capacitores e circuito rc
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NOTA DE AULA PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO CAPACITORES E CIRCUITO RC 1 INTRODUÇÃO Até aqui, o único elemento passivo que encontramos foi o resistor. Vamos considerar agora dois outros elementos passivos, o capacitor e o indutor, que são bem diferentes do resistor no que diz respeito à sua função, princípio de funcionamento e estrutura interna. Ao contrário do resistor, esses dois elementos apenas exibem seu comportamento característico quando ocorrem variações de tensão ou corrente no circuito em que se encontram. Além disso, se considerarmos a situação ideal, não dissipam energia, como o resistor, mas a armazenam e podem devolvê-la mais tarde ao circuito. Para podermos estudar esses elementos com a profundidade que merecem, vamos dedicar todo este capítulo ao capacitor. Como os efeitos eletromagnéticos são fatores importantes no projeto de indutores, o capítulo de indutores só será estudado após estudarmos eletromagnetismo. 2 FLUXO DE LINHAS DE CAMPO ELÉTRICO Vimos que o campo elétrico é representado por linhas de campo, que são traçadas para indicar a intensidade do campo elétrico em qualquer ponto em torno de um corpo carregado; isto é, quanto maior a densidade das linhas de campo, mais intenso é o campo elétrico. Na figura 1, a intensidade do campo elétrico é maior na posição a do que na b. Fluxo elétrico é uma grandeza usada para medir o número de linhas de campo que atravessam uma superfície. Utilizaremos como símbolo para o fluxo destas linhas de campo através de uma superfície qualquer a letra grega φ (fi). FIGURA 1 Distribuição de linhas de campo em torno de uma carga positiva isolada. O fluxo por unidade de área ou densidade do fluxo será representado pela letra grega σ e definido por σ = φ/A (fluxo por unidade de área). Quanto maior a carga Q em coulombs, maior é o número de linhas de campo por unidade de área que entram e saem da carga, independentemente do meio em que esta se encontra, e portanto maior o fluxo por unidade de área através de qualquer superfície nas proximidades da carga. Assim, podemos escrever: φ Q (Lei de Gauss) Para duas cargas de polaridades opostas e mesmo valor absoluto, a distribuição do fluxo é semelhante à que aparece na figura 2. FIGURA 2 Distribuição de linhas de campo: cargas de sinais opostos. 1 3 CAPACITÂNCIA Na figura 3, por exemplo, duas placas paralelas, feitas de um material condutor e separadas por um espaço vazio, estão ligadas a uma bateria através de um resistor e uma chave. Se as placas estão inicialmente descarregadas e a chave está aberta, as placas permanecem descarregadas. No momento em que a chave é fechada, elétrons começam a sair da placa superior e se acumular na placa inferior, depois de passarem pelo resistor e pela bateria. A corrente é inicialmente elevada, limitada apenas pela resistência do circuito. Com o tempo, porém, a corrente diminui, como será demonstrado no fim do capítulo. Após um certo tempo temos uma carga positiva na placa superior. Os elétrons se acumulam na placa inferior com a mesma rapidez com que deixam a placa superior. Esta transferência de elétrons continua até que a diferença de potencial entre as placas seja exatamente igual à tensão da bateria. O resultado final é uma carga positiva na placa superior e uma carga negativa na placa inferior, muito semelhantes, sob vários aspectos, às cargas esféricas da figura 2. FIGURA 3 Circuito simples com duas placas. Este elemento, constituído apenas por duas placas condutoras paralelas separadas por um material isolante (neste caso, o ar), é chamado de capacitor. Capacitância é uma medida da quantidade de carga que o capacitor pode armazenar em suas placas - em outras palavras, de sua capacidade de armazenamento. Um capacitor possui uma capacitância de 1 farad se uma carga de 1 coulomb for depositada em suas placas por uma diferença de potencial de 1 volt entre elas. O farad recebeu este nome em homenagem a Michael Faraday, um químico e físico inglês do século XIX. Na prática ele se mostra, entretanto, uma unidade de medida muito grande para a maioria das aplicações; assim, é mais comum usarmos o microfarad (10-6) ou o picofarad (10- 12). Expressa em forma de equação, a capacitância é definida por Q C [1] V Onde C = farads (F) Q = coulombs (C) V = volts (V) Capacitores diferentes com a mesma tensão aplicada entre as placas adquirirem cargas diferentes- cargas maiores para os que possuem maior capacitância e vice-versa. Uma vista em seção reta das placas paralelas com a distribuição das linhas de campo aparece na figura 4(a). O número de linhas de campo por unidade de área (σ) entre as duas placas é bastante uniforme. Nas bordas, as linhas de campo apresentam uma deformação para fora das placas, um fenômeno conhecido como efeito de borda. Este efeito, que reduz a capacitância, pode ser ignorado na maioria das aplicações práticas. Na análise que se segue, vamos supor que todas as linhas de campo que deixam a placa positiva vão diretamente para a placa negativa, mantendo-se perpendiculares à superfície das placas [figura 4(b)]. FIGURA 4 Distribuição das linhas de campo na região entre as placas de um capacitor: (a) incluindo o efeito de borda; (b) ideal. Se uma diferença de potencial de V volts é aplicada entre duas placas separadas por uma distância d, a intensidade do campo elétrico na região entre as placas é dada por V E [2] d 2 A uniformidade da distribuição de linhas de campo na figura 4(b) também indica que a intensidade do campo elétrico é a mesma em qualquer ponto da região entre as placas. Podem ser obtidos diferentes valores de capacitância para o mesmo par de placas paralelas inserindo-se certos materiais isolantes entre elas. Na figura 5(a), foi colocado um material isolante entre duas placas paralelas submetidas a uma diferença de potencial de V volts. Como o material é isolante, os elétrons não conseguem deixar seus átomos e migrar para a placa positiva. Os componentes positivos (prótons) e negativos (elétrons) de cada átomo se rearranjam, porém, formando dipolos. Quando os dipolos se alinham, como na figura 5(a), o material está polarizado. Um exame mais minucioso deste material polarizado mostra que os componentes negativos e positivos dos dipolos adjacentes se cancelam. Observe a região envolvida por uma linha tracejada na figura 5(a). Entretanto, as cargas positivas na superfície mais próxima da placa negativa do capacitor e as cargas negativas na superfície mais próxima da placa positiva do capacitor não se cancelam, o que resulta no aparecimento de um campo elétrico no interior do isolante [Edielétrico figura 5(b)]. O campo elétrico total entre as placas (Etotal = Ear - Edielétrico) diminui de intensidade quando o dielétrico é introduzido. FIGURA 5 Efeito de um dielétrico sobre a distribuição do campo na região entre as placas de um capacitor: (a) alinhamento dos dipolos no dielétrico; (b) componentes do campo elétrico entre as placas de um capacitor quando um dielétrico está presente. O objetivo do dielétrico, portanto, é criar um campo elétrico com o sentido oposto ao do campo elétrico criado pelas cargas das placas. Por esse motivo, dizemos que o material isolante é um dielétrico, di para oposição e elétrico para campo elétrico. Em qualquer dos casos - com ou sem o dielétrico -, se a diferença de potencial entre as placas for mantida constante e a distância entre elas não mudar, o campo elétrico total, que é determinado pela expressão E = V/d, deverá permanecer inalterado. Acabamos de afirmar, no entanto, que este mesmo campo tende a diminuir com a inserção de um dielétrico. Para compensar esse fato e garantir que o campo elétrico se mantenha constante, a quantidade de carga nas placas deve aumentar. Esta carga adicional para a mesma diferença de potencial entre as placas aumenta a capacitância, como demonstra a relação: Q C V Se colocarmos diferentes materiais entre as placas do mesmo capacitor, diferentes quantidades de carga serão depositadas nas placas. Acontece que φ Q, de modo que o dielétrico determina o número de linhas de campo entre as duas placas e, portanto a densidade de fluxo (σ = φ/A), já que A não varia. A razão entre a densidade de fluxo e à intensidade do campo elétrico no dielétrico é chamada de permissividade do dielétrico: [3] E A permissividade é uma medida da facilidade com que o dielétrico "permite" o estabelecimento de linhas de campo no seu interior. Quanto maior o valor da permissividade, maior a quantidade de cargas depositadas nas placas e, consequentemente, maior a densidade de fluxo para uma área constante. Para o vácuo, o valor de (representado por o) é 8,85 X 10-12 F/m. A razão entre a permissividade de qualquer dielétrico e a do vácuo é chamada de permissividade relativa, r. Ela simplesmente compara, com boa aproximação, a permissividade do dielétrico com a do ar. Em forma de equação, r [4] 0 O valor de para qualquer material é, assim, dado por = o r Observe que r é uma grandeza adimensional. A tabela 1 mostra os valores da permissividade relativa (ou constante dielétrica, como é muitas vezes chamada) para vários materiais isolantes. 3 Dielétrico Vácuo Ar Teflon Papel parafinado Borracha Mica Porcelana Baquelite Água destilada εr (valores médios) 1,0 1,0006 2,0 2,5 3,0 5,0 6,0 7,0 80,0 TABELA 1 Permissividade relativa (constante dielétrica) de várias substâncias. Substituindo σ e E na equação 3, temos / A Q / A Qd E V / d V / d VA Com Q C V Teremos: Cd A ou C [5] A d Ou A A C 0 r 8,85.10 12 r [6] d d onde A é a área das placas em metros quadrados, d é a distância entre as placas em metros e r é a permissividade relativa. A capacitância, portanto, aumenta quando a área das placas aumenta, quando a distância entre as placas diminui e quando o dielétrico é substituído por outro que possua um maior valor de r. A d C Substituindo d pelo seu valor na equação 2, temos: V V CV E d A / C A Mas Q = CV, de modo que Q E [7] A o que nos permite calcular a intensidade do campo elétrico entre as placas a partir da permissividade , da carga Q e área das placas, A. Temos também C A / d r C0 0 A / d 0 Ou C = rC0 [8] Assim, para o mesmo par de placas paralelas, a capacitância obtida quando colocamos entre as placas um dielétrico de permissividade relativa r é r maior do que se existisse vácuo (ou, aproximadamente, se existisse ar) entre as placas. Um dos métodos experimentais mais populares para determinar o valor de r se baseia nesta relação entre r e as capacitâncias com e sem o dielétrico. 4 CAPACITORES EM SÉRIE E EM PARALELO Os capacitores são fabricados com certos valores padronizados para as capacitâncias e para as voltagens de operação. Contudo, esses valores podem não ser aqueles de que você realmente precisa para uma determinada aplicação. Você pode obter os valores desejados combinando capacitores; muitas combinações são possíveis, e as ligações em série e em paralelo são as mais simples. 4 Então, ao estudarmos associações de capacitores é muito útil buscar um capacitor que seja equivalente a todos os capacitores daquela associação. Este deverá ter as mesmas propriedades da associação e, assim, as mesmas funções. Sua capacitância é denominada capacitância equivalente Ceq. Para que haja equivalência entre o capacitor e a associação, o capacitor equivalente deve ser dotado das seguintes propriedades: • a ddp entre seus terminais deve ser igual a ddp entre os terminais da associação: Ueq = U1 + U2 + U3 + ⋯+ UN = U • a carga elétrica armazenada por ele deve ser igual à carga da associação: Qeq = Qassoc = Q Desse modo, por definição, a capacitância equivalente é dada por: Ceq = Q/U ⇔ Q = Ceq⋅U a) Associação de Capacitores em Paralelo Numa associação em paralelo de capacitores, a ddp entre as placas é a mesma para todos os capacitores, o mesmo não ocorrendo, todavia, para as quantidades de carga distribuídas nas armaduras. Assim, na associação ilustrada abaixo, temos: FIGURA 6 Associação de Capacitores em Paralelo Capacidade : C1 Capacidade : C2 Capacitor 1 Quantidade de Carg a: Q 1 Capacitor 2 Quantidade de Carg a: Q 2 DDP: U DDP: U Se, em condições de igualdade, esses capacitores forem substituídos por um capacitor equivalente, teremos: Capacidade : Ceq Capacitor Equivalente Quantidade de Carg a: Q DDP: U Q , então: Q CU U Podemos, então, escrever: • Capacitor 1: Q1 = C1 . U (1) • Capacitor 2: Q2 = C2 . U (2) • Capacitor Equivalente: Q = Ceq . U (3) Pelo Princípio da Conservação da Quantidade de Carga Elétrica, devemos ter Q = Q1 + Q2. Substituindo, nesta igualdade, as relações (1), (2) e (3), vem: Ceq . U = C1 . U + C2 . U Ceq = C1 + C2 [9] ou seja, numa associação de capacitores em paralelo, a capacidade equivalente é igual à soma das capacidades dos capacitores da associação. Em resumo: Associação de dois capacitores em paralelo Lembrando que C 5 • ddp dos capacitores: U é constante. • Quantidade de carga total: Q = Q1 + Q2. • Capacidade equivalente: Ceq = C1 + C2. Observações: 1. O que foi feito para dois capacitores em paralelo pode ser generalizado paro um número maior de capacitores. 2. Note que o método utilizado para se obter a capacidade elétrica equivalente de uma associação em paralelo de capacitores é semelhante ao método utilizado para se obter a resistência equivalente a uma associação em série de resistores. b) Associação de Capacitores em Série Numa associação em série de capacitores, as quantidades de carga elétrica se distribuem igualmente pelas suas armaduras. Assim, na associação ilustrada abaixo, temos: FIGURA 7 Associação de Capacitores em Série Capacidade : C1 Capacidade : C2 Capacitor 1 Quantidade de Carg a: Q Capacitor 2 Quantidade de Carg a: Q DDP: U DDP : U 1 2 Se, em condições de igualdade, esses capacitores forem substituídos por um capacitor equivalente, teremos: Capacidade : Ceq Capacitor Equivalente Quantidade de Carg a: Q DDP: U Q Lembrando que C , então: U Q U C Assim, podemos escrever: Capacitor 1: Q U1 (1) C1 Capacitor 2: Q U2 (2) C2 Capacitor Equivalente: Q U (3) Ceq Como a associação é em série, podemos escrever U = U1 + U2. Substituindo nesta expressão as relações (1), (2) e (3), vem: Q Q Q Ceq C1 C2 1 1 1 Ceq C1 C2 [9] ou seja, numa associação de capacitores em série, o inverso da capacidade elétrica equivalente é igual à soma dos inversos das capacidades elétricas dos capacitores da associação. Em resumo: Associação de dois capacitores em série 6 • Quantidade de carga dos capacitores: Q é constante. • ddp total: U = U1 + U2. 1 1 1 • Capacidade equivalente: Ceq C1 C2 Observações: 1. O que foi feito para dois capacitores em série pode ser generalizado para um número maior de capacitores. 2. Note que o método utilizado para se obter a capacidade elétrica equivalente de uma associação em série de capacitores é semelhante ao método utilizado para se obter a resistência elétrica equivalente de uma associação em paralelo de resistores. 5 ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAPACITOR Para carregar um capacitor, é preciso carregar uma das armaduras com carga Q e a outra com carga - Q. O processo implica uma transferência de carga Q de uma armadura para a outra. Essa passagem pode ser devida à ligação de dois cabos nas armaduras e nos terminais de uma bateria (figura 8). FIGURA 8: Passagem da carga de uma armadura para a outra em um capacitor. O gráfico abaixo representa a carga elétrica Q de um capacitor em função da ddp ΔV nos seus terminais. FIGURA 9 Gráfico ΔV versus Q. Como, nesse caso, Q e ΔV são grandezas diretamente proporcionais, o gráfico corresponde a uma função linear, pois a capacidade eletrostática C é constante. Considerando que o capacitor tenha adquirido a carga Q quando submetido à ddp U do gráfico, a energia elétrica Ep armazenada no capacitor corresponde à área do triângulo hachurado. O resultado é: 1 Q2 [10] Ep 2 C Usando a equação 1, que relaciona a carga e a diferença de potencial em qualquer capacitor, a equação 10 pode ser escrita em outras duas formas alternativas: 1 1 Ep QV CV2 [11] 2 2 A carga não será transferida de uma armadura para a outra em forma instantânea, mas demorará algum tempo. 6 CIRCUITOS R-C Nos circuitos analisados até o momento, tomamos qualquer fem e todas as resistências como constantes (independentes do tempo); portanto, os potenciais, as correntes e as potências também são independentes do tempo. Porém, no simples processo de carregar e descarregar um capacitor, verificamos uma situação na qual ocorrem variações com o tempo das correntes, das voltagens e das potências. Muitos dispositivos incorporam circuitos em que um capacitor é carregado e descarregado, alternadamente. Dentre eles estão os marca-passos (figura 10), semáforos, pisca-piscas automotivos e unidades de flash eletrônico. Portanto, é importante compreender o que ocorre nesses circuitos. 7 FIGURA 10 Esta imagem de raio X mostra um marca-passo cirurgicamente implantado em um paciente com um nódulo sinoatrial defeituoso; essa parte do coração é a que gera o sinal elétrico que estimula as batidas do coração. Para compensar, o marca-passo (localizado próximo à clavícula) envia um impulso elétrico pelo eletrodo ao coração, a fim de manter as batidas regulares. CARREGANDO UM CAPACITOR A figura 11 mostra como um circuito simples pode ser usado para carregar um capacitor. Denomina-se circuito R-C um circuito que possui um resistor em série com um capacitor, tal como ilustrado nessa figura. Idealizamos a bateria (ou fonte de potência) com uma fem constante e resistência interna nula (r = 0) e desprezamos as resistências dos condutores usados nas conexões. Começamos com o capacitor inicialmente descarregado (figura 11a); a seguir, em um dado instante t = 0, fechamos a chave, completando o circuito e permitindo que a bateria seja carregada pela corrente (figura 11b). Do ponto de vista prático, a corrente começa no mesmo instante em todas as partes do circuito, e a cada instante a corrente é a mesma em todas as partes. FIGURA 11 Carregando um capacitor. a) Antes do fechamento da chave, a carga q é igual a zero. b) Quando a chave é fechada (no instante t = 0), a corrente salta de zero para /R. Com o passar do tempo, q se aproxima de Qf e a corrente i tende a zero. À medida que o capacitor se carrega, sua voltagem vbc aumenta e a diferença de potencial vab através do resistor diminui, o que corresponde à diminuição da corrente. A soma dessas duas voltagens é constante e igual a . Depois de um longo tempo, o capacitor fica completamente carregado, a corrente torna-se igual a zero e a diferença de potencial vab através do resistor se anula. Então, a fem total surge nos terminais do capacitor e vbc = . Seja q a carga do capacitor e i a corrente no circuito após um tempo t depois de a chave ser fechada. Escolhemos como sentido positivo da corrente aquele que corresponde ao fluxo de carga positiva que entra na placa esquerda do capacitor, como indica na figura 11b. As voltagens instantâneas vab e vbc são dadas por v ab iR q vbc C Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff, obtemos q [12] iR 0 C Ocorre uma queda de potencial igual a iR quando nos deslocamos de a para b e igual a q/C quando nos deslocamos de b para c. Explicitando i na equação 12, encontramos q [13] i R RC 8 Quando a chave está fechada, a carga sobre o capacitor aumenta com o tempo, enquanto a corrente diminui. No instante t = 0, quando a chave está inicialmente fechada, o capacitor está descarregado e, portanto, q = 0. Substituindo q = 0 na equação 13, verificamos que a corrente inicial I0 é dada por I0 = /R, como já havíamos observado. Se o capacitor não estivesse conectado no circuito, o último termo da equação 13 não existiria; então, a corrente seria constante e igual a /R. À medida que a carga q aumenta, o termo q/RC torna-se maior e a carga do capacitor tende a seu valor final, o qual será designado por Qf. A corrente diminui e por fim se anula. Quando i = 0, a equação 13 fornece Qf [14] , Q f C R RC Note que a carga final Qf não depende de R. A corrente e a carga do capacitor em função do tempo são indicadas na figura 12. No instante em que a chave é fechada (t = 0), a corrente dá um salto para seu valor inicial I0 = /R; depois disso, ela tende a zero gradualmente. A carga do capacitor começa igual a zero e tende a seu valor final dado pela equação 14, Qf = C. Podemos deduzir, usando cálculo diferencial e integral, as expressões gerais para a corrente i e para a carga q em função do tempo. Assim obtemos a) Carga q em função do tempo: q C(1 e t/RC ) Q f (1 e t/RC ) [15] b) Corrente i em função do tempo: i e t/RC I0 e t/RC [16] R (em que e = 2,718 é a base do logaritmo natural). Tanto a carga quanto a corrente são funções exponenciais do tempo. A figura 12a mostra um gráfico da equação 16, e a figura 12b explicita um gráfico da equação 15. a) Gráfico da corrente versus o tempo para um capacitor em carga b) Gráfico da carga do capacitor versus o tempo para um capacitor em carga FIGURA 12 A corrente i e a carga q do capacitor em função do tempo para o circuito indicado na figura 11. A corrente inicial é I0 e a carga inicial do capacitor é igual a zero. A corrente tende a zero assintoticamente e a carga do capacitor tende assintoticamente a seu valor final Qf. CONSTANTE DE TEMPO Depois de um tempo igual a RC, a corrente em um circuito R-C diminui de um valor 1/e (aproximadamente igual a 0,368) em relação a seu valor inicial. Nesse instante, a carga do capacitor atingiu (1 −1/e) = 0,632 de seu valor final Qf = 9 C. O produto RC fornece a medida da velocidade durante o processo de carga do capacitor. O produto RC denomina-se constante de tempo ou tempo de relaxação do circuito, sendo designado pela letra τ: τ = RC (constante de tempo para o circuito R-C) [17] Quando o valor de τ é pequeno, o capacitor se carrega rapidamente; quando ele é grande, o tempo para carregá-lo é mais longo. Se a resistência é pequena, a corrente flui com mais facilidade e o capacitor se carrega mais rapidamente. Quando R é dado em ohms e C, em farads, τ é dado em segundos. Na figura 12a, o eixo horizontal representa uma assíntota da curva. Falando estritamente, a corrente i nunca atinge exatamente o zero. Porém, quanto mais tempo esperamos, mais próxima do zero ela se torna. Depois de um tempo igual a 10 RC, a corrente passa a ser igual a 0,000045 de seu valor inicial. Analogamente, a curva indicada na figura 12b tende assintoticamente à linha horizontal tracejada, assinalada com a ordenada Qf. A carga q nunca atinge esse valor exato, porém, depois de um tempo igual a 10 RC, a carga torna-se igual a 0,000045 do valor final Qf. Convidamos você a verificar que o produto RC possui dimensão de tempo. DESCARREGANDO UM CAPACITOR Suponha agora que o capacitor da figura 11b já esteja carregado com uma carga Q0; a seguir removemos a bateria do circuito R-C e conectamos os pontos a e c a uma chave aberta (figura 13a). Depois fechamos a chave e damos partida ao cronômetro em t = 0; nesse instante, q = Q0. Então, o capacitor se descarrega através do resistor e sua carga diminui até zero. FIGURA 13 Descarregando um capacitor. a) Antes de a chave ser fechada no instante t = 0, a carga do capacitor é Q0 e a corrente é zero. b) No instante t depois de a chave ser fechada, a carga do capacitor é q e a corrente é i. O sentido real da corrente é oposto ao indicado; a corrente i é negativa. Depois de um longo tempo, tanto a carga q quanto a corrente i tendem a zero. Novamente, designamos por q a carga do capacitor em função do tempo e i a corrente variável com o tempo, depois que a chave é fechada. Na figura 13b, fizemos a mesma escolha da figura 11b para o sentido positivo da corrente. Assim, a lei das malhas de Kirchhoff fornece a equação 13, porém com = 0; ou seja, q i [18] RC A corrente i agora é negativa; isso ocorre porque uma carga positiva q está deixando a placa esquerda do capacitor da figura 13b, de modo que a corrente possui o sentido oposto ao indicado na figura. No instante t = 0, quando q = Q0, a corrente inicial é dada por I0 = −Q0/RC. Para determinarmos q e i em função do tempo, novamente usamos o cálculo diferencial e integral. Assim obtemos a) Carga q em função do tempo: q Q 0 e t/RC [19] b) Corrente i em função do tempo: Q i 0 e t/RC I0e t/RC [20] RC Os gráficos da corrente e da carga são indicados na figura 14; ambas as grandezas tendem exponencialmente a zero com o tempo. Comparando esses resultados com as equações 15 e 16, vemos que as expressões das correntes são idênticas, exceto o sentido de I0. A carga do capacitor tende a zero assintoticamente na equação 19, enquanto a diferença entre q e Qf tende a zero assintoticamente na equação 15. 10 FIGURA 14 A corrente i e a carga q do capacitor em função do tempo para o circuito indicado na figura 13. A corrente inicial é I0 e a carga inicial do capacitor é Q0; tanto i quanto q tendem a zero assintoticamente. Considerações de energia permitem obter uma compreensão melhor do comportamento de um circuito R-C. Enquanto o capacitor está sendo carregado, a bateria fornece energia ao circuito com uma taxa instantânea P = i. A taxa instantânea de dissipação de energia no resistor é i2R e a taxa instantânea de armazenamento de energia no capacitor é ivbc = iq/C. Multiplicando a equação 12 por i, obtemos iq [21] i i2R C A partir desse resultado, conclui-se que uma parte da potência i fornecida pela bateria é dissipada no resistor (i2R) e a outra parte é armazenada no capacitor (iq/C). A energia total fornecida pela bateria enquanto o capacitor está sendo carregado é igual à fem multiplicada pela carga total Qf, ou seja, Qf. A energia total armazenada no capacitor, de acordo com a equação 12, é Qf/2. Portanto, exatamente a metade da energia total fornecida pela bateria é armazenada no capacitor, e a outra metade é dissipada no resistor. É surpreendente que essa divisão meio a meio da energia não dependa de C, nem de R, nem de . EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Um capacitor com placas paralelas possui capacitância igual a 1 F. Se a distância entre as placas for igual a 1,0 mm, qual será a área de cada placa? SOLUÇÃO Este problema aborda a relação entre a capacitância, a distância entre as placas e a área da placa (a incógnita) para um capacitor com placas paralelas. São fornecidos os valores de C e d para um capacitor com placas paralelas, portanto usamos a equação (5) e solucionamos a incógnita A. Explicitando a área A da equação (5), obtemos Cd (1,0).(1,0.103 ) A 1,1.108 m 2 0 8,85.1012 Essa área corresponde a um quadrado com lado aproximadamente igual a 10 km! Obviamente não se trata de um formato muito prático para um capacitor. Na realidade, atualmente é possível desenvolver capacitores de 1 F com aresta de apenas alguns centímetros. O truque é ter a substância adequada entre as placas, em vez do vácuo. 02. A distância entre as placas de um capacitor com placas paralelas é igual a 5,0 mm e a área da placa é de 2,0 m2. Uma diferença de potencial de 10000 V (10,0 kV) é mantida através do capacitor. Calcule a) a capacitância; b) a carga de cada placa; c) o módulo do campo elétrico no espaço entre as placas. SOLUÇÃO São fornecidas a área da placa A, a distância entre as placas d e a diferença de potencial Vab para esse capacitor com placas paralelas. As incógnitas do problema são a capacitância C, a carga Q e o módulo do campo elétrico E. Usamos a equação 5 para calcular C e, a seguir, obtemos a carga Q sobre cada placa, usando a diferença potencial Vab fornecida e a equação 1. Após obter Q, determinamos o campo elétrico entre as placas, usando a relação E = Q/0A. A 2 a) C (8,85.10 12 ) 3,54.10 9 F d 5.10 3 11 b) A carga no capacitor é Q CVab (3,54 x10 9 C / V)(1,0 x104 V) 3,54 x10 5 C 35,4 C A placa com o potencial mais elevado possui carga +35,4 C e a outra placa possui carga –35,4 C. c) O módulo do campo elétrico é 3,54 x10 5 C Q E 2,0 x106 N / C ou, visto que o campo entre as placas é uniforme, 0 0 A (8,85x10 12 C2 / N.m2 )(2,0m2 ) E Vab 1,0 x10 4 V 2,0 x106 V / m 3 d 5,0x10 m 03. Um capacitor possui vácuo no espaço entre os condutores. Caso você dobre a quantidade de carga em cada condutor, o que acontece com a capacitância? (i) Aumenta; (ii) diminui; (iii) não varia; (iv) a resposta depende do tamanho ou do formato dos condutores. SOLUÇÃO (iii) A capacitância não depende do valor da carga Q. Dobrar o valor de Q provoca a duplicação da diferença de potencial Vab, portanto a capacitância C = Q/Vab permanece constante. Essas afirmações são verdadeiras, independentemente da forma geométrica do capacitor. 04. Considere o circuito a seguir: Supondo encerrado o processo de carga do capacitor, determine: a) a diferença de potencial entre os pontos A e B; b) a carga elétrica armazenada no capacitor. SOLUÇÃO a) Em um circuito de corrente contínua, só há corrente no ramo em que se encontra o capacitor durante o seu processo de carga (ou descarga). Assim, encerrado esse processo, anula-se a corrente no citado ramo, que pode ser eliminado para efeito do cálculo da intensidade de corrente no resto do circuito: Calculemos a intensidade de corrente no circuito: ε = Req i ⇒ 12 = 24 i ⇒ i = 0,5 A A diferença de potencial entre A e B é dada por: UAB = RAB i = 10 · 0,5 ⇒ UAB = 5 V b) A carga elétrica do capacitor é dada por: Q = C UAB. Sendo C = 2 μF = 2 · 10–6 F e UAB = 5 V, obtemos: Q = 2 · 10–6 · 5 ⇒ Q = 10 μC 05. Considerando o esquema a seguir, quando se liga a chave K no ponto X, o amperímetro ideal A acusa uma intensidade de corrente elétrica igual a 250 mA. O Professor Gomes pede que se determine a carga elétrica que o capacitor adquire ao se ligar a chave K no ponto Y. 12 SOLUÇÃO Chave ligada em X: i Rr 0,25 6V 23 1 Chave ligada em Y: Q = C.U Q = 1.6 = 6 nC 06. No circuito a seguir têm-se três resistores, um capacitor e um gerador. Sabe-se que o capacitor encontra-se carregado. Com base nessas informações, calcule: a) a corrente fornecida pela bateria; b) a ddp nos terminais do resistor de 4 Ω; c) a carga elétrica armazenada no capacitor. SOLUÇÃO Se o capacitor está carregado, o ramo da direita do circuito do enunciado não apresenta corrente. Assim, o circuito pode ser simplificado para: 12 2A 24 b) U = R. i U = 4.2 U=8V c) No capacitor, a ddp é a mesma dos terminais do resistor de 4 Ω. a) i 13 Logo: Q = C.U Q = 3.10-6.8 Q = 24 μC 07. Considere o vão existente entre cada tecla de um computador e a base do seu teclado. Em cada vão existem duas placas metálicas, uma delas presa na base do teclado e a outra, na tecla. Em conjunto, elas funcionam como um capacitor de placas planas paralelas imersas no ar. Quando se aciona a tecla, diminui a distância entre as placas e a capacitância aumenta. Um circuito elétrico detecta a variação da capacitância, indicativa do movimento da tecla. Considere então um dado teclado, cujas placas metálicas têm 40 mm2 de área e 0,7 mm de distância inicial entre si. Considere ainda que a permissividade do ar seja ε0 = 9 · 10–12 F/m. Se o circuito eletrônico é capaz de detectar uma variação da capacitância a partir de 0,2 pF, então qualquer tecla deve ser deslocada de pelo menos quantos milímetros? SOLUÇÃO • A = 40.10–6m2, di = 0,7.10–3 m; ε0 = 9 . 10–12 F/m; ∆Cmín = 0,2 pF. • Capacitância inicial: A Ci 0 (I) di Capacitância após deslocamento mínimo da tecla (∆dmín): A C 0 (II) di d (II) – (I) : 1 1 Cmín 0 A di d di Substituindo os valores fornecidos, obtemos: ∆dmín = 2 · 10–4 m = 0,2 mm 08. Você deseja conectar um capacitor de 4 F a outro de 8 F. a) Com qual tipo de ligação o capacitor de 4 F terá uma diferença de potencial maior através dele do que o capacitor de 8 F? (i) Em série; (ii) em paralelo; (iii) ora em série, ora em paralelo; (iv) nem em série nem em paralelo. b) Com qual tipo de ligação o capacitor de 4 F terá uma carga maior através dele do que o capacitor de 8 F? (i) Em série; (ii) em paralelo; (iii) ora em série, ora em paralelo; (iv) nem em série nem em paralelo. SOLUÇÃO a) (i), b) (iv) Em uma ligação em série, os dois capacitores possuem a mesma carga Q, mas não a mesma diferença de potencial Vab = Q/C; o capacitor com a menor capacitância C possui a maior diferença de potencial. Em uma ligação em paralelo, os dois capacitores possuem a mesma diferença de potencial Vab, mas cargas diferentes Q = CVab; o capacitor com maior capacitância C possui carga maior. Logo, um capacitor de 4 F terá uma diferença de potencial maior do que um capacitor de 8 F, se os dois estiverem conectados em série. O capacitor de 4 F não pode ter mais carga que o de 8 F, não importa qual seja o tipo de ligação entre eles: em uma ligação em série, eles terão a mesma carga, e em uma ligação em paralelo o capacitor de 8F terá mais carga. 09. Queremos conectar um capacitor de 4F a outro de 8 F. Com qual tipo de ligação o capacitor de 4 F terá uma quantidade maior de energia armazenada do que o capacitor de 8 F? (i) Em série; (ii) em paralelo; (iii) ora em série, ora em paralelo; (iv) nem em série nem em paralelo. SOLUÇÃO 14 (i) Os capacitores ligados em série possuem a mesma carga Q. Para comparar a quantidade de energia armazenada, usamos a expressão U = Q2/2C; ela demonstra que o capacitor com menor capacitância (C = 4 F) possui mais energia armazenada em uma combinação em série. Por outro lado, os capacitores em paralelo possuem a mesma diferença de potencial U, de modo que, para compará-los, usamos U = ½ CU2. Ela demonstra que, em uma combinação paralela, o capacitor com a maior capacitância (C = 8 F) possui mais energia armazenada. (Se tivéssemos usado U = ½ CU2 para analisar a combinação em série, teríamos que considerar as diferenças de potencial entre os dois capacitores. Da mesma forma, usar U = Q2/2C para estudar a combinação em paralelo demandaria que considerássemos as diferentes cargas dos capacitores.) 10. No circuito a seguir, o processo de carga dos capacitores de capacitâncias C1 = 18 μF e C2 = 6 μF já se encerrou. Determine: a) a carga armazenada em cada capacitor (Q1 e Q2); b) o módulo da diferença de potencial (U1) no capacitor de capacitância C1. SOLUÇÃO CC 18.6 a)Ceq 1 2 Ceq 4,5 F C1 C2 18 6 Q Ceq 4,5.12 Q 54C Q 1 Q 2 54C b)Q 1 C1U1 54 18U1 Q 1 3V 11. A figura a seguir representa uma associação mista de capacitores. Determine a capacitância equivalente à da associação. SOLUÇÃO Entre os pontos M e N, temos duas associações de capacitores em série: uma no ramo superior, de capacitância equivalente C1, e outra no ramo inferior, de capacitância equivalente C2: 1 1 1 2 C1 2F C1 1 1 4 1 1 1 1 213 6 C2 1F C2 3 6 2 6 6 Redesenhando a associação, obtemos: Com isso, temos C1 em paralelo com C2. Então, a capacitância equivalente CMN, entre os pontos M e N, é dada por: CMN = 2 + 1 ⇒ CMN = 3 μF 15 Agora, passamos a ter: A capacitância equivalente entre A e B é dada por: 1 1 1 32 5 C AB 2 3 6 6 6 C AB C AB 1,2F 5 12. Nas associações de capacitores a seguir, calcule a capacitância equivalente entre os pontos A e B: SOLUÇÃO 4.12 a) C AB C AB 3F 4 12 b)C AB 100 20 C AB 120nF c)4 F,6F e 5F em paralelo 15F 10.15 10F em série com 15 F: C AB 6F 10 15 13. No circuito, calcule as tensões nos capacitores, ligados há muito tempo. SOLUÇÃO Temos 6 + 12 = U1 + U2 16 Q Q 3Q 18 6 6 3.10 6.10 6.106 Q 36.10 6 C 18 U1 U2 Q 36.10 6 U1 12V C1 3.10 6 Q 36.10 6 U2 6V C2 6.10 6 14. Um capacitor A, de capacitância CA = 1 μF, ficou ligado, durante muito tempo, a uma bateria de força eletromotriz igual a 90 V e resistência interna r. Após ser desligado da bateria, esse capacitor foi associado, conforme a figura, a um outro capacitor B, de capacitância CB = 2 μF, inicialmente descarregado. Determine a carga elétrica final de cada um dos capacitores. SOLUÇÃO Quando ligamos um capacitor aos terminais de um gerador de corrente contínua, só existe corrente no circuito durante o processo de carga do capacitor. Terminado esse processo, a corrente no circuito anula-se e a diferença de potencial nos terminais do capacitor ou do gerador é igual à força eletromotriz, pois U = ε – r i e i = 0. Calculando a carga elétrica armazenada no capacitor A, temos: Q A = CA . U QA = 1 μF · 90 V ⇒ QA = 90 μC Inicialmente, o capacitor B estava descarregado. Então: QB = 0 Quando o capacitor A é ligado ao B, parte da sua carga passa para as armaduras do B, ficando as cargas elétricas finais na razão direta das capacitâncias e obedecendo ao Princípio da conservação das cargas. Assim, temos: Q 'A Q B' e Q 'A Q B' 90 C C A CB Q 'A Q 'B Q B' 2Q 'A 1.106 2.10 6 Então: Q 'A 2Q 'A 90C Q 'A 30C Logo: e Q B' 2.30C Q B' 60C 15. Dois capacitores, A e B, tal que a capacitância de A é o triplo da de B, são ligados separadamente aos terminais de uma bateria. A carga elétrica total adquirida por esses capacitores é de 18 μC. Em seguida, eles são ligados a um terceiro capacitor C, descarregado, conforme indica a figura: Determine a carga elétrica final de cada capacitor, sabendo que a capacitância de C é igual à metade da de B. SOLUÇÃO CA = 3 CB CB = 2 CC e QAB = 18 μC 17 Como os capacitores estão em paralelo, UA = UB = UC. Então: Q Q A QB Q C Q Q A B C C A CB C C 6CC 2CC CC Q A QB Q C Q A QB Q C 6 21 6 2 1 18 Q A Q A 12 C 9 6 18 Q B Q B 4 C 9 2 18 Q C Q C 2 C 9 1 16. No circuito da figura a seguir, as chaves estão abertas e os capacitores descarregados. Calcule as cargas finais nos capacitores de capacitâncias C1 e C2 quando: a) se fecha somente Ch; b) se fecham também Ch1 e Ch2. SOLUÇÃO a) 6.3 2F 63 Depois do carregamento, a corrente no circuito cessa e U = 10V QTOTAL = Ceq · U QTOTAL = 2 · 10 = 20 μC Q1 = 20 μC Q2 = 20 μC b) Ceq 10 2,5A 4 UAC = 2,5V Q2 = 3.2,5 = 7,5 C i 18 UBC = 5V Q1 = 3.5 = 30 C 17. A figura mostra um capacitor de placas paralelas de área A separadas pela distância d. Inicialmente o dielétrico entre as placas é o ar e a carga máxima suportada é Qi. Para que esse capacitor suporte uma carga máxima Qf, foi introduzida uma placa de vidro de constante dielétrica k e espessura d/2. Sendo mantida a diferença de potencial entre as placas, calcule a razão entre as cargas Qf e Qi. SOLUÇÃO Configuração Inicial: C1 0 Vmáx Configuração Final: Q A A i 0 d Vmáx d dQ i 0 A Configuração Equivalente: A A 20 d d 2 A A C3 0 20 d d 2 C2 0 Capacitância equivalente: K.2.0 .A 1 1 1 1 d d k.d d Ceq Ceq C2 C3 Ceq 2.0 .A k.2.0 .A k.2.0 .A (k 1)d Ceq k.2.0 .A dQ i Qf Ceq .Vmax Q f . Qf Vmax (k 1)d 0 .A então, Qf 2k Qi k 1 18. A figura 1 mostra um capacitor de placas paralelas com vácuo entre as placas, cuja capacitância é Co. Num determinado instante, uma placa dielétrica de espessura d/4 e constante dielétrica K é colocada entre as placas do capacitor, conforme a figura 2. Tal modificação altera a capacitância do capacitor para um valor C1. Determine a razão Co/C1. 19 SOLUÇÃO • Considerando a figura 1: A C0 0 (I) d • Considerando a figura 2, temos uma associação em série: A A 4 0 d d C' C'' 4 A 4 C1 1 1 0 (II) A A C'1 C''1 1 3 d C''1 0 40 3d 3d 4 • Calculando Co/C1, usando as equações (I) e (II): A 0 C0 d 4 A C1 0 1 3 d C 0 1 3 C1 4 C'1 0 19. Um capacitor de placas paralelas é carregado com uma carga Q e, em seguida, a bateria é removida. Um pedaço de material de constante dielétrica é inserido entre as placas (vide figura). a) A carga armazenada no capacitor aumenta, diminui ou permanece a mesma? Explique b) A energia armazenada no capacitor aumenta, diminui ou permanece a mesma? Explique. c) A força que as placas exercem no dielétrico puxa-o para dentro das placas (para a esquerda), empurra-o para fora (para a direita), ou é nula? Explique SOLUÇÃO a) Como removemos a bateria, a carga está aprisionada e não pode ir a lugar algum. Portanto a carga no capacitor permanece a mesma. b) Podemos usar a relação EP = ½ Q2/C. A carga permanece a mesma mas a capacitância aumentou pois C =0A/d. Portanto, a energia deve diminuir. c) As placas induzem no dielétrico cargas de polaridade oposta. A placa positivamente carregada atrai os elétrons do dielétrico e as placas negativamente carregadas os repelem — o que gera uma deficiência de elétrons na parte inferior do dielétrico. Cargas opostas se atraem e portanto a força é atrativa. Outra forma de pensar no problema, mais robusta, é lembrar que o motivo pelo qual um objeto cai em direção ao chão devido à força gravitacional é porque a energia no chão é menor. Como ao inserir o dielétrico nós diminuímos a energia [item (b)], então a força deve ser atrativa. 20. Considere o capacitor semipreenchido por um dielétrico mostrado na figura: 20 A área do capacitor plano é A, a distância entre as placas é L = d1 + D + d2 e a espessura do dielétrico é D. O resto do volume do capacitor é ocupado pelo ar. Qual é a capacitância desse capacitor? SOLUÇÃO Podemos pensar no capacitor resultante como sendo composto por uma associação em série de três capacitores. O primeiro que envolve a distância d1 e tem ar entre as placas tem capacitância A C1 0 d1 O segundo, formado pelo dielétrico, A C2 D E o terceiro correspondente a um capacitor com ar entre as placas, cuja distância é d2. A C3 0 d2 A capacitância resultante é 1 1 1 1 d1 d2 D C C1 C2 C3 0 A A Podemos ainda introduzir a distância L = d1 + D + d2 da seguinte forma 0 A 1 L D D (L D) 0D A e, portanto C C 0 A A 0 A (L D) 0D K(L D) D Onde usamos /0= K. Um aspecto interessante da expressão acima é que aprendemos que a capacitância resultante NÃO DEPENDE da posição do dielétrico entre as placas (d1 e d2), mas apenas da sua espessura. Será que isto está certo? Podemos fazer um limite que conhecemos bem, que é fazer D 0, ou seja, preencher o espaço interior completamente por ar. Neste caso, podemos fazer diretamente D 0 na expressão acima. Teremos A 0 A C (D 0) (Como deveria ser!) KL L Podemos também testar o caso em que o capacitor está completamente preenchido pelo dielétrico, ou seja, D L. Esta expressão também conhecemos bem. Então A A C (D L) (Como esperávamos!) K(L D) L L 21. O circuito da figura é composto de duas resistências, R1 = 1,0 × 103Ω e R2 = 1,5 × 103Ω, respectivamente, e de dois capacitores, de capacitâncias C1 = 1,0 × 10–9F e C2 = 2,0 × 10–9F, respectivamente, além de uma chave S, inicialmente aberta. Determine a variação da carga ΔQ no capacitor de capacitância C1, após determinado período que é fechada a chave S. 21 SOLUÇÃO • chave S aberta Assim, a carga no capacitor 1 vale: Q1 = C1U = 1,0 ⋅ 10–9 ⋅ 10 ∴ Q1 = 10 ⋅ 10–9C • chave S fechada 10 10 4.10 3 A R1 R2 2,5.103 Q’1 = C1U1 = C1R1i = 1,0 ⋅ 10–9 ⋅ 1 ⋅ 103 ⋅ 4 ⋅ 10–3 Q’1 = 4 ⋅ 10–9C A variação de carga (ΔQ) é dada por: ΔQ = Q’1 – Q1 = 4 ⋅ 10–9 – 10 ⋅ 10–9 ∴ ΔQ = –6 ⋅ 10–9C i 22. Um resistor com resistência 10 MΩ é conectado em série com um capacitor cuja capacitância é de 1,0 F e com uma bateria de fem igual a 12,0 V. Antes de a chave ser fechada no instante t = 0, o capacitor está descarregado. a) Qual é a constante de tempo? b) Qual é a fração da carga final que está sobre uma das placas quando t = 46 s? c) Qual é a fração da corrente inicial que permanece quando t = 46 s SOLUÇÃO Esta situação é a mesma daquela indicada na figura 11, com R = 10 MΩ, C = 1,0 F e = 12,0 V. A carga e a corrente variam com o tempo, conforme a figura 12. As incógnitas são a) a constante de tempo, b) a carga q no instante t = 46 s dividida pela carga final Qf e c) a corrente i no instante t = 46 s dividida pela corrente inicial i0. Para um capacitor que está sendo carregado, a carga é dada pela equação 15 e a corrente, pela equação 16. A equação 17 fornece a constante de tempo. a) De acordo com a equação 17, a constante de tempo é τ = RC = (10.106).(1.10-6) = 10s b) De acordo com a equação 15, q 1 e t/RC 1 e46/10 0,99 Qf O capacitor fica 99% carregado depois de um tempo igual a 4,6 RC, ou 4,6 constantes de tempo. c) De acordo com a equação 16, i e 46/10 0,010 I0 22 Depois de um tempo igual a 4,6 constantes de tempo, a corrente diminuiu para 1,0% do seu valor inicial. A constante de tempo é relativamente longa porque a resistência é muito grande. O circuito se carregará mais rapidamente, se uma resistência menor for usada. 23. O resistor e o capacitor do exercício resolvido anterior são conectados novamente, como indica a figura 13. Antes de a chave ser fechada, o capacitor foi carregado com uma carga igual a 5,0 C. A seguir, a chave é fechada no instante t = 0 e o capacitor começa a se descarregar. a) Em que instante a carga do capacitor é igual a 0,50 C? b) Qual é a corrente nesse instante? SOLUÇÃO Neste caso, o capacitor está sendo descarregado, portanto a carga q e a corrente i variam com o tempo, conforme indica a figura 14. As incógnitas são a) o valor de t para o qual q = 0,50 C e b) o valor de i nesse instante. A carga é dada pela equação 19 e a corrente, pela equação 20. a) De acordo com a equação 19, o tempo t é dado por q 0,50 t RCln (10.106 ).(1.10 6 )ln 23s Q0 5 O resultado equivale a 2,3 vezes a constante de tempo τ = RC = 10 s. b) De acordo com a equação 20, para Q0 = 5,0 C = 5,0. 10−6 C, Q 5.10 6 2,3 i 0 e t/RC e 5.10 8 A RC 10 Durante a descarga do capacitor, a corrente possui um sentido contrário ao da corrente que flui quando o capacitor está carregando. EXERCÍCIOS PARA RESOLVER Q 0 A mostra que a capacitância de um capacitor com placas paralelas torna-se maior à medida Vab d que a distância d entre as placas diminui. Contudo, existe um limite prático que limita o valor mínimo de d e que determina o limite máximo da capacitância C. Explique qual é o fator que limita o valor mínimo de d. (Dica: O que ocorre com o módulo do campo elétrico quando d 0?) 01. A equação C 02. Suponha que as duas placas de um capacitor possuam áreas diferentes. Quando o capacitor é carregado por meio da conexão a uma bateria, as cargas acumuladas nas placas possuem o mesmo módulo ou elas podem possuir módulos diferentes? Explique seu raciocínio. 03. No capacitor com placas paralelas da figura abaixo, suponha que as placas sejam puxadas, fazendo a distância d entre elas ficar muito maior do que a largura das placas. a) Ainda é aceitável afirmar que o campo elétrico entre as placas é uniforme? Por quê? b) Na situação indicada na figura, a diferença de potencial entre as placas é dada por Vab = Qd/0A. Quando as placas forem afastadas, como descrito anteriormente, o valor de Vab será maior ou menor do que o indicado por essa fórmula? Explique seu raciocínio. c) Quando as placas estão afastadas como descrito no item anterior, o valor da capacitância é superior, inferior ou igual Q 0 A ao indicado pela equação C ? Explique seu raciocínio. Vab d 23 04. Um capacitor com placas paralelas é carregado ligando-o a uma bateria e mantendo-o ligado nela. A distância entre as placas é dobrada. Como varia o campo elétrico? Como varia a carga sobre as placas? E a energia total? Explique seu raciocínio. 05. Um capacitor com placas paralelas é carregado conectando-o a uma bateria e, a seguir, as conexões são removidas. A distância entre as placas é dobrada. Como varia o campo elétrico? Como varia a diferença de energia potencial? E a energia total? Explique sua resposta. 06. Dois capacitores com placas paralelas são idênticos, exceto pelo fato de que em um deles a distância entre as placas é o dobro da do outro. Eles são carregados pela mesma fonte de voltagem. Qual dos dois capacitores possui um campo elétrico mais forte entre as placas? Qual deles possui maior carga? Qual deles possui maior densidade de energia? Explique o seu raciocínio. 07. Um capacitor com placas paralelas possui capacitância igual a 920 pF. A carga em cada placa é de 2,55 C. a) Qual é a diferença de potencial entre as placas? b) Caso a carga fosse mantida constante, qual seria a diferença de potencial entre as placas se a distância entre elas dobrasse? 08. Responda: a) Quanta carga uma bateria deve suprir a um capacitor de 5,0 F para criar uma diferença de potencial de 1,5 V através das suas placas? Quanta energia é armazenada nesse caso? b) Quanta carga a bateria teria que suprir para armazenar 1,0 J de energia no capacitor? Qual seria o potencial através do capacitor nesse caso? 09. Um capacitor com placas paralelas no ar é constituído por duas placas quadradas, com um mesmo lado de 16 cm e separadas por uma distância igual a 4,7 mm. Ele é conectado a uma bateria de 12 V. a) Qual é a capacitância? b) Qual é a carga de cada placa? c) Qual é o campo elétrico entre as placas? d) Qual é a energia armazenada no capacitor? e) Supondo que a bateria seja desligada e, a seguir, as placas sejam puxadas até que a distância entre as placas passe para 9,4 mm, quais seriam as respostas dos itens (a), (b), (c) e (d)? 10. Dado o circuito elétrico esquematizado na figura, obtenha: a) a carga no capacitor enquanto a chave Ch estiver aberta; b) a carga final no capacitor após o fechamento da chave. 11. No circuito esquematizado a seguir, calcule as cargas QA e QB dos capacitores A e B, supondo encerrados os processos de carga. 12. No circuito esquematizado na figura, o gerador é considerado ideal e o capacitor já está carregado: 24 Determine: a) a carga elétrica do capacitor; b) a resistência do resistor que deveria substituir o resistor de 10 Ω para que o capacitor não se carregasse. 13. Os capacitores representados no esquema a seguir são planos e diferem apenas quanto ao meio existente entre as armaduras. No de capacitância C1, o meio entre as armaduras é o vácuo e, no de capacitância C2, é um material dielétrico. Sabendo que os processos de carga desses capacitores já se encerraram, compare: a) suas capacitâncias, C1 e C2; b) as diferenças de potencial U1 e U2 entre seus terminais; c) suas cargas Q1 e Q2; d) as intensidades E1 e E2 do campo elétrico entre suas armaduras. 14. Um capacitor com placas paralelas está conectado a uma fonte de tensão que mantém uma diferença de potencial fixa entre as placas. Quando uma folha de dielétrico é introduzida entre as placas, o que ocorre com i) o campo elétrico entre as placas, ii) o módulo da carga acumulada em cada placa e iii) a energia armazenada no capacitor? Suponha agora que, antes de o dielétrico ser inserido, o capacitor seja desconectado da fonte de tensão. Nesse caso, o que ocorre com i) o campo elétrico entre as placas, ii) o módulo da carga de cada placa e iii) a energia armazenada no capacitor? Explique todas as diferenças que você encontrou entre as duas situações. 15. Um capacitor possui capacitância igual a 7,28 F. Que quantidade de carga deve ser colocada em cada uma de suas placas para produzir uma diferença de potencial entre as placas igual a 25,0 V? 16. Cada placa de um capacitor com placas paralelas possui área igual a 12,2 cm2 e a distância entre as placas é de 3,28 mm. A carga acumulada em cada placa possui módulo igual a 4,35.10–8 C. As cargas estão no vácuo. a) Qual é o valor da capacitância? b) Qual é a diferença de potencial entre as placas? c) Qual é o módulo do campo elétrico entre as placas? 17. Um capacitor de 10,0 F com placas paralelas e circulares está ligado a uma bateria de 12,0 V. a) Qual é a carga sobre cada placa? b) Quanta carga haveria sobre as placas, caso a distância entre elas fosse duplicada enquanto o capacitor permanecesse conectado à bateria? c) Quanta carga haveria sobre as placas, caso o capacitor fosse conectado a uma bateria de 12,0 V, após o raio de cada placa ser duplicado, sem que a distância entre elas seja alterada? 25 18. Para o sistema de capacitores mostrado na figura abaixo, ache a capacitância equivalente a) entre b e c; b) entre a e c. 19. Determine a capacitância equivalente entre A e B nas associações de capacitores esquematizadas a seguir: 20. Na figura abaixo, cada capacitor possui C = 4,0 F e Vab = +28,0 V. Calcule a) a carga de cada capacitor; b) a diferença de potencial através de cada capacitor; c) a diferença de potencial entre os pontos a e d. 26 21. Dois capacitores com placas paralelas no vácuo possuem áreas iguais, e as distâncias entre as placas são d1 e d2. Mostre que, quando esses capacitores são ligados em série, a capacitância equivalente é igual à capacitância de um único capacitor com área A e distância entre as placas d1 + d2. 22. A figura abaixo mostra um sistema de quatro capacitores, em que a diferença de potencial através de ab é de 50,0 V. a) Determine a capacitância equivalente desse sistema entre a e b. b) Quanta carga é armazenada por essa combinação de capacitores? c) Quanta carga é armazenada em cada um dos capacitores, de 10,0 F e de 9,0 F? 23. Para o circuito de capacitores indicado na figura abaixo, a diferença de potencial através de ab é igual a 36 V. Ache a) a carga total armazenada nesse circuito; b) a carga em cada capacitor; c) a energia total armazenada no circuito; d) a energia armazenada em cada capacitor; e) as diferenças de potencial através de cada capacitor. 24. Para o circuito de capacitores indicado na figura abaixo, a diferença de potencial através de ab é igual a 220 V. Ache a) a carga total armazenada nesse circuito; b) a carga em cada capacitor; c) a energia total armazenada no circuito; d) a energia armazenada em cada capacitor; e) a diferença de potencial através de cada capacitor. 25. Para o circuito de capacitores indicado na figura abaixo, a diferença de potencial através de ab é de 12,0 V. Ache a) a energia total armazenada nesse circuito e b) a energia armazenada no capacitor de 4,80F. 27 26. Três capacitores, com capacitâncias de 8,4, 8,4 e 4,2 F, são conectados em série através de uma diferença de potencial de 36 V. a) Qual é a carga do capacitor de 4,2 F? b) Qual é a energia total armazenada nos três capacitores? c) Os capacitores são desconectados da diferença de potencial sem que eles se descarreguem. A seguir, eles são ligados em paralelo, com as placas de carga positiva ligadas entre si. Qual é a voltagem através de cada capacitor na ligação em paralelo? d) Qual é a energia total final acumulada nos capacitores? 27. Um capacitor com placas paralelas possui capacitância C0 = 5,0 pF, quando existe ar entre as placas. A distância entre as placas é igual a 1,50 mm. a) Qual é o módulo máximo de carga Q que pode ser colocado em cada placa, se o campo elétrico na região entre as placas não exceder a 3,0.104 V/m? b) Um dielétrico com K = 2,70 é inserido entre as placas do capacitor, preenchendo completamente o volume entre elas. Qual passa a ser o módulo máximo de carga em cada placa, se o campo elétrico entre elas não exceder a 3,0 . 104 V/m? 28. Suponha que você aproxime um dielétrico do espaço entre as placas de um capacitor carregado, preparando-se para inseri-lo entre as placas. Qual força você sentirá? O que essa força lhe diz sobre a energia armazenada entre as placas quando o dielétrico for inserido, em comparação ao momento antes da inserção do dielétrico? 29. O espaço existente entre as placas de um capacitor isolado com placas paralelas está preenchido por um dielétrico com constante dielétrica K. As duas placas do capacitor possuem cargas Q e –Q. Você retira o dielétrico. Supondo que as cargas não se alterem, qual será a variação na energia do capacitor ao se remover o dielétrico? (i) Aumentará; (ii) diminuirá; (iii) permanecerá constante. 30. Um capacitor no ar possui placas largas, com área A, separadas por uma distância d. A seguir, uma placa metálica com espessura a (menor do que d), com as mesmas dimensões da área das placas, é inserida paralelamente entre as placas, sem tocar nenhuma delas. (Veja a figura abaixo.) a) Qual é a capacitância desse arranjo? b) Expresse essa capacitância em função da capacitância C0 existente antes da introdução da placa metálica. c) Discuta o que ocorre com a capacitância nos limites a 0 e a d. 31. Um capacitor com placas paralelas possui o espaço entre as placas preenchido com duas camadas de dielétricos, uma com uma constante dielétrica K1 e a outra com a constante K2 (veja a figura abaixo). Cada camada possui espessura d/2, em que d é a distância entre as placas. Mostre que a capacitância é dada por 2 A K K C 0 1 2 . d K1 K2 32. A figura abaixo mostra dois capacitores em série, cuja seção central, de comprimento b, pode ser movida verticalmente. Mostre que a capacitância equivalente desta combinação em série é independente da posição da seção A central e é dada por C 0 , onde A é a área da placa. a b 28 33. Na figura abaixo, as capacitâncias são C1 = 1,0F e C2 = 3,0F e ambos os capacitores estão carregados com uma diferença de potencial de V = 100V, mas com polaridades opostas, como mostrado. As chaves S1 e S2 são agora fechadas, a) Agora qual a diferença de potencial entre os pontos a e b? Agora quais são as cargas sobre os capacitores; b) 1; c) 2. 34. Dois materiais com constantes dielétricas 1 e 2 preenchem, cada um, metade do espaço entre as placas de um capacitor de placas paralelas (vide figura). A área das placas é A e a distância entre elas é d. Calcule a capacitância do sistema. 35. Um capacitor de 4,60 F inicialmente descarregado é conectado em série a um resistor de 7,50 kΩ e a fonte de fem = 125 V e que possui resistência interna desprezível. Imediatamente após a conexão do circuito, qual é a) a queda de tensão através do capacitor? b) A queda de tensão através do resistor? c) A carga do capacitor? d) A corrente através do resistor? e) Depois de muito tempo após a ligação do circuito (depois de várias constantes de tempo), quais são os valores das quatro grandezas precedentes? 36. Um capacitor é carregado até um potencial de 12,0 V e a seguir é conectado a um voltímetro com resistência interna igual a 3,40 MΩ. Depois de 4,0 s, a leitura do voltímetro indica 3,0 V. Qual é a) o valor da capacitância e b) a constante de tempo do circuito? 37. Um resistor e um capacitor são conectados em série a uma fonte fem. A constante de tempo para o circuito é de 0,870 s. a) Um segundo capacitor, idêntico ao primeiro, é acrescentado em série. Qual é a constante de tempo para esse novo circuito? b) No circuito original, um segundo capacitor, idêntico ao primeiro, é conectado em paralelo ao primeiro capacitor. Qual é a constante de tempo para esse novo circuito? 38. Um capacitor de 12,0 F é carregado a um potencial de 50,0 V e depois descarregado através de um resistor de 175 Ω. Quanto tempo leva para o capacitor perder a) metade da carga e b) metade da energia armazenada? 29
