1. TEORIA DOS CIRCUITOS Materiais Condutores

1. TEORIA DOS CIRCUITOS
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Instituto Superior Técnico
Teoria dos Circuitos e Fundamentos de Electrónica - 2004/2005
Materiais Condutores
Os materiais condutores caracterizam-se por possuírem electrões
que estão sujeitos a pequenas forças de atracção do seu núcleo
Estes electrões designam-se por Electrões Livres
Exemplo de electrões livres
num material condutor
Quando não estão sujeitos a nenhuma influência externa, os
electrões livres apresentam um comportamento aleatório
Exemplos de materiais condutores: cobre e alumínio
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1
Corrente Eléctrica
Num material condutor sujeito a uma influência externa os electrões
livres deslocam-se numa direcção específica
Influência
externa
Este movimento de electrões designa-se por Corrente Eléctrica
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Corrente: Definição
A corrente é definida como o fluxo de carga eléctrica por unidade de
tempo
dQ
I=
dt
Onde:
• Q é a carga eléctrica em Coulomb (C) e
• t é o tempo em segundos (s)
Símbolo usado para representar a corrente: I
Unidade usada para a corrente: Ampere (A) (= Coulomb / segundos)
Exemplo:
Sabendo que a carga de um electrão é 1,6x10-19 C, calcular a
corrente correspondente ao fluxo de 1020 electrões durante
10 segundos
20
-19
I=
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10 x1,6x10
10
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= 1,6 A
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2
Corrente
Se a corrente for negativa, significa que a corrente real tem o sentido
contrário ao sentido definido
I = –0,2 A
I = 0,2 A
Quando a corrente é desconhecida, não é importante advinhar o seu
sentido – a escolha efectuada não afectará o sentido da corrente
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Unidades
Grandeza eléctrica
Unidade
Energia
E
Joule
J
Potência
P
Watt
W
Carga
Q
Coulomb
C
Corrente
I
Ampere
A
Tensão
V
Volt
V
Resistência
R
Ohm
Ω
Capacidade
C
Farad
F
Inductância
L
Henry
H
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3
Prefixos
Nome
Exemplo:
Factor
femto
f
10-15
pico
p
10-12
nano
n
10-9
micro
µ
10-6
mili
m
10-3
kilo
k
103
mega
M
106
giga
G
109
I = 15 nA = 15x10-9A
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Tensão: Definição
Para que exista corrente é necessário existir uma fonte que forneça
electrões, por exemplo, uma pilha
A tensão é definida como a energia necessária para mover uma
carga negativa (electrão) do potencial mais elevado para o potencial
mais baixo.
Símbolo usado para representar a tensão: V
Unidade usada para a tensão: Volt (V)
A tensão também pode ser designada por Diferença de Potencial
ou Força Electromotriz
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Tensão
A tensão é sempre referenciada a algum ponto: VAB corresponde à
tensão em A (VA) medida em relação à tensão em B (VB)
A
+
VAB
–
B
VAB = VA – VB
I
VBA= – VAB
VBA= VB – VA = – (VA – VB) = – VAB
Por convenção, a corrente flui do potencial mais elevado (+) para o
potencial mais baixo (–)
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Tensão: Pilha
terminal +
Ao ligar ...
Algum tempo depois ...
Fio condutor
Fio condutor
terminal –
Lâmpada
acende
Lâmpada
apaga
I
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5
Tensão: Algumas Recomendações
1. Identifique os terminais com letras ou números
2. Adicione os sinais + e – a cada terminal. O sinal + irá
corresponder ao primeiro índice e o sinal – corresponderá ao
segundo índice
Exemplo
2V
a
c
Vab = ?
Vcd Vdc
1V
b
Vac = ?
Vca = 2 V ⇒ Vac = –2 V
d
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Vab = 1 V
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Tensão: Algumas Convenções
Por vezes é utilizado um nó do circuito como referência ou
“massa” (“ground”). Assim:
• Todas as tensões são medidas em relação a esse nó
• As tensões podem ser descritas com um único índice
Exemplo
A
+
VAB
–
B
VAB = VA – VB = VA
nó de referência
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Equivalente a
considerar que VB = 0V
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Associação de Baterias em Série
Exemplo: como calcular VAD ?
A
1,5 V +
B
1,5 V +
C
+
9V
D
VAD = VAB + VBC + VCD
VBA = 1,5 V ⇒ VAB = –1,5 V
VCB = 1,5 V ⇒ VBC = –1,5 V
VCD = 9 V
Então
VAD = –1,5 – 1,5 + 9 = 6 V
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Potência: Definição
A potência define-se como a energia por unidade de tempo
Em termos da tensão e corrente, a potência pode ser calculada por
P = V ⋅I
Símbolo usado para representar a potência: P
Unidade usada para a potência: Watts (W) (= Joules / segundo)
Alguns dispositivos fornecem (geram) potência, enquanto outros
absorvem (consumem) potência
Exemplos
Dispositivos Geradores:
Baterias
Dispositivos Consumidores: Lâmpadas, Computadores
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Resistência: Definição e Lei de Ohm
A corrente através de um condutor metálico é proporcional à tensão
aplicada aos seus terminais
A proporcionalidade entre corrente e tensão designa-se por resistência
Lei de Ohm
R=
I
V
I
declive =
Símbolo usado para representar a resistência: R
Unidade usada para a resistência: Ohm (Ω
Ω)
Representação gráfica:
1
R
V
Exemplos de resistências:
Qualquer fio condutor possui “resistência”, mas essa resistência é normalmente
muito reduzida ⇒ na prática considera-se nula (condutor ideal, R = 0 Ω)
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Associação de Resistências em Série
Duas ou mais resistências estão ligadas em série quando são
percorridas pela mesma corrente
R1
R1
R2
R2
I
I
R3
Req = R1 + R2
Req é a resistência equivalente
Genericamente:
R1
RN
Req = R1 + ... + RN
A resistência de maior valor é dominante
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Associação de Resistências em Paralelo
Duas ou mais resistências estão ligadas em paralelo quando têm
ambos os terminais em comum
R1
R1
Req
R2
1
1
1
=
+
R eq R1 R 2
Genericamente:
R1
R eq =
R2
R3
R1 R 2
R1 + R 2
RN
Req
N 1
1
=∑
R eq i=1 Ri
A resistência de menor valor é dominante
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Associação de Resistências: Exemplos
Calcular o valor da resistência equivalente para cada um dos casos
1)
R1
R2
R3
1 kΩ
Ω
100 kΩ
Ω
9 kΩ
Ω
2)
R1
10 kΩ
Ω
4)
Ω
R2 10 kΩ
R1
3)
R1
4 kΩ
Ω
R2
10 kΩ
Ω
10 kΩ
Ω
R2
100 kΩ
Ω
Ω
R3 10 kΩ
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Divisor de Tensão
Usando a Lei de Ohm:
I
R1
VIN = V1 + V2
V1
I=0
VIN
R2
V2
mas
V1 = I.R1
V2 = I.R2
então VIN = I.R1 + I.R2 = I (R1 + R2)
I=
V2 = ?
e
VIN
R1 + R 2
V2
VIN
=
R2 R1 + R 2
I=
V2 =
VIN
Req
R2
V
R1 + R2 IN
O conceito de divisor de tensão pode ser generalizado para mais de
duas resistências
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Tipos de Circuitos Eléctricos
Os circuitos eléctricos podem ser de 2 tipos:
Circuitos Resistivos: são constituídos apenas por elementos
resistivos, i.e., aqueles cuja relação corrente-tensão pode ser
descrita por equações algébricas
Circuitos Reactivos: são constituídos por elementos cuja relação
corrente-tensão é descrita por equações diferenciais
(também podem incluir elementos resistivos)
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Circuitos Lineares versus Circuitos Não-Lineares
Os circuitos resistivos podem ser lineares ou não-lineares,
consoante a relação corrente-tensão é descrita por uma equação
linear ou não
Circuito
Não-Linear
Circuito
Linear
I
I=
I
V
R
I
I = k Vn
V
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Circuito
Linear por troços
V
V
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Fontes de Tensão Ideais
Fonte de tensão ideal: impõe uma tensão aos seus terminais. A
corrente que a atravessa pode ser qualquer e é imposta pelo
circuito ao qual está ligada
Outros símbolos
Símbolo
genérico
v
Fonte de tensão
sinusoidal
I=?
Fonte de tensão
contínua
Tensão contínua
é uma tensão
V que não varia ao
longo do tempo
(p.e., pilha)
v
Exemplo:
v = v(t) = A sin (2πf t)
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Exemplo:
V=5V
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Fontes de Corrente Ideais
Fonte de corrente ideal: impõe o valor da corrente. A tensão aos
seus terminais pode ser qualquer, i.e., é imposta pelo circuito ao
qual está ligada
Símbolo de uma
fonte de corrente
+
i
V=?
–
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Fontes Dependentes
Fonte de tensão
comandada por tensão
v = k v1
Fonte de corrente
comandada por tensão
i = (1/R) v1
Fonte de tensão
comandada por corrente
v = R i1
Fonte de corrente
comandada por corrente
i = k i1
i1 e v1 são a corrente e a tensão noutro ponto do circuito
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Conceito de Nó, Ramo e Malha
Nó é o ponto de ligação de 2 ou mais dispositivos
Ramo corresponde aos arcos de ligação entre os nós com 3 ou
mais ligações
Malha corresponde a um caminho fechado constituído por vários
nós e ramos
Ramos
Malha
Nós
Questões:
Quantos nós tem este circuito ?
E quantos ramos ?
E quantas malhas ?
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Leis de Kirchhoff: Lei dos nós
A soma das correntes que entram num nó é igual à soma das
correntes que saem desse nó
Também pode ser designada por Lei de conservação da carga
Exemplo:
Aplicar a lei dos nós ao nó A
corrente que entra: I1
A
I1
I2
I3
correntes que saem: I2 e I3
então
I1 = I2 + I3
NOTA: Os sentidos das correntes foram escolhidos aleatoriamente
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Leis de Kirchhoff: Lei das Malhas
A soma das quedas de tensão ao longo de um caminho fechado
(malha) é zero
Exemplo:
Aplicar a lei das malhas à malha assinalada na figura
v1 tem o sentido contrário ao definido
para circulação na malha ⇒ – v1
v2
v1
v3
v2 e v3 têm o sentido definido para
circulação na malha ⇒ + v2 e + v3
então
–v1 + v2 + v3 = 0
NOTA: Os sentidos das quedas de tensão foram escolhidos aleatoriamente
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Teorema da Sobreposição
Num circuito com vários geradores independentes, a corrente (ou
tensão) num ramo pode obter-se somando as correntes (ou tensões)
produzidas por cada um dos geradores independentes
isoladamente, i.e., quando os restantes geradores são anulados
Este teorema também pode ser descrito como uma técnica de
“Dividir para conquistar”
Muito importante !
• Anular uma fonte de tensão corresponde a fazer um curtocircuito nessa fonte
• Anular uma fonte de corrente corresponde a colocá-la em aberto
• Este teorema não pode ser aplicado a circuitos com geradores
dependentes
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14
Teorema da Sobreposição: Exemplo
Exemplo:
Determinar i2 e v2 usando o Teorema da Sobreposição
R1
i2
vs
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R2
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v2
is
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Teorema de Thévenin
Qualquer sub-circuito resistivo linear de 2 terminais pode ser
substituído por uma fonte de tensão, VTh, em série com uma
resistência, RTh
Circuito
Sub-circuito
Resistivo
Linear
A
Circuito
Sub-circuito
Linear ou
Não-linear
B
RTh
VTh
A
Sub-circuito
Linear ou
Não-linear
B
A combinação da fonte de tensão e resistência que reproduzem o
funcionamento do circuito resistivo linear designa-se por Equivalente
de Thévenin
Como determinar VTh e RTh ?
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15
Teorema de Thévenin: Cálculo de VTh e RTh
Cálculo de VTh:
VTh corresponde à tensão em
circuito aberto, VOC (i.e., I=0)
Sub-circuito
Resistivo
Linear
VOC
Cálculo de RTh:
RTh corresponde ao
quociente entre VOC e a
corrente de curto-circuito, ISC
R Th =
Sub-circuito
Resistivo
Linear
ISC
VOC
ISC
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Teorema de Thévenin: Exemplo
Determinar o equivalente de Thévenin aos terminais a-b
R1
V1
VTh = VOC = VR2 =
a
R2
b
R Th = R1 // R 2
VTh
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R2
V1
R1 + R 2
(divisor de tensão)
(R1 paralelo com R2)
RTh
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16
Teorema de Norton
Qualquer sub-circuito resistivo linear de 2 terminais pode ser
substituído por uma fonte de corrente, IN, em paralelo com uma
resistência, RN
Circuito
Sub-circuito
Resistivo
Linear
A
Circuito
Sub-circuito
Linear ou
Não-linear
B
RN
IN
A
Sub-circuito
Linear ou
Não-linear
B
A combinação da fonte de corrente e resistência que reproduzem o
funcionamento do circuito resistivo linear designa-se por Equivalente
de Norton
Como determinar IN e RN ?
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Teorema de Norton: Cálculo de IN e RN
Cálculo de IN:
Sub-circuito
Resistivo
Linear
IN corresponde à corrente de
curto-circuito, ISC
ISC
Cálculo de RN (idêntico ao Equiv. de Thévenin):
RN corresponde ao quociente entre
VOC e a corrente de curto-circuito, ISC
RN = R Th =
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VOC
ISC
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17
Transformação Thévenin-Norton
Procedimento para transformar o Equivalente de Thévenin no
Equivalente de Norton, e vice-versa
RTh
VTh
IN
RN
VTh = RN . IN
IN = VTh / RTh
RTh = RN
RN = RTh
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Método dos Nós
O Método dos Nós constitui um método sistemático para a análise
de circuitos eléctricos
Para determinar tensões e correntes pode ser necessário resolver
um sistema de equações
Questão:
Como determinar um conjunto de equações independentes ?
Por aplicação das Leis de Kirchhoff obtêm-se equações nãoindependentes ⇒ necessidade de encontrar um procedimento
sistemático
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Método dos Nós
Como determinar um conjunto de equações independentes ?
Passo 1 - Escolhe-se um nó para referência (massa)
Passo 2 - Consideram-se tensões entre cada nó e o nó de
referência (tensões nodais)
Passo 3 - Aplica-se a Lei dos Nós a todos os nós, com
excepção do nó de referência
Passo 4 - Transformam-se as correntes em tensões aplicando
a lei de Ohm
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Método dos Nós: Exemplo
A
R1
R3
B
i1
V1
iv
C
i3
i2
R2
iS
R4
i4
IS
referência
Va − Vb
R1
Nó A
iv = i1
iv =
Nó B
i1 = i2 + i3
Va − Vb Vb Vb − Vc
=
+
R1
R2
R3
Nó C
i3 + iS = i4
Vb − Vc
V
+ iS = c
R3
R4
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iv =
Va = V1
V1 − Vb
R1
V1 − Vb Vb Vb − Vc
=
+
R1
R2
R3
Vb − Vc
V
+ iS = c
R3
R4
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19
Condensador
Um condensador é constituído por duas placas
de material condutor (armaduras) separadas por
um material isolante (dieléctrico)
A
d
Exemplos de dieléctricos: ar, silício
A carga armazenada num condensador é
dada por
Q = CV
C : capacidade
V : tensão aplicada aos terminais do condensador
Símbolo:
Tipos:
ou
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Condensador
C=ε
A capacidade é dada por
A
d
Unidade: Farad (F)
A : área de cada uma das armaduras
A capacidade de um
condensador depende de
parâmetros definidos pelo
processo de fabrico
d : distância entre armaduras
ε : constante dieléctrica do isolante
Relação corrente-tensão num condensador
Q = CV
mas
I=
dQ
dt
então
I=C
dV
dt
O condensador é um
Elemento Reactivo
A corrente que percorre um condensador não é
proporcional à tensão aplicada aos seus terminais,
mas antes à taxa de variação da tensão
Da equação anterior resulta que
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V = constante
I=0
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20
Associação de Condensadores
Série:
C1
Ceq
C2
C C
1
1
1
=
+
⇔ Ceq = 1 2
C1 + C2
Ceq C1 C2
C1
Paralelo:
Ceq
Ceq = C1 + C2
C2
Conclusão
A associação de condensadores em série (paralelo) é idêntica à associação
de resistências em paralelo (série)
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Circuitos RC – Resposta no Tempo
t=0
Vin
V1
R
V
iR
V1
iC
C
Vin
Vo(t) = ?
Vo
0
iR =
Vin − Vo
R
iC = C
dVo
dt
iR = iC
t
Lei de Ohm
Equação do condensador
Vin − Vo
dV
=C o
R
dt
dVo
1
=
(Vin − Vo )
dt
RC
equação diferencial de 1ª ordem
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21
Circuitos RC – Resposta no Tempo
A equação diferencial
dVo
1
=
(Vin − Vo ) tem como solução
dt
RC
Vo (t) = Vin + [Vo (0) - Vin ]e − t/RC
Considerando VC(0) = Vo(0) = 0 (condensador descarregado) e
− t/RC
) (para t ≥ 0)
Vin(t>0) = V1, a solução simplifica-se Vo (t) = V1(1 − e
V
Vin
V1
Vo (0) = 0 V
Vo
Vo (∞
∞) = V1
Vo (RC) = 0,63 V1
0
t
Vo atinge 63% do valor final (V1) em t = RC
RC designa-se por constante de tempo e representa-se por τ (tau)
O tempo de subida de Vo é directamente proporcional a RC
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Circuitos RC – Resposta no Tempo
Cálculo da corrente ao longo do tempo
Vin − Vo (t)
R
− t/RC
V - V (1 - e
)
i(t) = 1 1
R
i
iC (t) = iR (t) = i(t) =
V e − t/RC
i(t) = 1
R
V1/R
t=0
Vin
R
iR
V1
iC
C
Vo
i(t)
0
t
A tensão aos terminais de um condensador não pode
variar instantaneamente (seria necessária uma corrente
infinita), mas a corrente pode
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Circuitos RC – Resposta no Tempo
Cálculo da tensão na resistência
t=0
Vin
R
iR
V1
VR (t) = R ⋅ i(t)
iC
C
Vo
VR (t) = V1 e − t/RC
V
VR (0-) = 0 V
VR
(0+)
V1
Vo(t)
= V1
Vin
VR(t)
VR (∞
∞) = 0 V
0
t
A tensão aos terminais da resistência pode variar
instantaneamente
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Circuitos RC – Resposta no Tempo
t=0
V1
Vin
R
iR
descarga
V
iC
C
Vo
V1
Vo(t) = ?
Vin
0
t
Mantém-se a mesma equação diferencial, logo a solução geral é
idêntica à da carga
− t/RC
Vo (t) = Vin + [Vo (0) - Vin ]e
Mas a condição inicial é diferente. Admitindo que o condensador
carregou totalmente, a condição inicial é Vo(0) = V1
Para Vo(0) = V1 e Vin(t>0) = 0 obtém-se
Vo (t) = V1 e − t/RC (para t ≥ 0)
V
Vin
Vo(t)
0
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t
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Circuitos RC – Derivador
C
iC
Vi
iR
R
iR =
Vo
Vo
R
iC = C
e
Vo
d(Vi − Vo )
=C
R
dt
iR = iC
dVi
dt
Vo ≈ RC
Se Vi >> Vo
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d(Vi - Vo )
dt
Vo = RC
d(Vi − Vo )
dt
Vo é a derivada de Vi
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Circuito Gerador de Rampa
A corrente no condensador é dada por
I
I
C
Vo
I=C
dVo
dt
Como I e C são constantes
I
= constante
C
então
dV0
= constante
dt
V
I
V0 (t) = t
C
Vo(t)
0
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declive =
I
C
t
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24
Bobina
A bobina é um dispositivo no qual a tensão é proporcional à taxa
de variação da corrente que a percorre
V =L
dI
dt
L designa-se por indutância
núcleo
Unidade: Henry (H)
Símbolo:
Uma bobina é, normalmente, constituída
por um fio enrolado em torno de um núcleo,
p.e., ferro
Da equação característica
de uma bobina resulta que
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V =0
I = constante
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Transformador
Um transformador é um dispositivo constituído por duas bobinas
adjacentes, entre as quais existe uma ligação magnética
núcleo
Primário
Símbolo
Secundário
n1
n2
n1 e n2 :
v1
v2
i1
Utilizado para ...
i2
número de
espiras das
boninas
• converter níveis de tensão AC (tensão alternada)
• “isolar” electricamente um dispositivo da sua ligação à rede eléctrica
Num transformador ideal:
v2 =
n2
v1
n1
e i2 = −
n1
i1
n2
v2 i2 = −v1 i1
Potência no primário =
– Potência no secundário
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25
Grandezas Sinusoidais
As grandezas sinusoidais (ou grandezas alternadas sinusoidais) têm
a forma
x(t) = X m cos (ω t + α)
x(t)
Xm
valor instantâneo (valor no instante t)
amplitude ou valor máximo
ω
α
frequência angular (em radianos/segundo)
fase (em radianos)
A frequência angular, ω, relaciona-se com a frequência temporal,
f, através de
f exprime-se em Hertz (Hz)
ω = 2πf
Hertz = 1/segundo
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Grandezas Sinusoidais
A frequência temporal, f, é o inverso do período, T
f=
1
T
T exprime-se em unidades de tempo: segundos (s)
Exemplos:
x(t) = 2 cos (ω t)
a fase é nula
x
2
T/2
π
-2
T
2π
t
ωt
T
2π
t
ωt
T (período)
x(t) = 2 cos (ω t − α)
a fase é ≠ 0
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x
α
T/2
π
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26
Análise de um Sinal na Frequência
Qualquer sinal pode ser decomposto numa soma de sinusóides
com diferentes amplitudes e frequências
Exemplo:
Análise na frequência de uma onda quadrada de frequência f1
Xm
3f1
f1
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7f1
5f1
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11f1
9f1
f
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Análise na Frequência de uma Onda Quadrada
Uma onda quadrada pode ser obtida ...
pela soma da frequência, f
+
-
menos 3f com amplitude 1/3
Transformada
um sinal
mais 5f com de
amplitude
1/5 quadrado
menos 7f com amplitude 1/7
etc ...
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27
Resposta em Frequência
I(t) = ?
V(t) =
Vm sin (ωt)
I(t) = C
então
I(t) = C ω Vm cos (ω t)
C
Vm
V
t
Amplitude varia
com a frequência
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dV(t)
dt
Como
CωVm
I
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t
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Resposta em Frequência
Quando um sinal sinusoidal é aplicado num circuito constituído por
condensadores e/ou bobinas, a saída é um sinal sinusoidal com a
mesma frequência, mas possivelmente com diferente amplitude e
fase.
Circuitos com condensadores e bobinas têm comportamentos que
dependem da frequência do sinal ⇒ análise da resposta em
frequência
Resposta no tempo
V ou I
V ou I
t
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Resposta em frequência
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f
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56
28
Representação Complexa
Para a análise da resposta em frequência de circuitos reactivos
(circuitos cuja resposta varia no tempo) é conveniente utilizar
números complexos para representar tensões, correntes e
“resistências”
Com esta técnica, as equações diferenciais que descrevem os
circuitos reactivos transformam-se em equações algébricas
A representação utilizada baseia-se na Fórmula de Euler
e jθ = cosθ + j sinθ
Assim a grandeza sinusoidal
x(t) = X m cos (ω t + α )
pode representar-se como
x(t) = Re X m e j(ωt + α )
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[
]
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Derivada da Representação Complexa
Se
x(t) = X m cos (ω t + α)
então
dx(t)
= −ω X m sin (ω t + α)
dt
Efectuando a mesma derivada usando a representação complexa
x(t) = X m e j(ωt + α )
então
dx(t)
= jω X me j ( ω t + α )
dt
jωX m [cos(ωt + α) + j sin(ωt + α)]
Re{jωX m [cos(ωt + α) + j sin(ωt + α)]} = −ω X m sin(ωt + α)
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29
Generalização da Lei de Ohm
A Lei de Ohm pode ser generalizada substituindo o termo
resistência por impedância
R=
V
I
Z=
V
I
onde a impedância, Z, é uma grandeza complexa
Resistências são elementos resistivos ⇒ têm resistência
Condensadores e bobinas são elementos reactivos ⇒ têm reactância
Impedância = Resistência + Reactância
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Generalização da Lei de Ohm
Como a Lei de Ohm foi preservada, os seguintes resultados podem
ser transpostos para a análise de circuitos reactivos:
• Leis de Kirchhoff (Lei dos Nós e Lei das Malhas)
• Teorema da Sobreposição
• Teoremas de Thévenin e Norton
• Método dos Nós
• Divisor de Tensão
• Associação de Impedâncias em série e paralelo
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Divisor de Tensão e Associação de Impedâncias
Z1
Divisor de Tensão:
Vin
Z2
Vout
Vout =
Z2
Vin
Z1 + Z2
Associação de Impedâncias em Série:
Z1
Z2
Zeq
ZN
Z eq = Z 1 + Z 2 + + Z N
Associação de Impedâncias em Paralelo:
Z1
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ZN
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Zeq
N 1
1
=∑
Z eq i=1 Z i
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Cálculo da Impedância de um Condensador
A expressão da corrente num condensador é dada por
I=C
dV
dt
Considerando que V é um sinal sinusoidal
representado sob a forma de uma grandeza complexa: V = Vm e j( ωt + α )
Obtém-se
I=C
Então
d
d
V = C (Vme j( ωt + α ) ) = jωCVme j(ωt + α ) = jωCV
dt
dt
ZC =
Instituto Superior Técnico
V
1
=
I
jωC
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Impedância de um condensador
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31
Cálculo da Impedância de uma Bobina
A expressão da tensão numa bobina é dada por
V =L
dI
dt
Considerando que I é uma grandeza complexa, obtém-se ...
V =L
Então
d
d
I = L Im e j(ωt + α ) = jωLIm e j(ωt + α ) = jωLI
dt
dt
ZL =
V
= jωL
I
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Impedância de uma bobina
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Impedâncias: Resumo
ZR = R
ZC =
Resistência
1
jωC
ou
ZC =
Z L = jωL
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−j
ωC
Condensador
Bobina
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32
Filtro Passa-Alto
Calcular Vout/Vin para este circuito RC
C
Vin
Utilizando o resultado do divisor de tensão (Vout =
Z1 = Z C =
obtém-se
1
jωC
Vout =
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Vout
R
Z2
Vin )
Z1 + Z 2
e fazendo
Z2 = ZR = R
e
R
Vin
1
+R
jωC
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Filtro Passa-Alto
Vout =
R
Vin
1
+R
jωC
Vout =
jωRC
Vin
1 + jωRC
Esta expressão inclui informação sobre a amplitude e a fase, mas
apenas vamos analisar a informação referente à amplitude
Para obter a amplitude é necessário determinar o módulo das
grandezas complexas
V
jωRC
Vout
ωRC
= out =
=
2
Vin
Vin
1 + jωRC
1 + (ωRC)
A relação Vout/Vin designa-se por Função de Transferência
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33
Filtro Passa-Alto
Vout
ωRC
=
2
Vin
1 + (ωRC)
Vout
Vin
1
0
f
Para ω = 0
Vout
=0
Vin
para frequência nula não passa sinal
Vout = 0
Para ω = ∞
Vout
=1
Vin
para frequências elevadas Vout ≈ Vin
A designação Passa-Alto resulta do facto deste circuito apenas
deixar passar os sinais com frequência elevada (os sinais de baixa
frequência são eliminados ou atenuados)
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Filtro Passa-Alto: Exemplo
Calcular a amplitude de Vout quando na entrada, Vin, é aplicado um
sinal sinusoidal com amplitude 5 V e frequência 100 Hz
C = 1 µF
Vin
R
1 kΩ
Vout
Vout
ωRC
=
2
Vin
1 + (ωRC )
ω = 2πf = 628 rad/s
f = 100 Hz
Vout =
ωRC
1 + (ωRC )
2
Vin
Vout =
628 × 1x 10 3 × 1x 10 −6
(
1 + 628 × 1x 10 3 × 1x 10 −6
)
2
×5
Vout = 2.65 V
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Filtro Passa-Baixo
Calcular Vout/Vin para este circuito RC
R
Vin
Usando a equação
do divisor de tensão
Vout
1
jωC
=
Vin
1
+R
jωC
C
Vout =
Vout
1
Vin
1 + jωRC
V
Vout
1
1
= out =
=
2
Vin
Vin
1 + jωRC
1 + (ωRC)
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Filtro Passa-Baixo
Vout
1
=
2
Vin
1 + (ωRC)
Vout
0
Para ω = 0
Vout
=1
Vin
Para ω = ∞
Vout
=0
Vin
Vin
1
f
para frequência nula Vout = Vin
para baixas frequências Vout ≈ Vin
para frequências elevadas Vout ≈ 0
A designação Passa-Baixo resulta do facto deste circuito apenas
deixar passar os sinais com baixas frequências (os sinais de alta
frequência são atenuados ou “eliminados”)
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