UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA - ORM/SC

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
XIX OLIMPÍADA REGIONAL DE MATEMÁTICA
PET MATEMÁTICA
Gabarito 2 Nível 1
1. Vamos dizer que Dalva nasceu no mês D e que janeiro é o mês 1, fevereiro é o mês 2, assim seguindo o
mesmo raciocínio para os demais meses até dezembro que será o mês 12. Sabemos que Dalva é dois meses
mais nova que Ana, então Ana nasceu no mês D - 2. Também temos a informação de que Dalva é quatro
meses mais velha que Cristina, logo Cristina nasceu no mês D + 4. A última armação nos diz que Beatriz
e 8 meses mais nova que Dalva, o que equivale a dizer que Dalva é 8 meses mais velha que Beatriz, portanto
Beatriz nasceu no mês D + 8. Com essas informações podemos montar o seguinte quadro:
O problema nos diz que todas nasceram no mesmo ano e mesmo dia, apenas em meses diferentes, dessa
forma podemos ver que D - 2 precisa pelo menos ser igual a 1 para que corresponda ao mês de janeiro, por
isso D≥ 3 e seguindo o mesmo raciocínio D + 8 pode ser no máximo igual a 12 para que corresponda ao
mês de dezembro, portanto D≤4. Se o mês D que é o mês em que Dalva nasceu pode ser tanto 3 como 4
existem duas possibilidades:
• Ana nasceu em janeiro, Beatriz em novembro, Cristina em julho e Dalva em março.
• Ana nasceu em fevereiro, Beatriz em dezembro, Cristina em agosto e Dalva em abril.
Pelo enunciado, no qual uma delas nasceu em março, concluímos que esta só pode ser Dalva (Alternativa
D).
2. A soma de dois números é ímpar quando um é par e o outro é ímpar (caso contrário, a soma é par). O menor
resultado que satisfaz as condições dadas é 1 + 2 = 3 e o maior é 2007 + 2008 = 4015. Deste modo pode-se
obter qualquer ímpar entre 3 e 4015 com os números disponíveis nos cartões, ou seja, os números ímpares
que podem ser obtidos estão no conjunto {3, 5, 7, ..., 4015}. No conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 4015, 4016} há
4016 números, dentre os quais não nos interessa os números pares e o número 1. Note que metade desses
números são pares, logo temos 4016 ÷2 = 2008 números pares nesse conjunto. Também não nos interessa
o número 1. Deste modo a quantidade de números ímpares diferentes que pode ser obtida dessa maneira é
4016 - 2008 - 1 = 2007 (Alternativa C).
3. Vamos analisar todas as possibilidades. Se a moeda de menor valor for a de 1 centavo, temos os seguintes
casos:
• 25 moedas de 1 centavo;
• 20 moedas de 1 centavo + 1 moeda de 5 centavos;
• 15 moedas de 1 centavo + 1 moeda de 10 centavos;
• 15 moedas de 1 centavo + 2 moedas de 5 centavos;
• 10 moedas de 1 centavo + 3 moedas de 5 centavos;
• 10 moedas de 1 centavo + 1 moeda de 5 centavos + 1 moeda de 10 centavos;
• 5 moedas de 1 centavo + 2 moedas de 10 centavos;
• 5 moedas de 1 centavo + 4 moedas de 5 centavos;
• 5 moedas de 1 centavo + 2 moedas de 5 centavos + 1 moeda de 10 centavos.
Se não utilizarmos moedas de 1 centavo, os casos serão os seguintes:
Local: PET Matemática Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Universidade Federal de Santa Catarina
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• 5 moedas de 5 centavos;
• 3 moedas de 5 centavos + 1 moeda de 10 centavos;
• 1 moeda de 5 centavos + 2 moedas de 10 centavos.
E vemos que não existem outras possibilidades, pois a moeda de menor valor não pode ser a de 10
centavos. Portanto, temos 12 possibilidades (Alternativa B).
4. Este problema é sobre uma sequência de números onde cada termo depende dos dois anteriores. Não é dado
o valor do primeiro termo, mas sabe-se que o segundo termo vale 1. Conforme o enunciado, o terceiro termo
é equivalente ao primeiro mais o segundo, ou seja:
primeiro termo + 1.
O quarto termo, por sua vez, é a soma do terceiro com o segundo. Assim, o quarto termo equivale a:
(primeiro termo + 1) +1 = primeiro termo + 2.
Já o quinto termo, cujo valor é dado no enunciado, é a soma do terceiro termo com o quarto. Ou seja, ele
pode ser escrito da seguinte forma:
(primeiro termo + 1) + (primeiro termo +2) = primeiro termo + primeiro termo +3.
Como sabemos que a soma acima resulta em 2005, podemos concluir que o dobro do primeiro termo é 2002.
Logo, o primeiro termo vale 1001. A sequência ca assim:
• O primeiro termo é 1001;
• O segundo termo é 1;
• O terceiro termo é 1001 + 1 = 1002;
• O quarto termo é 1 + 1002 = 1003;
• O quinto termo é 1002 + 1003 = 2005;
• O sexto termo é 2005 + 1003 = 3008 (Alternativa B).
5. Observe que a meia preta está obrigatoriamente na caixa, então veja quais são as possibilidades das cores
de meias de acordo com cada caso a seguir:
• CASO 1: Se Professor Piraldo deixou na caixa uma meia preta e duas vermelhas, logo ele retirou uma
meia vermelha e duas meias brancas.
• CASO 2: Se Professor Piraldo deixou na caixa uma meia preta, uma meia vermelha e uma meia branca,
logo ele retirou duas meias vermelhas e uma meia branca.
• CASO 3: Se Professor Piraldo deixou na caixa uma meia preta e duas brancas, logo ele retirou três
meias vermelhas.
Assim, temos as seguintes situações:
Analisando o quadro, podemos perceber que os casos que aparecem nas alternativas A, B, C e D são todos
possíveis, mas não temos certeza de qual deles realmente aconteceu. Já o caso da alternativa E sempre
acontece, ou seja, temos certeza de que pelo menos uma meia vermelha é retirada da caixa (Alternativa
E).
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6. Para descobrirmos o deslocamento da extremidade da cerca, do ponto F para o ponto P, temos que, primeiro,
descobrir o valor da área total do terreno. Em seguida, vamos dividir essa área por dois, para sabermos o
quanto de terreno vai car para João e Maria. Dessa forma, temos que a medida do lado AF é a soma das
medidas dos lados BC (50 m) e DE (70 m), e assim, a medida do lado AF = 120 m. Com isso, a área total
do terreno é a soma das áreas do retângulo com dimensões 100 × 120 m e a do retângulo com dimensões
60 × 70 m, como vemos na gura a seguir:
Assim, a área total do terreno é de: (100 m × 120 m) + (60 m × 70 m) = 16200 m2 . Com isso, Maria e
16200
= 8100 m2 . Note que, com o deslocamento da extremidade F em
2
direção ao ponto P, um dos terrenos forma um trapézio ABCP e, como AF =AP +F P , basta acharmos o
valor de AP para encontrarmos a medida de F P . Para isso, como sabemos a área do trapézio
ABCP (8100 m2 ), podemos usar da fórmula da área do trapézio para encontrar a medida de AP .
João teriam direito, cada um, a
Para calcularmos a área de um trapézio, usamos a fórmula:
SABCP =
(Base
maior + Base
2
menor) × altura
Assim, denindo a Base maior como o segmento AP , a Base menor como o segmento BC e a altura como
o segmento AB , temos:
(AP + BC) × AB
= 8100
2
(AP + 50) × 100
= 8100
2
(AP + 50)×50 = 8100
AP ×50+2500 = 8100
AP ×50 = 8100 - 2500
AP ×50 = 5600
AP =
5600
50
AP = 112 m.
Como AF = 120 m, AP = 112 m e AF = AP + F P , temos que 120 = 112 + F P e, portanto, F P = 8 m
(Alternativa B).
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