o domínio de uma função y = f(x) significa encontrar
todos os x para os quais existem valores reais (do conjunto
16
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
EXERCÍCIOS PARA CASA:
06.04. (FEI) O domínio da função real
06.01. Obter o domínio das funções
reais y = f(x) a seguir:
f(x) = √
a) {x R / 0 < x 1}
b) {x R /- 1 x <0 ou x
c) {x R / -1 x 1}
d) {x R / -1 < x < 1}
e) {x R / x > 4}
a) y =
b) y = √
c) y =
√
d) y = √
e) y =
é:
06.07.(CESGRANRIO-RJ) As figuras
abaixo nos mostram as funções f(x) e
g(x) representadas pelos gráficos
cartesianos.
1}
√
√
A solução da inequação
06.02. (PUC-GO) O domínio da função
f(x) = √
a) {x R / x
b) {x R /- 3
c) {x R / x
d) {x R / x
é dado por:
- 3oux 3}
x 3}
3}
- 3- e) Φ
06.05. (U.F. SALVADOR-BA) O
domínio da função f definida por f(x)
=
√
0 é:
a) x 1 ou 2 < x 3 b) 1 x < 2 ou
x 3 c) x < 2 ou x 3 d) 1 x 3
e x 2 e) x 1 e x 0
é A. Qual o menor inteiro que
pertence ao conjunto A?
06.08. (FEI) Determinar o domínio da
função f tal que f(x) = √
06.03. (MACKENZIE-SP) O domínio da
função definida por f(x) =
a) x 3
b) -3 x 3 e 0
c) IR
d) os reais negativos
e) 3 < x <-3 e x 0
√
é:
.
06.06. (U.S.F.BRAGANÇA) A soma das
soluções inteiras da desigualdade 4 < 2 – x é:
a) -2 b) -1 c)0 d) 1 e)2
06.09. Determinar o domínio da
função f tal que f(x) =
√
√
.
17
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
06.10. (CEFET-PR) O domínio da
função f(x) = √
é:
a) {x
R / x < -1 ou
x < 2}
b) {x
R /- 1
x
c) {x
R / -1
x
d) {x
R/x
ex
e) {x
R/x
-1ex
2 ou x
2ex
1ex
}
}
2}
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
06.12. (F.F. RECIFE) Dadas às funções
reais definidas por f(x) = 2x-6 e g(x) =
+ 5x + 3pode-se dizer que o
domínio da função h(x) = √
é?
a) {x R / x 0} b) {x R / x - 5}
c) {x R / -5 x 0} d) {x R / x
-5 ou x 0 } e) {x R / x 5}
2}
06.15. (UNICENTRO) Para que um
remédio produza o efeito desejado,
sua concentração, na corrente
sanguínea deve estar acima de certo
valor, o nível terapêutico mínimo.
Supondo-se que a concentração de
determinado antibiótico, 4 horas,
após ingerido, seja dado por
g/ml e sabendo-se que o nível
terapêutico mínimo, nesse caso é de
4g/ml, esse nível será excedido
quando:
a)1 < t < 4 b) 1 < t < 6 c) 2 < t < 8
d) 0 < t < 12 e) 1 < t < 12
06.13.(CEFET-PR) O domínio da
função real de variável real f(x) =
06.11. (UEL) Em R, qual é o domínio
mais extenso possível da função dada
por: f(x) = √
?
a) {x R / -2 < x < 2} b) {x R / 0 < x
< 2} c) {x R / 0 < x < 4} d) {x R / x
> 2} e) {x R / x > 4}
–
é dado pelo
conjunto:
a) {x R / x < -5 ou x > 3}
b) {x R / x - 5 ou x 3 }
c) {x R / -5 < x < 3}
d) {x R / x -3 ou x 5 }
e) {x R / x < - 3 ou x > 5}
06.16. (PUC-SP) Identifique a
alternativa correta. O domínio da
06.14. (CEFET-PR) A função f(x) = a +
5x – 10 possui concavidade voltada
para cima. O valor de f(1), sabendo
que “a” é um número inteiro
pertencente ao domínio da função
g(x) =
√
função real y= √
+ √
é:
a) [-1,1] b) {-1,1} c) (- , -1]
d) ] – 1, 1[ e)
[1,
)
é:
a)10 b) – 10 c)4 d) – 6 e) -4
18
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
Aula 5 – MATRIZES
Definição: Denominamos de matriz uma tabela de
números dispostos em linhas e colunas. Então uma matriz do
tipo m x n (lê-se: m por n), é aquela formada por m linhas
(horizontais) e n colunas (verticais), representadas entre
colchetes [ ] ou entre parênteses ( ). Exemplos:
Matriz 3x2 (3 linhas e 2 colunas): [
]
Matriz 2x3 (2 linhas e 3 colunas): *
+
Notação: Uma matriz genérica A de ordem m x n pode ser
escrita na seguinte forma: A(aij)mxn. Onde o termo a localiza-se
na linha i e na coluna j. Exemplo:
A2x2 = *
Amxn = [(
+
A2x3 = *
+
a11 = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1.
a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1
( 3 + 1 = 3 + 1).
- Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos;
é representada por 0m x n. Por exemplo:
- Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os
elementos que não estão na diagonal principal são nulos.
Por exemplo:
)]
É interessante conhecermos certos tipos de matrizes que
usamos muito:
- Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única
linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 3.
]
A=
- Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma
única coluna. Por exemplo, do tipo 3 x 1:
- Matriz quadrada: matriz do tipo n x
n, ou seja, com o mesmo número de
linhas e colunas; dizemos que a
matriz é de ordem n. Por exemplo, a
matriz é do tipo 2 x 2, isto é,
quadrada de ordem 2.
Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a
diagonal secundária. A principal é formada pelos
elementos aij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.
Veja:
- Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os
elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais
são nulos; é representada por In, sendo n a ordem da matriz.
Por exemplo:
- Matriz transposta: matriz At obtida a partir da
matriz A trocando-se ordenadamente as linhas
por colunas ou as colunas por linhas. Desse modo,
se a matriz A é do tipo m x n, At é do tipo n x m.
Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna
de At e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna
de At.
19
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
- Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal
que A = At. É simétrica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 =
6, a23 = a32 = 4, ou seja, temos sempre a ij = a ij.
Multiplicação de um número real por uma matriz. Dados
um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto
de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela
multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, bij =
xaij.
-Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocandose o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo:
Assim como os números em termos de operações e
propriedades (a chamada álgebra) iremos começar a estudar
agora a álgebra de matrizes:
- Igualdade de matrizes: Duas matrizes, A e B, do
mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os
elementos que ocupam a mesma posição são iguais:
- Operações envolvendo matrizes:
| |
| |
Adição: Dadas as matrizes
,
| |
chamamos de soma dessas matrizes a matriz
, tal
que Cij = aij + bij, para todo: 1 ≤ i ≤ m e todo 1 ≤ j ≤ n. Exemplos:
Propriedades
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n)
e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes
propriedades:
a) associativa: x. (yA) = (xy). A
b) distributiva de um número real em relação à adição de
matrizes: x. (A + B) = xA + xB
c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois
números reais: (x + y). A = xA + yA
d) elemento neutro: xA = A, para x=1, ou seja, A=A
.
Multiplicação de matrizes: O produto de uma matriz
por outra não é determinado por meio do produto dos
seus respectivos elementos. Assim, o produto das matrizes
A = ( aij) m x p e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em
que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos
produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha
de A pelos elementos da j-ésima coluna B.
Vamos multiplicar a matriz
*
*
+
+ para entender como se obtém cada Cij:
1)
1ª linha e 1ª coluna:
2)
1ª linha e 2ª coluna:
Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do
mesmo tipo.
Propriedades da adição: Sendo A, B e C matrizes do mesmo
tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:
a) comutativa: A + B = B + A
b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)
c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x
n.
d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0
| |
| |
Subtração: Dadas as matrizes
,
chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a
matriz oposta de B. Observe:
3)
2ª linha e 1ª coluna:
20
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
Verificadas as condições de existência para a
multiplicação de matrizes, valem as seguintes
propriedades:
a) Associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C )
b) Distributiva em relação à adição:
A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C
4) 2ª linha e 2ª coluna:
c) Elemento neutro: A. In = In . A = A, sendo In a
matriz identidade de ordem n.
Assim,
*
+.
Observe que:
Vimos que a propriedade comutativa, geralmente,
não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale
também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x
n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica,
necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n.
Matriz inversa
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir
uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A =
In , então A' é matriz inversa de A e representamos a
-1
matriz inversa por A .
Portanto,
, ou seja, para a multiplicação de
matrizes não vale a propriedade comutativa.
EXERCÍCIOS EM SALA:
Vejamos outro exemplo com as matrizes:
Da definição, temos que a matriz produto A. B só existe
se o número de colunas de A for igual ao número de linhas
de B:
A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o
número de colunas de B(n):
 Se A3 x 2 e B 2 x 5, então ( A . B ) 3 x 5
 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto.
 Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1
Propriedades
21
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
EXERCÍCIOS PARA CASA:
01.04. (UFSE) Se dadas as matrizes A
01.01 (UFPA) Sendo A = (
=(
)eB
=(
), calcule o valor de 2A – B.
a)(
) b)(
e)(
)
) c)(
) d)(
) B= (
a) (
)
), a matriz
(
) b) (
) d) (
={
) c)
) e) (
01.05. (PUC-SP) Se A= (
(
)
)
c) (
) d) (
a) (
(
) d) (
(
)
)eC=(
(
01.03. (SANTA CASA-SP) Dadas as
)eB=(
)
b) (
) c) (
) e) (
) e) (
) e)
01.08. (PUCMG) Seja A a matriz A =
, cuja lei de formação é dada
abaixo. É correto afirmar que:
) d)
)
={
01.06.(PUC-SP) Se A = (
)
, se At é a matriz de A, então (At - B)
é:
d) (
) c)
), então a matriz X,
(
) b) (
b) (
), B=
a) A= (
a) (
)
)
e) Operação não definida.
matrizes A = (
é
. Então, A é igual a:
a) (
)
tal que A + B – C – X = 0 é:
b) (
01.07. (UFPA) A matriz A =
definida de tal modo que
),
então, 3A – 4B é igual a:
a) (
)eB= (
X = At + 2B, onde At é a matriz
transposta de A, é igual a:
01.02.(FACEAG-SP) Dadas as matrizes:
A=(
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
) c) (
)
)
(
) e C= (
)
b) (
) d) (
) c)
)
), B =
), então a
matriz X, de ordem 2, tal que
=
+ C, é igual a:
a) (
) b) (
) c) (
d) (
) e) (
)
)
01.09. (UNIRIO-RJ) Seja X =
uma
matriz quadrada de ordem 2, onde
={
A soma dos
seus elementos é igual a :
a) -1 b) 1 c) 6 d)7 e) 8
22
RUMO PRÉ-VESTIBULAR
MATEMÁTICA – APOSTILA 1 – FRENTE A
01.10. Calcule os números reais a, b, x
e y que tornam verdadeira a
igualdade:
01.13. (F.SANTANA-BA) Se a matriz
a. (
é igual a:
a)1 /9 b) 1/8 c) 0 d) - 1 e) 1
) + b. (
)= (
)
01.11. (FGV) Dadas as matrizes: A =
(
(
), B = (
)eC=
) e sendo 3A = B + C,
então:
a) x+y+z+w = 11 b) x+y+z+w = 10 c)
x+y-z-w =0 d) x+y-z-w =- 1 e)
x+y+z+w >11
(
) for simétrica, então (z+3).x-y
01.14.(SANTACASA-SP) Se uma matriz
A é tal que At = -A, ela é chamada de
matriz antissimétrica. Sabe-se que M
é antissimétrica e: M =
(
). Os termos
) eD=(
)S
refere-se às despesas de sábado e D
às de domingo. Cada elemento nos
dá o número de chopes que i pagou
para j, sendo Antônio o número 1,
Bernardo o número 2 e Cláudio o
número 3 ( representa o elemento
da linha i, coluna j de cada matriz).
Assim, no sábado Antônio pagou 4
chopes que ele próprio bebeu, 1
chope de Bernardo e 4 de Cláudio
(primeira linha da matriz S).
a) Quem bebeu mais chope no fim da
semana?
b) Quantos chopes Cláudio ficou
devendo para o amigo Antônio?
de M, valem
respectivamente:
a)-4,-2,-4 b) 4,-2,4 c) 4,2,-4 d) -4,2,4
e) -4,-2,4
01.15.(UEL) Sabendo-se que a matriz
01.12. (UFFLUMINENSE) Toda matriz
de ordem 2x2, que é igual a sua
transposta, possui:
a) pelo menos dois elementos iguais
b)os elementos da diagonal principal
iguais a zero c) os elementos da
diagonal secundária iguais a zero d)
linhas proporcionais e) nenhuma das
alternativas anteriores.
S=(
(
) é igual a sua
transposta. O valor de x+2y é:
a)-20 b)-1 c)1 d)13 e)20
01.17. (UERJ) Três barracas de frutas,
B1, B2 e B3, são propriedades de uma
mesma empresa. Suas vendas são
controladas por meio de uma matriz,
na qual cada elemento bij representa
a soma dos valores arrecadados pelas
barracas Bi e Bj, em milhares de reais,
ao final de um determinado dia de
feira.
(
) Calcule, para esse dia,
o valor, em reais:
a) arrecadado a mais pela barraca B3
em relação à barraca B2,
b) arrecadado em conjunto pelas três
barracas.
01.16. (UFRJ) Antônio, Bernardo e
Cláudio saíram para tomar chope, de
bar em bar, tanto no sábado quanto
no domingo. As matrizes a seguir
resumem quantos chopes cada um
consumiu e como a despesa foi
dividida:
23