Lista 2 - Lógica Matemática - 2014/02 1. Seja B = {x ∈ Q | − 1 x< 2

Lista 2 - Lógica Matemática - 2014/02
1. Seja B = {x ∈ Q | − 1 < x < 2}. Quais das sentenças a seguir são verdadeiras?
(a) 0 ∈ B
(b) −1 ∈ B
(c) −0, 84 ∈ B
(d)
√
2 ∈ B.
2. Descreva cada um dos conjuntos a seguir, listando seus elementos:
(a) {x ∈ N | x2 < 25}
(b) {x ∈ N | x é par e 2 < x < 11}
(c) {x | x é um dos três primeiros presidentes do Brasil}
(d) {x ∈ R | x2 = −1}
(e) {x | x é um dos estados da região Nordeste do Brasil}
(f) {x ∈ Z | |x| < 4}.
(g) {x ∈ N |x2 − 5x + 6 = 0}
(h) {x ∈ R | x2 = 7}.
3. Descreva cada um dos conjuntos a seguir:
(a) {x ∈ N | (∃q)(q ∈ {2, 3} e x = 2q}
(b) {x ∈ N | (∃y)(∃z)(y ∈ {0, 1} e z ∈ {3, 4} e y < x < z}
(c) {x ∈ N | (∀y)(y par → x 6= y}.
4. Sejam R = {1, 3, π, 4, 9, 10}, S = {{1}, 3, 9, 10}, T = {1, 3, π} e U = {{1, 3, π}, 1}. Quais das sentenças
a seguir são verdadeiras? Justifique as que não forem ?
(a) S ⊆ R;
(f) {1} ⊆ S;
(b) 1 ∈ R;
(g) T ⊆ R;
(c) 1 ∈ S;
(h) {1} ∈ S;
(d) 1 ⊆ U ;
(i) ∅ ⊆ S;
(m) T ⊆ R;
(e) {1} ⊆ T ;
(j) T ⊆ U ;
(n) S ⊆ {1, 3, 9, 10};
(k) T ∈ U ;
(l) T ∈
/ R;
5. Sejam A = {(x, y) ∈ R2 | (x, y) está a três unidades do ponto (1,4) } e B = {(x, y) ∈ R2 | (x − 1)2 +
(y − 4)2 ≤ 25}. Prove que A ⊆ B.
6. Quais das sentenças a seguir são verdadeiras para todos os conjuntos A, B e C?
(a) Se A ⊆ B e B ⊆ A, então A = B.
(f) ∅ ∈ A
(b) {∅} = ∅
(g) {∅} = {{∅}}.
(c) {∅} = {0}
(h) Se A ⊆ B e B ⊆ C, então A ⊆ C.
(d) ∅ ∈ {∅}
(i) Se A 6= B e B 6= C, então A 6= C.
(e) ∅ ⊆ A
(j) Se A ∈ B e B * C, então A ∈
/ C.
7. Prove que se A ⊆ B e B ⊆ C, então A ⊆ C.
8. Prove que se A0 ⊆ B 0 , então B ⊆ A.
9. Descreva analiticamente o conjunto das partes dos conjuntos abaixo:
1
(a) A = {1, 3, 5}
(c) A = {1, 2, 3, {1, 2}}
(b) B = {a, b}
(d) D = {1, {3, 5}, a, ∅}.
10. Descreva analiticamente os conjuntos:
(a) P (∅)
(b) P (P (∅))
(c) P (P (P (∅))).
11. Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, C = {1, 3, 7, 8}, D = {3, 4}, E = {1, 3}, F = {1} e X
um conjunto desconhecido. Para cada item abaixo, determine quais dos conjuntos A, B, C, D, E ou
F podem ser iguais a X :
(a) X ⊆ A e X ⊆ B
(c) X * A e X * C
(b) X * B e X ⊆ C
(d) X ⊆ B e X * C.
12. Dados os conjuntos U = {1, m, a, 2, 5, 6, 8, t, e, 9, 10, i, c, 11, 15, 16}, A = {9, 10}, B = {a, 2, 5, 6, m, t, 15},
C = {m, 2, 5, 6, t, e, i, 11, 16}, D = {2, e, m, i, 5, 6}, E = {i}, resolva:
(a) CCD
(c) E 0
(b) B 0
(d) CUE
CD
(e) CU C .
13. Faça o diagrama de Venn dos conjuntos da questão anterior.
14. Considerando os conjuntos da Questão 12, quais os conjuntos resultantes das seguintes operações:
(a) C ∩ D0
(c) (A ∪ D) − (C − B)
(b) (B ∪ A) ∩ C 0
(d) (B − C) ∩ (D0 − C).
15. Sejam P = {x ∈ R | sin x = 0}, Q = {nπ | n ∈ Z} e R = {2nπ | n ∈ Z}. Qual é a relação entre P e
Q? E entre P e R?
16. Todo conjunto possui pelo menos um subconjunto próprio? Justifique sua resposta.
17. Todo conjunto possui subconjuntos triviais distintos? Justifique a sua resposta.
18. Qual a quantidade de elementos do conjunto P (P (P (P {a, b, c})))?
19. Seja S um conjunto não vazio. Diga se cada uma das seguintes proposições é certa ou errada.
(a) S ∈ P(S)
(b) S ⊆ P(S)
(c) {S} ∈ P(S)
(d) {S} ⊆ P(S).
20. Você pode encontrar um conjunto A para o qual P(A) = ∅?
21. Construir os diagramas de Venn dos três conjuntos não vazios A, B e C tais que:
(a) A ⊆ B, C ⊆ B, A ∩ C = ∅
(c) A ⊆ C, A 6= C, B ∩ C = ∅
(b) A ⊆ B, C * B, A ∩ C 6= ∅
(d) A ⊆ B ∩ C, B ⊆ C, C 6= B, A 6= C.
22. Sejam A = {2, 3, 4}, B = {x | x2 = 4 e x ≥ 0}, C = {x | x2 −6x+8 = 0} e D = {x | x é par}. Complete
as seguintes proposições, inserindo ⊆, ⊇ ou “nc”(não comparável) entre cada par de conjuntos:
2
(a) A · · · B
(c) B · · · C
(e) B · · · D
(b) A · · · C
(d) A · · · D
(f) C · · · D.
23. Diga se cada uma das seguintes proposições é certa ou errada.
(a) Cada subconjunto de um conjunto finito é finito.
(b) Cada subconjunto de um conjunto infinito é infinito.
24. Como se prova que um conjunto A não é um subconjunto de um conjunto B? Prove que A = {2, 3, 4, 5}
não é um subconjunto de B = {x | x é par}.
25. Quais das seguintes proposições são verdadeiras:
(a) {4} ∈ {{4}}
(b) {4} ⊂ {{4}}
(c) ∅ ⊂ {{4}}.
26. Determinar os conjuntos A, B, C sabendo-se que:
A ∩ B = {2, 4},
A ∪ B = {2, 3, 4, 5},
A ∩ C = {2, 3} e A ∪ C = {1, 2, 3, 4}.
27. Sejam A, B e C conjuntos tais que A ⊂ B e B ⊂ C. Suponha que a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C e suponha
que d ∈ A, e ∈
/ B, f ∈
/ C. Que proposições podem ser verdadeiras?
(a) a ∈ C,
(c) c ∈
/ A,
(e) e ∈
/ A,
(b) b ∈ A,
(d) d ∈ B,
(f) f ∈
/ A.
28. Sejam A e B conjuntos não vazios. Se A e B são disjuntos, então A e B não são comparáveis?
Justifique sua resposta.
29. Se A e B são conjuntos não comparáveis. Então A e B são disjuntos? Justifique sua resposta.
30. Dados os conjuntos A, B, C, mostre que:
(a) [(A ∩ B) ∪ (A ∩ B 0 )]0 = A0 ;
(g) [A ∩ (B ∪ C)]0 = A0 ∪ (B 0 ∩ C 0 );
(b) A ∩ (A − B) = A − B;
(h) A ∩ B − (A − C)0 = A ∩ B − C;
(c) B ∪ (A − B) = A ∪ B;
(i) A − (A − (A − B)) = A ∩ B;
(d) (A ∩ B) ∪ (A ∩
B0)
= A,
(j) (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A);
(e) (A ∪ B) − B = A − B;
(k) (A0 ∪ (B ∩ C))0 = (A − B) ∪ (A − C);
(f) (A ∩ B) − B = ∅;
(l) A − ((B − C) ∩ (C − B)) = A.
31. Encontre contra-exemplos para provar que as afirmações abaixo não são verdadeiras.
(a) Se b ∈ B e B * C, então b ∈
/ C;
(b) Se A 6= B e B 6= C, então A 6= C.
32. Considere os conjuntos A = {x ∈ R | x2 − 3x − 70 < 0},
C = {x ∈ N | x + 1 é quadrado perfeito}.
(a) {0, 24, 80, 121} ⊆ C?
B = {x ∈ Z | x é divisor de 48} e
(b) 1 ⊆ B?
(d) Considere o conjunto universo U = R, determine A0 .
(c) {1, 2, 12} ∈ P (B)?
(e) Determine o conjunto (A ∩ B) ∪ (C ∩ B).
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33. Considere as seguintes hipóteses
S1 : Todos os dicionários são uteis.
S2 : Maria possui apenas romances.
S3 : Nenhum romance é útil.
Determine a validade de cada uma das conclusões seguintes:
(a) romances não são dicionários
(b) Maria não tem um dicionário
(c) todos livros úteis são dicionários.
34. Prove que P (A) = P (B) se, e somente se, A = B.
35. Prove:
(a) A ⊆ B se, e somente se, A ∩ B 0 = ∅.
(b) A ⊆ B se, e somente se, A0 ∪ B = U.
(c) A ⊆ B se, e somente se, B 0 ⊆ A0 .
36. Prove as leis de absorção:
(a) A ∪ (A ∩ B) = A
(b) A ∩ (A ∪ B) = A.
37. Seja A um conjunto não vazio. Prove que A ⊆ B se, e somente se, P (A) ⊆ P (B).
38. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre:
(a) A é a união disjunta de A − B e A ∩ B.
(b) A ∪ B é a união disjunta de A − B, A ∩ B e B − A.
39. Se A e B são conjuntos finitos, então n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
40. Em uma pesquisa com 60 pessoas, verificou-se que: 25 lêem Diário Catarinense, 26 lêem A Folha de
São Paulo, 26 lêem O Globo, 9 lêem Diário Catarinense e O Globo, 11 lêem Diário Catarinense e A
Folha de São Paulo, 8 lêem A Folha de São Paulo e O Globo e 3 lêem os três jornais.
(a) Ache o número de pessoas que lêem pelo menos um dos três jornais.
(b) Preencha, com o número correto de pessoas, cada uma das oito regiões do diagrama de Venn na
figura abaixo:
(c) Ache o número de pessoas que lêem exatamente um jornal.
41. Prove que A ∩ B ⊆ A e A ⊆ A ∪ B.
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42. Mostre que é possı́vel que A ∩ B = A ∩ C sem que B = C.
43. Prove que são equivalentes:
(i) A ⊆ B
(ii) A ∩ B = A
(iii) A ∪ B = B.
44. Uma operação binária em conjuntos chamada diferença simétrica é definida como
A ⊕ B = (A − B) ∪ (B − A).
(a) Desenhe um diagrama de Venn para ilustrar A ⊕ B.
(b) Para A = {3, 5, 7, 9} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, ache A ⊕ B.
(c) Prove que A ⊕ B = (A ∪ B) − (A ∩ B) para A e B arbitrários.
(d) Para um conjunto A arbitrário, ache A ⊕ A e ∅ ⊕ A.
(e) Prove que A ⊕ B = B ⊕ A para conjuntos arbitrários A e B.
(f) Para quaisquer conjuntos A, B e C demonstre que (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C).
45. Considere os seguintes subconjuntos de Z :
A = {x | (∃y)(y ∈ Z e y ≥ 4 e x = 3y)}
B = {x | (∃y)(y ∈ Z e x = 2y)}
C = {x | x ∈ Z e |x| ≤ 10}.
Usando as operações de conjuntos, descreva cada um dos seguintes conjuntos em termos de A, B e
C:
(a) o conjunto de todos os inteiros ı́mpares
(b) {−10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10}
(c) {x | (∃y)(y ∈ Z e y ≥ 2 e x = 6y)}
(d) {−9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9}
(e) {x | (∃y)(y ∈ Z e y ≥ 5 e x = 2y + 1)} ∪ {x | (∃y)(y ∈ Z e y ≤ −5 e x = 2y − 1)}
46. Sejam A = {a, b} e C = {3, 5}. Descreva de modo analı́tico os conjuntos:
(a) A × (A ∪ C);
(b) (A × B) ∪ (A × C);
(c) A × (B ∩ C);
(d) (A × B) ∩ (A × C).
47. Para qualquer conjunto finito S, denote por |S| o número de elementos em S. Se |A| = 3 e |B| = 4,
encontre:
(a) |A × B|;
(b) |A2 |;
(c) |B 2 |;
(d) o maior valor possı́vel para |A ∩ B|;
(e) o menor valor possı́vel para |A ∪ B|.
48. Sendo A = {a, b} e B = {2, 3}, determine os elementos de P (A × B).
49. Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {2, 4} e C = {3, 4, 5}, determine o produto cartesiano A×B×C.
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50. Sejam A e C conjuntos não vazios. Mostre que:
(a) A ⊆ B e C ⊆ D ⇔ A × C ⊆ B × D.
(b) A × C = B × C ⇒ A = B.
(c) (A × C) ∪ (B × C) = (A ∪ B) × C.
(d) (A × B) − (C × C) = [(A − C) × B] ∪ [A × (B − C)].
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